Anarmonicidad

La anarmonicidad representa la desviación de un sistema oscilante con respecto al modelo de oscilador armónico , y puede calcularse recurriendo a la teoría de perturbaciones en el caso de baja anarmonicidad oa otras técnicas numéricas si es consistente. En el oscilador anarmónico es posible observar múltiplos de la frecuencia fundamental del oscilador $\omega _{A}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {A}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {A}}$ que difiere del $\omega _{N}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {N}$ del movimiento armónico en primera aproximación en proporción al cuadrado de la amplitud de oscilación A :

\;\Delta \omega _{A}=\omega _{A}-\omega _{N}

{\ Displaystyle \; \ Delta \ omega _ {A} = \ omega _ {A} - \ omega _ {N}}

{\ Displaystyle \; \ Delta \ omega _ {A} = \ omega _ {A} - \ omega _ {N}}

\Delta \omega _{A}\propto A^{2}

{\ Displaystyle \ Delta \ omega _ {A} \ propto A ^ {2}}

{\ Displaystyle \ Delta \ omega _ {A} \ propto A ^ {2}}

.

Por tanto resulta la manifestación de oscilaciones con las frecuencias de los armónicos superiores $2\omega _{A}$ ${\ Displaystyle 2 \ omega _ {A}}$ ${\ Displaystyle 2 \ omega _ {A}}$ Y $3\omega _{A}$ ${\ Displaystyle 3 \ omega _ {A}}$ ${\ Displaystyle 3 \ omega _ {A}}$ etc., donde $\omega _{A}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {A}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {A}}$ es la frecuencia fundamental del oscilador. Además, la frecuencia $\omega _{A}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {A}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {A}}$ se desvía de la frecuencia natural $\omega _{N}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {N}$ .

En un sistema de osciladores con modos normales $\omega _{\alpha }$ ${\ Displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$ , $\omega _{\beta }$ ${\ Displaystyle \ omega _ {\ beta}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {\ beta}}$ , ... la anarmonicidad da como resultado oscilaciones adicionales con las frecuencias $\omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }$ ${\ Displaystyle \ omega _ {\ alpha} \ pm \ omega _ {\ beta}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {\ alpha} \ pm \ omega _ {\ beta}}$ .

La anarmonicidad también cambia el perfil de la curva de resonancia, dando lugar a fenómenos interesantes como la resonancia no lineal y la resonancia superarmónica.

Principio general

Una versión generalizada del oscilador armónico es la de un sistema altamente idealizado que oscila con una sola frecuencia, independientemente de la cantidad de energía que se le dé desde el exterior. En consecuencia, la frecuencia fundamental del oscilador armónico es independiente de la amplitud de las vibraciones. En un oscilador anarmónico ocurre lo contrario: la relación dinámica entre fuerza y desplazamiento ya no es lineal sino que depende de la amplitud de la oscilación y, por tanto, también la frecuencia puede depender de ella. Estos cambios dan como resultado un acoplamiento paramétrico de la energía a otras frecuencias.

Ejemplos físicos

Hay muchos sistemas en el mundo físico: a nivel mecánico , la no linealidad surge ya en el caso más simple en el péndulo matemático para ángulos crecientes, que también tiende a exhibir un comportamiento caótico; así como en un resorte en rendimiento o cuyo peso no sea rígido. De hecho, la no linealidad ocurre cuando la amplitud excede los valores umbral.

Ejemplos fuera de la mecánica son los semiconductores que no están en equilibrio que poseen una población caliente bastante grande y que tienden a exhibir oscilaciones anarmónicas relacionadas con la masa efectiva de las cargas, así como plasmas ionosféricos . Un átomo experimenta una duplicación entre el centro de masa del núcleo atómico y la nube de electrones bajo la aplicación de un campo eléctrico : se genera un dipolo eléctrico que actúa como oscilador, y al aumentar la intensidad del campo pierde su linealidad como mecánico del sistema. . La anarmonicidad también juega un papel importante en las redes cristalinas , en las vibraciones cuánticas moleculares [1] y en la acústica .

Método de Weierstrass

Considere un potencial unidimensional $U(x)$ ${\ Displaystyle U (x)}$ $U (x)$ asumido simétrico con respecto al eje $U$ ${\ Displaystyle U}$ $U$ , la forma de la curva se puede determinar implícitamente a partir del período $T(E)$ ${\ Displaystyle T (E)}$ $USTED)$ de oscilaciones con energía total $Y$ ${\ Displaystyle E}$ $Y$ según la ecuación:

x(U)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {2m}}}}\int _{0}^{U}{\frac {T(E)\,dE}{\sqrt {U-E}}}

{\ Displaystyle x (U) = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {2m}}}} \ int _ {0} ^ {U} {\ frac {T (E) \, dE} { \ sqrt {UE}}}}

{\ Displaystyle x (U) = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {2m}}}} \ int _ {0} ^ {U} {\ frac {T (E) \, dE} { \ sqrt {UE}}}}

Bibliografía

Lev Davidovič Landau , Evgenij Mikhailovič Lifšic , Curso de física teórica . Mecánica , United Publishers
Filipponi Adriano , Cavicchia Demetrio Roberto , Dinámica anarmónica de un oscilador de masa O-resorte (2011) , American Journal of Physics, Volumen 79, Número 7, págs. 730 , [2]

enlaces externos

( EN ) Oscilaciones no lineales , Franz-Josef Elmer, Universidad de Basilea

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