Análisis matemático

Algunos objetos estudiados en análisis matemático
Funciones	Limites
Derivados	Integrales
Ecuaciones diferenciales	Funciones multivariables
Funciones complejas	Campos vectoriales

El análisis matemático es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades que surgen de la descomposición infinita de un objeto denso. Se basa en el cálculo infinitesimal , con el que, a través de las nociones de límite y continuidad , estudia el comportamiento local de una función utilizando las herramientas del cálculo diferencial y el cálculo integral .

Al introducir conceptos problemáticos para el cálculo , como el de infinito y límite , es posible pasar a la investigación que le ha permitido volverse fundamental en diversas disciplinas científicas y técnicas (desde las ciencias naturales a la ingeniería , desde las tecnologías de la información a la economía). ), donde a menudo se conjuga con análisis numérico .

Historia

Gottfried Wilhelm von Leibniz

El análisis matemático nació durante la segunda mitad del siglo XVII , gracias a Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes introdujeron de forma independiente los conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal . Inicialmente el análisis matemático tuvo como objetivo la representación geométrica en el plano cartesiano de funciones , en un intento de responder preguntas sobre el cálculo de áreas y características geométricas de una curva . El desarrollo del análisis en el siglo XVIII también estuvo fuertemente motivado por la física que condujo al desarrollo y elaboración de la mecánica racional .

A partir de finales del siglo XVIII se introdujo el concepto de límite , pasando de una interpretación intuitiva basada en sucesivas subdivisiones, ya introducida, en el siglo V a.C. , por el filósofo eleático Zenón en la formulación de sus aporías ( paradojas de Zenón ), hasta al análisis matemático de la actualidad, que introdujo metodologías para el cálculo de un valor límite. Esto condujo a una revolución completa de la materia que volvió a analizar nociones y teoremas sin hacer uso de justificaciones geométricas, sino basándose en conceptos de número y conjunto . Esto permitió un análisis más detallado de geometrías no euclidianas y una dimensión espacial mayor que tres.

Conceptos

Teoría de conjuntos

El mismo tema en detalle: teoría de conjuntos .

Conjuntos A, B y su intersección

El concepto de conjunto constituye el elemento fundamental de esa parte de las matemáticas que es la teoría de conjuntos . Este término indica cualquier agrupación, colección, agregado de elementos , independientemente de su naturaleza.

La teoría de conjuntos y las posibles operaciones entre ellos, nos permiten definir uno de los principales temas de estudio del análisis: las funciones .}} De particular interés son las funciones definidas entre los siguientes conjuntos numéricos :

$\mathbb {N}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ números naturales
$\mathbb {Z}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ números enteros
$\mathbb {Q}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ numeros racionales
$\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ numeros reales
$\mathbb {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ números complejos

Para definir algunas propiedades de considerable interés y uso extendido (como la continuidad y la diferenciabilidad ) se requieren los conceptos básicos de la topología , y en particular de alrededor , y el concepto de distancia en un espacio métrico .

Funciones

El mismo tema en detalle: Función (matemáticas) .

Una función asocia elementos de un conjunto X con elementos de un conjunto Y

El concepto de función es fundamental a los efectos del análisis matemático. Mediante operaciones más avanzadas (como las operaciones límite ) se definen una serie de propiedades fundamentales de considerable utilidad en desarrollos teóricos y en aplicaciones prácticas. Entre ellos podemos enumerar:

Las llamadas funciones elementales juegan un papel importante, tales como:

De particular importancia, en el siglo XX , fueron los avances en el estudio de los espacios de funciones , vistos como espacios vectoriales topológicos particulares de dimensión infinita, en el contexto del análisis funcional .

La operación límite

El mismo tema en detalle: Límite (matemáticas) .

Límite de una función, después de un valor S , la función permanece confinada a un intervalo de 2

\varepsilon

{\ Displaystyle \ varepsilon}

\ varepsilon

y tiende infinitamente a L.

El concepto de límite , fundamental en el análisis, se definió coherentemente sólo en el siglo XIX pero había sido entendido intuitivamente por matemáticos del calibre de Wallis , Euler , Bernoulli , Newton , Leibniz e incluso parece que Arquímedes ya lo había entendido intuitivamente. El límite es, en términos simples, un valor al que el valor de una función se acerca cada vez más (sin alcanzarlo necesariamente) a medida que el argumento se acerca a cero, al infinito oa cualquier otro número. Por ejemplo $\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{n}}=0$ ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {1} {n}} = 0}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {1} {n}} = 0}$ . De hecho, si aumentamos más y más $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ , ${\frac {1}{n}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ siempre estará más cerca de cero.

El límite de una función o secuencia puede:

ser un número finito (como en el caso anterior $\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{n}}=0$ ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {1} {n}} = 0}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {1} {n}} = 0}$ )
ser infinito (por ejemplo $\lim _{x\to \infty }x^{2}=+\infty$ ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} x ^ {2} = + \ infty}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} x ^ {2} = + \ infty}$ )
no existe (por ejemplo, la función $(-1)^{n}$ ${\ Displaystyle (-1) ^ {n}}$ $(-1) ^ {n}$ , como n varía , siempre es alternativamente -1, +1, -1, +1 ...)

Serie

El mismo tema en detalle: Serie matemática .

A través del concepto de límite de una secuencia es posible definir la suma de un número infinito de elementos. Por ejemplo, es posible darle sentido a la expresión

e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\ldots

{\ Displaystyle e = 1 + {\ frac {1} {1!}} + {\ frac {1} {2!}} + {\ frac {1} {3!}} + {\ frac {1} { 4!}} + \ Ldots}

e = 1 + {\ frac 1 {1!}} + {\ frac 1 {2!}} + {\ frac 1 {3!}} + {\ frac 1 {4!}} + \ ldots

que es una de las muchas formas de describir el número de Napier $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ .

Una suma infinita de elementos se llama serie y generalmente se indica con la siguiente notación:

$\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a_ {k}}$ $\ sum _ {{k = 0}} ^ {{+ \ infty}} a_ {k}$ o con $\sum _{k=1}^{+\infty }a_{k}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} a_ {k}}$ $\ sum _ {{k = 1}} ^ {{+ \ infty}} a_ {k}$ .

Por lo tanto, al posar $a_{k}={\frac {1}{k!}}$ ${\ Displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {k!}}}$ $a_ {k} = {\ frac 1 {k!}}$ , el número de Napier $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ , con las notaciones anteriores, se puede escribir de una de las siguientes formas

$e=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}$ ${\ Displaystyle e = \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a_ {k}}$ $e = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{+ \ infty}} a_ {k}$ o $e=1+\sum _{k=1}^{+\infty }a_{k}$ ${\ Displaystyle e = 1 + \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} a_ {k}}$ $e = 1 + \ sum _ {{k = 1}} ^ {{+ \ infty}} a_ {k}$ .

De manera similar a lo que ocurre con los límites, la suma de elementos infinitos puede ser finita, infinita o incluso no definida como en el caso de la serie $1-1+1-1+1-...$ ${\ Displaystyle 1-1 + 1-1 + 1 -...}$ $1-1 + 1-1 + 1 -...$ , llamada serie Grandi .

Derivado

El mismo tema en detalle: Derivada .

Recta tangente a una función en un punto (en rojo). La derivada de la función en ese punto es el coeficiente angular de esa línea

El concepto de derivada juega un papel fundamental en el cálculo y en todo análisis matemático. Definida como el límite de la razón incremental , la derivada cuantifica el tipo de crecimiento de una función y tiene aplicación en todas las ciencias.

La noción de derivada define y estudia los conceptos de máximo y mínimo de una función , de concavidad y convexidad : la derivada es, por tanto, una herramienta fundamental para el estudio de una función .

A través de una lista de reglas de derivación, es posible calcular la derivada de cualquier función definida combinando funciones elementales.

El concepto de derivada también se extiende a funciones multivariables a través de la noción de derivada parcial .

Integral

Mismo tema en detalle: Integral .

Representación gráfica de la integral de Riemann

La integral es otra herramienta fundamental del cálculo infinitesimal . Se utiliza principalmente para calcular áreas y volúmenes de figuras curvas, como la elipse o la parte del plano cartesiano delimitada por una función.

Para el teorema fundamental del cálculo integral , la integral es esencialmente una operación inversa a la de la derivada. Sin embargo, se diferencia de ella porque, al contrario de lo que ocurre con la derivada, no existen algoritmos que permitan calcular la integral de cualquier función definida a partir de funciones elementales. Sin embargo, existen numerosos métodos de integración con los que resolver la mayoría de las integrales más simples, que a menudo se resumen entablas apropiadas.

Desde el siglo XIX , el concepto de integral se ha vinculado cada vez más al concepto de medición . La propia definición de integral está vinculada a un problema fundamental de cómo "medir" longitudes, áreas y volúmenes de subconjuntos de la línea, el plano, el espacio. Cada posible respuesta a esta pregunta proporciona una definición de integral: las definiciones más utilizadas son la integral de Riemann y la integral de Lebesgue .

Serie de taylor

El mismo tema en detalle: serie Taylor .

Serie de Taylor que aproxima la función coseno en el plano complejo

La serie de Taylor de una función analítica le permite escribir la función como una serie de potencias . Para una función analítica $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ tenemos eso:

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},

{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} (xa) ^ {n}, }

{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} (xa) ^ {n}, }

Dónde está $norte!$ ${\ Displaystyle n!}$ ${\ Displaystyle n!}$ es el factorial de $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ Y $f^{(n)}(a)$ ${\ Displaystyle f ^ {(n)} (a)}$ ${\ Displaystyle f ^ {(n)} (a)}$ es la derivada $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ -ésimo de la $F$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f}$ en el punto $para .$ ${\ Displaystyle a.}$ ${\ Displaystyle a.}$ Uno mismo $a=0,$ ${\ Displaystyle a = 0,}$ ${\ Displaystyle a = 0,}$ la serie se llama serie Maclaurin y es

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.

{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} x ^ {n}.}

{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} x ^ {n}.}

Truncar la expansión de la serie Taylor a un cierto orden

norte

{\ Displaystyle n}

norte

obtenemos un polinomio de orden

norte

{\ Displaystyle n}

norte

que aproxima la función desarrollada en serie con un error igual a un infinitesimal de orden superior al grado del polinomio en sí. Este polinomio se llama polinomio de Taylor . El uso de Taylors es particularmente útil en análisis matemático y en ciencias matemáticas aplicadas como la física, la ingeniería, etc. Por ejemplo, si una función no es elemental integrable, gracias al uso de expansiones en serie de Taylor, aún es posible calcular una primitiva , aproximada alrededor del punto donde el polinomio de Taylor de orden

norte

{\ Displaystyle n}

norte

: De hecho, dado que el polinomio de Taylor es, en general, una función formada por sumas de funciones "más simples" que la inicial, es "más fácil" aplicar las técnicas habituales para calcular integrales sobre él

Otro uso importante de la serie consiste en poder extender cualquier función analítica únicamente a una función holomórfica definida en el plano complejo y esta posibilidad pone a disposición todo el mecanismo del análisis complejo . También hay otras novedades en serie , como, por ejemplo, la de Laurent .

Estudio de funciones

El estudio de la función es el estudio de la tendencia o gráfico de una función destacando su máximo y mínimo (relativo y absoluto), asíntotas (horizontal y vertical), inflexiones (horizontal y vertical), concavidad y área subyacente, mediante el uso de herramientas. típico del análisis matemático antes mencionado o límite, derivada e integral.

Sectores

Cálculo infinitesimal

El mismo tema en detalle: cálculo infinitesimal .

El cálculo es la base del análisis matemático: incluye la noción de límite y diversas aplicaciones relacionadas con el estudio de funciones , que pueden ser reales o complejas de variable. A través del concepto de límite, el cálculo infinitesimal define y estudia las nociones de convergencia de una secuencia o serie , continuidad , derivada e integral .

El cálculo es la base del análisis matemático y es una herramienta utilizada en casi todos los campos de las matemáticas y la física y la ciencia en general.

Análisis armónico

El mismo tema en detalle: Análisis armónico .

Análisis funcional

Mismo tema en detalle: Análisis funcional .

Cálculo de variaciones

El mismo tema en detalle: Cálculo de variaciones .

Teoría de la medida

El mismo tema en detalle: Medir (matemáticas) .

Análisis de vectores

El mismo tema en detalle: cálculo vectorial .

Análisis complejo

Mismo tema en detalle: Análisis complejo .

Análisis no estándar

El mismo tema en detalle: análisis no estándar .

Teoría analítica de números

El mismo tema en detalle: Teoría analítica de números .

Bibliografía

Historia

El "Método" de Enrico Rufini Archimedes y los orígenes del análisis infinitesimal en la antigüedad. (Roma: Editorial Alberto Stock, 1926)

Textos

Lecciones de Guido Fubini en análisis matemático (Turín: empresa editorial nacional de imprenta, 1920)
Lecciones de Ulisse Dini en análisis infinitesimal. (Pisa: Nistri, 1907-15) t.1 t. 2, primera parte t. 2 segunda parte
Paolo Marcellini , Carlo Sbordone (1998): Análisis matemático uno , Liguori Editore, Nápoles, ISBN 9788820728199
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone (2020): Lecciones en análisis matemático debido , Zanichelli, ISBN 9788808520203
Walter Rudin (1953): Principios del análisis matemático , McGraw-Hill Libri Italia, ISBN 88-386-0647-1
(EN) Errett Bishop , Douglas Bridges (1985): Análisis constructivo, Springer, ISBN 0-387-15066-8
( EN ) Serge Lang (1987): Cálculo de varias variables , 3a ed., Springer, ISBN 0-387-96405-3
( EN ) Serge Lang (1993): Análisis real y funcional , 3a ed., Springer, ISBN 0-387-94001-4
( EN ) AW Knapp (2005): Análisis real básico , Birkhauser , ISBN 0-8176-3250-6
( EN ) GV Milovanović (1998): Recent Progress in Inequalities , Kluwer, ISBN 0-7923-4845-1
( EN ) Nicolas Bourbaki (2004): Elementos de las matemáticas. Funciones de una variable real - Derivadas Ch.I. Cap. II Primitivas e integrales. Capítulo III Funciones elementales. Ch.IV Ecuaciones diferenciales. Ch.V Estudio local de funciones. Ch.VI Expansión de Taylor generalizada, fórmula de suma de Euler MacLaurin. Función Ch.VII Gamma. , Springer, ISBN 3-540-65340-6

Otros proyectos

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enlaces externos

( EN ) Análisis matemático , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Sitio informativo , en ripmat.it .

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Conceptos

Teoría de conjuntos

Funciones

La operación límite

Serie

Derivado

Integral

Serie de taylor

Estudio de funciones

Sectores

Cálculo infinitesimal

Análisis armónico

Análisis funcional

Cálculo de variaciones

Teoría de la medida

Análisis de vectores

Análisis complejo

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