Sistema de referencia cartesiano

Representación de algunos puntos en el plano cartesiano

En matemáticas , un sistema de referencia cartesiano es un sistema de referencia formado por $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ líneas ortogonales , ^[1] todas intersectadas en un punto llamado origen , en cada una de las cuales se fija una orientación (por lo tanto, son líneas orientadas ) y para las cuales una unidad de medida también es fija (es decir, una métrica usualmente euclidiana es fija) que permite identificar cualquier punto del todo mediante $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ números reales . En este caso, se dice que los puntos de este conjunto están en un espacio de dimensión $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ .

Un marco de referencia cartesiano en dos dimensiones se llama plano cartesiano.

Se suele utilizar un sistema de referencia cartesiano tridimensional para identificar la posición de los puntos en el espacio físico . Sin embargo, otros sistemas de referencia no necesariamente cartesianos y un número diferente de dimensiones, llamados grados de libertad en este contexto, se utilizan para describir la posición de objetos más complicados.

Utilizando un sistema de referencia cartesiano, es posible describir formas geométricas como curvas o superficies mediante ecuaciones algebraicas: los puntos del objeto geométrico son los que satisfacen la ecuación asociada. Por ejemplo, es posible describir una circunferencia en el plano cartesiano o una cuadrática en el espacio tridimensional.

Historia

El uso de coordenadas geométricas fue introducido por primera vez por Nicola d'Oresme , un matemático del siglo XIV que trabajaba en París ^[2] . El adjetivo cartesiano hace referencia al matemático y filósofo francés René Descartes (latinizado en Renatus Cartesius , italianizado en Renato Descartes ), quien, entre otras cosas, retomando los estudios de Nicola d'Oresme, trabajó en la fusión del álgebra con la geometría euclidiana . Estos estudios influyeron en el desarrollo de la geometría analítica , el cálculo y la cartografía .

La idea de este sistema de referencia se desarrolló en 1637 en dos escritos de Descartes e independientemente por Pierre de Fermat , aunque Fermat no publicó su descubrimiento ^[3] . En la segunda parte de su Discurso sobre el método , Descartes introduce la nueva idea de especificar la posición de un punto u objeto en una superficie utilizando dos líneas que se cruzan en un punto como instrumentos de medición, idea recogida en La Geometria ^{[4 ]} .

plano cartesiano

Un sistema de coordenadas cartesiano bidimensional ortogonal se llama simplemente plano cartesiano y consta de:

el eje de abscisas constituye la línea de referencia, que Oresme llamó longitudo , (generalmente caracterizado por la letra $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ );
el eje de ordenadas constituye la línea recta ortogonal a la línea de referencia, que Oresme llamó latitudo , (generalmente caracterizado por la letra $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ );
el origen, el punto donde las dos líneas se encuentran.

El plano cartesiano, que a menudo se llama $X y$ ${\ Displaystyle xy}$ $xy$ del nombre de los ejes, se puede imaginar, pensando que el plano está sumergido horizontalmente en el espacio físico (piso), y parado en un punto con el brazo izquierdo estirado hacia adelante y el brazo derecho estirado hacia el lado para formar con los dos brazos un ángulo recto: el punto en el que se representa el origen, la dirección del brazo derecho representa el eje de las abscisas positivas (en el lado opuesto las abscisas negativas), la dirección del brazo izquierdo representa el eje de la ordenadas positivas (detrás de las órdenes negativas).

La ecuacion

x^{2}+y^{2}=4

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 4}

x ^ {2} + y ^ {2} = 4

representado en el plan

X y

{\ Displaystyle xy}

xy

representa un círculo de radio

2

{\ Displaystyle 2}

2

y centrado en el origen.

El sistema formado por el par de los dos ejes orientados (e implícitamente desde el origen) permite identificar cada punto del plano con un par de números reales denominados respectivamente abscisa y ordenada del punto, cuyos valores absolutos representan las distancias de el punto respectivamente desde el eje $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ (ordenada) y desde el eje $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ (abscisa). Las coordenadas de un punto genérico del plano o de un punto que se piensa que es variable a menudo se denotan por $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Y $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ . Los puntos en el eje $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ luego ordenaron $y=0$ ${\ Displaystyle y = 0}$ $y = 0$ , mientras que los puntos en el eje $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ tener abscisas $x=0$ ${\ Displaystyle x = 0}$ $x = 0$ ; en consecuencia, el origen tiene coordenadas $x=0$ ${\ Displaystyle x = 0}$ $x = 0$ Y $y=0$ ${\ Displaystyle y = 0}$ $y = 0$ . A veces, el sistema de los dos ejes se denota por $O X y$ ${\ Displaystyle Oxy}$ $Oxy$ .

Por tanto, un punto genérico puede expresarse escribiendo $\left(x;y\right)$ ${\ Displaystyle \ left (x; y \ right)}$ $\ left (x; y \ right)$ o $\langle x;y\rangle$ ${\ Displaystyle \ langle x; y \ rangle}$ $\ langle x; y \ rangle$ . Por ejemplo, los puntos $(2;3)$ ${\ Displaystyle (2; 3)}$ ${\ Displaystyle (2; 3)}$ Y $(2;5)$ ${\ Displaystyle (2; 5)}$ ${\ Displaystyle (2; 5)}$ tienen la misma abscisa (por lo tanto, están en una línea paralela al eje $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ ), mientras que los puntos $(2;3)$ ${\ Displaystyle (2; 3)}$ ${\ Displaystyle (2; 3)}$ Y $(-1;3)$ ${\ Displaystyle (-1; 3)}$ ${\ Displaystyle (-1; 3)}$ tienen la misma ordenada (por lo tanto, están en una línea paralela al eje $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ ). En particular: si dos puntos tienen la misma abscisa pero ordenadas opuestas, son simétricos con respecto al eje $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ ; si dos puntos tienen la misma ordenada pero abscisas opuestas, ya que son simétricos con respecto al eje $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ ; si dos puntos tienen coordenadas opuestas, son simétricos con respecto al origen.

El plano cartesiano se divide en cuatro regiones llamadas cuadrantes , indicadas por números romanos progresivos en sentido antihorario:

Cuadrante I: incluye puntos con abscisas y ordenadas positivas;
Cuadrante II: incluye puntos con abscisas negativas y ordenadas positivas;
Cuadrante III: incluye puntos con abscisas y ordenadas negativas;
4º cuadrante: incluye puntos con abscisas positivas y ordenadas negativas.

El plano cartesiano le permite representar gráficamente funciones de ecuación $y=f(x)$ ${\ Displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ en el cual $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ es la variable independiente e $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ la variable dependiente. Esto le permite visualizar la "forma" de funciones (o curvas) y resolver gráficamente sistemas de ecuaciones múltiples como intersecciones entre las curvas correspondientes.

El plano cartesiano como espacio vectorial

Por definición, existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano cartesiano y los pares ordenados de números reales. El conjunto de todos los pares de números reales, $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ es un $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ - espacio vectorial . La base canónica de $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ Y $E=\left(E_{1},E_{2}\right)$ ${\ Displaystyle E = \ left (E_ {1}, E_ {2} \ right)}$ $E = \ izquierda (E_ {1}, E_ {2} \ derecha)$ dónde $E_{1}=\left(1,0\right)$ ${\ Displaystyle E_ {1} = \ left (1,0 \ right)}$ $E_ {1} = \ left (1,0 \ right)$ y $E_{2}=\left(0,1\right)$ ${\ Displaystyle E_ {2} = \ left (0,1 \ right)}$ $E_ {2} = \ izquierda (0,1 \ derecha)$ . Los elementos de $Y$ ${\ Displaystyle E}$ $Y$ tienen un significado geométrico importante: son los versadores fundamentales en el plano, respectivamente ${\vec {\imath }}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ imath}}}$ ${\ vec {\ imath}}$ Y ${\vec {\jmath }}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ jmath}}}$ ${\ vec {\ jmath}}$ . Esto significa, por la definición muy básica de un espacio vectorial, que el plano cartesiano es generado por los versores fundamentales y que cada punto del plano puede expresarse, de una manera única , como una combinación lineal de los versadores fundamentales (esto justifica la expresión de puntos del plano cartesiano). También tenga en cuenta que cada eje cartesiano es un subespacio vectorial del plano cartesiano.

Generalización tridimensional

El primer octante de un sistema de referencia cartesiano tridimensional, con el eje

X

{\ Displaystyle x}

X

apuntando hacia el espectador ("sale" de la pantalla). Se resaltan las proyecciones del punto sobre el eje

z

{\ Displaystyle z}

z

, en el avión

X y

{\ Displaystyle xy}

xy

y las posteriores proyecciones sobre los dos ejes

X

{\ Displaystyle x}

X

Y

y

{\ Displaystyle y}

y

.

Añadiendo una tercera dimensión al plano obtenemos el espacio euclidiano tridimensional, que es el modelado del espacio físico más familiar para nosotros y el que se utiliza en la mecánica clásica : por tanto, un sistema de ejes cartesianos se puede utilizar como sistema de referencia. para localizar objetos en el espacio, dándole coordenadas.

Al ser una generalización directa del plano cartesiano, un sistema de referencia cartesiano tridimensional está formado por tres líneas orientadas perpendiculares entre sí e incidentes en un punto, llamado origen de los ejes. Los tres ases (normalmente llamados $x,\;y$ ${\ Displaystyle x, \; y}$ ${\ Displaystyle x, \; y}$ Y $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ ) identificar tres planos en el espacio ( $X y$ ${\ Displaystyle xy}$ $xy$ , $X z$ ${\ displaystyle xz}$ ${\ displaystyle xz}$ Y $y z$ ${\ Displaystyle yz}$ ${\ Displaystyle yz}$ ), que dividen el espacio en ocho octantes , similar a los cuatro cuadrantes formados por los ejes cartesianos en dos dimensiones. Cada punto está identificado por 3 coordenadas, cada una de las cuales representa la distancia del punto al plano formado por los otros dos.

Como en el caso del plano, cada punto del espacio tridimensional puede ser identificado por un vector en el espacio tridimensional (indicado como $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ ) y se expresa como una combinación lineal de las tres unidades básicas del vector , indicadas convencionalmente con ${\hat {\imath }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ imath}}}$ ${\ hat {\ imath}}$ , ${\hat {\jmath }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ jmath}}}$ ${\ hat {\ jmath}}$ Y ${\hat {k}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {k}}}$ ${\ hat {k}}$ :

{\vec {v}}=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} = x {\ hat {\ imath}} + y {\ hat {\ jmath}} + z {\ hat {k}}}

{\ vec {v}} = x {\ hat {\ imath}} + y {\ hat {\ jmath}} + z {\ hat {k}}

Dónde está $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ Y $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ representan las coordenadas en el punto del sistema de referencia formado por la base $({\hat {\imath }},{\hat {\jmath }},{\hat {k}}\,\!)$ ${\ Displaystyle ({\ hat {\ imath}}, {\ hat {\ jmath}}, {\ hat {k}} \, \!)}$ $({\ hat {\ imath}}, {\ hat {\ jmath}}, {\ hat {k}} \, \!)$ .

Geometría analítica

El plano cartesiano (y más generalmente el sistema de referencia cartesiano un $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ dimensiones) permitieron conciliar la geometría y el álgebra en una sola rama de las matemáticas : la geometría analítica (llamada así por el análisis matemático ). Por ejemplo, en el plano cartesiano una línea recta representa las soluciones de una ecuación de primer grado en dos variables $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Y $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ del tipo $ax+by+c=0$ ${\ Displaystyle ax + by + c = 0}$ $ax + por + c = 0$ ; la intersección de dos (o más) líneas representa un sistema de ecuaciones lineales.

Forma explícita y forma implícita

Las ecuaciones mencionadas anteriormente se pueden expresar de dos formas: la forma explícita y la forma implícita.

Por ejemplo, en el caso de una línea recta, la primera consiste en una ecuación del tipo $y=mx+q$ ${\ Displaystyle y = mx + q}$ ${\ Displaystyle y = mx + q}$ , mientras que el segundo parece $ax+by+c=0$ ${\ Displaystyle ax + by + c = 0}$ $ax + por + c = 0$ . Para pasar de la forma implícita a la explícita, solo traiga todos los términos excluidos $B y$ ${\ displaystyle de}$ ${\ displaystyle de}$ en el segundo miembro y luego dividir por b ( principio de equivalencia de ecuaciones ). Tenga en cuenta que, en la forma explícita, el término se conoce $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ , llamado intersección u ordenada en el origen, indica la ordenada del punto de intersección de la línea con el eje $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ , mientras que el coeficiente de lo desconocido $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ , $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ , se llama coeficiente angular e indica la "pendiente" de la línea recta . Por supuesto, la transición de la forma implícita a la explícita solo es posible si el coeficiente $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ es diferente de cero, es decir, solo si la línea no es paralela al eje de ordenadas.

La ecuación de la recta

El mismo tema en detalle: Línea en el plano cartesiano .

Dados dos puntos distintos $A=(x_{1},y_{1})$ ${\ Displaystyle A = (x_ {1}, y_ {1})}$ ${\ Displaystyle A = (x_ {1}, y_ {1})}$ Y $B=(x_{2},y_{2})$ ${\ Displaystyle B = (x_ {2}, y_ {2})}$ ${\ Displaystyle B = (x_ {2}, y_ {2})}$ , la ecuación de la recta que pasa por esos puntos es: ${\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {x-x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {y-y_ {1}} {y_ {2} -y_ {1}}} }$ ${\ Displaystyle {\ frac {x-x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {y-y_ {1}} {y_ {2} -y_ {1}}} }$ también llamado $y=mx+q$ ${\ Displaystyle y = mx + q}$ ${\ Displaystyle y = mx + q}$ Dónde está $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ es el coeficiente angular dado por ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$ .

Nota

^ En general, las líneas rectas no necesitan ser ortogonales entre sí, pero los sistemas ortogonales son en general mucho más fáciles de usar.
^ Ludovico Geymonat, Historia del pensamiento científico y filosófico , Milán, Aldo Garzanti, 1970-1971.
^ "geometría analítica". Encyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica Online), 2008. Consultado el 2 de agosto de 2008.
↑ ( FR ) Descartes, René, La Géométrie , p. Livre Premier: Des problèmes qu'on peut construire sans y Employer que des cercles et des lignes droites (Libro uno: Problemas cuya construcción requiere sólo círculos y líneas rectas).

Bibliografía

(EN) David A. Brennan, Matthew F. Esplen y Jeremy J. Gray, Geometry, Cambridge, Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-59787-0 .
( EN ) James R. Smart, Geometrías modernas (5.a edición) , Pacific Grove, Brooks / Cole, 1998, ISBN 0-534-35188-3 .
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( EL ) Sauer R, Szabó I, Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs , Nueva York, Springer Verlag, 1967, LCCN 67-25285 .

Otros proyectos

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enlaces externos

( ES ) Construcción de objetos de geometría analítica , en mygeometryteacher.com . Consultado el 3 de marzo de 2008 (archivado desde el original el 15 de septiembre de 2017) .

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[1] En general, las líneas rectas no necesitan ser ortogonales entre sí, pero los sistemas ortogonales son en general mucho más fáciles de usar.

[2] Ludovico Geymonat, Historia del pensamiento científico y filosófico , Milán, Aldo Garzanti, 1970-1971.

[3] "geometría analítica". Encyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica Online), 2008. Consultado el 2 de agosto de 2008.

[4] ( FR ) Descartes, René, La Géométrie , p. Livre Premier: Des problèmes qu'on peut construire sans y Employer que des cercles et des lignes droites (Libro uno: Problemas cuya construcción requiere sólo círculos y líneas rectas).

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