Circuito RLC

Un circuito RLC es un circuito eléctrico que contiene solo resistencias , inductores y condensadores . Por extensión, a menudo se hace referencia a un RLC como un circuito que contiene solo elementos pasivos. El nombre del circuito deriva de los símbolos de las magnitudes físicas que caracterizan a los elementos pasivos, respectivamente resistencia eléctrica , inductancia y capacitancia eléctrica .

Los circuitos RLC son sistemas dinámicos lineales . Un circuito RLC constituye un oscilador armónico para la corriente eléctrica y entra en resonancia siguiendo las mismas leyes físicas del circuito LC. La diferencia con respecto a este último es la presencia de la resistencia, que amortigua las oscilaciones inducidas en el circuito si no son soportadas por una fuente.

RLC en serie y en paralelo

Las figuras de la derecha muestran los circuitos RLC en serie y en paralelo.

RLC en serie

Circuito RLC en serie con generador constante.

Considere el circuito RLC en serie en la figura, aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff obtenemos:

v_{R}(t)+v_{L}(t)+v_{C}(t)=e(t)

{\ Displaystyle v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t) = e (t)}

{\ Displaystyle v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t) = e (t)}

y, reemplazando las relaciones constitutivas de los elementos:

Ri(t)+L\cdot {\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}i(t)\,dt=e(t).

{\ Displaystyle Ri (t) + L \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {1} {C}} \ int _ {0} ^ {t} i (t) \ , dt = e (t).}

{\ Displaystyle Ri (t) + L \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {1} {C}} \ int _ {0} ^ {t} i (t) \ , dt = e (t).}

Teniendo en cuenta que como generador de voltaje constante $e(t)=e_{0}$ ${\ Displaystyle e (t) = e_ {0}}$ $e (t) = e_ {0}$ , derivando una vez con respecto a $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ y dividiendo por la inductancia $L$ ${\ Displaystyle L}$ $L$ , podemos reescribir la ecuación en forma diferencial:

{\frac {R}{L}}\cdot {\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}\cdot i(t)=0.

{\ Displaystyle {\ frac {R} {L}} \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {d ^ {2} i (t)} {dt ^ {2}} } + {\ frac {1} {LC}} \ cdot i (t) = 0.}

{\ Displaystyle {\ frac {R} {L}} \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {d ^ {2} i (t)} {dt ^ {2}} } + {\ frac {1} {LC}} \ cdot i (t) = 0.}

Por tanto, la presencia de un generador constante no afecta a las ecuaciones: la solución de la ecuación diferencial es la misma que la que no tiene generador, como si estuviera en libre evolución. Luego se definen dos parámetros:

\alpha ={\frac {R}{2L}}

{\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {R} {2L}}}

\ alpha = {\ frac {R} {2L}}

dicha constante de amortiguación y:

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

\ omega _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {LC}}}}

llamada pulsación de resonancia .

RLC en paralelo

Circuito RLC en paralelo con generador constante.

Considerando el circuito RLC paralelo de la figura, con generador de corriente constante, aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff obtenemos:

i_{R}(t)+i_{C}(t)+i_{L}(t)=i(t)

{\ Displaystyle i_ {R} (t) + i_ {C} (t) + i_ {L} (t) = i (t)}

{\ Displaystyle i_ {R} (t) + i_ {C} (t) + i_ {L} (t) = i (t)}

Sustituyendo las relaciones constitutivas de los elementos:

{\frac {v(t)}{R}}+C\cdot {\frac {dv(t)}{dt}}+{\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}v(t)\,dt=i(t)

{\ Displaystyle {\ frac {v (t)} {R}} + C \ cdot {\ frac {dv (t)} {dt}} + {\ frac {1} {L}} \ int _ {0} ^ {t} v (t) \, dt = i (t)}

{\ Displaystyle {\ frac {v (t)} {R}} + C \ cdot {\ frac {dv (t)} {dt}} + {\ frac {1} {L}} \ int _ {0} ^ {t} v (t) \, dt = i (t)}

Derivando una vez con respecto a $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ y dividiendo por la capacidad $C.$ ${\ Displaystyle C}$ $C.$ , podemos reescribir la ecuación en forma diferencial:

{\frac {1}{RC}}\cdot {\frac {dv(t)}{dt}}+{\frac {d^{2}v(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}\cdot v(t)=0

{\ Displaystyle {\ frac {1} {RC}} \ cdot {\ frac {dv (t)} {dt}} + {\ frac {d ^ {2} v (t)} {dt ^ {2}} } + {\ frac {1} {LC}} \ cdot v (t) = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {RC}} \ cdot {\ frac {dv (t)} {dt}} + {\ frac {d ^ {2} v (t)} {dt ^ {2}} } + {\ frac {1} {LC}} \ cdot v (t) = 0}

La presencia de un generador de corriente constante no afecta a las ecuaciones: la solución de la ecuación diferencial es la misma que sin el propio generador, como si estuviera en libre evolución. Se definen los dos parámetros:

\alpha ={\frac {1}{2RC}}

{\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {2RC}}}

\ alpha = {\ frac {1} {2RC}}

dicha constante de amortiguamiento (nótese que es diferente a la del circuito en serie) y:

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

\ omega _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {LC}}}}

dicha pulsación de resonancia que coincide con la obtenida para la serie RLC.

Solución de la ecuación

Ambas ecuaciones que gobiernan el circuito RLC en serie y en paralelo tienen la forma:

{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+2\alpha \cdot {\frac {dx(t)}{dt}}+\omega _{0}^{2}\cdot x(t)=0

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + 2 \ alpha \ cdot {\ frac {dx (t)} {dt}} + \ omega _ {0 } ^ {2} \ cdot x (t) = 0}

{\ frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + 2 \ alpha \ cdot {\ frac {dx (t)} {dt}} + \ omega _ {{0}} ^ {{2}} \ cdot x (t) = 0

Dónde está $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ es diferente del circuito en serie al circuito paralelo, mientras que el $\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ es igual para ambos circuitos. Los dos circuitos son duales. Sustituyendo su ecuación característica a la expresión anterior, obtenemos una ecuación en la variable s :

s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0

{\ Displaystyle s ^ {2} +2 \ alpha s + \ omega _ {0} ^ {2} = 0}

s ^ {2} +2 \ alpha s + \ omega _ {{0}} ^ {{2}} = 0

Las raíces de esta ecuación se llaman frecuencias naturales :

s_{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = - \ alpha + {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}}

s_ {1} = - \ alpha + {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ {{0}} ^ {{2}}}}

s_{2}=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}

{\ Displaystyle s_ {2} = - \ alpha - {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}}

s_ {2} = - \ alpha - {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ {{0}} ^ {{2}}}}

y la solución de la ecuación diferencial es en forma de combinaciones de exponenciales reales o complejas, según corresponda:

Amortiguación fuerte

En este caso, se dice que el circuito está sobreamortiguado (fuertemente amortiguado) , siendo $\alpha >\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ alpha> \ omega _ {0}}$ $\ alpha> \ omega _ {{0}}$ (la constante de amortiguación mayor que la pulsación resonante) y las dos raíces son reales y distintas, la solución toma la forma:

x(t)=A_{1}\cdot e^{s_{1}t}+A_{2}\cdot e^{s_{2}t}

{\ Displaystyle x (t) = A_ {1} \ cdot e ^ {s_ {1} t} + A_ {2} \ cdot e ^ {s_ {2} t}}

x (t) = A_ {1} \ cdot e ^ {{s_ {1} t}} + A_ {2} \ cdot e ^ {{s_ {2} t}}

Dónde está $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ son dos constantes que deben resolverse imponiendo las condiciones iniciales. La solución es una combinación de dos exponenciales reales con constantes de tiempo. $\tau _{1}=-1/s_{1}$ ${\ Displaystyle \ tau _ {1} = - 1 / s_ {1}}$ $\ tau _ {1} = - 1 / s_ {1}$ Y $\tau _{2}=-1/s_{2}$ ${\ Displaystyle \ tau _ {2} = - 1 / s_ {2}}$ $\ tau _ {2} = - 1 / s_ {2}$ . De la gráfica de la solución vemos que la respuesta $x(t)$ ${\ Displaystyle x (t)}$ $x (t)$ no oscila ya que predomina el término exponencial y por tanto la respuesta se cancela rápidamente. Como el $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ la respuesta está dominada por la primera exponencial. Al imponer las condiciones iniciales:

x(0)=A_{1}+A_{2}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {1} + A_ {2}}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {1} + A_ {2}}

{\frac {\mathrm {d} x(0)}{\mathrm {d} t}}=A_{1}s_{1}+A_{2}s_{2}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = A_ {1} s_ {1} + A_ {2} s_ {2}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = A_ {1} s_ {1} + A_ {2} s_ {2}}

las constantes $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ se obtienen resolviendo este sistema:

A_{1}={\frac {A_{1}s_{1}+A_{2}s_{2}-(A_{1}+A_{2})s_{2}}{s_{1}-s_{2}}}\,\,\,\,A_{2}={\frac {A_{1}s_{1}+A_{2}s_{2}-(A_{1}+A_{2})s_{1}}{s_{2}-s_{1}}}

{\ Displaystyle A_ {1} = {\ frac {A_ {1} s_ {1} + A_ {2} s_ {2} - (A_ {1} + A_ {2}) s_ {2}} {s_ {1 } -s_ {2}}} \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {A_ {1} s_ {1} + A_ {2} s_ {2} - (A_ {1} + A_ {2}) s_ {1}} {s_ {2} -s_ {1}}}}

A_ {1} = {\ frac {A_ {1} s_ {1} + A_ {2} s_ {2} - (A_ {1} + A_ {2}) s_ {2}} {s_ {1} -s_ {2}}} \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {A_ {1} s_ {1} + A_ {2} s_ {2} - (A_ {1} + A_ {2} ) s_ {1}} {s_ {2} -s_ {1}}}

Amortiguación crítica

En ese caso, se dice que el circuito tiene una amortiguación crítica , siendo $\alpha =\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ alpha = \ omega _ {0}}$ $\ alpha = \ omega _ {{0}}$ (la constante de amortiguación es igual a la pulsación de resonancia), y las dos raíces son reales y coincidentes $s_{1}=s_{2}=-\alpha =-\omega _{0}$ ${\ Displaystyle s_ {1} = s_ {2} = - \ alpha = - \ omega _ {0}}$ ${\ Displaystyle s_ {1} = s_ {2} = - \ alpha = - \ omega _ {0}}$ , la solución toma la forma:

x(t)=(A_{1}\cdot t+A_{2})\cdot e^{-\alpha t}

{\ Displaystyle x (t) = (A_ {1} \ cdot t + A_ {2}) \ cdot e ^ {- \ alpha t}}

x (t) = (A_ {1} \ cdot t + A_ {2}) \ cdot e ^ {{- \ alpha t}}

Dónde está $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ deben determinarse imponiendo las condiciones iniciales. La solución tiene un exponencial real y el gráfico de respuesta tiene un máximo para $t=1/\alpha -A_{2}/A_{1}$ ${\ Displaystyle t = 1 / \ alpha -A_ {2} / A_ {1}}$ ${\ Displaystyle t = 1 / \ alpha -A_ {2} / A_ {1}}$ después de lo cual tiende a cero. Al imponer las condiciones iniciales:

x(0)=A_{2}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {2}}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {2}}

{\frac {\mathrm {d} x(0)}{\mathrm {d} t}}=A_{1}-\alpha A_{2}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = A_ {1} - \ alpha A_ {2}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = A_ {1} - \ alpha A_ {2}}

las constantes $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ se obtienen resolviendo este sistema:

A_{1}=A_{1}-\alpha A_{2}+\alpha A_{2}\,\,\,\,A_{2}=x(0)

{\ Displaystyle A_ {1} = A_ {1} - \ alpha A_ {2} + \ alpha A_ {2} \, \, \, \, A_ {2} = x (0)}

A_ {1} = A_ {1} - \ alpha A_ {2} + \ alpha A_ {2} \, \, \, \, A_ {2} = x (0)

Amortiguación débil

En este caso, se dice que el circuito no está amortiguado (débilmente amortiguado) , siendo $\alpha <\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ alpha <\ omega _ {0}}$ $\ alpha <\ omega _ {{0}}$ (la constante de amortiguación menor de la pulsación resonante), y las raíces son complejas y conjugadas:

s_{1}=-\alpha +j{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}\,\,\,s_{2}=-\alpha -j{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = - \ alpha + j {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}} \, \, \, s_ {2} = - \ alpha -j {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = - \ alpha + j {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}} \, \, \, s_ {2} = - \ alpha -j {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

con $j$ ${\ Displaystyle j}$ $j$ unidad imaginaria $(j^{2}=-1)$ ${\ Displaystyle (j ^ {2} = - 1)}$ ${\ Displaystyle (j ^ {2} = - 1)}$ . Definiendo:

\beta ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}

{\ Displaystyle \ beta = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

\ beta = {\ sqrt {\ omega _ {{0}} ^ {{2}} - \ alpha ^ {2}}}

la solución toma la forma:

x(t)=\left[A_{1}\cos \beta t+A_{2}\sin \beta t\right]e^{-\alpha t}

{\ Displaystyle x (t) = \ left [A_ {1} \ cos \ beta t + A_ {2} \ sin \ beta t \ right] e ^ {- \ alpha t}}

x (t) = \ left [A_ {1} \ cos \ beta t + A_ {2} \ sin \ beta t \ right] e ^ {{- \ alpha t}}

Dónde está $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ deben determinarse imponiendo las condiciones iniciales. Por elección:

A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}}\,\,\,\phi =-\arctan {\frac {A_{2}}{A_{1}}}

{\ Displaystyle A = {\ sqrt {A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2}}} \, \, \, \ phi = - \ arctan {\ frac {A_ {2}} { A_ {1}}}}

A = {\ sqrt {A _ {{1}} ^ {{2}} + A _ {{2}} ^ {{2}}}} \, \, \, \ phi = - \ arctan {\ frac {A_ {2}} {A_ {1}}}

A_{1}=A\cos \phi \,\,\,\,A_{2}=-A\sin \phi

{\ Displaystyle A_ {1} = A \ cos \ phi \, \, \, \, A_ {2} = - A \ sin \ phi}

A_ {1} = A \ cos \ phi \, \, \, \, A_ {2} = - A \ sin \ phi

la solución se puede poner en la forma:

x(t)=Ae^{-\alpha t}\cos \ (\beta t+\phi )

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {- \ alpha t} \ cos \ (\ beta t + \ phi)}

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {- \ alpha t} \ cos \ (\ beta t + \ phi)}

La solución es una combinación de dos exponenciales reales iguales y la oscilación de la respuesta está modulada por el valor de estos exponenciales. $\pm Ae^{-\alpha t}$ ${\ Displaystyle \ pm Ae ^ {- \ alpha t}}$ $\ pm Ae ^ {{- \ alpha t}}$ con constantes de tiempo iguales $\tau =1/\alpha$ ${\ Displaystyle \ tau = 1 / \ alpha}$ $\ tau = 1 / \ alpha$ . Al imponer las condiciones iniciales:

x(0)=A_{1}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {1}}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {1}}

{\frac {\mathrm {d} x(0)}{\mathrm {d} t}}=-\alpha A_{1}+A_{2}\beta

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = - \ alpha A_ {1} + A_ {2} \ beta}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = - \ alpha A_ {1} + A_ {2} \ beta}

las constantes $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ se obtienen resolviendo este sistema:

A_{1}=x(0)\,\,\,\,A_{2}={\frac {-\alpha A_{1}+A_{2}\beta +\alpha A_{1}}{\beta }}

{\ Displaystyle A_ {1} = x (0) \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {- \ alpha A_ {1} + A_ {2} \ beta + \ alpha A_ {1} } {\ beta}}}

A_ {1} = x (0) \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {- \ alpha A_ {1} + A_ {2} \ beta + \ alpha A_ {1}} {\ beta}}

Amortiguación cero

En ese caso, el circuito es sin amortiguación. $\alpha =0$ ${\ Displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alpha = 0$ (la constante de amortiguación nula), las raíces son puramente imaginarias: $s_{1}=s_{2}=\pm i\omega _{0}$ ${\ Displaystyle s_ {1} = s_ {2} = \ pm i \ omega _ {0}}$ ${\ Displaystyle s_ {1} = s_ {2} = \ pm i \ omega _ {0}}$ y la solución toma la forma:

x(t)=A_{1}\cos \omega _{0}t+A_{2}\sin \omega _{0}t=A\cos(\omega _{0}t+\phi )

{\ Displaystyle x (t) = A_ {1} \ cos \ omega _ {0} t + A_ {2} \ sin \ omega _ {0} t = A \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi )}

{\ Displaystyle x (t) = A_ {1} \ cos \ omega _ {0} t + A_ {2} \ sin \ omega _ {0} t = A \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi )}

Dónde está $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ o $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ deben determinarse imponiendo las condiciones iniciales. En el circuito en serie $\alpha =0$ ${\ Displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alpha = 0$ significa $R=0$ ${\ Displaystyle R = 0}$ ${\ Displaystyle R = 0}$ y en el paralelo $R=\infty$ ${\ Displaystyle R = \ infty}$ ${\ Displaystyle R = \ infty}$ , en ambos casos la solución es una sinusoide que nunca se apaga. También en este caso las constantes son:

A_{1}=x(0)\,\,\,\,A_{2}={\frac {\mathrm {d} x(0)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle A_ {1} = x (0) \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle A_ {1} = x (0) \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}}}

Consideraciones

Circuito RLC en serie con generador constante

En cuanto a las soluciones del circuito RLC en serie, la solución permite encontrar el valor de según los casos $i(t)$ ${\ Displaystyle i (t)}$ $eso)$ . Una vez encontrado este valor, podemos obtener las otras cantidades:

v_{R}(t)=R\cdot i(t)

{\ Displaystyle v_ {R} (t) = R \ cdot i (t)}

v_ {R} (t) = R \ cdot i (t)

v_{L}(t)=L\cdot {\frac {\mathrm {d} i(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle v_ {L} (t) = L \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle v_ {L} (t) = L \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t}}}

v_{C}(t)=e-v_{R}(t)-v_{L}(t)

{\ Displaystyle v_ {C} (t) = e-v_ {R} (t) -v_ {L} (t)}

{\ Displaystyle v_ {C} (t) = e-v_ {R} (t) -v_ {L} (t)}

con $e=v_{R}(t)+v_{L}(t)+v_{C}(t)$ ${\ Displaystyle e = v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t)}$ ${\ Displaystyle e = v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t)}$ constante. Tenga en cuenta que en este caso para $t\to \infty$ ${\ Displaystyle t \ to \ infty}$ $t \ to \ infty$ resulta $v_{R}(t)\to 0$ ${\ Displaystyle v_ {R} (t) \ to 0}$ ${\ Displaystyle v_ {R} (t) \ to 0}$ , $v_{L}(t)\to 0$ ${\ Displaystyle v_ {L} (t) \ to 0}$ ${\ Displaystyle v_ {L} (t) \ to 0}$ Y $v_{C}(t)=e$ ${\ Displaystyle v_ {C} (t) = e}$ ${\ Displaystyle v_ {C} (t) = e}$ es decir, el inductor se comporta como un cortocircuito y el condensador como un circuito abierto $v_{C}=e$ ${\ Displaystyle v_ {C} = e}$ ${\ Displaystyle v_ {C} = e}$ .

Circuito RLC en paralelo con generador constante

En el caso del circuito RLC en paralelo, la solución permite obtener, según los casos, la $v(t)$ ${\ Displaystyle v (t)}$ $v (t)$ . Una vez encontrado este valor, podemos obtener las otras cantidades:

i_{R}(t)={\frac {1}{R}}v(t)

{\ Displaystyle i_ {R} (t) = {\ frac {1} {R}} v (t)}

{\ Displaystyle i_ {R} (t) = {\ frac {1} {R}} v (t)}

i_{C}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle i_ {C} (t) = C {\ frac {\ mathrm {d} v (t)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle i_ {C} (t) = C {\ frac {\ mathrm {d} v (t)} {\ mathrm {d} t}}}

i_{L}(t)=i(t)-i_{R}(t)-i_{C}(t)

{\ Displaystyle i_ {L} (t) = i (t) -i_ {R} (t) -i_ {C} (t)}

{\ Displaystyle i_ {L} (t) = i (t) -i_ {R} (t) -i_ {C} (t)}

RLC en régimen sinusoidal

El mismo tema en detalle: circuito resonante .

El circuito RLC en serie y en paralelo se simplifica si se estudia en régimen sinusoidal, para lo cual se utiliza el método simbólico .

Serie RLC en régimen sinusoidal

Tomamos como referencia la figura del RLC en serie y, como lo requiere el método simbólico, reemplazamos los elementos con sus respectivas relaciones fasoriales:

\mathbf {Z} _{R}(j\omega )=R

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} (j \ omega) = R}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} (j \ omega) = R}

\mathbf {Z} _{L}(j\omega )=j\omega L

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} (j \ omega) = j \ omega L}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} (j \ omega) = j \ omega L}

\mathbf {Z} _{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}

con $j$ ${\ Displaystyle j}$ $j$ siempre unidad imaginaria. Por tanto, podemos calcular la impedancia del circuito:

\mathbf {Z} (j\omega )=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}=R+j\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega) = R + j \ omega L + {\ frac {1} {j \ omega C}} = R + j \ left (\ omega L - {\ frac {1 } {\ omega C}} \ right)}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega) = R + j \ omega L + {\ frac {1} {j \ omega C}} = R + j \ left (\ omega L - {\ frac {1 } {\ omega C}} \ right)}

en esta forma tenemos resistencia $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ y una reactancia $X=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}$ ${\ Displaystyle X = \ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}}}$ ${\ Displaystyle X = \ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}}}$ . Vemos entonces que la reactancia se cancela para:

\omega L-{\frac {1}{\omega C}}=0\,\,\Rightarrow \,\,\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle \ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} = 0 \, \, \ Rightarrow \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC} }}}

\ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} = 0 \, \, \ Flecha derecha \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {LC}}} }

para pulsaciones $\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ llamada pulsación de resonancia . La admisión de esta pulsación

\mathbf {Y} (j\omega _{0})={\frac {1}{R}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (j \ omega _ {0}) = {\ frac {1} {R}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (j \ omega _ {0}) = {\ frac {1} {R}}}

tiene un módulo que tiene un pico y por lo tanto tiene un módulo máximo: por lo tanto tenemos el fenómeno de resonancia .

RLC paralelo en régimen sinusoidal

Tomamos como referencia la figura del RLC en paralelo y, como lo requiere el método simbólico, reemplazamos los elementos con sus respectivas relaciones, teniendo en cuenta el generador $i(t)\Rightarrow \mathbf {I} _{s}$ ${\ Displaystyle i (t) \ Rightarrow \ mathbf {I} _ {s}}$ ${\ Displaystyle i (t) \ Rightarrow \ mathbf {I} _ {s}}$ :

\mathbf {Z} _{R}(j\omega )=R

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} (j \ omega) = R}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} (j \ omega) = R}

\mathbf {Z} _{L}(j\omega )=j\omega L

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} (j \ omega) = j \ omega L}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} (j \ omega) = j \ omega L}

\mathbf {Z} _{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}

Es conveniente en este caso calcular la entrada :

\mathbf {Y} (j\omega )={\frac {1}{R}}+{\frac {1}{j\omega L}}+j\omega C={\frac {1}{R}}+j\left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right)

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (j \ omega) = {\ frac {1} {R}} + {\ frac {1} {j \ omega L}} + j \ omega C = {\ frac {1} {R}} + j \ left (\ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} \ right)}

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (j \ omega) = {\ frac {1} {R}} + {\ frac {1} {j \ omega L}} + j \ omega C = {\ frac {1} {R}} + j \ left (\ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} \ right)}

en esta forma tenemos una conductancia $G={\frac {1}{R}}$ ${\ Displaystyle G = {\ frac {1} {R}}}$ $G = {\ frac {1} {R}}$ y una susceptibilidad $B=\omega C-{\frac {1}{\omega L}}$ ${\ Displaystyle B = \ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}}}$ $B = \ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}}$ . Vemos entonces que la susceptibilidad se desvanece debido a:

\omega C-{\frac {1}{\omega L}}=0\,\,\Rightarrow \,\,\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle \ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} = 0 \, \, \ Rightarrow \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC} }}}

\ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} = 0 \, \, \ Flecha derecha \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {LC}}} }

por frecuencia $\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ dicha frecuencia resonante . La impedancia para esta frecuencia

\mathbf {Z} (j\omega _{0})=R

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega _ {0}) = R}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega _ {0}) = R}

tiene un módulo que tiene un pico y por lo tanto tiene un módulo máximo: por lo tanto tenemos el fenómeno de resonancia .

Ejemplo de análisis de un circuito RLC como un sistema dinámico lineal estacionario mediante la transformada de Laplace

En el caso del circuito RLC que se muestra en la figura, el vector de estado ${\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ se compone de la corriente $x_{1}$ ${\ Displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ pasando a través de la inductancia del inductor $L$ ${\ Displaystyle L}$ $L$ y tensión $x_{2}$ ${\ Displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ a través del capacitor capacitor $C_{1}$ ${\ Displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ , donde la entrada ${\vec {u}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ es el voltaje del generador mientras que el vector de las salidas ${\vec {y}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ viene dado, por ejemplo, por las corrientes que atraviesan la resistencia de resistencia $R_{1}$ ${\ Displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ y resistencia de resistencia $R_{2}$ ${\ Displaystyle R_ {2}}$ $R_ {2}$ . Aplicando las ecuaciones constitutivas de los bipolares así como las ecuaciones topológicas o leyes de Kirchhoff tenemos:

{\begin{aligned}{\vec {u}}(t)&=L{\frac {\mathrm {d} (x_{1}(t))}{\mathrm {d} t}}+R_{1}i_{2}(t)\\R_{1}i_{2}(t)&=R_{2}C_{1}{\frac {\mathrm {d} (x_{2}(t))}{\mathrm {d} t}}+x_{2}(t)\\i_{2}(t)&=x_{1}(t)-C_{1}{\frac {\mathrm {d} (x_{2}(t))}{\mathrm {d} t}}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {u}} (t) & = L {\ frac {\ mathrm {d} (x_ {1} (t))} {\ mathrm {d} t}} + R_ {1} i_ {2} (t) \\ R_ {1} i_ {2} (t) & = R_ {2} C_ {1} {\ frac {\ mathrm {d} (x_ {2} ( t))} {\ mathrm {d} t}} + x_ {2} (t) \\ i_ {2} (t) & = x_ {1} (t) -C_ {1} {\ frac {\ mathrm {d} (x_ {2} (t))} {\ mathrm {d} t}} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {u}} (t) & = L {\ frac {\ mathrm {d} (x_ {1} (t))} {\ mathrm {d} t}} + R_ {1} i_ {2} (t) \\ R_ {1} i_ {2} (t) & = R_ {2} C_ {1} {\ frac {\ mathrm {d} (x_ {2} ( t))} {\ mathrm {d} t}} + x_ {2} (t) \\ i_ {2} (t) & = x_ {1} (t) -C_ {1} {\ frac {\ mathrm {d} (x_ {2} (t))} {\ mathrm {d} t}} \ end {alineado}}}

Por tanto, sustituyendo la última relación en las anteriores y colocando

{\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ vec {x}} (t) = {\ begin {pmatrix} x_ {1} (t) \\ x_ {2} (t) \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ vec {x}} (t) = {\ begin {pmatrix} x_ {1} (t) \\ x_ {2} (t) \ end {pmatrix}}}

Definiendo $\mathbf {A}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ , $\mathbf {B}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ , $\mathbf {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ Y $\mathbf {D}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ como matrices de dimensiones adecuadas que premultiplican el estado ${\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ y las entradas ${\vec {u}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ , tendremos:

{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)\qquad {\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t)

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {x}} (t)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t) \ qquad {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} {\ vec {u}} (t)}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {x}} (t)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t) \ qquad {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} {\ vec {u}} (t)}

En nuestro caso, tenemos que:

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{\frac {{-R}_{1}R_{2}}{L(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {{-R}_{1}}{L(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {{-R} _ {1} R_ {2}} {L (R_ {1} + R_ {2})}} & {\ frac {{-R} _ {1}} {L (R_ {1} + R_ {2})}} \\ {\ frac {R_ {1}} {C_ {1} (R_ {1} + R_ { 2})}} y {\ frac {-1} {C_ {1} (R_ {1} + R_ {2})}} \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {{-R} _ {1} R_ {2}} {L (R_ {1} + R_ {2})}} & {\ frac {{-R} _ {1}} {L (R_ {1} + R_ {2})}} \\ {\ frac {R_ {1}} {C_ {1} (R_ {1} + R_ { 2})}} y {\ frac {-1} {C_ {1} (R_ {1} + R_ {2})}} \ end {pmatrix}}}

{\vec {B}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{L}}\\0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}}}

\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}{\frac {R_{2}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {1}{(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{(R_{1}+R_{2})}}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ mathbf {C} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {R_ {2}} {(R_ {1} + R_ {2})}} & {\ frac {1} {(R_ {1 } + R_ {2})}} \\ {\ frac {R_ {1}} {(R_ {1} + R_ {2})}} & {\ frac {-1} {(R_ {1} + R_ {2})}} \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {C} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {R_ {2}} {(R_ {1} + R_ {2})}} & {\ frac {1} {(R_ {1 } + R_ {2})}} \\ {\ frac {R_ {1}} {(R_ {1} + R_ {2})}} & {\ frac {-1} {(R_ {1} + R_ {2})}} \ end {pmatrix}}}

{\vec {D}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ vec {D}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ vec {D}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}}

Por ejemplo, suponga que desea determinar la tendencia de la segunda variable de estado a partir de un instante dado $t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , asumiendo que el valor inicial del mismo es cero y la tendencia de la entrada coincide con un pulso de Dirac centrado en $t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ . En el dominio de Laplace, la entrada tiene, por tanto, un valor unitario idéntico, por lo que tendremos:

{\begin{aligned}{\vec {X}}(s)&=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}\,U(s)\\&=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}\\&={\frac {1}{LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2}+(R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1}}}{\begin{pmatrix}sC_{1}R_{1}L+sC_{1}R_{2}L+L&-C_{1}R_{1}\\LR_{1}&LsC_{1}R_{1}+C_{1}R_{2}R_{1}+LsC_{1}R_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{L}}\\0\end{pmatrix}}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {X}} (s) & = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \, U (s) \\ & = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \\ & = {\ frac {1} {LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2} + (R_ {1} R_ {2} C_ {1} + L) s + {1}}} {\ begin {pmatrix} sC_ {1} R_ { 1} L + sC_ {1} R_ {2} L + L y -C_ {1} R_ {1} \\ LR_ {1} y LsC_ {1} R_ {1} + C_ {1} R_ {2} R_ {1} + LsC_ {1} R_ {2} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {X}} (s) & = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \, U (s) \\ & = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \\ & = {\ frac {1} {LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2} + (R_ {1} R_ {2} C_ {1} + L) s + {1}}} {\ begin {pmatrix} sC_ {1} R_ { 1} L + sC_ {1} R_ {2} L + L y -C_ {1} R_ {1} \\ LR_ {1} y LsC_ {1} R_ {1} + C_ {1} R_ {2} R_ {1} + LsC_ {1} R_ {2} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ end {alineado}}}

Por lo tanto:

X_{2}(s)={\frac {R_{1}}{(LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2})+((R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1})}}

{\ Displaystyle X_ {2} (s) = {\ frac {R_ {1}} {(LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2}) + ((R_ {1} R_ {2} C_ {1} + L) s + {1})}}}

{\ Displaystyle X_ {2} (s) = {\ frac {R_ {1}} {(LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2}) + ((R_ {1}) R_ {2} C_ {1} + L) s + {1})}}}

Antitransformación para pasar al dominio del tiempo :

x_{2}(t)=R_{1}{\frac {e^{-s_{1}t}-e^{-s_{2}t}}{s_{2}-s_{1}}},\,t>t_{0}

{\ Displaystyle x_ {2} (t) = R_ {1} {\ frac {e ^ {- s_ {1} t} -e ^ {- s_ {2} t}} {s_ {2} -s_ {1 }}}, \, t> t_ {0}}

{\ Displaystyle x_ {2} (t) = R_ {1} {\ frac {e ^ {- s_ {1} t} -e ^ {- s_ {2} t}} {s_ {2} -s_ {1 }}}, \, t> t_ {0}}

Dónde está:

s_{1}={\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}^{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}+C_{1}R_{1}R_{2}+L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = {\ frac {{\ sqrt {C_ {1} ^ {2} R_ {1} ^ {2} R_ {2} ^ {2} -2C_ {1} LR_ {1} R_ {2} -4C_ {1} LR_ {1} ^ {2} + L ^ {2}}} + C_ {1} R_ {1} R_ {2} + L} {2C_ {1} LR_ {2} + 2C_ {1} LR_ {1}}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = {\ frac {{\ sqrt {C_ {1} ^ {2} R_ {1} ^ {2} R_ {2} ^ {2} -2C_ {1} LR_ {1} R_ {2} -4C_ {1} LR_ {1} ^ {2} + L ^ {2}}} + C_ {1} R_ {1} R_ {2} + L} {2C_ {1} LR_ {2} + 2C_ {1} LR_ {1}}}}

s_{2}=-{\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}-C_{1}R_{1}R_{2}-L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}}

{\ Displaystyle s_ {2} = - {\ frac {{\ sqrt {C_ {1} ^ {2} R_ {1} ^ {2} R_ {2} -2C_ {1} LR_ {1} R_ {2} -4C_ {1} LR_ {1} ^ {2} + L ^ {2}}} - C_ {1} R_ {1} R_ {2} -L} {2C_ {1} LR_ {2} + 2C_ {1 } LR_ {1}}}}

{\ Displaystyle s_ {2} = - {\ frac {{\ sqrt {C_ {1} ^ {2} R_ {1} ^ {2} R_ {2} -2C_ {1} LR_ {1} R_ {2} -4C_ {1} LR_ {1} ^ {2} + L ^ {2}}} - C_ {1} R_ {1} R_ {2} -L} {2C_ {1} LR_ {2} + 2C_ {1 } LR_ {1}}}}

Oscilador ideal

El mismo tema en detalle: Sistema dinámico .

Suponer $R=0$ ${\ Displaystyle R = 0}$ $R = 0$ : esto significa descuidar las pérdidas de energía en el circuito, es decir, imaginar que la cantidad de energía inicialmente suministrada al circuito no se disipa con el tiempo. Esto nos lleva a escribir, pasando al dominio de Laplace :

H(s)={\frac {sC}{s^{2}LC+1}}

{\ Displaystyle H (s) = {\ frac {sC} {s ^ {2} LC + 1}}}

H (s) = {\ frac {sC} {s ^ {2} LC + 1}}

.

Es fácil notar que la función de transferencia tiene un par de polos complejos conjugados (el polo de una función compleja es el punto donde su denominador desaparece), que se mantienen

p_{1}=j{\frac {1}{\sqrt {LC}}},\ p_{2}=-j{\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle p_ {1} = j {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}, \ p_ {2} = - j {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

{\ Displaystyle p_ {1} = j {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}, \ p_ {2} = - j {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

Este punto representa la pulsación resonante del oscilador. Esto significa que en ese pulso y su frecuencia $f={\frac {\operatorname {Im} \{p\}}{2\pi }}$ ${\ Displaystyle f = {\ frac {\ operatorname {Im} \ {p \}} {2 \ pi}}}$ ${\ Displaystyle f = {\ frac {\ operatorname {Im} \ {p \}} {2 \ pi}}}$ el circuito es capaz de autoalimentarse : si el generador está apagado, la energía acumulada en el condensador y en el inductor continúa circulando en el circuito, generando una oscilación casi perfectamente sinusoidal caracterizada por la frecuencia $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ .

Otros proyectos

Wikilibros contiene textos o manuales sobre Circuito RLC
Wikimedia Commons contiene imágenes u otros archivos en Circuito RLC

enlaces externos

Análisis de un circuito RLC de sistemas de segundo orden ^{[ enlace roto ]} , en ettorepanella.com .
RLC transitorio - Ejercicios , en electroyou.it .
Circuitos resonantes (RLC paralelo) , en cirocarbone.it . Consultado el 29 de diciembre de 2011 (archivado desde el original el 27 de abril de 2012) .

Control de autoridad	GND (DE) 4166982-4

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Circuito RLC

Índice

RLC en serie y en paralelo

RLC en serie

RLC en paralelo

Solución de la ecuación

Amortiguación fuerte

Amortiguación crítica

Amortiguación débil

Amortiguación cero

Consideraciones

RLC en régimen sinusoidal

Serie RLC en régimen sinusoidal

RLC paralelo en régimen sinusoidal

Ejemplo de análisis de un circuito RLC como un sistema dinámico lineal estacionario mediante la transformada de Laplace

Oscilador ideal

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