Constante de movimiento

En la teoría de sistemas dinámicos , una constante de movimiento es una cantidad que permanece sin cambios durante la evolución del sistema. Desde el punto de vista matemático es la primera integral de la ecuación de movimiento que describe un sistema dinámico , es decir, una función que permanece constante a lo largo de las soluciones de un problema diferencial . ^[1]

En el contexto de la mecánica hamiltoniana , una constante de movimiento es una función $K.$ ${\ Displaystyle K}$ $K.$ que conmuta con el hamiltoniano ${\mathcal {H}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ del sistema:

[K,{\mathcal {H}}]=0

{\ Displaystyle [K, {\ mathcal {H}}] = 0}

{\ Displaystyle [K, {\ mathcal {H}}] = 0}

donde en el contexto clásico el conmutador debe ser reemplazado con el corchete de Poisson :

\{K,{\mathcal {H}}\}=0

{\ Displaystyle \ {K, {\ mathcal {H}} \} = 0}

{\ Displaystyle \ {K, {\ mathcal {H}} \} = 0}

Definición

El mismo tema en detalle: Primera integral .

Para un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:

{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)

{\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}

{\ frac {d {\ mathbf r}} {dt}} = {\ mathbf f} ({\ mathbf r}, t)

una función escalar ${\mathcal {H}}(\mathbf {r} )$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {r})}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {r})}$ es una constante de movimiento o cantidad conservada si para todas las condiciones iniciales tenemos:

{\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=0\qquad \forall t

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = 0 \ qquad \ forall t}

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = 0 \ qquad \ forall t}

La solución del sistema es tangente al campo vectorial $\mathbf {f}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ , que puede ser, por ejemplo, un campo de velocidades , y es la intersección de dos superficies: son las integrales principales del sistema de ecuaciones diferenciales.

Usando la regla de la cadena tenemos:

{\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=\nabla {\mathcal {H}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\nabla {\mathcal {H}}\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = \ nabla {\ mathcal {H}} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ nabla {\ mathcal {H}} \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {H}}} {dt}} = \ nabla {\ mathcal {H}} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ nabla {\ mathcal {H}} \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}

por lo que la definición se puede escribir como el producto escalar de $\mathbf {f}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ y el gradiente $\nabla {\mathcal {H}}$ ${\ Displaystyle \ nabla {\ mathcal {H}}}$ ${\ Displaystyle \ nabla {\ mathcal {H}}}$ de ${\mathcal {H}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ :

\nabla {\mathcal {H}}\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=0

{\ Displaystyle \ nabla {\ mathcal {H}} \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) = 0}

{\ Displaystyle \ nabla {\ mathcal {H}} \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) = 0}

El campo vectorial $\mathbf {f}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ por tanto, es ortogonal al gradiente de la cantidad conservada ${\mathcal {H}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ .

Mecanica clasica

El mismo tema en detalle: Ecuación de movimiento .

Mecánica lagrangiana

El mismo tema en detalle: ecuaciones de Euler-Lagrange .

Si un sistema es descrito por un lagrangiano ${\mathcal {L}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal L}$ que no depende explícitamente del tiempo, es decir $\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$ ${\ estilo de visualización \ parcial {\ mathcal {L}} / \ parcial t = 0}$ ${\ estilo de visualización \ parcial {\ mathcal {L}} / \ parcial t = 0}$ , energía:

E=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right]-{\mathcal {L}}

{\ Displaystyle E = \ sum _ {i} \ left [{\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right] - {\ mathcal {L}}}

{\ Displaystyle E = \ sum _ {i} \ left [{\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right] - {\ mathcal {L}}}

se conserva.

También si $\partial {\mathcal {L}}/\partial \mathbf {q} =0$ ${\ estilo de visualización \ parcial {\ mathcal {L}} / \ parcial \ mathbf {q} = 0}$ ${\ estilo de visualización \ parcial {\ mathcal {L}} / \ parcial \ mathbf {q} = 0}$ asi que $\mathbf {q}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ es una coordenada cíclica y un momento:

\mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}}}

se conserva. Este resultado se puede obtener de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Mecánica hamiltoniana

El mismo tema en detalle: ecuaciones de Hamilton .

El espacio de fase representa, generado por la posición de las variables generalizadas $\mathbf {q}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ e impulso $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ , el conjunto de todos los estados posibles asumidos por el sistema. Para un sistema definido por el hamiltoniano ${\mathcal {H}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ , Una función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ de coordenadas generalizadas $\mathbf {q}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ e impulso $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ evoluciona temporalmente como:

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t }}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t }}}

y por lo tanto se mantiene si y solo si:

\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0

{\ Displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t}} = 0}

{\ Displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t}} = 0}

Dónde está $\{f,{\mathcal {H}}\}$ ${\ Displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \}}$ ${\ Displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \}}$ es el paréntesis de Poisson .

Las soluciones de la ecuación de movimiento son las leyes horarias, que se representan mediante órbitas en el espacio de fase. Estas son las trayectorias que puede recorrer el sistema en cada instante de tiempo de un estado. Una constante de movimiento es una función constante a lo largo de cada órbita del sistema.

La existencia de una constante de movimiento no trivial, es decir, no constante en todo el espacio, le quita al sistema un grado de libertad, ya que obliga a las órbitas a situarse en las superficies planas de la constante de movimiento. Por ejemplo, para un oscilador unidimensional, el hamiltoniano en coordenadas hamiltonianas es:

{\mathcal {H}}=\mathbf {p} ^{2}+\mathbf {q} ^{2}

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = \ mathbf {p} ^ {2} + \ mathbf {q} ^ {2}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = \ mathbf {p} ^ {2} + \ mathbf {q} ^ {2}}

Dado que conmuta consigo mismo es una constante de movimiento, y sus curvas de nivel son las circunferencias centradas en el origen del radio igual a la raíz de la energía. Estas curvas representan la evolución temporal del sistema.

Mecánica cuántica

En el campo cuántico, el concepto de trayectoria pierde de alguna manera su significado, ya que el principio de incertidumbre de Heisenberg impide la medición exacta y simultánea de la posición y la velocidad. Sin embargo, las constantes de movimiento siguen jugando un papel fundamental gracias a su profunda conexión con las simetrías del sistema.

Si un observable $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ conmuta con el operador hamiltoniano ${\hat {H}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat H}$ asi que $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ es una constante de movimiento porque es invariante con respecto a la evolución temporal generada por ${\hat {H}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat H}$ . Igualmente, ${\hat {H}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat H}$ es invariante con respecto a las transformaciones generadas por $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ . Esta información le permite buscar soluciones de sistema entre las funciones propias de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ , que son las funciones invariantes con respecto a esas transformaciones. Esto a menudo da como resultado la separación de una ecuación diferencial complicada en ecuaciones más simples. Un ejemplo de este tratamiento se encuentra en el estudio del átomo de hidrógeno , en el que se utilizan dos constantes de movimiento: el momento total para la separación del sistema del centro de masa del relativo ( problema de dos cuerpos ) y el momento angular para la separación del problema angular del radial. ^[2]

La energía de un sistema puede degenerarse , es decir, a un valor fijo de la misma le corresponden varios estados físicos diferentes. Para distinguirlos podemos utilizar la medida de otro observable, pero como es necesario diagonalizarlo en base a ${\hat {H}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat H}$ , este observable tendrá que cambiar con ${\hat {H}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat H}$ .

Nota

^ Enciclopedia Treccani - Primero integral , en treccani.it . Consultado el 26 de julio de 2013 .
^ Nicola Manini, Introducción a la física de la materia , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.11

Bibliografía

( EN ) Blanchard, Devaney, Hall, Ecuaciones diferenciales , Brooks / Cole Publishing Co, 2005, p. 486, ISBN 0-495-01265-3 .
( EN ) VI Arnold , Métodos matemáticos de la mecánica clásica , 2nd, Nueva York, Springer , 1989, ISBN 978-0-387-96890-2 .
( EN ) LD Landau y EM Lifshitz , Mecánica ,Curso de Física Teórica , Vol. 1, 3º, Butterworth-Heinemann, 1982, ISBN 978-0-7506-2896-9 .

enlaces externos

Fuerzas de movimiento conservadoras y constantes , en unife.it .

Portal de física

Portal de Matemáticas

[1] Enciclopedia Treccani - Primero integral , en treccani.it . Consultado el 26 de julio de 2013 .

[2] Nicola Manini, Introducción a la física de la materia , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.11

[1]

[2]