Campo gravitacional

En física , el campo gravitacional es el campo asociado con la interacción gravitacional .

En la mecánica clásica , el campo gravitacional se trata como un campo de fuerza conservador . Según la relatividad general es una expresión de la curvatura del espacio-tiempo creada por la presencia de masa o energía (por lo tanto, la fuerza de gravedad sería una fuerza aparente ) y está representada matemáticamente por un tensor métrico ligado al espacio-tiempo curvado a través de el tensor de Riemann .

El campo gravitacional generado por la Tierra , por ejemplo, cerca de la superficie terrestre asume valores cercanos a 9,8 m · s ^-2 y por convención este valor se adopta como referencia para la aceleración de la gravedad .

Definición de newtoniano

Representación del campo gravitacional entre la Tierra y la Luna.

El campo gravitacional es un campo de fuerza conservador . El vector del campo gravitacional generado en el punto $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ en el espacio por la presencia de una masa en el punto $\mathbf {O} ,$ ${\ Displaystyle \ mathbf {O},}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {O},}$ origen de la referencia, se define como:

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,,

{\ Displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - GM {\ frac {\ mathbf {r}} {r ^ {3}}} \ ,,}

{\ Displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - GM {\ frac {\ mathbf {r}} {r ^ {3}}} \ ,,}

Dónde está $GRAMO.$ ${\ Displaystyle G}$ $GRAMO.$ es la constante gravitacional universal e $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ la masa. Por tanto, es posible expresar la fuerza ejercida sobre el cuerpo de masa m como:

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} )\,.

{\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = m \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) \,.}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = m \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) \,.}

La unidad de medida del campo gravitacional en el Sistema Internacional es:

{\big [}{g}{\big ]}=\left[{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {kg} }}\right]=\left[{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\right]

{\ Displaystyle {\ big [} {g} {\ big]} = \ left [{\ frac {\ mathrm {N}} {\ mathrm {kg}}} \ right] = \ left [{\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s} ^ {2}}} \ right]}

{\ Displaystyle {\ big [} {g} {\ big]} = \ left [{\ frac {\ mathrm {N}} {\ mathrm {kg}}} \ right] = \ left [{\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s} ^ {2}}} \ right]}

Dónde está $g=\|\mathbf {g} \|$ ${\ Displaystyle g = \ | \ mathbf {g} \ |}$ ${\ Displaystyle g = \ | \ mathbf {g} \ |}$ es la forma de $\mathbf {g}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {g}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {g}}$ .

La aceleración de la gravedad en una habitación (la curvatura de la tierra es despreciable y, por lo tanto, el vector

\mathbf {g}

{\ Displaystyle \ mathbf {g}}

{\ Displaystyle \ mathbf {g}}

es constante y se dirige hacia abajo).

El campo gravitacional se describe mediante el potencial gravitacional , definido como el valor de la energía gravitacional detectada por una masa colocada en un punto del espacio por unidad de masa. La energía gravitacional de la masa es el nivel de energía que posee la masa debido a su posición dentro del campo gravitacional; por lo tanto, el potencial gravitacional de la masa es la relación entre la energía gravitacional y el valor de la masa en sí, es decir:

\operatorname {V} ={\frac {U}{M}}\,.

{\ Displaystyle \ operatorname {V} = {\ frac {U} {M}} \,.}

{\ Displaystyle \ operatorname {V} = {\ frac {U} {M}} \,.}

Dado que el campo gravitacional es conservador, siempre es posible definir una función escalar V cuyo gradiente, cambiado de signo, coincida con el campo:

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V\,.

{\ Displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - \ nabla V \,.}

{\ Displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - \ nabla V \,.}

Para cada campo gravitacional es posible definir superficies ortogonales al campo en cada punto del espacio, llamadas superficies equipotenciales . El significado físico de estas superficies es claro si consideramos el trabajo de la fuerza de gravedad a lo largo de un camino perteneciente a la superficie: dado que el desplazamiento es punto por punto ortogonal a la fuerza, el trabajo a lo largo de este camino es cero. Esto significa que masas iguales en la misma superficie equipotencial tienen la misma energía potencial . Por ejemplo, en el caso de una fuente esférica, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas y las líneas de flujo son el conjunto de rayos que entran en el centro de las esferas.

Indicó el campo gravitacional como ${\bf {x}}\,\mapsto {\frac {\bf {x}}{\|{\bf {x}}\|^{3}}},$ ${\ Displaystyle {\ bf {x}} \, \ mapsto {\ frac {\ bf {x}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}},}$ ${\ Displaystyle {\ bf {x}} \, \ mapsto {\ frac {\ bf {x}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}},}$ excepto para los factores multiplicativos y traslacionales, con ${\bf {x}}={\big (}x_{1},x_{2},x_{3}{\big )}$ ${\ Displaystyle {\ bf {x}} = {\ big (} x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} {\ big)}}$ ${\ Displaystyle {\ bf {x}} = {\ big (} x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} {\ big)}}$ vector de posición, se observa que su divergencia en tres dimensiones es cero. En efecto:

\nabla \cdot {\frac {\bf {x}}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}=\sum _{k=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\frac {x_{k}}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}\right)=\sum _{k=1}^{3}{\frac {\|{\bf {x}}\|^{3}-x_{k}3\|{\bf {x}}\|^{2}\displaystyle {\frac {x_{k}}{\|{\bf {x}}\|}}}{\|{\bf {x}}\|^{6}}}=\sum _{k=1}^{3}\left({\frac {1}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}-{\frac {3x_{k}^{2}}{\|{\bf {x}}\|^{5}}}\right)={\frac {3}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}-{\frac {3{\big (}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}{\big )}}{\|{\bf {x}}\|^{5}}}=0\,.

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ frac {\ bf {x}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {k}}} \ left ({\ frac {x_ {k}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ frac {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3} -x_ {k} 3 \ | {\ bf {x}} \ | ^ {2} \ Displaystyle {\ frac {x_ {k}} {\ | {\ bf {x}} \ |}}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {6}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ left ({\ frac {1} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} - {\ frac {3x_ {k} ^ {2}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {5}}} \ right) = {\ frac {3} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} - {\ frac {3 {\ big (} x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} {\ big)}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {5}}} = 0 \,.}

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ frac {\ bf {x}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {k}}} \ left ({\ frac {x_ {k}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ frac {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3} -x_ {k} 3 \ | {\ bf {x}} \ | ^ {2} \ Displaystyle {\ frac {x_ {k}} {\ | {\ bf {x}} \ |}}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {6}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ left ({\ frac {1} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} - {\ frac {3x_ {k} ^ {2}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {5}}} \ right) = {\ frac {3} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {3}}} - {\ frac {3 {\ big (} x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} {\ big)}} {\ | {\ bf {x}} \ | ^ {5}}} = 0 \,.}

Definición einsteiniana

El campo gravitacional asume una estructura mucho más compleja en el contexto de la teoría de la relatividad general de Einstein . Representa la diferencia entre el tensor métrico del espaciotiempo y el tensor métrico del espaciotiempo plano, o espaciotiempo de Minkowski . La deformación del espacio-tiempo dada por el campo gravitacional a veces se representa gráficamente como la deformación de un colchón, o de una sábana elástica, por una bola pesada colocada sobre él: aquí el espacio-tiempo plano está representado por la sábana perfectamente estirada y , de hecho, plano.

El tensor métrico del espacio-tiempo deformado por la presencia de masas, o simplemente energía, se calcula mediante la ecuación de campo de Einstein :

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }

{\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}

{\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}

Dónde está $g_{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ es el tensor métrico, $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ Y $R_{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu}}$ $R _ {\ mu \ nu}$ son respectivamente la curvatura escalar y el tensor de Ricci , obtenidos como una contracción del tensor de Riemann (ligado a las derivadas del tensor métrico); $GRAMO.$ ${\ Displaystyle G}$ $GRAMO.$ es la constante gravitacional universal e $T_{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$ $T _ {\ mu \ nu}$ denota el tensor de energía del pulso , que representa la densidad y el flujo de materia y energía (no gravitacional) en cada punto del espacio-tiempo.