Centro de masa

Centro de masa de un sistema de cuatro esferas de diferente masa

En física , en particular en mecánica clásica , el centro de masa o baricentro de un sistema es el punto geométrico correspondiente al valor medio de la distribución de masa del sistema en el espacio. En el caso particular de un cuerpo rígido , el centro de gravedad tiene una posición fija con respecto al sistema. El centro de gravedad, sin embargo, se define para cualquier sistema de cuerpos masivos, independientemente de las fuerzas , internas o externas, que actúan sobre los cuerpos; en general, el centro de gravedad puede no coincidir con la posición de alguno de los puntos materiales que componen el sistema físico .

La primera ecuación cardinal , un principio fundamental de la dinámica de los sistemas de puntos materiales , establece que el centro de masa de un sistema tiene el mismo movimiento que un único punto material en el que se concentra toda la masa del sistema, y en el que el resultante actuó de las únicas fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Esta propiedad es válida bajo la única hipótesis de que para las fuerzas internas , es decir, aquellas que representan la interacción entre los puntos que constituyen el sistema, se cumple el principio de acción y reacción .

Historia

El concepto de "centro de masa" en forma de "centro de gravedad" fue introducido por primera vez por el gran físico, matemático e ingeniero griego Arquímedes de Siracusa . Trabajó con hipótesis simplificadas sobre la gravedad que equivalen a un campo uniforme, llegando así a las propiedades matemáticas de lo que finalmente se denominó centro de masa. Arquímedes muestra que el par ejercido sobre una palanca por los pesos que descansan en varios puntos a lo largo de la palanca es el mismo que sería si todos los pesos se movieran a un solo punto: su centro de masa. En su trabajo sobre cuerpos flotantes, Arquímedes demuestra que la orientación de un objeto flotante es lo que hace que su centro de masa sea lo más bajo posible. Desarrolló técnicas matemáticas para encontrar los centros de masa de objetos de densidad uniforme de varias formas bien definidas. ^[1]

Entre los matemáticos posteriores que desarrollaron la teoría del centro de masa se encuentran Pappus de Alejandría , Guido Ubaldi , Francesco Maurolico , ^[2] Federico Commandino , ^[3] Simone Stevino , ^[4] Luca Valerio , ^[5] Jean-Charles della Faille , Paolo Guldino , ^[6] John Wallis , Louis Carré , Pierre Varignon y Alexis Clairault . ^[7]

Definición

Definimos el centro de masa de un sistema discreto de $No.$ ${\ Displaystyle N}$ $No.$ Material apunta el punto geométrico cuyas coordenadas, en un sistema de referencia dado, vienen dadas por:

\mathbf {R} ={\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+\cdots +m_{N}\mathbf {r} _{N}}{m_{1}+\dots +m_{N}}}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}}}={\frac {S_{r}^{*}}{m}}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = {\ frac {m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + \ cdots + m_ {N} \ mathbf {r} _ {N}} {m_ {1} + \ dots + m_ {N}}} = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i}} {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i}}} = {\ frac {S_ {r} ^ {*}} {m}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = {\ frac {m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + \ cdots + m_ {N} \ mathbf {r} _ {N}} {m_ {1} + \ dots + m_ {N}}} = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i}} {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i}}} = {\ frac {S_ {r} ^ {*}} {m}}}

Dónde está $S_{r}^{*}$ ${\ Displaystyle S_ {r} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle S_ {r} ^ {*}}$ es el momento estático e $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ es la masa total del sistema y las cantidades $\mathbf {r} _{i}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ $\ mathbf r_i$ son los rayos vectoriales de los puntos materiales con respecto al sistema de referencia utilizado.

En el caso de un sistema continuo, las sumas se reemplazan por integrales extendidas al dominio ocupado por el sistema. Presentamos la función escalar de " densidad " $\rho (\mathbf {r} )$ ${\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {r})}$ $\ rho ({\ mathbf r})$ , tal que la masa de la porción del sistema contenida en cualquier región medible $\Omega$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ el espacio está dado por:

m(\Omega )=\int _{\Omega }\rho (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} V

{\ Displaystyle m (\ Omega) = \ int _ {\ Omega} \ rho (\ mathbf {r}) \ \ mathrm {d} V}

{\ Displaystyle m (\ Omega) = \ int _ {\ Omega} \ rho (\ mathbf {r}) \ \ mathrm {d} V}

la posición del centro de masa viene dada por:

\mathbf {R} ={\frac {1}{m}}\int _{V}\mathbf {r} \rho (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} V

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = {\ frac {1} {m}} \ int _ {V} \ mathbf {r} \ rho (\ mathbf {r}) \ \ mathrm {d} V}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = {\ frac {1} {m}} \ int _ {V} \ mathbf {r} \ rho (\ mathbf {r}) \ \ mathrm {d} V}

Dónde está $V.$ ${\ Displaystyle V}$ $V.$ es el volumen total ocupado por el sistema considerado, que también puede ser el espacio tridimensional completo, e

m=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} V

{\ Displaystyle m = \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {r}) \ \ mathrm {d} V}

{\ Displaystyle m = \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {r}) \ \ mathrm {d} V}

es la masa total del sistema. Si el sistema continuo es homogéneo entonces $\rho (\mathbf {r} )={\text{costante}}$ ${\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {r}) = {\ text {constante}}}$ ${\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {r}) = {\ text {constante}}}$ ; en este caso, el centro de masa se puede calcular simplemente a través de las relaciones:

\mathbf {R} ={\frac {1}{V}}\int _{\tau }\mathbf {r} \ \mathrm {d} \tau '

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = {\ frac {1} {V}} \ int _ {\ tau} \ mathbf {r} \ \ mathrm {d} \ tau '}

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = {\ frac {1} {V}} \ int _ {\ tau} \ mathbf {r} \ \ mathrm {d} \ tau '}

,

Dónde está $V=\int _{\tau }\mathrm {d} \tau ^{'}$ ${\ Displaystyle V = \ int _ {\ tau} \ mathrm {d} \ tau ^ {'}}$ ${\ Displaystyle V = \ int _ {\ tau} \ mathrm {d} \ tau ^ {'}}$ es el volumen del sólido $\tau$ ${\ Displaystyle \ tau}$ $\ tau$ en cuestión.

Si el objeto cuyo centro de gravedad se va a calcular es bidimensional o unidimensional, las integrales se vuelven, respectivamente:

{\begin{aligned}&\mathbf {R} ={\frac {1}{m}}\int _{\Sigma }\mathbf {r} \sigma (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} \Sigma ^{'}\\[6pt]&\mathbf {R} ={\frac {1}{m}}\int _{\gamma }\mathbf {r} \lambda (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} \ell \end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathbf {R} = {\ frac {1} {m}} \ int _ {\ Sigma} \ mathbf {r} \ sigma (\ mathbf {r}) \ \ mathrm {d} \ Sigma ^ {'} \\ [6pt] & \ mathbf {R} = {\ frac {1} {m}} \ int _ {\ gamma} \ mathbf {r} \ lambda (\ mathbf {r }) \ \ mathrm {d} \ ell \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathbf {R} = {\ frac {1} {m}} \ int _ {\ Sigma} \ mathbf {r} \ sigma (\ mathbf {r}) \ \ mathrm {d} \ Sigma ^ {'} \\ [6pt] & \ mathbf {R} = {\ frac {1} {m}} \ int _ {\ gamma} \ mathbf {r} \ lambda (\ mathbf {r }) \ \ mathrm {d} \ ell \ end {alineado}}}

Dónde está $\sigma$ ${\ Displaystyle \ sigma}$ $\sigma$ Y $\lambda$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ son, respectivamente, la densidad superficial de la superficie $\Sigma$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ y la densidad lineal de la curva $\gamma$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ $\distancia$ . En el caso de objetos homogéneos, las integrales se simplifican como en el caso tridimensional, cuidando de colocar $V.$ ${\ Displaystyle V}$ $V.$ , respectivamente, el área $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ superficie o longitud $L$ ${\ Displaystyle L}$ $L$ de la curva.

El centro de masa de un sistema de puntos materiales en general no coincide con la posición de ningún punto material. Para un cuerpo rígido , el centro de masa es integral con el cuerpo, en el sentido de que su posición está fija en todo sistema de referencia integral con el cuerpo rígido, pero puede ser externo al cuerpo si este último no es convexo .

Conservación de momento

El mismo tema en detalle: Ley de conservación de la cantidad de movimiento .

Como caso particular, cuando no actúan fuerzas externas sobre el sistema, es decir, cuando el sistema está aislado, se sigue la ley de conservación de la cantidad de movimiento total: la cantidad de movimiento total de un sistema es de hecho igual al producto de la masa total de la sistema para la velocidad del centro de masa:

\mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {v} _{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {r} _{i}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {R} }{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {R}} {\ mathrm { d} t}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {R}} {\ mathrm { d} t}}}

En el continuo:

\mathbf {p} =\int _{m}\ \mathrm {d} m\mathbf {v} =\int _{V}\rho \mathbf {v} \ \mathrm {d} V

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = \ int _ {m} \ \ mathrm {d} m \ mathbf {v} = \ int _ {V} \ rho \ mathbf {v} \ \ mathrm {d} V}

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = \ int _ {m} \ \ mathrm {d} m \ mathbf {v} = \ int _ {V} \ rho \ mathbf {v} \ \ mathrm {d} V}

Centro de masa y centro de gravedad

Ejemplo: cálculo del centro de masa de un hemisferio

Queremos calcular el centro de masa de un hemisferio de densidad homogénea con base apoyada en el plano XY y de radio R. Primero elegimos un sistema de referencia que simplifica los cálculos: por ejemplo un sistema de referencia cartesiano con origen en el centro del base circular, o un sistema de referencia de coordenadas esféricas. El cálculo utilizando un sistema de referencia cartesiano se ilustra a continuación: Aprovechando las simetrías del cuerpo podemos anticipar que la integral que proporciona la coordenada $x_{CM}$ ${\ Displaystyle x_ {CM}}$ $x _ {{CM}}$ será cero, ya que

$\int _{-R}^{R}r(x)\ \mathrm {d} x=0$ ${\ Displaystyle \ int _ {- R} ^ {R} r (x) \ \ mathrm {d} x = 0}$ ${\ Displaystyle \ int _ {- R} ^ {R} r (x) \ \ mathrm {d} x = 0}$

Del mismo modo para la coordenada $y_{CM}$ ${\ Displaystyle y_ {CM}}$ $y _ {{CM}}$

$\int _{-R}^{R}r(y)\ \mathrm {d} y=0$ ${\ Displaystyle \ int _ {- R} ^ {R} r (y) \ \ mathrm {d} y = 0}$ ${\ Displaystyle \ int _ {- R} ^ {R} r (y) \ \ mathrm {d} y = 0}$

Por tanto, el cálculo se reduce a:

${\frac {1}{m}}\int \rho z\ \mathrm {d} V={\frac {\rho }{m}}\int z\ \mathrm {d} V$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {m}} \ int \ rho z \ \ mathrm {d} V = {\ frac {\ rho} {m}} \ int z \ \ mathrm {d} V}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {m}} \ int \ rho z \ \ mathrm {d} V = {\ frac {\ rho} {m}} \ int z \ \ mathrm {d} V}$

El volumen V cuando z varía viene dado por

$V(z)=\int {\pi }\left({R^{2}}-{z^{2}}\right)\ \mathrm {d} z={\pi }{R^{2}}z-{\pi }{\frac {z^{3}}{3}}$ ${\ Displaystyle V (z) = \ int {\ pi} \ left ({R ^ {2}} - {z ^ {2}} \ right) \ \ mathrm {d} z = {\ pi} {R ^ {2}} z - {\ pi} {\ frac {z ^ {3}} {3}}}$ ${\ Displaystyle V (z) = \ int {\ pi} \ left ({R ^ {2}} - {z ^ {2}} \ right) \ \ mathrm {d} z = {\ pi} {R ^ {2}} z - {\ pi} {\ frac {z ^ {3}} {3}}}$

Por reemplazo $\mathrm {d} V={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} z}}\mathrm {d} z$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} V = {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} z}} \ mathrm {d} z}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} V = {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} z}} \ mathrm {d} z}$ en la integral obtenemos la coordenada z del centro de masa:

$z_{CM}={\frac {\rho }{m}}\int z\ \mathrm {d} V=$ ${\ Displaystyle z_ {CM} = {\ frac {\ rho} {m}} \ int z \ \ mathrm {d} V =}$ ${\ Displaystyle z_ {CM} = {\ frac {\ rho} {m}} \ int z \ \ mathrm {d} V =}$

$={\frac {\rho }{\rho {\frac {2}{3}}\pi R^{3}}}\int _{0}^{R}z\pi \left(R^{2}-z^{2}\right)\ \mathrm {d} z={\frac {3R}{8}}$ ${\ displaystyle = {\ frac {\ rho} {\ rho {\ frac {2} {3}} \ pi R ^ {3}}} \ int _ {0} ^ {R} z \ pi \ left (R ^ {2} -z ^ {2} \ right) \ \ mathrm {d} z = {\ frac {3R} {8}}}$ ${\ displaystyle = {\ frac {\ rho} {\ rho {\ frac {2} {3}} \ pi R ^ {3}}} \ int _ {0} ^ {R} z \ pi \ left (R ^ {2} -z ^ {2} \ right) \ \ mathrm {d} z = {\ frac {3R} {8}}}$ .

El centro de masa se denomina comúnmente centro de gravedad. Este nombre, que etimológicamente significa centro de peso , deriva del hecho de que cuando un cuerpo se encuentra inmerso en un campo gravitatorio uniforme, como sucede, con buena aproximación, en la superficie terrestre, donde la aceleración de la gravedad puede considerarse constante, entonces el movimiento del centro de gravedad es equivalente al movimiento de caída, bajo la acción de la fuerza del peso, de un punto material en el que se concentró la masa total del cuerpo. En este sentido, la definición del centro de masa puede considerarse un caso particular de la definición más general de las coordenadas del punto de aplicación de un sistema de fuerzas paralelas. Si, en particular, consideramos un cuerpo rígido constreñido en un punto distinto al centro de gravedad, se comporta como un péndulo, cuya longitud equivalente, sin embargo, no coincide con la distancia entre el centro de gravedad y el centro de suspensión, pero depende del momento de inercia del cuerpo. Si, por otro lado, el cuerpo rígido está restringido en su centro de gravedad, el momento total de la fuerza del peso es cero.

Cabe señalar que en el caso, que difícilmente surge en la práctica, en el que un cuerpo está inmerso en un campo gravitacional externo no uniforme , estas últimas propiedades no se cumplen, ya que el vector resultante de las fuerzas, que determina la aceleración del centro de masa, como se mencionó, puede diferir de la fuerza de peso que se ejercería sobre el centro de gravedad si toda la masa del cuerpo estuviera concentrada en él; además, el momento total de la fuerza de gravedad con respecto al centro de masa puede no ser cero. No obstante, en el lenguaje científico, los términos "centro de masa" y "centro de gravedad" se utilizan como sinónimos completos, y ambos se refieren a las propiedades inerciales del sistema, independientemente de la naturaleza de las fuerzas aplicadas.

Movimiento de cuerpos

En muchos casos de interés físico, el movimiento de un sistema de puntos se puede descomponer en el movimiento del centro de masa y el movimiento de los puntos en relación con el centro de masa. Por ejemplo, en el caso de sistemas aislados, la conservación de la cantidad de movimiento implica la existencia de un sistema de referencia inercial en el que el centro de masa permanece en reposo. En el problema clásico de los dos cuerpos , en el que dos puntos materiales interactúan recíprocamente, en ausencia de fuerzas externas, se muestra que el movimiento de cada uno de los dos puntos es equivalente al de un punto inmerso en un campo de fuerzas centrales, con origen en el centro de masa del sistema. Una definición alternativa de centro de masa se puede deducir del segundo teorema de König , que expresa la relación entre la energía cinética medida en un sistema inercial S y un sistema con origen en la cdm:

K_{S}=K_{CM}+{\frac {1}{2}}mv_{CM}^{2}

{\ Displaystyle K_ {S} = K_ {CM} + {\ frac {1} {2}} mv_ {CM} ^ {2}}

{\ Displaystyle K_ {S} = K_ {CM} + {\ frac {1} {2}} mv_ {CM} ^ {2}}

De esto se sigue que, en general, $K_{S}\geq K_{\text{CM}}$ ${\ Displaystyle K_ {S} \ geq K _ {\ text {CM}}}$ ${\ Displaystyle K_ {S} \ geq K _ {\ text {CM}}}$ , o que la energía cinética del sistema, medida en un sistema integral con la cdm, es mínima.

Cuando el sistema de puntos constituye un cuerpo rígido , la energía cinética del sistema se puede representar como la suma de la energía cinética de traslación, igual a la mitad de la masa total del sistema multiplicada por el cuadrado de la velocidad del centro de masa, más la energía cinética debida a la rotación del cuerpo alrededor de su centro de masa, que se calcula conociendo la velocidad angular y el tensor de inercia del cuerpo.

En el caso de problemas de colisión de partículas, la descripción del movimiento en el sistema de referencia del centro de masa puede simplificar considerablemente los cálculos.

En el contexto de la mecánica relativista , sin embargo, la noción de centro de masa pierde su significado físico porque no es invariante con respecto a los cambios en la referencia inercial. De hecho, el centro de masa en un instante dado se define, como hemos visto, como el promedio ponderado de las posiciones de todos los puntos en el mismo instante ; pero una transformación de Lorentz cambia el espacio de eventos simultáneos, y para dos observadores inerciales, el centro de masa del sistema generalmente será diferente. Por otro lado, es posible definir un sistema de referencia en el que el momento total del sistema es cero, y para un sistema no sujeto a fuerzas externas esto es lo que corresponde a la noción no relativista de "sistema de referencia del centro de masa "mencionado anteriormente.

Nota

^ Shore 2008 , págs. 9-11 .
^ Baron 2004 , págs. 91-94 .
^ Baron 2004 , págs. 94-96 .
^ Baron 2004 , págs. 96-101 .
^ Baron 2004 , págs. 101-106 .
^ Mancosu 1999 , págs. 56-61 .
^ Walton 1855 , pág. 2 .

Bibliografía

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Feynman, Richard; Phillips, Richard, Six Easy Pieces , Perseus Publishing, 1998, ISBN 0-201-32841-0 .
Feynman, Richard, Conferencias sobre física , Perseus Publishing, 1999, ISBN 0-7382-0092-1 .
Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko, Mecánica clásica (3ª edición) , Addison Wesley; ISBN 0-201-65702-3
Landau, LD y Lifshitz, EM , Curso de Mecánicade Física Teórica , Vol. 1 , Franklin Book Company, Inc., 1972, ISBN 0-08-016739-X .
Kleppner, D. y Kolenkow, RJ, Introducción a la mecánica , McGraw-Hill, 1973, ISBN 0-07-035048-5 .
Paolo Mancosu, Filosofía de las matemáticas y la práctica matemática en el siglo XVII , Oxford University Press, 1999, ISBN 978-0-19-513244-1 .
Steven N. Shore, Fuerzas en la física: una perspectiva histórica , Greenwood Press, 2008, ISBN 978-0-313-33303-3 .
Gerald Jay Sussman y Jack Wisdom, Estructura e interpretación de la mecánica clásica , MIT Press, 2001, ISBN 0-262-19455-4 .
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enlaces externos

( EN ) Centro de masa / Centro de masa (otra versión) , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Robert Martin Eisberg, Fundamentos de la física moderna , John Wiley and Sons, 1961
M. Alonso, J. Finn, "Física universitaria fundamental", Addison-Wesley

Control de autoridad	Tesauro BNCF 18757 · LCCN (EN) sh85021847 · BNF (FR) cb11983251p (fecha)

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[1] Shore 2008 , págs. 9-11 .

[2] Baron 2004 , págs. 91-94 .

[3] Baron 2004 , págs. 94-96 .

[4] Baron 2004 , págs. 96-101 .

[5] Baron 2004 , págs. 101-106 .

[6] Mancosu 1999 , págs. 56-61 .

[7] Walton 1855 , pág. 2 .

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