Acción (física)

En física , en particular en la mecánica hamiltoniana y lagrangiana , la acción es una cantidad que caracteriza en general el estado y evolución de un sistema , permitiendo estudiar su movimiento. Es una cantidad escalar con las dimensiones de una energía por un tiempo y se define matemáticamente como un funcional que actúa sobre el espacio de fase y devuelve números reales .

Si consideramos una acción que es local , debe definirse mediante una integral . En general, el espacio de fase no tiene que ser necesariamente un espacio funcional , ya que se pueden tratar objetos como geometrías no conmutativas .

Es una herramienta utilizada en mecánica clásica , electromagnetismo , mecánica relativista y mecánica cuántica .

Historia

El concepto de acción fue introducido por Maupertuis para sistemas escleronómicos en 1746 . Según su definición, en un sistema de $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ coordenadas genéricas $q_{i}$ ${\ Displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , es decir, la integral de la energía cinética $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ en dos momentos $t_{1}$ ${\ Displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Y $t_{2}$ ${\ Displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ la evolución temporal del sistema:

{\mathcal {P}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}2\cdot T(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\ \mathrm {d} t

{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} 2 \ cdot T (\ mathbf {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q} }} (t), t) \ \ mathrm {d} t}

{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} 2 \ cdot T (\ mathbf {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q} }} (t), t) \ \ mathrm {d} t}

,

Esta cantidad se denomina acción reducida ya que es funcional aplicada a la ruta seguida por un sistema físico que no considera la dependencia del parámetro de tiempo. $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ . En sistemas escleronómicos, la energía cinética es igual a la mitad de la integral de Hamilton , por lo tanto, la acción reducida se puede expresar como una integral de trayectoria:

{\mathcal {P}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} \ \mathrm {d} t=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q}

{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {\ dot {q}} \ \ mathrm {d} t = \ int _ {q_ {1}} ^ {q_ {2}} \ mathbf {p} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {q}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {\ dot {q}} \ \ mathrm {d} t = \ int _ {q_ {1}} ^ {q_ {2}} \ mathbf {p} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {q}}

Dónde está $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ es el impulso generalizado . El principio de Maupertuis establece que a lo largo de la trayectoria real que sigue el sistema, esta función es estacionaria.

Euler, en sus Reflexiones sobre algunas leyes generales de la naturaleza de 1748, define el esfuerzo como lo opuesto a la integral de la energía potencial:

{\mathcal {E}}=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}U(\mathbf {q} (t),t)\ \mathrm {d} t

{\ Displaystyle {\ mathcal {E}} = - \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} U (\ mathbf {q} (t), t) \ \ mathrm {d} t}

{\ Displaystyle {\ mathcal {E}} = - \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} U (\ mathbf {q} (t), t) \ \ mathrm {d} t}

Hamilton, a la luz del reciente tratamiento lagrangiano de la mecánica analítica , unificó las dos definiciones anteriores en una más general que tuvo en cuenta ambas contribuciones, y que llevó a las mismas conclusiones que la mecánica newtoniana . Definió la acción de la siguiente manera:

{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {P}}+{\mathcal {E}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ frac {1} {2}} {\ mathcal {P}} + {\ mathcal {E}}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ frac {1} {2}} {\ mathcal {P}} + {\ mathcal {E}}}

.

Definición

En física, existen varias definiciones de acción. ^[1] ^[2] Por lo general, se hace que una integral con respecto al tiempo y posiblemente con respecto a un conjunto de variables espaciales se corresponda con la acción, y en ocasiones la integral se lleva a cabo a lo largo de la curva recorrida por el sistema considerado en el espacio de configuración. . En la mecánica lagrangiana y hamiltoniana se suele definir como la integral de tiempo de una función característica del sistema mecánico considerado, la lagrangiana , evaluada entre los instantes inicial y final de la evolución temporal del sistema entre dos posiciones.

La principal motivación para definir el concepto de acción reside en el principio variacional de Hamilton , ^[3] según el cual todo sistema mecánico se caracteriza por el hecho de que su evolución temporal entre dos posiciones en el espacio minimiza la acción . En el contexto del cálculo de variaciones, esta afirmación se expresa diciendo que la evolución temporal de un sistema físico entre dos instantes del espacio de fase es un punto estacionario de acción, generalmente un punto mínimo, para pequeñas perturbaciones de la trayectoria recorrida. El principio variacional permite de esta manera reformular las ecuaciones de movimiento, generalmente ecuaciones diferenciales , a través de una ecuación integral equivalente.

Si la accion ${\mathcal {S}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ se puede expresar a través de un operador integral en el tiempo entre los instantes inicial y final de la evolución del sistema, tenemos: ^[2]

{\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\ \mathrm {d} t

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \ \ mathrm {d} t}

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \ \ mathrm {d} t}

donde el integrador ${\mathcal {L}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal L}$ es el lagrangiano. La acción es del tamaño de una energía por tiempo y, por lo tanto, se mide en julios • segundo .

En un contexto más formal, considere una variedad diferenciable n- dimensional $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ , una variedad llamada "objetivo" $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ y sea ${\mathcal {C}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ el espacio de configuración de funciones suaves de $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ para $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ . En la mecánica clásica , por ejemplo, $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ es la variedad unidimensional $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ que representa el tiempo, y el espacio objetivo es el paquete cotangente del espacio de posiciones generalizadas .

La acción es funcional $S:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle S: {\ mathcal {C}} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $S: {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}$ en que mapa $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (y no en $\mathbb {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ por razones físicas). Para que la acción sea local es necesario imponer más restricciones a lo funcional: si $\phi \in {\mathcal {C}}$ ${\ Displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {C}}}$ $\ phi \ in {\ mathcal {C}}$ asume que $S(\phi )$ ${\ Displaystyle S (\ phi)}$ $S (\ phi)$ tanto la integral en $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ del Lagrangiano ${\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial ^{2}\phi ,...,x)$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial \ phi, \ partial ^ {2} \ phi, ..., x)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial \ phi, \ partial ^ {2} \ phi, ..., x)}$ , que es una función de $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , sus derivados y posición. Explícitamente, la acción se define de la siguiente manera:

{\mathcal {S}}[\phi ]\equiv \int _{M}{\mathcal {L}}(\phi (x),\partial \phi (x),\partial ^{2}\phi (x),...,x)\ \mathrm {d} ^{n}x\qquad \forall \phi \in {\mathcal {C}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ phi] \ equiv \ int _ {M} {\ mathcal {L}} (\ phi (x), \ parcial \ phi (x), \ parcial ^ {2} \ phi (x), ..., x) \ \ mathrm {d} ^ {n} x \ qquad \ forall \ phi \ in {\ mathcal {C}}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ phi] \ equiv \ int _ {M} {\ mathcal {L}} (\ phi (x), \ parcial \ phi (x), \ parcial ^ {2} \ phi (x), ..., x) \ \ mathrm {d} ^ {n} x \ qquad \ forall \ phi \ in {\ mathcal {C}}}

La mayoría de las veces se asume que el lagrangiano depende únicamente del valor del campo y su primera derivada, ya que conociendo la posición y velocidad de cada elemento que conforma un sistema mecánico es posible caracterizar completamente su dinámica, y de alguna manera predecir el su evolución. ^[4]

Ecuaciones de Euler variacionales

El mismo tema en detalle: ecuaciones variacionales de Euler .

Uno mismo $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ es compacto , las condiciones de contorno se obtienen especificando el valor de $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ en la frontera de $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ , de lo contrario se obtienen proporcionando límites adecuados para $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ cuando $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ tiende al infinito . Esto permite obtener el conjunto de funciones $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ tal que todos los derivados funcionales de $S.$ ${\ Displaystyle S}$ $S.$ sobre $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ son nulas y $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ satisface las condiciones de contorno dadas. Este conjunto está determinado, considerando las condiciones de contorno, por las soluciones en el caparazón de las ecuaciones de Euler-Lagrange:

{\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}=-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ phi}} = - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ phi)}} \ derecha) + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ phi}} = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ phi}} = - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ phi)}} \ derecha) + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ phi}} = 0}

El lado izquierdo es la derivada funcional de la acción con respecto a $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ .

En mecánica clásica, el lagrangiano está dado por la suma de la energía cinética $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ y el potencial $V.$ ${\ Displaystyle V}$ $V.$ o, de manera similar, la diferencia entre energía cinética y energía potencial $U$ ${\ Displaystyle U}$ $U$ . En coordenadas lagrangianas, por lo tanto, se define de la siguiente manera:

{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)=T({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)-U(\mathbf {q} ,t)

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q }, t) -U (\ mathbf {q}, t)}

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q }, t) -U (\ mathbf {q}, t)}

Invariante de Poincaré

Una invariante en el tiempo se define como una cantidad ${\mathcal {I}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}}}$ tal que: ^[5]

{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {I}}}{\mathrm {d} t}}=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {I}}} {\ mathrm {d} t}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {I}}} {\ mathrm {d} t}} = 0}

Para un sistema hamiltoniano, la circulación a lo largo de una órbita (entendida como una trayectoria cerrada) del hamiltoniano es cero, y el invariante de Poincaré se define como (el opuesto de) la integral de tiempo de este circuito:

{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {I}}}{\mathrm {d} t}}=-\oint _{C}\mathrm {d} {\mathcal {H}}=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {I}}} {\ mathrm {d} t}} = - \ oint _ {C} \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {I}}} {\ mathrm {d} t}} = - \ oint _ {C} \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = 0}

adoptado por él en la teoría de las órbitas . Introduciendo una variable periódica $s$ ${\ Displaystyle s}$ $s$ para poner la curva y el hamiltoniano en forma paramétrica, desarrollando la derivada total del hamiltoniano tenemos:

\oint _{C}\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\oint _{C(s)}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} s}}\mathrm {d} s=\oint _{C(s)}\left[{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial s}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial s}}\right]\,\mathrm {d} s=0

{\ Displaystyle \ oint _ {C} \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = \ oint _ {C (s)} {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {H}}} {\ mathrm {d} s}} \ mathrm {d} s = \ oint _ {C (s)} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} { \ frac {\ parcial p_ {i}} {\ parcial s}} + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial q_ {i}}} {\ frac {\ parcial q_ {i} } {\ parcial s}} \ derecha] \, \ mathrm {d} s = 0}

{\ Displaystyle \ oint _ {C} \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = \ oint _ {C (s)} {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {H}}} {\ mathrm {d} s}} \ mathrm {d} s = \ oint _ {C (s)} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} { \ frac {\ parcial p_ {i}} {\ parcial s}} + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {H}}} {\ parcial q_ {i}}} {\ frac {\ parcial q_ {i} } {\ parcial s}} \ derecha] \, \ mathrm {d} s = 0}

luego introduciendo las ecuaciones de Hamilton :

\oint _{C(s)}\left[-{\frac {\partial q_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial s}}+{\frac {\partial p_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial s}}\right]\,\mathrm {d} s=0

{\ Displaystyle \ oint _ {C (s)} \ left [- {\ frac {\ parcial q_ {i}} {\ parcial t}} {\ frac {\ parcial p_ {i}} {\ parcial s}} + {\ frac {\ parcial p_ {i}} {\ parcial t}} {\ frac {\ parcial q_ {i}} {\ parcial s}} \ derecha] \, \ mathrm {d} s = 0}

{\ Displaystyle \ unint _ {C (s)} \ left [- {\ frac {\ parcial q_ {i}} {\ parcial t}} {\ frac {\ parcial p_ {i}} {\ parcial s}} + {\ frac {\ parcial p_ {i}} {\ parcial t}} {\ frac {\ parcial q_ {i}} {\ parcial s}} \ derecha] \, \ mathrm {d} s = 0}

e integrando por partes:

{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {I}}}{\mathrm {d} t}}=\oint _{C(s)}\left[p_{i}{\frac {\partial ^{2}q_{i}}{\partial t\partial s}}+{\frac {\partial p_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial s}}\right]\,\mathrm {d} s=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {I}}} {\ mathrm {d} t}} = \ oint _ {C (s)} \ left [p_ {i} {\ frac { \ parcial ^ {2} q_ {i}} {\ t parcial \ parcial s}} + {\ frac {\ parcial p_ {i}} {\ parcial t}} {\ frac {\ parcial q_ {i}} { \ parcial s}} \ derecha] \, \ mathrm {d} s = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {I}}} {\ mathrm {d} t}} = \ oint _ {C (s)} \ left [p_ {i} {\ frac { \ parcial ^ {2} q_ {i}} {\ t parcial \ parcial s}} + {\ frac {\ parcial p_ {i}} {\ parcial t}} {\ frac {\ parcial q_ {i}} { \ parcial s}} \ derecha] \, \ mathrm {d} s = 0}

Por tanto, se muestra que este invariante corresponde a la acción reducida a lo largo de una trayectoria cerrada $C.$ ${\ Displaystyle C}$ $C.$ en el espacio de fase, es decir, en el circuito:

{\mathcal {I}}=\oint _{C}\mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q} =\oint _{C}\mathrm {d} {\mathcal {P}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {I}} = \ oint _ {C} \ mathbf {p} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {q} = \ oint _ {C} \ mathrm {d} {\ mathcal { PAG}}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {I}} = \ oint _ {C} \ mathbf {p} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {q} = \ oint _ {C} \ mathrm {d} {\ mathcal { PAG}}}

simplemente parametrizando la curva y las variables conjugadas:

q_{i}=q_{i}(s,t),\quad p_{i}=p_{i}(s,t)

{\ Displaystyle q_ {i} = q_ {i} (s, t), \ quad p_ {i} = p_ {i} (s, t)}

{\ Displaystyle q_ {i} = q_ {i} (s, t), \ quad p_ {i} = p_ {i} (s, t)}

Acción clásica

El mismo tema en detalle: el principio variacional de Hamilton .

También en la física clásica la acción se define como una función ( integral ) ${\mathcal {S}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ que actúa sobre un conjunto de funciones dependientes del tiempo y posiblemente dependientes del espacio, y devuelve un escalar . ^[3] ^[6] En la mecánica clásica, un sistema físico se describe mediante $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ coordenadas generalizadas $\mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{n})$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})}$ ${\ mathbf q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})$ , y evoluciona entre dos estados $\mathbf {q} _{1}(t)=\mathbf {q} (t_{1})$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {1} (t) = \ mathbf {q} (t_ {1})}$ ${\ mathbf q} _ {1} (t) = {\ mathbf q} (t_ {1})$ Y $\mathbf {q} _{2}(t)=\mathbf {q} (t_{2})$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {2} (t) = \ mathbf {q} (t_ {2})}$ ${\ mathbf q} _ {2} (t) = {\ mathbf q} (t_ {2})$ en el intervalo de tiempo entre los instantes $t_{1}$ ${\ Displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Y $t_{2}$ ${\ Displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ .

La integral que define la acción en el intervalo entre $t_{1}$ ${\ Displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Y $t_{2}$ ${\ Displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ es por tanto el siguiente:

{\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }}(t),\mathbf {q} (t),t)\,\mathrm {d} t

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q}] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} { \ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}} (t), \ mathbf {q} (t), t) \, \ mathrm {d} t}

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q}] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} { \ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}} (t), \ mathbf {q} (t), t) \, \ mathrm {d} t}

Dónde está ${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ denota el lagrangiano del sistema.

El principio variacional establece que la evolución del sistema físico es la solución de la ecuación variacional :

{\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ mathbf {q} (t)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ mathbf {q} (t)}} = 0}

En un sistema esclerónomo, en particular, también la acción reducida ${\mathcal {P}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$ en la trayectoria de un objeto es estacionaria, según lo establecido por el principio de Maupertuis .

Acción relativista

El enfoque hamiltoniano tiene la ventaja de que se puede ampliar y generalizar fácilmente. Para ser invariante , la acción debe depender de cantidades invariantes. La más simple de estas cantidades es el tiempo propio , denotado por $\tau$ ${\ Displaystyle \ tau}$ $\ tau$ , que es el tiempo medido por un reloj en un sistema de referencia integral con la partícula. Según la relatividad especial tenemos que la cantidad:

-(c\,\mathrm {d} \tau )^{2}=-\mathrm {d} s^{2}=-(c\,\mathrm {d} t)^{2}+\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2},\

{\ Displaystyle - (c \, \ mathrm {d} \ tau) ^ {2} = - \ mathrm {d} s ^ {2} = - (c \, \ mathrm {d} t) ^ {2} + \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ {2}, \}

{\ Displaystyle - (c \, \ mathrm {d} \ tau) ^ {2} = - \ mathrm {d} s ^ {2} = - (c \, \ mathrm {d} t) ^ {2} + \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ {2}, \}

donde con $C$ ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle c}$ se ha indicado la velocidad de la luz y con $\mathrm {d} \tau =-\mathrm {d} s/c$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ tau = - \ mathrm {d} s / c}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ tau = - \ mathrm {d} s / c}$ es la variación infinitesimal del tiempo propio. Para un punto material no sujeto a fuerzas, la acción relativista viene dada por ^[7] :

{\mathcal {S}}=-mc\int \mathrm {d} s=-mc^{2}\int \mathrm {d} \tau .

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = - mc \ int \ mathrm {d} s = -mc ^ {2} \ int \ mathrm {d} \ tau.}

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = - mc \ int \ mathrm {d} s = -mc ^ {2} \ int \ mathrm {d} \ tau.}

donde con $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ Se ha indicado la masa inercial de la partícula.

Nota

^ Enciclopedia de la física (segunda edición), RG Lerner, GL Trigg, editores de VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
^ ^a ^b Mecánica analítica, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
^ ^a ^b El camino a la realidad, Roger Penrose, Libros antiguos, 2007, ISBN 0-679-77631-1
^ Landau, Lifshits , p. 28 .
^ Fitspatrick , págs . 26-27 , Benettin , págs. 89-96
^ Mecánica clásica, TWB Kibble, Serie europea de física, McGraw-Hill (Reino Unido), 1973, ISBN 0-07-084018-0
^ LD Landau y EM Lifshitz La teoría clásica de los campos Addison-Wesley 1971 sec 8.p.24-25

Bibliografía

G. Benettin, párr. 4.7 Invariantes adiabáticos , en Notas para el curso de mecánica analítica , 2017, págs. 89-96.
( ES ) Fitzpatrick, R., párr. 2.7 Invariantes de Poincaré , en Plasma physics , págs. 26-27.
Lev D. Landau y Evgenij M. Lifshits, Física teórica 1 - Mecánica , Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-6473-202-0 .
( EN ) Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover Publications, Nueva York, 1986. ISBN 0-486-65067-7 . La referencia más citada entre todos los que se ocupan de este campo.
( EN ) Moore, "Principio de acción mínima" en Macmillan Encyclopedia of Physics, Simon & Schuster Macmillan, 1996, Volumen 2, ISBN 0-02-897359-3 , págs. 840-842.
( EN ) Sussman, Wisdom, Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press, 2001. Empiece con el principio de acción estacionaria, utilice la notación matemática moderna y compruebe la claridad y coherencia de los procedimientos traduciéndolos a un programa de lenguaje informático.
( EN ) Weinstock, Cálculo de variaciones, con aplicaciones a la física y la ingeniería, Publicaciones de Dover, 1974. ISBN 0-486-63069-2 . Un poco anticuado pero bueno, con un formalismo cuidadosamente definido antes de su uso en física e ingeniería.
( EN ) Yourgrau, Mandelstam, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory, Dover Publications, 1979. No descuida las implicaciones filosóficas y aplaude la reducción de Feynman de la mecánica cuántica al principio de acción estacionaria en el gran límite de masa.
(EN)Taylor, Bibliografía comentada sobre el principio de mínima acción (PDF) en eftaylor.com.

Otros proyectos

Wikcionario contiene el lema del diccionario « acción »

enlaces externos

Página de Edwin F. Taylor [1]
Hamilton, El artículo matemático transcrito y corregido por David R. Wilkins , en emis.de.

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[1] Enciclopedia de la física (segunda edición), RG Lerner, GL Trigg, editores de VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3

[Analytical_Mechanics_2008-2] Mecánica analítica, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[Reality,_Roger_Penrose_2007-3] El camino a la realidad, Roger Penrose, Libros antiguos, 2007, ISBN 0-679-77631-1

[def-4] Landau, Lifshits , p. 28 .

[5] Fitspatrick , págs . 26-27 , Benettin , págs. 89-96

[6] Mecánica clásica, TWB Kibble, Serie europea de física, McGraw-Hill (Reino Unido), 1973, ISBN 0-07-084018-0

[7] LD Landau y EM Lifshitz La teoría clásica de los campos Addison-Wesley 1971 sec 8.p.24-25

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