Coseno

Dado un triángulo rectángulo , el coseno de un ángulo agudo se define como la relación entre las longitudes del cateto adyacente al ángulo y de la hipotenusa

En matemáticas , particularmente en trigonometría , dado un triángulo rectángulo , el coseno de uno de los dos ángulos internos adyacentes a la hipotenusa se define como la relación entre las longitudes del cateto adyacente al ángulo y de la hipotenusa .

De manera más general, el coseno de un ángulo $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , expresada en grados o radianes , es una cantidad que depende solo de $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , construido utilizando la circunferencia de la unidad .

Definiendo como $\cos(x)$ ${\ Displaystyle \ cos (x)}$ $\ cos (x)$ el valor del coseno en el ángulo $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ , obtenemos la función coseno, una función trigonométrica de fundamental importancia en el análisis matemático .

Podría afirmarse además que el coseno es la abscisa del extremo $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ calculado con respecto a su unidad de radio (de la circunferencia goniométrica ) De esto se puede deducir que:

para valores entre 0º y 90º el coseno del punto $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ disminuye;
para valores entre 90º y 180º el coseno del punto $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ disminuye;
para valores entre 180º y 270º el coseno del punto $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ aumenta;
para valores entre 270º y 360º el coseno del punto $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ aumenta.

Definición

En el triángulo rojo de la figura, el coseno de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ es dado por

\cos x={\overline {OC}}.

{\ Displaystyle \ cos x = {\ overline {OC}}.}

{\ Displaystyle \ cos x = {\ overline {OC}}.}

De manera más general, el coseno se define tomando una circunferencia de radio unitario y el rayo que sale del origen y forma un ángulo. $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ con el eje de abscisas como en la figura. El coseno del ángulo $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ por lo tanto, se define como el valor de la coordenada $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ del punto de intersección entre el primer rayo y la circunferencia (en la figura, es la longitud del segmento $O C.$ ${\ displaystyle OC}$ $jefe$ ).

La siguiente tabla enumera los principales valores notables asumidos por la función coseno: ^[1] ^[2]

$X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ en radianes	0	${\frac {\pi }{12}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {12}}}$	${\frac {\pi }{10}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {10}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {10}}}$	${\frac {\pi }{6}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {6}}}$ ${\ frac {\ pi} {6}}$	${\frac {\pi }{4}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$ ${\ frac {\ pi} {4}}$	${\frac {\pi }{3}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}}$ ${\ frac {\ pi} {3}}$	${\frac {5}{12}}\pi$ ${\ Displaystyle {\ frac {5} {12}} \ pi}$ ${\ Displaystyle {\ frac {5} {12}} \ pi}$	${\frac {\pi }{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$	$\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$	${\frac {3\pi }{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {3 \ pi} {2}}}$ ${\ frac {3 \ pi} {2}}$	$2\pi$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$
$X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ en grados	0 °	15 °	18 °	30 °	45 °	60 °	75 °	90 °	180 °	270 °	360 °
$\cos(x)$ ${\ Displaystyle \ cos (x)}$ $\ cos (x)$	$1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}} {4}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}} {4}}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}$ ${\ frac {\ sqrt {3}} {2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$ ${\ frac {\ sqrt {2}} {2}}$	${\frac {1}{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ frac {1} {2}}$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}}}$		$-1$ ${\ Displaystyle -1}$ $-1$		$1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$

Hay una definición más amplia de coseno en relación con las rotaciones: el coseno de un ángulo $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ es el componente a lo largo del eje de abscisas de la unidad vectorial $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ , vector de unidad de eje $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ , girado por $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ .

Función coseno

La función coseno se define asociándola con $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ el coseno del ángulo $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ (representado en radianes), y se indica con $f(x)=\cos x$ ${\ Displaystyle f (x) = \ cos x}$ ${\ Displaystyle f (x) = \ cos x}$ . Siempre y cuando $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Y $x+2k\pi$ ${\ Displaystyle x + 2k \ pi}$ $x + 2k \ pi$ definir el mismo ángulo para cualquier $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ entero , la función coseno es una función periódica de período $2\pi .$ ${\ Displaystyle 2 \ pi.}$ ${\ Displaystyle 2 \ pi.}$ La curva de la gráfica de esta función se llama cosinusoide . ^[3] El conjunto de variabilidad de la función coseno es $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ , es decir, aplicando esta función a cualquier número real siempre obtenemos un número real entre $-1$ ${\ Displaystyle -1}$ $-1$ Y $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ , extremos incluidos.

Representación gráfica de una onda cosenoidal.

Coseno y seno

Valores principales (coseno, seno)

Entre seno y coseno existe la relación fundamental, llamada la primera relación fundamental (o ley) de la trigonometría: ^[4]

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,

{\ Displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1,}

{\ Displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1,}

que es una consecuencia del teorema de Pitágoras .

Propiedades analíticas del coseno

La derivada de la función coseno es la opuesta a la función seno. ^[5] ^[6] . Es decir, tenemos:

(\cos x)^{\prime }=-\sin x.

{\ Displaystyle (\ cos x) ^ {\ prime} = - \ sin x.}

(\ cos x) ^ {{\ prime}} = - \ sin x.

Esto se puede demostrar aplicando una fórmula de prostaféresis para calcular el límite de la relación incremental del coseno:

{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}={\frac {-2\sin {\frac {2x+h}{2}}\sin {\frac {h}{2}}}{h}}=-{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right){\underset {h\rightarrow 0}{\longrightarrow }}-\sin x

{\ Displaystyle {\ frac {\ cos (x + h) - \ cos x} {h}} = {\ frac {-2 \ sin {\ frac {2x + h} {2}} \ sin {\ frac { h} {2}}} {h}} = - {\ frac {\ sin {\ frac {h} {2}}} {\ frac {h} {2}}} \ sin \ left (x + {\ frac {h} {2}} \ right) {\ underset {h \ rightarrow 0} {\ longrightarrow}} - \ sin x}

{\ frac {\ cos (x + h) - \ cos x} {h}} = {\ frac {-2 \ sin {\ frac {2x + h} {2}} \ sin {\ frac {h} { 2}}} {h}} = - {\ frac {\ sin {\ frac {h} {2}}} {{\ frac {h} {2}}}} \ sin \ left (x + {\ frac {h} {2}} \ right) {\ underset {h \ rightarrow 0} {\ longrightarrow}} - \ sin x

^[7] .

La segunda derivada del coseno es la función en sí cambiada de signo:

(\cos x)^{\prime \prime }=-\cos x,

{\ Displaystyle (\ cos x) ^ {\ prime \ prime} = - \ cos x,}

(\ cos x) ^ {{\ prime \ prime}} = - \ cos x,

por lo tanto, la función coseno (así como la función seno ) resuelve la ecuación diferencial

y^{\prime \prime }+y=0

{\ Displaystyle y ^ {\ prime \ prime} + y = 0}

y ^ {{\ prime \ prime}} + y = 0

,

que describe el movimiento de un oscilador armónico libre ideal.

La función coseno es una función derivada equilimitada (de hecho, tenemos $|y^{(k)}|\leq 1$ ${\ Displaystyle | y ^ {(k)} | \ leq 1}$ $| y ^ {{(k)}} | \ leq 1$ para cada $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ ), por lo que es analítico ; su expansión de la serie Taylor es: ^[8]

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots

{\ Displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6} } {6!}} + \ Cdots}

\ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6 !}} + \ cdots

=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}

{\ displaystyle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n}} {(2n)!}}}

= \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {{2n}}} {(2n)!}}

para cada $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ verdadero.

En el análisis matemático, esta igualdad se usa a menudo para definir el coseno. La misma serie define el coseno como una función holomórfica en todo el plano complejo .

El primitivo del coseno es el seno, es decir:

\int \cos xdx=\sin x+c.

{\ Displaystyle \ int \ cos xdx = \ sin x + c.}

{\ Displaystyle \ int \ cos xdx = \ sin x + c.}

Ecuaciones fundamentales relativas al coseno

Se aplica la siguiente fórmula de suma (y resta ) de arco :

\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y,

{\ Displaystyle \ cos (x \ pm y) = \ cos x \ cos y \ mp \ sin x \ sin y,}

\ cos (x \ pm y) = \ cos x \ cos y \ mp \ sin x \ sin y,

y en particular la fórmula de duplicación

\cos {(2x)}=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1.

{\ Displaystyle \ cos {(2x)} = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x = 1-2 \ sin ^ {2} x = 2 \ cos ^ {2} x-1.}

\ cos {(2x)} = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x = 1-2 \ sin ^ {2} x = 2 \ cos ^ {2} x-1.

La fórmula de bisección del coseno es: ^[9]

\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}.

{\ Displaystyle \ cos \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right) = \ pm {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {2}}}.}

{\ Displaystyle \ cos \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right) = \ pm {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {2}}}.}

Las siguientes son las fórmulas de prostaféresis relacionadas con el coseno:

\cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}},

{\ Displaystyle \ cos x + \ cos y = 2 \ cos {\ frac {x + y} {2}} \ cos {\ frac {xy} {2}},}

{\ Displaystyle \ cos x + \ cos y = 2 \ cos {\ frac {x + y} {2}} \ cos {\ frac {x-y} {2}},}

\cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}.

{\ Displaystyle \ cos x- \ cos y = -2 \ sin {\ frac {x + y} {2}} \ sin {\ frac {xy} {2}}.}

{\ Displaystyle \ cos x- \ cos y = -2 \ sin {\ frac {x + y} {2}} \ sin {\ frac {x-y} {2}}.}

La cadena de desigualdades también se aplica:

0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ per }}\quad 0<x<{\frac {\pi }{2}}.

{\ Displaystyle 0 <x \ cos x <\ sin x <x \ quad {\ text {per}} \ quad 0 <x <{\ frac {\ pi} {2}}.}

0 <x \ cos x <\ sin x <x \ quad {\ text {per}} \ quad 0 <x <{\ frac {\ pi} {2}}.

Demostración

Considere la circunferencia de la unidad y déjela ser $0<x<\pi /2$ ${\ Displaystyle 0 <x <\ pi / 2}$ $0 <x <\ pi / 2$ , como se muestra en la figura.

Dibuja el rayo que sale del origen que forma un ángulo. $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ (en sentido antihorario) con respecto al semieje positivo de la abscisa. Entonces las coordenadas del punto de intersección $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ del rayo con la circunferencia son $(\cos x,\sin x)$ ${\ Displaystyle (\ cos x, \ sin x)}$ $(\ cos x, \ sin x)$ . Dibuja el segmento que se une $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ al punto $A=(1,0)$ ${\ Displaystyle A = (1,0)}$ $A = (1.0)$ . También ser $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ el punto de intersección entre el rayo y la línea de abscisas $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ (eje de tangentes). $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ tiene coordenadas $(1,\tan x)$ ${\ Displaystyle (1, \ tan x)}$ $(1, \ tan x)$ .

Observamos que el triángulo $pag. O PARA$ ${\ Displaystyle POA}$ $POA$ está estrictamente encerrado en el sector circular $pag. O PARA$ ${\ Displaystyle POA}$ $POA$ , que a su vez está estrechamente encerrado en el triángulo $T. O PARA$ ${\ displaystyle TOA}$ $TOA$ . Entonces se aplica la desigualdad de las áreas respectivas (recuerde que $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ es el ángulo, expresado en radianes ):

0<{\frac {1}{2}}\sin x<{\frac {1}{2}}x<{\frac {1}{2}}{\frac {\sin x}{\cos x}},

{\ Displaystyle 0 <{\ frac {1} {2}} \ sin x <{\ frac {1} {2}} x <{\ frac {1} {2}} {\ frac {\ sin x} { \ cos x}},}

0 <{\ frac {1} {2}} \ sin x <{\ frac {1} {2}} x <{\ frac {1} {2}} {\ frac {\ sin x} {\ cos x }},

o

0<\sin x<x<{\frac {\sin x}{\cos x}}.

{\ Displaystyle 0 <\ sin x <x <{\ frac {\ sin x} {\ cos x}}.}

0 <\ sin x <x <{\ frac {\ sin x} {\ cos x}}.

De la primera parte de la desigualdad se sigue que $0<\sin x<x$ ${\ Displaystyle 0 <\ sin x <x}$ $0 <\ sin x <x$ , mientras se manipula el segundo, es decir, dividiendo por $\sin x$ ${\ Displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ (que es posible porque $\sin x>0$ ${\ Displaystyle \ sin x> 0}$ $\ sin x> 0$ ), tenemos eso:

1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}},

{\ Displaystyle 1 <{\ frac {x} {\ sin x}} <{\ frac {1} {\ cos x}},}

1 <{\ frac {x} {\ sin x}} <{\ frac {1} {\ cos x}},

o

\sin x\cos x<x\cos x<\sin x,

{\ Displaystyle \ sin x \ cos x <x \ cos x <\ sin x,}

\ sin x \ cos x <x \ cos x <\ sin x,

donde finalmente se multiplicó por $\sin x$ ${\ Displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ y para $\cos x$ ${\ Displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$ , que conserva la dirección de la desigualdad porque ambos son positivos. Resumiendo los resultados,

$0<x\cos x<\sin x<x.$ ${\ Displaystyle 0 <x \ cos x <\ sin x <x.}$ $0 <x \ cos x <\ sin x <x.$

QED .

También hay una identidad trigonométrica que relaciona la función coseno con la función tangente :

\cos x={\frac {1-\tau ^{2}}{1+\tau ^{2}}},\quad {\text{ con }}\quad \tau =\tan {\frac {x}{2}}

{\ Displaystyle \ cos x = {\ frac {1- \ tau ^ {2}} {1+ \ tau ^ {2}}}, \ quad {\ text {con}} \ quad \ tau = \ tan {\ frac {x} {2}}}

{\ Displaystyle \ cos x = {\ frac {1- \ tau ^ {2}} {1+ \ tau ^ {2}}}, \ quad {\ text {con}} \ quad \ tau = \ tan {\ frac {x} {2}}}

^[10] .

Esta identidad, llamada fórmula paramétrica , es de fundamental importancia en la resolución de ecuaciones goniométricas en las que lo desconocido aparece como argumento tanto de un seno como de un coseno (o de funciones derivadas de estos). Existe, de hecho, una identidad análoga con respecto a la mama, que permite la resolución de la ecuación en lo desconocido. $\tau$ ${\ Displaystyle \ tau}$ $\ tau$ . De manera similar, esta relación se puede aprovechar para el cálculo de las primitivas de funciones goniométricas.

Definiciones relacionadas

El recíproco del coseno (definido donde el coseno es distinto de cero) es la secante : ^[11]

\sec x={\frac {1}{\cos x}}.

{\ Displaystyle \ sec x = {\ frac {1} {\ cos x}}.}

\ sec x = {\ frac 1 {\ cos x}}.

La función coseno es inyectiva en el intervalo $[0,\pi ]$ ${\ Displaystyle [0, \ pi]}$ $[0, \ pi]$ y por lo tanto tiene una inversa , llamada arcocoseno (denotado por $\arccos$ ${\ Displaystyle \ arccos}$ $\ arccos$ o con $\cos ^{-1}$ ${\ Displaystyle \ cos ^ {- 1}}$ $\ cos ^ {{- 1}}$ que retoma la notación de la función inversa ). ^[12]

Otras propiedades

De la fórmula de Euler se puede deducir que la función coseno está relacionada con la función exponencial y con la función coseno hiperbólico . De hecho, para cualquier número real $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Si tu tienes

\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cosh(ix).

{\ Displaystyle \ cos x = {\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}} = \ cosh (ix).}

{\ Displaystyle \ cos x = {\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}} = \ cosh (ix).}

En el análisis complejo , aplicando el teorema de factorización de Weierstrass a la función coseno, se puede expresar como un producto infinito , utilizando la siguiente fórmula que se aplica a cualquier número complejo $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$

\cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left[1-{\frac {4z^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right].

{\ Displaystyle \ cos z = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [1 - {\ frac {4z ^ {2}} {\ pi ^ {2} (2n-1) ^ {2 }}} \ Derecha].}

{\ Displaystyle \ cos z = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [1 - {\ frac {4z ^ {2}} {\ pi ^ {2} (2n-1) ^ {2 }}} \ Derecha].}

Otro producto infinito relaciona el seno y el coseno:

\sin z=z\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {z}{2^{n}}}\right).

{\ Displaystyle \ sin z = z \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {z} {2 ^ {n}}} \ right).}

{\ Displaystyle \ sin z = z \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {z} {2 ^ {n}}} \ right).}

También existe una relación entre la función coseno y la función Gamma dada por la siguiente integral definida, válida para $n>1$ ${\ Displaystyle n> 1}$ $n> 1$ : ^[13]

\int _{0}^{\infty }\cos(x^{n})dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{2n}}\right).

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos (x ^ {n}) dx = \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) \ cos \ left ( {\ frac {\ pi} {2n}} \ right).}

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos (x ^ {n}) dx = \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) \ cos \ left ( {\ frac {\ pi} {2n}} \ right).}

Finalmente, usando la fórmula de la fracción continua de Euler es posible expresar la función coseno en forma de fracción continua : ^[14]

\cos x=1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+{\cfrac {1\cdot 2\ x^{2}}{(3\cdot 4-x^{2})+{\cfrac {3\cdot 4\ x^{2}}{(5\cdot 6-x^{2})+{\cfrac {5\cdot 6\ x^{2}}{(7\cdot 8-x^{2})+\ddots }}}}}}}}.

{\ Displaystyle \ cos x = 1 - {\ cfrac {x ^ {2}} {1 \ cdot 2 + {\ cfrac {1 \ cdot 2 \ x ^ {2}} {(3 \ cdot 4-x ^ { 2}) + {\ cfrac {3 \ cdot 4 \ x ^ {2}} {(5 \ cdot 6-x ^ {2}) + {\ cfrac {5 \ cdot 6 \ x ^ {2}} {( 7 \ cdot 8-x ^ {2}) + \ ddots}}}}}}}}.}

{\ Displaystyle \ cos x = 1 - {\ cfrac {x ^ {2}} {1 \ cdot 2 + {\ cfrac {1 \ cdot 2 \ x ^ {2}} {(3 \ cdot 4-x ^ { 2}) + {\ cfrac {3 \ cdot 4 \ x ^ {2}} {(5 \ cdot 6-x ^ {2}) + {\ cfrac {5 \ cdot 6 \ x ^ {2}} {( 7 \ cdot 8-x ^ {2}) + \ ddots}}}}}}}}.}

Origen del nombre

El término coseno proviene del latín complementario sinus "seno del complementario (ángulo)". ^[15] De hecho, para ángulos entre y $\pi /2$ ${\ Displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ , el coseno de un ángulo es el seno del ángulo complementario , es decir

\cos x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}\pm x\right).

{\ Displaystyle \ cos x = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ pm x \ right).}

{\ Displaystyle \ cos x = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ pm x \ right).}

Esta relación, que se obtiene a partir de la suma de fórmulas de arcos, es válida para todo $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ ; sin embargo, la noción geométrica de ángulo complementario se aplica solo a ángulos positivos y, por lo tanto, se incluye entre y $\pi /2$ ${\ Displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ .

El origen del nombre seno (en el sentido de la bahía ) a su vez se remonta a una traducción incorrecta de un término árabe.

Nota

^ Valores de funciones goniométricas , en youmath.it , YouMath. Consultado el 19 de octubre de 2016 .
^ EjercicioMatica.com , https://www.esercizimatematica.com/tabella-seno-coseno-con-tutti-gli-angoli/ .
^ cosinusoide , en Dictionary of Physical Sciences , Treccani, 1996. Consultado el 19 de octubre de 2016 .
^ Fórmulas trigonométricas , en youmath.it , YouMath. Consultado el 19 de octubre de 2016 .
^ Derivada del coseno , en youmath.it , YouMath. Consultado el 19 de octubre de 2016 .
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti. Math Blu-Volume 5 , Ghisetti y Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.283
^ .El último paso hace uso del límite notable :
$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,$ ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1,}$ $\ lim _ {{x \ to 0}} {{\ frac {\ sin x} {x}}} = 1,$
que se puede probar geométricamente.
^ Carla Maderna y Paolo Maurizio Soardi, Lecciones de análisis matemático , CittàStudi Edizioni - Milán, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.238
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti. Math Blu-Volume 4 , Ghisetti y Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.245
^ De hecho tenemos, en virtud de la unidad goniométrica y dividiendo por $\cos x$ ${\ Displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$ (siempre que no sea nulo), la identidad
$\cos {(2x)}=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x={\frac {\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}}={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}$ ${\ Displaystyle \ cos {(2x)} = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x = {\ frac {\ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x + \ sin ^ {2} x}} = {\ frac {1- \ tan ^ {2} x} {1+ \ tan ^ {2} x}}}$ ${\ Displaystyle \ cos {(2x)} = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x = {\ frac {\ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x + \ sin ^ {2} x}} = {\ frac {1- \ tan ^ {2} x} {1+ \ tan ^ {2} x}}}$ .
^ secante , en Enciclopedie online , Treccani. Consultado el 19 de octubre de 2016 .
^ arcocoséno , en Enciclopedie online , Treccani. Consultado el 19 de octubre de 2016 .
^ Wolfram Mathworld - Cosine , en mathworld.wolfram.com . Consultado el 9 de abril de 2020.
^ Mauro Fiorentini - Funciones expresadas a través de fracciones continuas , en bitman.name . Consultado el 10 de abril de 2020 .
^ coseno en "Diccionario de Ciencias Físicas"

Bibliografía

C. Maderna y Soardi PM, lecciones de Matemáticas, Ediciones CittàStudi - Milán, 1995, ISBN 88-251-7090-4 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti. Math Blu-Volume 5 , Ghisetti y Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti. Math Blu-Volume 4 , Ghisetti y Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 .

Otros proyectos

Wikcionario contiene el lema del diccionario " coseno "
Wikimedia Commons contiene imágenes u otros archivos sobre el coseno

enlaces externos

Coseno - de Wolfram MathWorld

Portal de matemáticas : acceda a las entradas de Wikipedia relacionadas con las matemáticas

[1] Valores de funciones goniométricas , en youmath.it , YouMath. Consultado el 19 de octubre de 2016 .

[2] EjercicioMatica.com , https://www.esercizimatematica.com/tabella-seno-coseno-con-tutti-gli-angoli/ .

[3] sinusoide , en Dictionary of Physical Sciences , Treccani, 1996. Consultado el 19 de octubre de 2016 .

[4] Fórmulas trigonométricas , en youmath.it , YouMath. Consultado el 19 de octubre de 2016 .

[5] Derivada del coseno , en youmath.it , YouMath. Consultado el 19 de octubre de 2016 .

[6] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti. Math Blu-Volume 5 , Ghisetti y Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.283

[7] .El último paso hace uso del límite notable :
$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,$ ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1,}$ $\ lim _ {{x \ to 0}} {{\ frac {\ sin x} {x}}} = 1,$
que se puede probar geométricamente.

[8] Carla Maderna y Paolo Maurizio Soardi, Lecciones de análisis matemático , CittàStudi Edizioni - Milán, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.238

[9] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti. Math Blu-Volume 4 , Ghisetti y Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 . p.245

[10] De hecho tenemos, en virtud de la unidad goniométrica y dividiendo por $\cos x$ ${\ Displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$ (siempre que no sea nulo), la identidad
$\cos {(2x)}=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x={\frac {\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}}={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}$ ${\ Displaystyle \ cos {(2x)} = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x = {\ frac {\ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x + \ sin ^ {2} x}} = {\ frac {1- \ tan ^ {2} x} {1+ \ tan ^ {2} x}}}$ ${\ Displaystyle \ cos {(2x)} = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x = {\ frac {\ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x + \ sin ^ {2} x}} = {\ frac {1- \ tan ^ {2} x} {1+ \ tan ^ {2} x}}}$ .

[11] secante , en Enciclopedie online , Treccani. Consultado el 19 de octubre de 2016 .

[12] rcocoséno , en Enciclopedie online , Treccani. Consultado el 19 de octubre de 2016 .

[mathworld-13] Wolfram Mathworld - Cosine , en mathworld.wolfram.com . Consultado el 9 de abril de 2020.

[14] Mauro Fiorentini - Funciones expresadas a través de fracciones continuas , en bitman.name . Consultado el 10 de abril de 2020 .

[15] seno en "Diccionario de Ciencias Físicas"

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

V · D · M Trigonometría
Función trigonométrica · Función trigonométrica inversa
Funciones	Mama · versino · coseno · Cosenoverso · Tangente · Cotangente · Secante · Secante externo · Cosecante · Cosecante externo
Funciones inversas	Arco seno · Arco coseno · Arctangente · Cotangente inversa · Arcosecante · Arcocosecante
Teoremas y fórmulas	Teorema de la cuerda · Teorema de los senos · Teorema del coseno · Ley de las tangentes · Teorema de las cotangentes · Pitágoras · Fórmulas de prostaferesis · Fórmulas de Werner
Otro	Tabla trigonométrica · tabla de integrales indefinidas de funciones trigonométricas · tabla de integrales indefinidas de funciones de arco · Funciones hiperbólicas · identidades trigonométricas · Constantes trigonométricas exactas · Historia de funciones trigonométricas