Ángulo

∠ es el símbolo del ángulo

En matemáticas definimos ángulo (del latín angulus , del griego ἀγκύλος ( ankýlos ), derivado de la raíz indoeuropea ank , doblar, doblar) cada una de las dos porciones del plano entre dos semilíneas que tienen la misma origen. También se puede definir como ángulo plano para distinguirlo del concepto derivado de ángulo sólido . Los rayos se denominan lados del ángulo y su vértice origen del ángulo. El término, así definido, se refiere a nociones de uso muy amplio, en primer lugar en geometría y trigonometría .

Cada ángulo está asociado a una amplitud, la medida correlacionada con la posición de un rayo con respecto al otro y por tanto con la conformación de la porción del plano que constituye el ángulo: se expresa en grados sexagesimales , en grados seis decimales , en grados centesimales o radianes , siempre con valores reales .

Al asociar un verso al ángulo, se introducen las amplitudes de los ángulos con signo, que permiten definir funciones trigonométricas con argumentos reales e incluso negativos. Las amplitudes con signo proporcionan contribuciones esenciales a las posibilidades del cálculo infinitesimal y a las aplicaciones de la física clásica y las consiguientes disciplinas cuantitativas.

Ángulo cóncavo y convexo

Ángulo convexo

El ángulo cóncavo es el ángulo que contiene las extensiones de los rayos (lados) que lo forman. El ángulo convexo es la porción del plano que no contiene las extensiones de los rayos que dividen el plano. Los ángulos convexos tienen una amplitud entre 0 y 180 grados sexagesimales, de 0 a 200 grados centesimales, de 0 a $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ radianes; mientras que la amplitud de los ángulos cóncavos mide entre 180 y 360 grados, de 200 a 400 grados centesimales, desde $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ para $2\pi$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ radianes. Las amplitudes son siempre no negativas.

Si los rayos son diferentes, pertenecen a la misma línea. $R.,$ ${\ Displaystyle R,}$ ${\ Displaystyle R,}$ cada uno de los dos semiplanos definidos por $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ provisto del vértice (que distingue los rayos) se llama ángulo plano .

Aparte del caso particular del ángulo plano, el plano se divide en tres conjuntos: el borde del ángulo , es decir, el conjunto de puntos pertenecientes a las dos medias líneas $S.$ ${\ Displaystyle S}$ $S.$ Y $T.,$ ${\ Displaystyle T,}$ ${\ Displaystyle T,}$ incluido el vértice y dos conjuntos conectados $K_{1}$ ${\ Displaystyle K_ {1}}$ $K_ {1}$ Y $K_{2}$ ${\ Displaystyle K_ {2}}$ $K_ {2}$ y separados de los puntos de la frontera. De estos dos conjuntos, solo $K_{1}$ ${\ Displaystyle K_ {1}}$ $K_ {1}$ está formado por puntos pertenecientes a segmentos con un extremo en un rayo y el otro en el otro; en otras palabras solo $K_{1}$ ${\ Displaystyle K_ {1}}$ $K_ {1}$ es un conjunto convexo . El tercero juntos $K_{2}$ ${\ Displaystyle K_ {2}}$ $K_ {2}$ no es convexo. El ángulo convexo determinado por está definido $S.$ ${\ Displaystyle S}$ $S.$ Y $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ la unión de este todo convexo y el borde, $K_{1}\cup S\cup T$ ${\ Displaystyle K_ {1} \ cup S \ cup T}$ $K_1 \ taza S \ taza T$ . El ángulo cóncavo se define como determinado por $S.$ ${\ Displaystyle S}$ $S.$ Y $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ la unión del tercer conjunto no convexo y el borde, $K_{2}\cup S\cup T$ ${\ Displaystyle K_ {2} \ cup S \ cup T}$ $K_2 \ cup S \ cup T$ . Los dos ángulos definidos por los dos rayos se denominan ángulos ejemplares .

Ángulo y triángulo ABC como su subconjunto.

Los ángulos convexos y cóncavos son subconjuntos ilimitados del plano, por lo que son conjuntos no medibles a través de su área que tiene un valor infinito. A menudo, la esquina (convexa) también indica la parte del plano delimitada por dos segmentos con un extremo común (vértice). Esta definición se remonta a la anterior prolongando los dos segmentos en el lado de su extremo diferente al vértice para obtener las dos medias líneas. Esta extensión de la definición hace legítimo asignar a cada triángulo tres ángulos (convexos) asociados biunívocamente a sus tres vértices.

Sin embargo el triángulo, al ser un subconjunto cerrado y limitado del plano, tiene un área finita, de hecho es la intersección de los ángulos correspondientes a sus tres vértices.

Medida de la amplitud de ángulos cóncavos y convexos

Consideraciones preliminares

Es natural plantear el problema de "medir un ángulo": los ángulos se pueden usar para muchas construcciones y si se asocian medidas numéricas con ellos, se espera que los cálculos numéricos de estas medidas puedan ser útiles para muchas construcciones.

El problema de la medida de un ángulo no puede resolverse mediante una medida de su superficie que no sea limitada y que en cualquier caso no sería significativa incluso en el caso de ángulos subtendidos por segmentos como en el caso del triángulo: por ejemplo, considere triángulos similares.

Si tiene dos esquinas convexas o cóncavas $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ Y $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ con el mismo vértice e $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ es un subconjunto de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ (situación que se determina solo si los lados de $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ son subconjuntos de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ ) es razonable pedir que la medida de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ es mayor que la medida de $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ .

Dado un ángulo convexo $PARA,$ ${\ Displaystyle A,}$ ${\ Displaystyle A,}$ la mitad de la línea que tiene el vértice de se llama media línea bisectriz del ángulo $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ como extremos y cuyos puntos son equidistantes de los lados de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ . Puede construir fácilmente la bisectriz con una brújula. La bisectriz de media línea de un ángulo cóncavo se define como la media línea que tiene el vértice del ángulo como su extremo alineado con la bisectriz de su ángulo ejemplar (convexo).

El rayo bisector $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ de una esquina $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ convexo o cóncavo y cada uno de sus dos lados determina dos ángulos convexos. El reflejo con respecto a la línea que contiene el $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ intercambiar los dos lados de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ y transforma una de las dos esquinas en la otra. Por tanto, es razonable atribuir a los dos ángulos determinados por la bisectriz una medida que es la mitad de la medida de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ . Es igualmente razonable considerar que las medidas de los dos ángulos determinados por el rayo bisector son la mitad de la medida del ángulo inicial. El proceso de reducir a la mitad una esquina se puede repetir. $No.$ ${\ Displaystyle N}$ $No.$ tiempos con $No.$ ${\ Displaystyle N}$ $No.$ grande al gusto.

Un ángulo convexo se llama ángulo recto si sus dos lados son ortogonales, es decir, un ángulo recto es la mitad de un ángulo plano.

Un ángulo convexo contenido en un ángulo recto que tiene el mismo vértice se llama ángulo agudo . Un ángulo convexo que contiene un ángulo recto que tiene el mismo vértice se llama ángulo obtuso .

Dos esquinas $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ Y $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ que tienen un solo rayo en común y no tienen ningún punto interno en común se denominan ángulos consecutivos . Si dos ángulos consecutivos tienen rayos opuestos no comunes (es decir, su unión es una línea recta), se denominan ángulos adyacentes . En cuanto a los ángulos consecutivos, si se trata de ángulos convexos su unión es un ángulo que puede ser convexo o cóncavo: este es el ángulo definido por las dos medias líneas que son los lados de solo uno de los dos ángulos. Para este ángulo de articulación es razonable asignar como medida la suma de las medidas de los ángulos consecutivos. El ángulo de unión se llama "suma" de los dos ángulos $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ Y $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ .

Sobre la base de las consideraciones anteriores, es legítimo atribuir a los ángulos medidas formadas por números reales.

Se dice que dos ángulos que pueden transformarse entre sí mediante isometrías son congruentes. Evidentemente, una medida de los ángulos invariantes para isometrías constituye una herramienta con muchas ventajas: en particular permite identificar las clases de congruencia de los ángulos. Por tanto pedimos una medida de los ángulos con valores reales e invariantes por congruencia.

De la medición de ángulos a la medición de la anchura del ángulo

Si el ángulo se define como la porción del plano entre dos rayos, su unidad de medida debe ser una longitud al cuadrado, pero esta medida no tiene significado ni uso práctico. Por tanto, se decidió considerar no la medida del ángulo en sí, sino la de la amplitud del movimiento que hace que uno de los rayos se superponga al otro.

Ciertamente, cómo determinar el ancho de un ángulo ha requerido más esfuerzo del intelecto humano del que ha requerido la medición de longitudes y superficies. Medir significa expresar una grandeza $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ en relación con otra cantidad dada, homogénea a ella, que actúa como unidad de medida . Si este proceso surge de manera suficientemente espontánea para cantidades espaciales, simplemente repita un segmento o coloque un cuadrado junto a él. $U$ ${\ Displaystyle U}$ $U$ por $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ veces hasta que se agote la longitud o la superficie ( $A=nU$ ${\ Displaystyle A = nU}$ ${\ Displaystyle A = nU}$ ), lo mismo se vuelve menos intuitivo para las cantidades angulares, donde incluso la misma elaboración mental de una unidad de medida adecuada requiere un mayor grado de abstracción.

Considere los cuatro ángulos de amplitud $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ de la figura. Queriendo cuantificarlos con el área delimitada por los lados en verde, extendiendo los lados hasta el infinito en el estuche. $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ se obtiene un área infinita y en los casos restantes $B.,$ ${\ Displaystyle B,}$ ${\ Displaystyle B,}$ $C.$ ${\ Displaystyle C}$ $C.$ Y $D.,$ ${\ Displaystyle D,}$ ${\ Displaystyle D,}$ considerando solo las superficies dentro de las líneas de puntos, tres áreas específicas y por lo tanto medibles, pero visiblemente diferentes entre sí, incluso si se originan en el mismo ángulo. También asume dividir $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ exactamente en dos ángulos iguales, de modo que pueda expresarse en relación con este último, como $\alpha =2\beta$ ${\ Displaystyle \ alpha = 2 \ beta}$ ${\ Displaystyle \ alpha = 2 \ beta}$ , $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ . Como se discutió anteriormente, $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ por lo tanto, puede considerarse una unidad de medida y, si ahora se considera su área, la igualdad se cumplirá solo en los casos $C.$ ${\ Displaystyle C}$ $C.$ Y $D.,$ ${\ Displaystyle D,}$ ${\ Displaystyle D,}$ pero no de $B.,$ ${\ Displaystyle B,}$ ${\ Displaystyle B,}$ donde los dos triángulos tienen áreas diferentes, aunque sean dos ángulos $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ perfectamente apilable. De ello se deduce que el ángulo no se puede medir correctamente en términos de área .

Por lo tanto, imagina un rayo que, partiendo de la posición vertical, gira alrededor de su extremo hasta convertirse en horizontal; el rayo ha girado un ángulo $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ y en su movimiento ha cubierto la superficie entre los dos rayos. Idealmente superponiendo las imágenes $C.$ ${\ Displaystyle C}$ $C.$ Y $D.$ ${\ Displaystyle D}$ $D.$ observamos que, como en una brújula , alejándose del centro de rotación cada punto traza un arco más largo en el plano, manteniendo la relación entre la longitud de este último y el radio. Además, si el rayo solo completaba el ángulo $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ la longitud de los arcos producidos sería invariablemente la mitad de la longitud de sus contrapartes en $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ .

Ahora considere una rotación completa que devuelve el rayo a la posición inicial, es decir, un ángulo de máxima amplitud. En este caso, el rayo cubre toda la superficie del plano trazando círculos infinitos; tomar cualquiera de estos y segmentarlo en $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ partes iguales, se puede identificar un número igual de partes planas equivalentes para cada arco, en la práctica una unidad genérica de medida para el ángulo. Por lo tanto, solo entendiendo que la medición del ángulo no se puede realizar cuantificando un área, entendemos que debemos abstraer el concepto de ángulo como parte del plano y en cambio considerarlo cinemáticamente como una porción de la superficie cubierta por un rayo. girando en su extremo. Solo así se puede medir.

Aunque esta noción no es inmediata, debe ser un logro conceptual antiguo, si el sistema para medir ángulos que todavía se usa comúnmente hoy, el sistema sexagesimal , ha llegado hasta nosotros desde la antigua civilización babilónica sin cambios a lo largo de los siglos.

Sistemas de medición de ancho de ángulo

En el sistema sexagesimal, el ángulo completo o ángulo redondo se divide en 360 segmentos, equivalente a la unidad de medida convencional denominada grado sexagesimal , indicada por el símbolo ° . La razón de la división en 360 partes del ángulo redondo se remonta al uso astronómico que los babilonios hicieron de esta medida: dado que el Sol completa una revolución completa en la bóveda celeste en el espacio de un año, en ese momento se estimó aproximadamente a los 360 días, un grado corresponde aproximadamente al desplazamiento del Sol en la eclíptica en un día.

El nombre "grado sexagesimal" deriva del hecho de que las subunidades del grado, el minuto y el segundo , se dividen en sexagésimos; por lo tanto, como en el reloj, cada grado se divide en 60 minutos indicados con el símbolo ' y simplemente se llama minutos, y cada minuto se divide en 60 minutos segundos indicados con el símbolo ' y simplemente se llama segundos. Otras subdivisiones del segundo siguen el sistema decimal común. Esta subdivisión se deriva del hecho de que en la antigua Babilonia estaba de moda un sistema numérico sobre una base sexagesimal , que nos ha llegado como un legado histórico en el reloj y en los goniómetros .

Por lo tanto, la amplitud de un ángulo podría expresarse en una forma como: $57^{\circ }\;17'\;44{,}8''.$ ${\ displaystyle 57 ^ {\ circ} \; 17 '\; 44 {,} 8' '.}$ ${\ displaystyle 57 ^ {\ circ} \; 17 '\; 44 {,} 8' '.}$

Con el tiempo, se han adoptado otros sistemas de medición en un intento de facilitar la medición de la amplitud del ángulo. A fines del siglo XVIII, ni siquiera el sistema sexagesimal escapó a los intentos de racionalización: se propuso un sistema centesimal , basado precisamente en el grado centesimal como centésima parte del ángulo recto, elegido como ángulo fundamental para sustituir 90 por el más redondo y cómodo 100, también si encontró uso práctico sólo alrededor de 1850 cuando Ignazio Porro ^{[1] lo} utilizó para construir sus primeros instrumentos con división centesimal. Con este sistema, el ángulo redondo se divide en 400 segmentos iguales con submúltiplos a fracciones decimales. Sigue siendo una unidad de medida convencional que no está motivada por ninguna razón matemática.

A partir del desarrollo del análisis infinitesimal, otra unidad de medida ganó cada vez más importancia, en algunos aspectos más "motivada" o "natural": el radián , entendido como la relación entre la longitud de un arco de circunferencia y el radio de la circunferencia. sí mismo en cuánto esta relación no depende del radio, sino sólo del ángulo incluido. De esta manera, el ángulo redondo mide 2 π , que es la relación entre la longitud de la circunferencia y su radio.

En resumen, para medir el ancho del ángulo los sistemas de medición más atestiguados son:

el sistema centesimal , con la unidad de medida del grado centesimal ;
el sistema sexagesimal , con unidad de medida el grado sexagesimal ;
el sistema sexadecimal , siendo la unidad de medida el grado sexadecimal . Es una variante del anterior con división del ángulo redondo en 360 partes en las que los submúltiplos de los grados se expresan en forma decimal;
el sistema radiante , o sistema matemático , con la unidad de medida en radianes .
en el campo militar también se utiliza la milésima de radianes , comúnmente denominada "milésima", que se utiliza para determinar las desviaciones y correcciones relativas en los disparos de artillería. En una circunferencia con un radio de un kilómetro equivale a una cuerda de un metro de largo. Por ejemplo, para corregir un disparo a 100 metros a la derecha de un objetivo colocado a una distancia de 10 km, será necesario hacer una corrección de 10 °° (milésimas) de rojo. La escala graduada que se observa dentro de unos prismáticos se expresa en milésimas de radianes, el color rojo significa rotación hacia la izquierda mientras que el color verde significa rotación hacia la derecha.

El primero se utiliza mayoritariamente en un contexto estrictamente topográfico , mientras que los segundos son los más utilizados, el segundo por costumbre el tercero para una mayor simplicidad de los cálculos en fórmulas matemáticas. La relación que une el sistema radiante y el sistema sexagesimal y permite el paso de uno a otro es

{\frac {180^{\circ }}{\alpha }}={\frac {\pi }{x}},

{\ Displaystyle {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ alpha}} = {\ frac {\ pi} {x}},}

{\ Displaystyle {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ alpha}} = {\ frac {\ pi} {x}},}

Dónde está $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ es la medida de la amplitud del ángulo expresada en grados e $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ es la medida expresada en radianes.

Conversiones angulares

Indicando el ancho de un ángulo con:

\alpha ^{\circ }\;p^{\prime }\;s^{\prime \prime }

{\ Displaystyle \ alpha ^ {\ circ} \; p ^ {\ prime} \; s ^ {\ prime \ prime}}

\ alpha ^ \ circ \; p ^ \ prime \; s ^ {\ prime \ prime}

en el sistema sexagesimal , donde

\alpha ,p,s

{\ Displaystyle \ alpha, p, s}

\ alpha, p, s

son grados, minutos y segundos de arco respectivamente (números enteros)

\alpha ^{\circ }

{\ Displaystyle \ alpha ^ {\ circ}}

\ alpha ^ \ circ

en el sistema sexadecimal

\alpha ^{gon}

{\ Displaystyle \ alpha ^ {gon}}

\ alpha ^ {gon}

en el sistema centesimal

\alpha ^{rad}

{\ Displaystyle \ alpha ^ {rad}}

\ alpha ^ {rad}

en el sistema matemático ,

indicando con $Int[\;]$ ${\ Displaystyle Int [\;]}$ $En t [\; ]$ la parte entera de un número real y recordando que la proporción general se mantiene

{\frac {\alpha ^{rad}}{\pi }}={\frac {\alpha ^{\circ }}{180}}={\frac {\alpha ^{gon}}{200}}

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {rad}} {\ pi}} = {\ frac {\ alpha ^ {\ circ}} {180}} = {\ frac {\ alpha ^ {gon}} {200 }}}

\ frac {\ alpha ^ {rad}} {\ pi} = \ frac {\ alpha ^ \ circ} {180} = \ frac {\ alpha ^ {gon}} {200}

Las siguientes fórmulas de conversión se aplican de un sistema de medición a otro

Conversión de $\downarrow \quad$ ${\ Displaystyle \ flecha hacia abajo \ quad}$ $\ flecha abajo \ quad$ para $\longrightarrow$ ${\ Displaystyle \ longrightarrow}$ $\ longrightarrow$	Sexagésimo	Sexadecimal	Centesimal	Matemático
Sexagésimo		$\alpha ^{\circ }\;=\;\alpha +{\frac {p}{60}}+{\frac {s}{3600}}$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {\ circ} \; = \; \ alpha + {\ frac {p} {60}} + {\ frac {s} {3600}}}$ $\ alpha ^ \ circ \; = \; \ alpha + \ frac {p} {60} + \ frac {s} {3600}$	$\alpha ^{gon}={\frac {10}{9}}\alpha ^{\circ }$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {gon} = {\ frac {10} {9}} \ alpha ^ {\ circ}}$ $\ alpha ^ {gon} = \ frac {10} {9} \ alpha ^ \ circ$ Dónde está $\alpha ^{\circ }$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {\ circ}}$ $\ alpha ^ \ circ$ se calcula con la fórmula anterior	$\alpha ^{rad}={\frac {\pi }{180}}\alpha ^{\circ }$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {rad} = {\ frac {\ pi} {180}} \ alpha ^ {\ circ}}$ $\ alpha ^ {rad} = \ frac {\ pi} {180} \ alpha ^ \ circ$ Dónde está $\alpha ^{\circ }$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {\ circ}}$ $\ alpha ^ \ circ$ se calcula con la fórmula anterior
Sexadecimal	$\alpha =Int[\alpha ^{\circ }]$ ${\ Displaystyle \ alpha = Int [\ alpha ^ {\ circ}]}$ $\ alpha = Int [\ alpha ^ \ circ]$ $p=Int[(\alpha ^{\circ }-\alpha )\cdot 60]$ ${\ Displaystyle p = Int [(\ alpha ^ {\ circ} - \ alpha) \ cdot 60]}$ $p = Int [(\ alpha ^ \ circ- \ alpha) \ cdot 60]$ $s=(((\alpha ^{\circ }-\alpha )\cdot 60)-p)\cdot 60$ ${\ Displaystyle s = (((\ alpha ^ {\ circ} - \ alpha) \ cdot 60) -p) \ cdot 60}$ $s = (((\ alpha ^ \ circ- \ alpha) \ cdot 60) -p) \ cdot 60$		$\alpha ^{gon}={\frac {10}{9}}\alpha ^{\circ }$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {gon} = {\ frac {10} {9}} \ alpha ^ {\ circ}}$ $\ alpha ^ {gon} = \ frac {10} {9} \ alpha ^ \ circ$	$\alpha ^{rad}={\frac {\pi }{180}}\alpha ^{\circ }$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {rad} = {\ frac {\ pi} {180}} \ alpha ^ {\ circ}}$ $\ alpha ^ {rad} = \ frac {\ pi} {180} \ alpha ^ \ circ$
Centesimal	$\alpha ^{\circ }={\frac {9}{10}}\alpha ^{gon}$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {\ circ} = {\ frac {9} {10}} \ alpha ^ {gon}}$ $\ alpha ^ \ circ = \ frac {9} {10} \ alpha ^ {gon}$ luego se aplican las fórmulas anteriores para la conversión de sexadecimal a sexagesimal	$\alpha ^{\circ }={\frac {9}{10}}\alpha ^{gon}$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {\ circ} = {\ frac {9} {10}} \ alpha ^ {gon}}$ $\ alpha ^ \ circ = \ frac {9} {10} \ alpha ^ {gon}$		$\alpha ^{rad}={\frac {\pi }{200}}\alpha ^{gon}$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {rad} = {\ frac {\ pi} {200}} \ alpha ^ {gon}}$ $\ alpha ^ {rad} = \ frac {\ pi} {200} \ alpha ^ {gon}$
Matemático	$\alpha ^{\circ }={\frac {180}{\pi }}\alpha ^{rad}$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {\ circ} = {\ frac {180} {\ pi}} \ alpha ^ {rad}}$ $\ alpha ^ \ circ = \ frac {180} {\ pi} \ alpha ^ {rad}$ luego se aplican las fórmulas anteriores para la conversión de sexadecimal a sexagesimal	$\alpha ^{\circ }={\frac {180}{\pi }}\alpha ^{rad}$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {\ circ} = {\ frac {180} {\ pi}} \ alpha ^ {rad}}$ $\ alpha ^ \ circ = \ frac {180} {\ pi} \ alpha ^ {rad}$	$\alpha ^{gon}={\frac {200}{\pi }}\alpha ^{rad}$ ${\ Displaystyle \ alpha ^ {gon} = {\ frac {200} {\ pi}} \ alpha ^ {rad}}$ $\ alpha ^ {gon} = \ frac {200} {\ pi} \ alpha ^ {rad}$

Amplitudes de ángulos particulares

El mismo tema en detalle: Ángulo agudo , Ángulo obtuso , Ángulo recto, Ángulo plano y Ángulo redondo .

Un ángulo agudo tiene menos amplitud que el de un ángulo recto, es decir

0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }(\pi /2).

{\ displaystyle 0 ^ {\ circ} <\ alpha <90 ^ {\ circ} (\ pi / 2).}

{\ displaystyle 0 ^ {\ circ} <\ alpha <90 ^ {\ circ} (\ pi / 2).}

Un ángulo recto tiene el ancho igual a un cuarto del ancho de un ángulo redondo, es decir

\alpha =90^{\circ }(\pi /2).

{\ Displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ} (\ pi / 2).}

{\ Displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ} (\ pi / 2).}

Un ángulo obtuso tiene la amplitud entre los de un ángulo recto y un ángulo plano, es decir

90^{\circ }(\pi /2)<\alpha <180^{\circ }(\pi ).

{\ displaystyle 90 ^ {\ circ} (\ pi / 2) <\ alpha <180 ^ {\ circ} (\ pi).}

{\ displaystyle 90 ^ {\ circ} (\ pi / 2) <\ alpha <180 ^ {\ circ} (\ pi).}

Un ángulo plano tiene un ancho igual a la mitad de un ángulo redondo, es decir

\alpha =180^{\circ }(\pi ).

{\ Displaystyle \ alpha = 180 ^ {\ circ} (\ pi).}

{\ Displaystyle \ alpha = 180 ^ {\ circ} (\ pi).}

Un ángulo redondo tiene un ancho igual a

\alpha =360^{\circ }(2\pi )

{\ Displaystyle \ alpha = 360 ^ {\ circ} (2 \ pi)}

\ alpha = 360 ^ \ circ (2 \ pi)

y corresponde a una rotación completa de un rayo alrededor de su extremo.

Una esquina cóncava tiene un ancho mayor que la de una esquina plana, $\alpha >180^{\circ }.$ ${\ Displaystyle \ alpha> 180 ^ {\ circ}.}$ ${\ Displaystyle \ alpha> 180 ^ {\ circ}.}$
Un ángulo convexo tiene un ancho menor que el de un ángulo plano, $\alpha <180^{\circ }.$ ${\ Displaystyle \ alpha <180 ^ {\ circ}.}$ ${\ Displaystyle \ alpha <180 ^ {\ circ}.}$

Ángulos complementarios

En la nomenclatura de ángulos de amplitud entre 0 y $360^{\circ }$ ${\ displaystyle 360 ^ {\ circ}}$ $360 ^ \ circ$ se acostumbra utilizar adjetivos particulares para los ángulos asociados con un ángulo dado como sus "ángulos complementarios" con respecto a los ángulos fundamentales rectos, planos y redondos.

Se dice que es complementario a un ángulo de amplitud. $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ cada ángulo tiene como amplitud la $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ "faltante" para obtener un ángulo recto, es decir, tal que sea $\beta =90^{\circ }-\alpha$ ${\ Displaystyle \ beta = 90 ^ {\ circ} - \ alpha}$ $\ beta = 90 ^ \ circ - \ alpha$ . De esta definición se deduce que dos ángulos complementarios deben ser ambos agudos y que tiene sentido atribuir un complementario solo a un ángulo agudo.

Se dice que complementa un ángulo de amplitud. $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ cada ángulo tiene como amplitud la $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ "faltante" para obtener un ángulo plano, es decir, tal que sea $\beta =180^{\circ }-\alpha$ ${\ Displaystyle \ beta = 180 ^ {\ circ} - \ alpha}$ $\ beta = 180 ^ \ circ - \ alpha$ . De esta definición se deduce que todo suplemento de un ángulo agudo es un ángulo obtuso y viceversa, mientras que todo suplemento de un ángulo recto es también un ángulo recto. Cuando dos ángulos adicionales también son consecutivos , es decir, tienen un solo rayo en común, también se denominan ángulos adyacentes .

Se dice que ejemplifica un ángulo de amplitud $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ cada ángulo tiene como amplitud la $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ "faltante" para obtener un ángulo redondo, es decir, tal que sea $\beta =360^{\circ }-\alpha$ ${\ Displaystyle \ beta = 360 ^ {\ circ} - \ alpha}$ $\ beta = 360 ^ \ circ - \ alpha$ . De ello se deduce que cada ejemplar de un ángulo cóncavo es un ángulo convexo y viceversa, mientras que cada ejemplar de un ángulo plano también es plano.

Ángulos opuestos al vértice

Dos líneas que se cruzan dividen el plano en cuatro ángulos; considerado cualquiera de estos ángulos: dos de los otros son adyacentes a él, mientras que el tercero, con el que comparte solo el vértice, se denomina esquina opuesta al vértice . Dos ángulos son opuestos entre sí en el vértice si las extensiones de los lados de uno resultan ser los lados del otro.

Teorema de los ángulos opuestos del vértice

Dos ángulos opuestos en el vértice son siempre congruentes.

Demostración

Por definición, dos ángulos adyacentes son equivalentes a un ángulo plano, por lo que las siguientes igualdades se mantienen

\alpha +\beta =180^{\circ }\qquad \beta +\gamma =180^{\circ }

{\ Displaystyle \ alpha + \ beta = 180 ^ {\ circ} \ qquad \ beta + \ gamma = 180 ^ {\ circ}}

\ alpha + \ beta = 180 ^ \ circ \ qquad \ beta + \ gamma = 180 ^ \ circ

a partir del cual

\alpha +\beta =\beta +\gamma

{\ Displaystyle \ alpha + \ beta = \ beta + \ gamma}

\ alpha + \ beta = \ beta + \ gamma

\alpha =\gamma

{\ Displaystyle \ alpha = \ gamma}

\ alpha = \ gamma

cvd .

Los ángulos de los pares (α, β) , (β, γ) , (γ, δ) y (α, δ) son adyacentes.

En cambio, los ángulos de los pares (α, γ) y (β, δ) son opuestos al vértice.

Ángulos formados por líneas cortadas por una transversal

Cuando en el avión dos líneas distintas $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ Y $s$ ${\ Displaystyle s}$ $s$ están cortados por una transversal $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ (incidente tanto un $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ que una $s$ ${\ Displaystyle s}$ $s$ ), se originan ocho ángulos, cada uno de los cuales se coloca en relación con los que no tienen el mismo vértice.

Intersección de líneas de strasversale.png

Con referencia a los dos semiplanos separados por la transversal $t,$ ${\ Displaystyle t,}$ ${\ Displaystyle t,}$ dos ángulos con vértices distintos dispuestos en el mismo semiplano se definen como conjugados . Comparado con las lineas $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ Y $s,$ ${\ Displaystyle s,}$ ${\ Displaystyle s,}$ en cambio, dos ángulos con vértices distintos que no intersecan la línea en la que se encuentra un lado de la otra esquina se definen como externos , mientras que dos ángulos con vértices distintos que intersecan la línea en la que se encuentra un lado de la otra esquina se consideran internos . Dos ángulos conjugados también se definen como correspondientes, de modo que un lado de uno de los dos ángulos está contenido en un lado de la otra esquina. Con referencia a la figura hay el siguiente ejemplo.

Los pares corresponden:

\alpha ,\alpha ';\quad \beta ,\beta ';\quad \gamma ,\gamma ';\quad \delta ,\delta '.

{\ Displaystyle \ alpha, \ alpha '; \ quad \ beta, \ beta'; \ quad \ gamma, \ gamma '; \ quad \ delta, \ delta'.}

{\ Displaystyle \ alpha, \ alpha '; \ quad \ beta, \ beta'; \ quad \ gamma, \ gamma '; \ quad \ delta, \ delta'.}

Las parejas son conjugados internos:

\beta ,\alpha ';\quad \gamma ,\delta '.

{\ Displaystyle \ beta, \ alpha '; \ quad \ gamma, \ delta'.}

{\ Displaystyle \ beta, \ alpha '; \ quad \ gamma, \ delta'.}

Las parejas son conjugados externos:

\alpha ,\beta ';\quad \delta ,\gamma '.

{\ Displaystyle \ alpha, \ beta '; \ quad \ delta, \ gamma'.}

{\ Displaystyle \ alpha, \ beta '; \ quad \ delta, \ gamma'.}

Los pares son alternativas internas:

\beta ,\delta ';\quad \gamma ,\alpha '.

{\ Displaystyle \ beta, \ delta '; \ quad \ gamma, \ alpha'.}

{\ Displaystyle \ beta, \ delta '; \ quad \ gamma, \ alpha'.}

Los pares son alternativas externas:

\alpha ,\gamma ';\quad \delta ,\beta '.

{\ Displaystyle \ alpha, \ gamma '; \ quad \ delta, \ beta'.}

{\ Displaystyle \ alpha, \ gamma '; \ quad \ delta, \ beta'.}

En caso de que las dos líneas rectas $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ Y $s$ ${\ Displaystyle s}$ $s$ los ángulos correspondientes son paralelos y los ángulos alternos, del mismo tipo, son congruentes. En cambio, los ángulos conjugados, también del mismo tipo, son suplementarios .

Suma de los ángulos internos

En geometría euclidiana, la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre 180 grados. De manera más general, dada cualquier figura geométrica convexa de $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ lados, la suma de todos sus ángulos internos es igual a $(n-2)\times 180$ ${\ Displaystyle (n-2) \ times 180}$ $(n-2) \ times 180$ grados. Entonces, por ejemplo, la suma total de todos los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a $(4-2)\times 180=2\times 180=360$ ${\ Displaystyle (4-2) \ times 180 = 2 \ times 180 = 360}$ $(4-2) \ times 180 = 2 \ times 180 = 360$ grados. Un caso especial lo da el cuadrado, que tiene cuatro ángulos rectos, cuya suma es de hecho 360 grados. De manera similar, la suma de todos los ángulos internos de un pentágono, regular o no, es igual a 540 grados.

En otras geometrías , llamadas geometrías no euclidianas , la suma de los ángulos internos de un triángulo puede asumir tanto mayor como menor que 180 grados.

Esquinas con signo

Numerosos problemas llevan a ampliar la noción de ángulo para tener una entidad a la que podamos atribuir una amplitud dada por un número real y por tanto también superior a 360 grados y negativa. Para ello es necesario abandonar la asociación ángulo-subconjunto del plano. Se dice que una esquina $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ es mayor que un ángulo $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ cuando una parte de la esquina $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ es congruente con el ángulo $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ . Una esquina convexa o cóncava se puede describir cinemáticamente como la parte del plano "barrida" por un rayo móvil que gira mientras mantiene fijo su extremo; este es el vértice del ángulo y las posiciones inicial y final del rayo son los lados del ángulo. Esta descripción lleva a distinguir dos direcciones del movimiento giratorio. Si definisce verso negativo o verso orario il verso della rotazione che, osservata dal di sopra del piano, corrisponde al movimento delle lancette di un orologio tradizionale; si definisce verso positivo o verso antiorario il verso opposto (ad esempio $-135^{\circ }\;=-{\frac {3}{4}}\pi =225^{\circ }\;={\frac {5}{4}}\pi$ $-135^{\circ }\;=-{\frac {3}{4}}\pi =225^{\circ }\;={\frac {5}{4}}\pi$ $-135^\circ\;=-\frac{3}{4}\pi=225^\circ\;=\frac{5}{4}\pi$ ).

Per sviluppare considerazioni quantitative si considera una circonferenza $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ il cui centro ha il ruolo del vertice $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ per gli angoli che si prendono in considerazione. Il raggio $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ di questa circonferenza può essere scelto ad arbitrio e talora risulta comodo avere $r=1$ ${\displaystyle r=1}$ $r=1$ ; quando si riferisce il piano a una coppia di assi cartesiani risulta comodo porre il vertice degli angoli nell'origine, in modo che la circonferenza corrisponda all'equazione $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ .

Ogni angolo di vertice $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ determina un arco sulla circonferenza. Si consideri ora un movimento di una semiretta con estremo in $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ in un verso o nell'altro da una posizione iniziale $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ fino a una posizione finale $T$ ${\displaystyle T}$ $T$ : esso determina sulla $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ un arco orientato che ha come estremo iniziale il punto in cui $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ viene intersecata dalla $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ e come estremo finale il punto in cui viene intersecato dalla $T$ ${\displaystyle T}$ $T$ . Si può pensare l'arco orientato come se fosse "tracciato" dalla penna di un compasso avente l'altro braccio nel punto $V .$ ${\displaystyle V.}$ $V.$ Gli archi orientati con verso positivo si possono chiamare semplicemente archi (di circonferenza) positivi, quelli con verso negativo archi negativi.

Si può estendere la nozione di arco orientato pensando che il compasso possa compiere più di un giro, in verso positivo o negativo.

Si possono identificare gli angoli convessi con gli angoli relativi agli archi positivi interamente contenuti in una semicirconferenza; gli angoli concavi con gli archi positivi che contengono una semicirconferenza e sono contenuti in una circonferenza.

A questo punto si possono definire come angoli con segno di vertice $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ le entità che generalizzano gli angoli convessi e concavi con vertice in $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ e sono associate biunivocamente agli archi orientati sulla circonferenza $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ .

Gli angoli con segno possono essere sommati senza le restrizioni degli angoli associati a parti di piano e gli archi relativi risultano essere giustapposti; angolo opposto a un angolo dato corrisponde all'arco considerato con il verso opposto. Di conseguenza agli angoli con segno si attribuisce un'ampiezza rappresentata da un numero reale tale che alla somma di due angoli con segno corrisponda la somma algebrica delle ampiezze.

A questo punto si è indotti naturalmente ad associare all'ampiezza di un angolo con segno la lunghezza con segno del corrispondente arco. Questo richiede di precisare cosa si intenda per lunghezza di un arco e più in particolare richiede di definire la lunghezza di una circonferenza

Le considerazioni sulla rettificazione di una circonferenza portano alla definizione del numero $\pi$ $\pi$ $\pi$ e, sul piano computazionale, alle valutazioni del suo valore.

Angoli solidi

Lo stesso argomento in dettaglio: Angolo solido .

Un angolo solido è un'estensione allo spazio tridimensionale del concetto di angolo.

Note

^ Strumenti navali Archiviato il 9 giugno 2006 in Internet Archive .

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

( EN ) Angolo , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) IUPAC Gold Book, "angle" , su goldbook.iupac.org .

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[1] lo