Aceleración

En física , principalmente en cinemática , la aceleración es una cantidad vectorial que representa la variación de la velocidad en la unidad de tiempo . En términos diferenciales, es igual a la derivada con respecto al tiempo del vector velocidad. ^[1] En el SI, la unidad de medida del módulo de aceleración es m / s ², o metros por segundo al cuadrado . Las derivadas temporales de la velocidad de orden superior a la primera se estudian en los distintos movimientos .

Cuando no se especifica, "aceleración" significa aceleración de traslación , lo que implica que el desplazamiento al que se hace referencia es una traslación en el espacio. El término "aceleración", de hecho, puede usarse con un significado más general para indicar la variación de una velocidad en función del tiempo. Por ejemplo, en la descripción del movimiento de rotación , la aceleración angular y la aceleración areolar se utilizan para definir la aceleración de rotación .

Definición

Arriba: representación de la velocidad (variable dependiente) en función del tiempo (variable independiente). La aceleración, definida como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, tiene un valor igual a la pendiente de la recta tangente, que se muestra en azul en la figura.
Abajo: tendencia de la derivada, que representa el valor de aceleración en función del tiempo.

La aceleración de un punto material es la variación de su velocidad con respecto al tiempo. La forma más inmediata de cuantificar esta variación es definir la aceleración promedio ${\bar {\mathbf {a} }}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {a}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {a}}}}$ como la relación del cambio de velocidad $\Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1}}$ en el tiempo final $\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} (t_{2})$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {2} = \ mathbf {v} (t_ {2})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {2} = \ mathbf {v} (t_ {2})}$ e inicial $\mathbf {v} _{1}=\mathbf {v} (t_{1})$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = \ mathbf {v} (t_ {1})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = \ mathbf {v} (t_ {1})}$ poseído por el objeto, y el intervalo finito de tiempo $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ ${\ Displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1}}$ duración del movimiento: ^[2]

{\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}

{\ Displaystyle {\ bar {\ mathbf {a}}} = {\ frac {\ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1}} {t_ {2} -t_ {1}} } = {\ frac {\ Delta \ mathbf {v}} {\ Delta t}}}

{\ Displaystyle {\ bar {\ mathbf {a}}} = {\ frac {\ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1}} {t_ {2} -t_ {1}} } = {\ frac {\ Delta \ mathbf {v}} {\ Delta t}}}

Una forma precisa de caracterizar la aceleración se obtiene considerando la velocidad en cada instante de tiempo, es decir, expresando la velocidad en función del tiempo y, donde la función es continua, calculando su derivada . La aceleración instantánea se define de esta manera:

\mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} (t)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} (t)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} (t)} {\ mathrm {d} t}}}

Este es el límite para el intervalo de tiempo que tiende a cero de la relación incremental que define la aceleración promedio:

\mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {v} (t+\Delta \ t)-\mathbf {v} (t)}{\Delta t}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {v}} {\ Delta t}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {v} (t + \ Delta \ t) - \ mathbf {v} (t)} {\ Delta t}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {v}} {\ Delta t}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {v} (t + \ Delta \ t) - \ mathbf {v} (t)} {\ Delta t}}}

La aceleración promedio coincide con la aceleración instantánea cuando esta última es constante en el tiempo ( $\mathbf {a} (t)={\text{costante}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} (t) = {\ text {constante}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} (t) = {\ text {constante}}}$ ), y en este caso hablamos de movimiento uniformemente acelerado .

En el movimiento del punto material en una curva, el vector de aceleración en un punto está orientado hacia la concavidad de la trayectoria en ese punto. Puede suceder que durante el movimiento el vector de velocidad cambie solo en dirección y hacia, permaneciendo constante en el módulo, como por ejemplo en el caso del movimiento circular uniforme . La componente del vector de aceleración en la dirección del movimiento es en este caso cero y, por lo tanto, el vector es radial (perpendicular a la trayectoria). Dada una trayectoria curvilínea arbitraria y continua, el método del círculo osculante se utiliza para identificar la dirección y la dirección de la aceleración de un objeto que viaja a lo largo de ella.

En un contexto más formal, ya sea $s(t)$ ${\ Displaystyle s (t)}$ $S t)$ la longitud de un arco de la curva recorrida por el objeto en movimiento. Uno mismo $D s$ ${\ displaystyle ds}$ $ds$ es el desplazamiento del objeto en el tiempo $D t$ ${\ displaystyle dt}$ $dt$ , la norma de velocidad instantánea en el punto $\mathbf {r} =(x,y,z)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z)}$ $\ mathbf r = (x, y, z)$ es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo: ^[3]

v={\frac {ds}{dt}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\right)={\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}

{\ Displaystyle v = {\ frac {ds} {dt}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}} \ right) = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d } t}} \ right) ^ {2}}}}

{\ Displaystyle v = {\ frac {ds} {dt}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}} \ right) = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d } t}} \ right) ^ {2}}}}

con el vector de velocidad que luego se escribe como:

\mathbf {v} =v\mathbf {\hat {\mathbf {T} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = v \ mathbf {\ hat {\ mathbf {T}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = v \ mathbf {\ hat {\ mathbf {T}}}}

Dónde está ${\hat {\mathbf {T} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ es el vector unitario tangente a la curva. El módulo de aceleración instantánea es entonces:

a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}={\frac {{\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}}={\frac {dx}{ds}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{ds}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dz}{ds}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\cdot {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}

{\ Displaystyle a = {\ frac {dv} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {dx} {dt}} {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + {\ frac {dy} {dt}} {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + {\ frac {dz} {dt}} {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dz} {dt}} \ right) ^ {2}}}} = {\ frac {dx} {ds}} {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + {\ frac {dy} {ds}} {\ frac {d ^ {2} y } {dt ^ {2}}} + {\ frac {dz} {ds}} {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} = {\ frac {d \ mathbf {r} } {ds}} \ cdot {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}}}

{\ Displaystyle a = {\ frac {dv} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} = {\ frac {{\ frac {dx} {dt}} {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + {\ frac {dy} {dt}} {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + {\ frac {dz} {dt}} {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dz} {dt}} \ right) ^ {2}}}} = {\ frac {dx} {ds}} {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + {\ frac {dy} {ds}} {\ frac {d ^ {2} y } {dt ^ {2}}} + {\ frac {dz} {ds}} {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} = {\ frac {d \ mathbf {r} } {ds}} \ cdot {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}}}

y el vector de aceleración viene dado por: ^[3]

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}{\hat {\mathbf {T} }}+k\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}{\hat {\mathbf {N} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} = { \ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {T}}} + k \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2 } {\ hat {\ mathbf {N}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} = { \ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {T}}} + k \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2 } {\ hat {\ mathbf {N}}}}

Dónde está $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ es la curvatura y el componente en la dirección del movimiento y el componente en la dirección perpendicular se han resaltado, con ${\hat {\mathbf {N} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ vector unitario normal a la curva. En general, es posible introducir un triplete de unidades vectoriales ortonormales, denominado trihedro de Frenet , constituido ortogonalizando los vectores de velocidad, aceleración y un tercer vector, generado por el producto vectorial de los dos primeros. Los versores así generados se denominan versores tangentes , normales y binormales . La aceleración se encuentra siempre, por construcción, en el plano identificado por el versor tangente y por el normal. La geometría diferencial aprovecha el triedro de Frenet para permitir calcular la curvatura y torsión de la trayectoria en cada punto.

Componentes de aceleración

Componente centrípeto y tangencial de la aceleración

En un espacio tridimensional, la aceleración se puede escribir como:

\mathbf {a} =a_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {k} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = a_ {x} {\ hat {\ mathbf {i}}} + a_ {y} {\ hat {\ mathbf {j}}} + a_ {z} {\ hat {\ mathbf {k}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = a_ {x} {\ hat {\ mathbf {i}}} + a_ {y} {\ hat {\ mathbf {j}}} + a_ {z} {\ hat {\ mathbf {k}}}}

Dónde está ${\hat {\mathbf {i} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {i}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {i}}}}$ , ${\hat {\mathbf {j} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {j}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {j}}}}$ Y ${\hat {\mathbf {k} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {k}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {k}}}}$ son las unidades vectoriales del sistema de referencia cartesiano utilizado. Dado que, en su definición general, la aceleración es el vector que cuantifica el cambio de dirección y módulo de velocidad, dada cualquier trayectoria, siempre es posible descomponer la aceleración del cuerpo en una componente tangente a ella, llamada aceleración tangencial , y en una componente perpendicular, llamada aceleración normal :

\mathbf {a} =a_{t}{\hat {\mathbf {T} }}+a_{n}{\hat {\mathbf {N} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = a_ {t} {\ hat {\ mathbf {T}}} + a_ {n} {\ hat {\ mathbf {N}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = a_ {t} {\ hat {\ mathbf {T}}} + a_ {n} {\ hat {\ mathbf {N}}}}

La aceleración tangencial describe el cambio en la norma de velocidad, mientras que la aceleración normal está asociada con el cambio en la dirección de la velocidad. ^[4]

Sabiendo que la velocidad lineal $\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ , que siempre es tangente a la trayectoria, está relacionada con la velocidad angular ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ del informe:

\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}

{\ mathbf {v}} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ mathbf {r}}

Dónde está $\times$ ${\ Displaystyle \ times}$ $\ veces$ denota el producto vectorial , ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ la velocidad angular e $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ el radio de curvatura de la trayectoria en el punto considerado. Por lo tanto $\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ es ortogonal al plano formado por ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ y de $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ y viceversa, el vector ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ es ortogonal al plano formado por $\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ y de $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ , es decir, desde el plano en el que se produce el movimiento.

Círculo osculante en cualquier trayectoria

Dada una trayectoria $C.$ ${\ Displaystyle C}$ $C.$ acostado en un plano, y dibujado por un punto $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ en movimiento el círculo osculante , que es la circunferencia tangente en cualquier instante a la trayectoria en $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ , que se aproxima mejor a la trayectoria en ese punto, encontramos que:

\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )={\boldsymbol {\omega }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}) = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}} + {\ dot {\ boldsymbol { \ omega}}} \ times \ mathbf {r} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}) = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}} + {\ dot {\ boldsymbol { \ omega}}} \ times \ mathbf {r} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v}}

Dónde está ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ es la aceleración angular . Considerando la derivada del vector velocidad $\mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {T} }}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = v {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = v {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ , tenemos:

\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(v{\hat {\mathbf {T} }})={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {T} }}}{\mathrm {d} t}}v={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}+{\frac {v^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {N} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (v {\ hat {\ mathbf {T}}}) = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} {\ hat {\ mathbf {T}}} + {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {\ mathbf {T}}}} {\ mathrm {d} t}} v = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t }} {\ hat {\ mathbf {T}}} + {\ frac {v ^ {2}} {r}} {\ hat {\ mathbf {N}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (v {\ hat {\ mathbf {T}}}) = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} {\ hat {\ mathbf {T}}} + {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {\ mathbf {T}}}} {\ mathrm {d} t}} v = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t }} {\ hat {\ mathbf {T}}} + {\ frac {v ^ {2}} {r}} {\ hat {\ mathbf {N}}}}

Al igualar lo obtenido de las ecuaciones anteriores e identificar los términos tenemos que los componentes son:

\mathbf {a} _{t}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {T} }}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} \qquad \mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {N} }}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {t} = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} {\ hat {\ mathbf {T}}} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} \ qquad \ mathbf {a} _ {n} = {\ frac {v ^ {2}} {r}} {\ hat {\ mathbf {N}}} = {\ símbolo en negrita {\ omega}} \ times \ mathbf {v}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {t} = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} {\ hat {\ mathbf {T}}} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} \ qquad \ mathbf {a} _ {n} = {\ frac {v ^ {2}} {r}} {\ hat {\ mathbf {N}}} = {\ símbolo en negrita {\ omega}} \ times \ mathbf {v}}

En dos dimensiones el vector unitario normal se determina unívocamente, mientras que en tres dimensiones debe especificarse; de hecho, es paralelo al radio del círculo osculante.

Movimiento recto

De lo que se ha mostrado también se deduce que si la componente normal de la aceleración es cero, entonces el movimiento tiene lugar en línea recta; de hecho, la dirección del vector de velocidad es constante y, dado que la velocidad siempre es tangente a la trayectoria, la trayectoria es rectilínea. Si la aceleración tangencial es constante, hay un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado . Si, por otro lado, también la componente tangencial de la aceleración es cero, el vector de velocidad es constante y hay un movimiento rectilíneo uniforme .

Movimiento circular

El mismo tema en detalle: movimiento circular .

Componentes de la aceleración del movimiento circular genérico

Por el contrario, si el componente normal es constante, la trayectoria será circular. En este caso, tomará el nombre de aceleración centrípeta ^[5] porque apunta momento a momento hacia el centro de la circunferencia. Si la aceleración angular, por lo tanto también la aceleración tangencial, es constante, hay un movimiento circular uniformemente acelerado. Por otro lado, en el caso de un movimiento circular uniforme, la aceleración angular es cero, por lo que la aceleración se reduce solo a la componente centrípeta, por lo que la velocidad angular será constante en el tiempo.

Aceleraciones aparentes

Un observador que simpatice con un marco de referencia no inercial experimentará aparentes aceleraciones. Según el teorema de la aceleración de Coriolis , las aceleraciones aparentes del observador son dos: la primera llamada aceleración centrífuga , que tiene el mismo módulo y dirección que la aceleración centrípeta, pero con la dirección opuesta, y la segunda que toma el nombre de aceleración complementaria , o Coriolis aceleración , cuyo valor es:

\mathbf {a} _{\text{Co}}=-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ text {Co}} = - 2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ text {Co}} = - 2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v}}

Significado geométrico

El signo de la aceleración instantánea se puede interpretar como la concavidad del gráfico de movimiento del espacio-tiempo.

La aceleración media se representa con la gráfica velocidad-tiempo, a partir de la cual se entiende como la aceleración media es igual a la pendiente de la recta que conecta los puntos inicial y final de la gráfica velocidad-tiempo en la que vamos a calcular la promedio.

La aceleración instantánea es la tangente a la curva velocidad-tiempo en el punto fijo, así como el significado geométrico de la primera derivada. Por tanto, es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto donde se calcula.

Mediante el estudio de la curva en el gráfico de velocidad-tiempo es posible obtener más información importante: del ángulo que forma la tangente con el eje del tiempo queda claro que la aceleración es negativa si la tangente forma un ángulo mayor a 90 grados con el eje de abscisas, es positivo si permanece por debajo de 90 grados mientras que es cero si la tangente es paralela al eje. Además, tenga en cuenta que los valores positivos de la curva de tiempo de aceleración corresponden a valores crecientes de la curva de tiempo de velocidad. Dado que la aceleración es la segunda derivada de la posición, la tendencia de la relación aceleración-tiempo también se puede obtener estudiando la concavidad del gráfico.

Aceleración en sistemas de puntos materiales

Si el $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ Los puntos materiales de un sistema están en movimiento, por lo general, la posición del centro de masa varía. Por lo tanto, bajo el supuesto de que la masa total $m=\sum _{i=1}^{n}$ ${\ Displaystyle m = \ sum _ {i = 1} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle m = \ sum _ {i = 1} ^ {n}}$ es constante, la aceleración del centro de masa será:

\mathbf {a} _{G}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{G}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathbf {p} }{m}}={\frac {\displaystyle {{\cancel {m}}\left({\cancel {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {v} _{i}+m\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{i}}{\mathrm {d} t}}\right)+\mathbf {p} {\cancel {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}}}{m^{\cancel {2}}}}={\frac {\mathbf {F} ^{(e)}}{m}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {G} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {G}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} = {\ frac {\ displaystyle {{\ cancelar {m}} \ left ({\ cancelar {\ frac { \ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {v} _ {i} + m \ sum _ {i = 1} ^ { n} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ right) + \ mathbf {p} {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d } m} {\ mathrm {d} t}}}}} {m ^ {\ cancel {2}}}} = {\ frac {\ mathbf {F} ^ {(e)}} {m}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {G} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {G}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} = {\ frac {\ displaystyle {{\ cancelar {m}} \ left ({\ cancelar {\ frac { \ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {v} _ {i} + m \ sum _ {i = 1} ^ { n} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ right) + \ mathbf {p} {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d } m} {\ mathrm {d} t}}}}} {m ^ {\ cancel {2}}}} = {\ frac {\ mathbf {F} ^ {(e)}} {m}}}

Dónde está $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ el impulso total del sistema e $\mathbf {F} ^{(e)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)}}$ es la suma de las fuerzas externas .

Aceleración por gravedad

El mismo tema en detalle: Aceleración de la gravedad .

Nota

^ (EN) IUPAC Gold Book, "aceleración," en goldbook.iupac.org.
^ Enciclopedia concisa de ciencia y tecnología de McGraw-Hill .
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. Aceleración . De MathWorld.
^ De hecho, la fuerza asociada con la componente normal de la aceleración no actúa sobre el objeto, ya que el producto escalar de la fuerza con el desplazamiento es cero.
^ Aceleración centrípeta , de britannica.com .

Bibliografía

( EN ) McGraw-Hill Concise Encyclopedia of Science and Technology - "Acceleration" , Nueva York, McGraw-Hill, 2006.
( EN ) Henry Crew, Los principios de la mecánica , BiblioBazaar, LLC, 2008, p. 43, ISBN 0-559-36871-2 .
( EN ) Hermann Bondi,Relatividad y sentido común , Publicaciones de Courier Dover, 1980, p. 3, ISBN 0-486-24021-5 .
( EN ) Robert L. Lehrman, Physics the Easy Way , Barron's Educational Series, 1998, p. 27, ISBN 0-7641-0236-2 .
(EN) Larry C. Andrews y Ronald L. Phillips, Técnicas matemáticas para ingenieros y científicos , SPIE Press, 2003, p. 164, ISBN 0-8194-4506-1 .
( EN ) Ch V Ramana Murthy & NC Srinivas, Matemáticas aplicadas , Nueva Delhi, S. Chand & Co., 2001, p. 337, ISBN 81-219-2082-5 .

Otros proyectos

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enlaces externos

( EN ) Aceleración , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Aceleración , en Treccani.it - Enciclopedias en línea , Instituto de la Enciclopedia Italiana.

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[1] (EN) IUPAC Gold Book, "aceleración," en goldbook.iupac.org.

[2] Enciclopedia concisa de ciencia y tecnología de McGraw-Hill .

[mathworld-3] Weisstein, Eric W. Aceleración . De MathWorld.

[4] De hecho, la fuerza asociada con la componente normal de la aceleración no actúa sobre el objeto, ya que el producto escalar de la fuerza con el desplazamiento es cero.

[5] Aceleración centrípeta , de britannica.com .

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