circuito RLC

Un circuito RLC es un circuito eléctrico que contiene sólo resistencias , inductores y condensadores . Por extensión, un RLC se refiere a menudo como un circuito que contiene sólo elementos pasivos. El nombre de los deriva de circuito de los símbolos de las magnitudes físicas que caracterizan a los elementos pasivos, respectivamente de resistencia eléctrica , inductancia y capacitancia eléctrica .

Circuitos RLC son lineales dinámicos sistemas . Un circuito RLC constituye un oscilador armónico para la corriente eléctrica y entra en resonancia siguiendo las mismas leyes físicas del circuito LC. La diferencia con respecto a este último es la presencia de la resistencia, que amortigua las oscilaciones inducidas en el circuito si no están soportados por una fuente.

RLC en serie y en paralelo

Las figuras de la derecha muestran los circuitos RLC en serie y en paralelo.

RLC en serie

circuito RLC en serie con el generador constante.

Considere el circuito en serie RLC en la figura, la aplicación de la ley de Kirchhoff de las tensiones que obtenemos:

v_{R}(t)+v_{L}(t)+v_{C}(t)=e(t)

{\ Displaystyle v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t) = e (t)}

{\ Displaystyle v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t) = e (t)}

y, en sustitución de las relaciones constitutivas de los elementos:

Ri(t)+L\cdot {\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}i(t)\,dt=e(t).

{\ Displaystyle Ri (t) + L \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {1} {C}} \ int _ {0} ^ {t} i (t) \ , dt = e (t).}

{\ Displaystyle Ri (t) + L \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {1} {C}} \ int _ {0} ^ {t} i (t) \ , dt = e (t).}

Esforzándose en cuenta que como un generador de tensión constante $e(t)=e_{0}$ ${\ Displaystyle e (t) = e_ {0}}$ $e (t) = e_ {0}$ , Derivando una vez con respecto a $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ y dividiendo por la inductancia $L$ ${\ Displaystyle L}$ $L$ , Podemos reescribir la ecuación en forma diferencial:

{\frac {R}{L}}\cdot {\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}\cdot i(t)=0.

{\ Displaystyle {\ frac {R} {L}} \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {d ^ {2} i (t)} {dt ^ {2}} } + {\ frac {1} {LC}} \ cdot i (t) = 0.}

{\ Displaystyle {\ frac {R} {L}} \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {d ^ {2} i (t)} {dt ^ {2}} } + {\ frac {1} {LC}} \ cdot i (t) = 0.}

Por lo tanto la presencia de un generador de constante no afecta a las ecuaciones: la solución de la ecuación diferencial es el mismo que el que no tiene un generador, como si fuera en evolución libre. Dos parámetros se definen entonces:

\alpha ={\frac {R}{2L}}

{\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {R} {2L}}}

\ Alpha = {\ frac {R} {2L}}

dicho constante de amortiguamiento y:

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

\ Omega _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {LC}}}}

llamado pulsación de resonancia.

RLC en paralelo

circuito RLC en paralelo con el generador constante.

Teniendo en cuenta el circuito RLC en paralelo en la figura, con generador de corriente constante, la aplicación de la ley de Kirchhoff de las corrientes se obtiene:

i_{R}(t)+i_{C}(t)+i_{L}(t)=i(t)

{\ Displaystyle i_ {R} (t) + i_ {C} (t) + i_ {L} (t) = i (t)}

{\ Displaystyle i_ {R} (t) + i_ {C} (t) + i_ {L} (t) = i (t)}

La sustitución de las relaciones constitutivas de los elementos:

{\frac {v(t)}{R}}+C\cdot {\frac {dv(t)}{dt}}+{\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}v(t)\,dt=i(t)

{\ Displaystyle {\ frac {v (t)} {R}} + C \ cdot {\ frac {dv (t)} {dt}} + {\ frac {1} {L}} \ int _ {0} ^ {t} v (t) \, dt = i (t)}

{\ Displaystyle {\ frac {v (t)} {R}} + C \ cdot {\ frac {dv (t)} {dt}} + {\ frac {1} {L}} \ int _ {0} ^ {t} v (t) \, dt = i (t)}

Derivación de una vez con respecto a $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ y dividiendo por la capacidad $C.$ ${\ Displaystyle C}$ $C.$ , Podemos reescribir la ecuación en forma diferencial:

{\frac {1}{RC}}\cdot {\frac {dv(t)}{dt}}+{\frac {d^{2}v(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}\cdot v(t)=0

{\ Displaystyle {\ frac {1} {RC}} \ cdot {\ frac {dv (t)} {dt}} + {\ frac {d ^ {2} v (t)} {dt ^ {2}} } + {\ frac {1} {LC}} \ cdot v (t) = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {RC}} \ cdot {\ frac {dv (t)} {dt}} + {\ frac {d ^ {2} v (t)} {dt ^ {2}} } + {\ frac {1} {LC}} \ cdot v (t) = 0}

La presencia de un generador de corriente constante no afecta a las ecuaciones: la solución de la ecuación diferencial es la misma que sin el generador de sí misma, como si estuviera en evolución libre. Se definen los dos parámetros:

\alpha ={\frac {1}{2RC}}

{\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {2RC}}}

\ Alpha = {\ frac {1} {}} 2RC

dijo constante de amortiguamiento (nota que es diferente de la del circuito en serie) y:

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

\ Omega _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {LC}}}}

dicho resonancia pulsación que coincide con la obtenida para la serie RLC.

Solución de la ecuación

Ambas ecuaciones que rigen la serie y el circuito paralelo de RLC son de la forma:

{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+2\alpha \cdot {\frac {dx(t)}{dt}}+\omega _{0}^{2}\cdot x(t)=0

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + 2 \ alpha \ cdot {\ frac {dx (t)} {dt}} + \ omega _ {0 } ^ {2} \ cdot x (t) = 0}

{\ Frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + 2 \ alpha \ cdot {\ frac {dx (t)} {dt}} + \ omega _ {{0}} ^ {{2}} \ cdot x (t) = 0

Dónde está $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ es diferente del circuito en serie con el circuito paralelo, mientras que la $\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ es la misma para ambos circuitos. Los dos circuitos son duales. Sustituyendo su ecuación característica para la expresión anterior, se obtiene una ecuación en la variable s:

s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0

{\ Displaystyle s ^ {2} 2 \ alpha s + \ omega _ {0} ^ {2} = 0}

s ^ {2} 2 \ alpha s + \ omega _ {0} {} ^ {{2}} = 0

Las raíces de esta ecuación se llaman frecuencias naturales:

s_{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = - \ alpha + {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}}

s_ {1} = - \ alpha + {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ {0} {} ^ {2} {}}}

s_{2}=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}

{\ Displaystyle s_ {2} = - \ alpha - {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}}

s_ {2} = - \ alpha - {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ {0} {} ^ {2} {}}}

y la solución de la ecuación diferencial es de la forma de combinaciones de exponenciales reales o complejos según sea apropiado:

amortiguación fuerte

En este caso, se dice que el circuito que se va sobreamortiguado (fuertemente amortiguado), siendo $\alpha >\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ alpha> \ omega _ {0}}$ $\ Alpha> \ omega _ {0} {}$ (La amortiguación mayor constante que la pulsación de resonancia) y las dos raíces son reales y distintas, la solución toma la forma:

x(t)=A_{1}\cdot e^{s_{1}t}+A_{2}\cdot e^{s_{2}t}

{\ Displaystyle x (t) = A_ {1} \ cdot e ^ {s_ {1} t} + A_ {2} \ cdot e ^ {s_ {2} t}}

x (t) = A_ {1} \ cdot e ^ {{s_ {1} t}} + A_ {2} \ cdot e ^ {{s_ {2} t}}

Dónde está $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ son dos constantes que deben ser resueltos mediante la imposición de las condiciones iniciales. La solución es una combinación de dos exponenciales reales con constantes de tiempo $\tau _{1}=-1/s_{1}$ ${\ Displaystyle \ tau _ {1} = - 1 / S_ {1}}$ $\ Tau _ {1} = - 1 / S_ {1}$ Y $\tau _{2}=-1/s_{2}$ ${\ Displaystyle \ tau _ {2} = - 1 / S_ {2}}$ $\ Tau _ {2} = - 1 / S_ {2}$ . A partir de la gráfica de la solución que vemos que la respuesta $x(t)$ ${\ Displaystyle x (t)}$ $x (t)$ no oscila desde predomina exponenciales plazo y por lo tanto la respuesta es cancelada rápidamente. Como el $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ la respuesta está dominada por la primera exponencial. Al imponer las condiciones iniciales:

x(0)=A_{1}+A_{2}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {1} + A_ {2}}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {1} + A_ {2}}

{\frac {\mathrm {d} x(0)}{\mathrm {d} t}}=A_{1}s_{1}+A_{2}s_{2}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = A_ {1} s_ {1} + A_ {2} S_ {2}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = A_ {1} s_ {1} + A_ {2} S_ {2}}

las constantes $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ se obtienen mediante la resolución de este sistema:

A_{1}={\frac {A_{1}s_{1}+A_{2}s_{2}-(A_{1}+A_{2})s_{2}}{s_{1}-s_{2}}}\,\,\,\,A_{2}={\frac {A_{1}s_{1}+A_{2}s_{2}-(A_{1}+A_{2})s_{1}}{s_{2}-s_{1}}}

{\ Displaystyle A_ {1} = {\ frac {A_ {1} s_ {1} + A_ {2} S_ {2} - (A_ {1} + A_ {2}) s_ {2}} {s_ {1 } -s_ {2}}} \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {A_ {1} s_ {1} + A_ {2} S_ {2} - (A_ {1} + A_ {2}) s_ {1}} {s_ {2} -s_ {1}}}}

A_ {1} = {\ frac {A_ {1} s_ {1} + A_ {2} S_ {2} - (A_ {1} + A_ {2}) s_ {2}} {s_ {1} -s_ {2}}} \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {A_ {1} s_ {1} + A_ {2} S_ {2} - (A_ {1} + A_ {2} ) s_ {1}} {s_ {2} -s_ {1}}}

amortiguamiento crítico

En ese caso, se dice que el circuito de tener amortiguamiento crítico, siendo $\alpha =\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ alpha = \ omega _ {0}}$ $\ Alpha = \ omega _ {0} {}$ (La constante de amortiguación es igual a la pulsación de resonancia), y las dos raíces son reales y coincidente $s_{1}=s_{2}=-\alpha =-\omega _{0}$ ${\ Displaystyle s_ {1} = s_ {2} = - \ alpha = - \ omega _ {0}}$ ${\ Displaystyle s_ {1} = s_ {2} = - \ alpha = - \ omega _ {0}}$ , La solución toma la forma:

x(t)=(A_{1}\cdot t+A_{2})\cdot e^{-\alpha t}

{\ Displaystyle x (t) = (A_ {1} \ cdot t + A_ {2}) \ cdot e ^ {- \ alpha t}}

x (t) = (A_ {1} \ cdot t + A_ {2}) \ cdot e ^ {{- \ alpha t}}

Dónde está $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ deben ser determinados mediante la imposición de las condiciones iniciales. La solución tiene una exponencial real y la gráfica de respuesta tiene un máximo para $t=1/\alpha -A_{2}/A_{1}$ ${\ Displaystyle t = 1 / \ alpha -A_ {2} / A_ {1}}$ ${\ Displaystyle t = 1 / \ alpha -A_ {2} / A_ {1}}$ después de lo cual tiende a cero. Al imponer las condiciones iniciales:

x(0)=A_{2}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {2}}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {2}}

{\frac {\mathrm {d} x(0)}{\mathrm {d} t}}=A_{1}-\alpha A_{2}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = A_ {1} - \ alpha A_ {2}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = A_ {1} - \ alpha A_ {2}}

las constantes $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ se obtienen mediante la resolución de este sistema:

A_{1}=A_{1}-\alpha A_{2}+\alpha A_{2}\,\,\,\,A_{2}=x(0)

{\ Displaystyle A_ {1} = A_ {1} - \ alpha A_ {2} + \ alpha A_ {2} \, \, \, \, A_ {2} = x (0)}

A_ {1} = A_ {1} - \ alpha A_ {2} + \ alpha A_ {2} \, \, \, \, A_ {2} = x (0)

amortiguamiento débil

En este caso, se dice que el circuito a no amortiguado (débilmente amortiguada), siendo $\alpha <\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ alpha <\ omega _ {0}}$ $\ Alpha <\ omega _ {0} {}$ (La menor constante de amortiguamiento de la pulsación de resonancia), y las raíces son complejas y conjugado:

s_{1}=-\alpha +j{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}\,\,\,s_{2}=-\alpha -j{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = - \ alpha + j {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}} \, \, \, s_ {2} = - \ alpha -j {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = - \ alpha + j {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}} \, \, \, s_ {2} = - \ alpha -j {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

con $j$ ${\ Displaystyle j}$ $j$ unidad imaginaria $(j^{2}=-1)$ ${\ Displaystyle (j ^ {2} = - 1)}$ ${\ Displaystyle (j ^ {2} = - 1)}$ . definir:

\beta ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}

{\ Displaystyle \ beta = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

\ Beta = {\ sqrt {\ omega _ {0} {} ^ {{2}} - \ alpha ^ {2}}}

la solución toma la forma:

x(t)=\left[A_{1}\cos \beta t+A_{2}\sin \beta t\right]e^{-\alpha t}

{\ Displaystyle x (t) = \ left [A_ {1} \ cos \ beta t + A_ {2} \ sin \ beta t \ right] e ^ {- \ alpha t}}

x (t) = \ left [A_ {1} \ cos \ beta t + A_ {2} \ sin \ beta t \ right] e ^ {{- \ alpha t}}

Dónde está $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ deben ser determinados mediante la imposición de las condiciones iniciales. Por elección:

A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}}\,\,\,\phi =-\arctan {\frac {A_{2}}{A_{1}}}

{\ Displaystyle A = {\ sqrt {A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2}}} \, \, \, \ phi = - \ arctan {\ frac {A_ {2}} { A_ {1}}}}

A = {\ sqrt {A _ {{1}} ^ {{2}} + A _ {{2}} ^ {{2}}}} \, \, \, \ phi = - \ arctan {\ frac {A_ {2}} {A_ {1}}}

A_{1}=A\cos \phi \,\,\,\,A_{2}=-A\sin \phi

{\ Displaystyle A_ {1} = A \ cos \ phi \, \, \, \, A_ {2} = - A \ sin \ phi}

A_ {1} = A \ cos \ phi \, \, \, \, A_ {2} = - A \ sin \ phi

la solución se puede poner en la forma:

x(t)=Ae^{-\alpha t}\cos \ (\beta t+\phi )

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {- \ alpha t} \ cos \ (\ beta t + \ phi)}

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {- \ alpha t} \ cos \ (\ beta t + \ phi)}

La solución es una combinación de dos exponenciales reales iguales y la oscilación de la respuesta es modulada por el valor de estos exponenciales $\pm Ae^{-\alpha t}$ ${\ Displaystyle \ pm Ae ^ {- \ alpha t}}$ $\ Pm Ae ^ {{- \ alpha t}}$ con constantes de tiempo iguales $\tau =1/\alpha$ ${\ Displaystyle \ tau = 1 / \ alpha}$ $\ Tau = 1 / \ alpha$ . Al imponer las condiciones iniciales:

x(0)=A_{1}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {1}}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {1}}

{\frac {\mathrm {d} x(0)}{\mathrm {d} t}}=-\alpha A_{1}+A_{2}\beta

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = - \ alpha A_ {1} + A_ {2} \ beta}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = - \ alpha A_ {1} + A_ {2} \ beta}

las constantes $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ se obtienen mediante la resolución de este sistema:

A_{1}=x(0)\,\,\,\,A_{2}={\frac {-\alpha A_{1}+A_{2}\beta +\alpha A_{1}}{\beta }}

{\ A_ displaystyle {1} = x (0) \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {- \ alpha A_ {1} + A_ {2} \ beta + \ alpha A_ {1} } {\ beta}}}

A_ {1} = x (0) \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {- \ alpha A_ {1} + A_ {2} \ beta + \ alpha A_ {1}} {\ beta}}

amortiguamiento cero

En ese caso, el circuito es sin amortiguación ser $\alpha =0$ ${\ Displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alpha = 0$ (La constante de amortiguamiento nulo), las raíces son imaginarios puros: $s_{1}=s_{2}=\pm i\omega _{0}$ ${\ Displaystyle s_ {1} = s_ {2} = \ pm i \ omega _ {0}}$ ${\ Displaystyle s_ {1} = s_ {2} = \ pm i \ omega _ {0}}$ y la solución toma la forma:

x(t)=A_{1}\cos \omega _{0}t+A_{2}\sin \omega _{0}t=A\cos(\omega _{0}t+\phi )

{\ Displaystyle x (t) = A_ {1} \ cos \ omega _ {0} t + A_ {2} \ sin \ omega _ {0} t = A \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi )}

{\ Displaystyle x (t) = A_ {1} \ cos \ omega _ {0} t + A_ {2} \ sin \ omega _ {0} t = A \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi )}

Dónde está $A_{1},\,A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ o $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ deben ser determinados mediante la imposición de las condiciones iniciales. En el circuito en serie $\alpha =0$ ${\ Displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alpha = 0$ significa $R=0$ ${\ Displaystyle R = 0}$ ${\ Displaystyle R = 0}$ y en la paralela $R=\infty$ ${\ Displaystyle R = \ infty}$ ${\ Displaystyle R = \ infty}$ , En ambos casos la solución es una sinusoide que nunca se extingue. También en este caso las constantes son:

A_{1}=x(0)\,\,\,\,A_{2}={\frac {\mathrm {d} x(0)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle A_ {1} = x (0) \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle A_ {1} = x (0) \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}}}

Consideraciones

circuito RLC en serie con el generador de constante

En cuanto a las soluciones del circuito RLC en serie, la solución permite encontrar el valor de acuerdo con los casos $i(t)$ ${\ Displaystyle i (t)}$ $eso)$ . Una vez que se ha encontrado este valor, podemos obtener las demás magnitudes:

v_{R}(t)=R\cdot i(t)

{\ Displaystyle v_ {R} (t) = R \ cdot i (t)}

v_ {R} (t) = R \ cdot i (t)

v_{L}(t)=L\cdot {\frac {\mathrm {d} i(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle v_ {L} (t) = L \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle v_ {L} (t) = L \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t}}}

v_{C}(t)=e-v_{R}(t)-v_{L}(t)

{\ Displaystyle v_ {C} (t) = e-v_ {R} (t) -v_ {L} (t)}

{\ Displaystyle v_ {C} (t) = e-v_ {R} (t) -v_ {L} (t)}

con $e=v_{R}(t)+v_{L}(t)+v_{C}(t)$ ${\ Displaystyle e = v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t)}$ ${\ Displaystyle e = v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t)}$ constante. Tenga en cuenta que en este caso para $t\to \infty$ ${\ Displaystyle t \ a \ infty}$ $t \ a \ infty$ resulta $v_{R}(t)\to 0$ ${\ Displaystyle v_ {R} (t) \ a 0}$ ${\ Displaystyle v_ {R} (t) \ a 0}$ , $v_{L}(t)\to 0$ ${\ Displaystyle v_ {L} (t) \ a 0}$ ${\ Displaystyle v_ {L} (t) \ a 0}$ Y $v_{C}(t)=e$ ${\ Displaystyle v_ {C} (t) = e}$ ${\ Displaystyle v_ {C} (t) = e}$ es decir, se comporta el inductor como un corto circuito y el condensador como un circuito abierto $v_{C}=e$ ${\ Displaystyle v_ {C} = e}$ ${\ Displaystyle v_ {C} = e}$ .

circuito RLC en paralelo con el generador de constante

En el caso del circuito RLC en paralelo, la solución permite obtener, según los casos, el $v(t)$ ${\ Displaystyle v (t)}$ $v (t)$ . Una vez que se ha encontrado este valor, podemos obtener las demás magnitudes:

i_{R}(t)={\frac {1}{R}}v(t)

{\ Displaystyle i_ {R} (t) = {\ frac {1} {R}} v (t)}

{\ Displaystyle i_ {R} (t) = {\ frac {1} {R}} v (t)}

i_{C}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle i_ {C} (t) = C {\ frac {\ mathrm {d} v (t)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle i_ {C} (t) = C {\ frac {\ mathrm {d} v (t)} {\ mathrm {d} t}}}

i_{L}(t)=i(t)-i_{R}(t)-i_{C}(t)

{\ Displaystyle i_ {L} (t) = i (t) -i_ {R} (t) -i_ {C} (t)}

{\ Displaystyle i_ {L} (t) = i (t) -i_ {R} (t) -i_ {C} (t)}

RLC en régimen sinusoidal

Mismo tema en detalle: circuito resonante .

El circuito RLC en serie y en paralelo se simplifica si se estudia en régimen sinusoidal, para el que el método simbólico se utiliza.

RLC serie en régimen sinusoidal

Tomamos como referencia la figura del RLC en serie y, como es requerido por el método simbólico, sustituimos los elementos con sus respectivas relaciones fasoriales:

\mathbf {Z} _{R}(j\omega )=R

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} (j \ omega) = R}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} (j \ omega) = R}

\mathbf {Z} _{L}(j\omega )=j\omega L

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} (j \ omega) = j \ omega L}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} (j \ omega) = j \ omega L}

\mathbf {Z} _{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}

con $j$ ${\ Displaystyle j}$ $j$ siempre la unidad imaginaria. Por lo tanto, podemos calcular la impedancia del circuito:

\mathbf {Z} (j\omega )=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}=R+j\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega) = R + j \ omega L + {\ frac {1} {j \ omega C}} = R + j \ left (\ omega L - {\ frac {1 } {\ omega C}} \ right)}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega) = R + j \ omega L + {\ frac {1} {j \ omega C}} = R + j \ left (\ omega L - {\ frac {1 } {\ omega C}} \ right)}

en esta forma tenemos la resistencia $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ y una reactancia $X=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}$ ${\ Displaystyle X = \ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}}}$ ${\ Displaystyle X = \ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}}}$ . Vemos entonces que la reactancia se anula para:

\omega L-{\frac {1}{\omega C}}=0\,\,\Rightarrow \,\,\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle \ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} = 0 \, \, \ Rightarrow \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC} }}}

\ Omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} = 0 \, \, \ Rightarrow \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {LC}}} }

para la pulsación $\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ llamado pulsación de resonancia . La admisión para esta pulsación

\mathbf {Y} (j\omega _{0})={\frac {1}{R}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (j \ omega _ {0}) = {\ frac {1} {R}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (j \ omega _ {0}) = {\ frac {1} {R}}}

que tiene un módulo que tiene un pico y por lo tanto tiene un módulo máximo: por lo tanto, tenemos el fenómeno de resonancia .

RLC paralelo en régimen sinusoidal

Tomamos como referencia la figura del RLC en paralelo y, como es requerido por el método simbólico, sustituimos los elementos con sus respectivas relaciones, teniendo en cuenta el generador $i(t)\Rightarrow \mathbf {I} _{s}$ ${\ Displaystyle i (t) \ rightarrow \ mathbf {I} _ {s}}$ ${\ Displaystyle i (t) \ rightarrow \ mathbf {I} _ {s}}$ :

\mathbf {Z} _{R}(j\omega )=R

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} (j \ omega) = R}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} (j \ omega) = R}

\mathbf {Z} _{L}(j\omega )=j\omega L

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} (j \ omega) = j \ omega L}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} (j \ omega) = j \ omega L}

\mathbf {Z} _{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}

Es conveniente en este caso para calcular el ingreso :

\mathbf {Y} (j\omega )={\frac {1}{R}}+{\frac {1}{j\omega L}}+j\omega C={\frac {1}{R}}+j\left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right)

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (j \ omega) = {\ frac {1} {R}} + {\ frac {1} {j \ omega L}} + j \ omega C = {\ frac {1} {R}} + j \ left (\ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} \ right)}

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (j \ omega) = {\ frac {1} {R}} + {\ frac {1} {j \ omega L}} + j \ omega C = {\ frac {1} {R}} + j \ left (\ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} \ right)}

en esta forma tenemos una conductancia $G={\frac {1}{R}}$ ${\ Displaystyle G = {\ frac {1} {R}}}$ $G = {\ frac {1} {R}}$ y una susceptibilidad $B=\omega C-{\frac {1}{\omega L}}$ ${\ Displaystyle B = \ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}}}$ $B = \ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}}$ . Vemos entonces que la susceptibilidad se desvanece debido a:

\omega C-{\frac {1}{\omega L}}=0\,\,\Rightarrow \,\,\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle \ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} = 0 \, \, \ Rightarrow \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC} }}}

\ Omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} = 0 \, \, \ Rightarrow \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {LC}}} }

para la frecuencia $\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ dicho frecuencia de resonancia . La impedancia para esta frecuencia

\mathbf {Z} (j\omega _{0})=R

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega _ {0}) = R}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega _ {0}) = R}

que tiene un módulo que tiene un pico y por lo tanto tiene un módulo máximo: por lo tanto, tenemos el fenómeno de resonancia .

Ejemplo de análisis de un circuito RLC como un sistema dinámico lineal estacionaria a través de la transformada de Laplace

En el caso del circuito RLC se muestra en la figura, el vector de estado ${\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ que se compone de la actual $x_{1}$ ${\ Displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ pasa a través del inductor de inductancia $L$ ${\ Displaystyle L}$ $L$ y la tensión $x_{2}$ ${\ Displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ a través del condensador condensador $C_{1}$ ${\ Displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ , Donde la entrada ${\vec {u}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ es la tensión de la generador mientras que el vector de las salidas ${\vec {y}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ se le da, por ejemplo, por las corrientes que pasan a través de la resistencia resistor $R_{1}$ ${\ Displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ y la resistencia de la resistencia $R_{2}$ ${\ Displaystyle R_ {2}}$ $R_ {2}$ . La aplicación de las ecuaciones constitutivas de los bipolos así como las ecuaciones topológicas o las leyes de Kirchhoff que tenemos:

{\begin{aligned}{\vec {u}}(t)&=L{\frac {\mathrm {d} (x_{1}(t))}{\mathrm {d} t}}+R_{1}i_{2}(t)\\R_{1}i_{2}(t)&=R_{2}C_{1}{\frac {\mathrm {d} (x_{2}(t))}{\mathrm {d} t}}+x_{2}(t)\\i_{2}(t)&=x_{1}(t)-C_{1}{\frac {\mathrm {d} (x_{2}(t))}{\mathrm {d} t}}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {u}} (t) & = L {\ frac {\ mathrm {d} (x_ {1} (t))} {\ mathrm {d} t}} + R_ {1} i_ {2} (t) \\ R_ {1} i_ {2} (t) & = R_ {2} C_ {1} {\ frac {\ mathrm {d} (x_ {2} ( t))} {\ mathrm {d} t}} + x_ {2} (t) \\ i_ {2} (t) & = x_ {1} (t) -C_ {1} {\ frac {\ mathrm {d} (x_ {2} (t))} {\ mathrm {d} t}} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {u}} (t) & = L {\ frac {\ mathrm {d} (x_ {1} (t))} {\ mathrm {d} t}} + R_ {1} i_ {2} (t) \\ R_ {1} i_ {2} (t) & = R_ {2} C_ {1} {\ frac {\ mathrm {d} (x_ {2} ( t))} {\ mathrm {d} t}} + x_ {2} (t) \\ i_ {2} (t) & = x_ {1} (t) -C_ {1} {\ frac {\ mathrm {d} (x_ {2} (t))} {\ mathrm {d} t}} \ end {alineado}}}

Por lo tanto, en sustitución de la última relación en los anteriores y colocando

{\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ vec {x}} (t) = {\ begin {pmatrix} x_ {1} (t) \\ x_ {2} (t) \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ vec {x}} (t) = {\ begin {pmatrix} x_ {1} (t) \\ x_ {2} (t) \ end {pmatrix}}}

Definiendo $\mathbf {A}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ , $\mathbf {B}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ , $\mathbf {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ Y $\mathbf {D}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ como matrices de dimensiones adecuadas que premultiplicar el estado ${\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ y las entradas ${\vec {u}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ , tendremos:

{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)\qquad {\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t)

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {x}} (t)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t) \ qquad {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} {\ vec {u}} (t)}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {x}} (t)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t) \ qquad {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} {\ vec {u}} (t)}

En nuestro caso, tenemos que:

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{\frac {{-R}_{1}R_{2}}{L(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {{-R}_{1}}{L(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {{-R} _ {1} R_ {2}} {L (R_ {1} + R_ {2})}} y {\ frac {{-R} _ {1}} {L (R_ {1} + R_ {2})}} \\ {\ frac {R_ {1}} {C_ {1} (R_ {1} + R_ { 2})}} y {\ frac {-1} {C_ {1} (R_ {1} + R_ {2})}} \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {{-R} _ {1} R_ {2}} {L (R_ {1} + R_ {2})}} y {\ frac {{-R} _ {1}} {L (R_ {1} + R_ {2})}} \\ {\ frac {R_ {1}} {C_ {1} (R_ {1} + R_ { 2})}} y {\ frac {-1} {C_ {1} (R_ {1} + R_ {2})}} \ end {pmatrix}}}

{\vec {B}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{L}}\\0\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ vec {B}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ vec {B}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}}}

\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}{\frac {R_{2}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {1}{(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{(R_{1}+R_{2})}}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ mathbf {C} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {R_ {2}} {(R_ {1} + R_ {2})}} y {\ frac {1} {(R_ {1 } + R_ {2})}} \\ {\ frac {R_ {1}} {(R_ {1} + R_ {2})}} y {\ frac {-1} {(R_ {1} + R_ {2})}} \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {C} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {R_ {2}} {(R_ {1} + R_ {2})}} y {\ frac {1} {(R_ {1 } + R_ {2})}} \\ {\ frac {R_ {1}} {(R_ {1} + R_ {2})}} y {\ frac {-1} {(R_ {1} + R_ {2})}} \ end {pmatrix}}}

{\vec {D}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ vec {D}} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ vec {D}} = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ \ end {pmatrix}}}

Por ejemplo, supongamos que desea determinar la tendencia del segundo estado de la variable a partir de un momento dado $t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , Suponiendo que el valor inicial de la misma fue de cero y la tendencia de los coincide de entrada con un pulso Dirac centrada en $t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ . En el dominio de Laplace, la entrada por lo tanto tiene un valor unitario de forma idéntica, por lo que tendremos:

{\begin{aligned}{\vec {X}}(s)&=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}\,U(s)\\&=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}\\&={\frac {1}{LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2}+(R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1}}}{\begin{pmatrix}sC_{1}R_{1}L+sC_{1}R_{2}L+L&-C_{1}R_{1}\\LR_{1}&LsC_{1}R_{1}+C_{1}R_{2}R_{1}+LsC_{1}R_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{L}}\\0\end{pmatrix}}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {X}} (s) y = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \, U (s) \\ & = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \\ & = {\ frac {1} {LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2} + (R_ {1} R_ {2} C_ {1} + L) s + {1}}} {\ begin {pmatrix} SC_ {1} R_ { 1} L + SC_ {1} R_ {2} L + L & -C_ {1} R_ {1} \\ LR_ {1} & LsC_ {1} R_ {1} + C_ {1} R_ {2} R_ {1} + LsC_ {1} R_ {2} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {X}} (s) y = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \, U (s) \\ & = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \\ & = {\ frac {1} {LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2} + (R_ {1} R_ {2} C_ {1} + L) s + {1}}} {\ begin {pmatrix} SC_ {1} R_ { 1} L + SC_ {1} R_ {2} L + L & -C_ {1} R_ {1} \\ LR_ {1} & LsC_ {1} R_ {1} + C_ {1} R_ {2} R_ {1} + LsC_ {1} R_ {2} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ end {alineado}}}

Por lo tanto:

X_{2}(s)={\frac {R_{1}}{(LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2})+((R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1})}}

{\ X_ displaystyle {2} (s) = {\ frac {R_ {1}} {(LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2}) + ((R_ {1} R_ {2} C_ {1} + L) s + {1})}}}

{\ X_ displaystyle {2} (s) = {\ frac {R_ {1}} {(LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2}) + ((R_ {1} R_ {2} C_ {1} + L) s + {1})}}}

Anti-transformación para pasar al dominio del tiempo :

x_{2}(t)=R_{1}{\frac {e^{-s_{1}t}-e^{-s_{2}t}}{s_{2}-s_{1}}},\,t>t_{0}

{\ Displaystyle x_ {2} (t) = R_ {1} {\ frac {e ^ {- s_ {1} t} -e ^ {- s_ {2} t}} {s_ {2} -s_ {1 }}}, \, t> t_ {0}}

{\ Displaystyle x_ {2} (t) = R_ {1} {\ frac {e ^ {- s_ {1} t} -e ^ {- s_ {2} t}} {s_ {2} -s_ {1 }}}, \, t> t_ {0}}

Dónde está:

s_{1}={\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}^{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}+C_{1}R_{1}R_{2}+L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = {\ frac {{\ sqrt {C_ {1} ^ {2} R_ {1} ^ {2} R_ {2} ^ {2} -2C_ {1} LR_ {1} R_ {2} -4C_ {1} LR_ {1} ^ {2} + L ^ {2}}} + C_ {1} R_ {1} R_ {2} + L} {2C_ {1} LR_ {2} + 2C_ {1} LR_ {1}}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = {\ frac {{\ sqrt {C_ {1} ^ {2} R_ {1} ^ {2} R_ {2} ^ {2} -2C_ {1} LR_ {1} R_ {2} -4C_ {1} LR_ {1} ^ {2} + L ^ {2}}} + C_ {1} R_ {1} R_ {2} + L} {2C_ {1} LR_ {2} + 2C_ {1} LR_ {1}}}}

s_{2}=-{\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}-C_{1}R_{1}R_{2}-L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}}

{\ Displaystyle s_ {2} = - {\ frac {{\ sqrt {C_ {1} ^ {2} R_ {1} ^ {2} R_ {2} -2C_ {1} LR_ {1} R_ {2} -4C_ {1} LR_ {1} ^ {2} + L ^ {2}}} - C_ {1} R_ {1} R_ {2} -L} {2C_ {1} LR_ {2} + 2C_ {1 LR_} {1}}}}

{\ Displaystyle s_ {2} = - {\ frac {{\ sqrt {C_ {1} ^ {2} R_ {1} ^ {2} R_ {2} -2C_ {1} LR_ {1} R_ {2} -4C_ {1} LR_ {1} ^ {2} + L ^ {2}}} - C_ {1} R_ {1} R_ {2} -L} {2C_ {1} LR_ {2} + 2C_ {1 LR_} {1}}}}

Ideal oscilador

Mismo tema en detalle: Sistema dinámico .

Suponer $R=0$ ${\ Displaystyle R = 0}$ $R = 0$ : Este medio despreciando las pérdidas de energía en el circuito, es decir, imaginando que la cantidad de energía suministrada inicialmente al circuito no se disipa con el tiempo. Esto nos lleva a escribir, pasando al dominio de Laplace :

H(s)={\frac {sC}{s^{2}LC+1}}

{\ Displaystyle H (s) = {\ frac {sC} {s {2} LC ^ + 1}}}

H (s) = {\ frac {sC} {s ^ {2} LC + 1}}

.

Es fácil observar que la función de transferencia tiene un par de complejos conjugados polos (el polo de una función compleja es el punto en el que desaparece su denominador), que espera

p_{1}=j{\frac {1}{\sqrt {LC}}},\ p_{2}=-j{\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle p_ {1} = j {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}, \ p_ {2} = - j {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

{\ Displaystyle p_ {1} = j {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}, \ p_ {2} = - j {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

Este punto representa la resonante pulsación del oscilador. Esto significa que en ese pulso y su frecuencia $f={\frac {\operatorname {Im} \{p\}}{2\pi }}$ ${\ Displaystyle f = {\ frac {\ operatorname {Im} \ {p \}} {2 \ pi}}}$ ${\ Displaystyle f = {\ frac {\ operatorname {Im} \ {p \}} {2 \ pi}}}$ el circuito es capaz de auto-alimentación: si el generador está apagado, la energía acumulada en el condensador y en el inductor continúa circulando en el circuito, la generación de una oscilación casi perfectamente sinusoidal caracterizada por la frecuencia $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ .

Otros proyectos

Wikilibros contiene textos o manuales sobre Circuito RLC
Wikimedia Commons contiene imágenes u otros archivos en el Circuito RLC

enlaces externos

El análisis de un segundo circuito de los sistemas de orden RLC ^{[ Enlace roto ],} en ettorepanella.com.
Transitorio RLC - Ejercicios , en electroyou.it.
Los circuitos resonantes en paralelo (RLC) , en cirocarbone.it. Consultado el 29 de de diciembre de, 2011 (La Archivado desde el original, el 27 de abril de 2012).

Control de autoridad	GND (DE) 4166982-4

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circuito RLC

Índice

RLC en serie y en paralelo

RLC en serie

RLC en paralelo

Solución de la ecuación

amortiguación fuerte

amortiguamiento crítico

amortiguamiento débil

amortiguamiento cero

Consideraciones

RLC en régimen sinusoidal

RLC serie en régimen sinusoidal

RLC paralelo en régimen sinusoidal

Ejemplo de análisis de un circuito RLC como un sistema dinámico lineal estacionaria a través de la transformada de Laplace

Ideal oscilador

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