Derivado

La línea tangente L en P a la gráfica de la función tiene un pendiente dada por la derivada de la función en P

En matemáticas , la función derivada $f'(x)$ ${\ Displaystyle f '(x)}$ $f '(x)$ de una función $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ representa la tasa de cambio de una función con respecto a una variable, es decir, la medida de la cantidad del valor de una función cambia a medida que cambia de argumento. De manera más informal, las medidas derivadas del crecimiento (o disminución) que tendrían una función en un punto específico, se mueve muy poco desde el punto considerado.

La derivada de una función $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ en un lugar $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , En el caso de funciones de una variable en el verdadero campo , que corresponde a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ en el punto $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ y representa la mejor aproximación lineal . En el caso en el que existe la derivada (es decir, la función es diferenciable) en cada punto de la de dominio , se puede observar a su vez como una función que asocia el derivado en ese punto para cada punto.

El concepto de derivado es, junto con la de integral , una de las piedras angulares de análisis matemático y cálculo infinitesimal . El significado práctico de derivado es la velocidad de cambio de una cierta cantidad en consideración. Un ejemplo bien conocido de un derivado es el cambio en la posición de un objeto con respecto al tiempo, llamado instantánea velocidad .

Descripción

La derivada de una función en un punto es el coeficiente angular de la recta tangente a la curva en el punto. Por lo tanto, es un número que mide la pendiente de la recta tangente.

La derivada de una función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ en un lugar $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ es el valor del coeficiente angular de la recta tangente a la curva en el punto, es decir, la tangente trigonométrica del ángulo formado por la tangente en un punto de la curva de la ecuación $y=f(x)$ ${\ Displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ y el eje de abscisas . Si la derivada de una función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ en un lugar $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Y $f'(x)=0$ ${\ Displaystyle f '(x) = 0}$ $f '(x) = 0$ , La línea tangente a la gráfica de la función $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ es paralelo al eje de abscisas, mientras que si el límite en el que se calcula la derivada en un punto $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ la línea tangente a la gráfica de la función es infinito $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ es paralelo al eje de ordenadas. La función derivada se obtiene con una serie de operaciones algebraicas conocidas como reglas de derivación , universalmente aplicables a todas las funciones derivables.

En el caso de funciones de varias variables, la tangente en un punto de la curva de la función no es única, pero varía de acuerdo con la dirección elegida. Por lo tanto, ya no es posible definir una única función de las mismas variables independientes que da cuenta de la pendiente de la gráfica de la función en un punto: entonces se recurre a las derivadas parciales de la función, es decir, los coeficientes angulares de las tangentes considerados a lo largo de direcciones paralelas a los ejes que representan las variables independientes.

Las derivadas parciales son iguales en número a las variables mismas, y una propiedad notable de ellos es que si la función es suficientemente "regular" (es decir, diferenciable ) es posible calcular su tangente a lo largo de cualquier dirección con una combinación lineal de las derivadas parciales ellos mismos. Esto es posible porque la derivación operador es un operador lineal , y por lo tanto la derivada de una combinación lineal de funciones diferenciables es la combinación lineal de las derivadas de las funciones individuales, y el derivado del producto de un escalar para una función es el producto del escalar para la derivada de la función.

Definición

Una animación que da una idea intuitiva de la derivada, como el "swing" de una función cambia cuando cambia el argumento.

La noción de derivada se introdujo, en el caso de una función con una variable independiente en el campo de bienes, considerando una verdadera función $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ de variable real $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ y un punto $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de su dominio . La derivada de $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ en $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ se define como el número $f'(x_{0})$ ${\ Displaystyle f '(x_ {0})}$ $f '(x 0)$ igual al límite de la relación incremental de cuando el aumento tiende a 0, bajo la hipótesis de que este límite existe y es finito. explícitamente dicho $h$ ${\ Displaystyle h}$ $h$ el incremento, una función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ definida en una vecindad de $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ que se dice que es diferenciable en el punto $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ si existe y el límite es finito:

f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}

{\ Displaystyle f '(x_ {0}) = \ lim _ {h \ a 0} {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0})} {h}}}

{\ Displaystyle f '(x_ {0}) = \ lim _ {h \ a 0} {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0})} {h}}}

y el valor de este límite es la derivada de la función en el punto $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Si la función $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ es diferenciable en cualquier punto de un intervalo dado $(a,b)$ ${\ Displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ , Entonces se dice que es diferenciable $(a,b)$ ${\ Displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ y función $f'\colon x\in (a,b)\to f'(x)$ ${\ Displaystyle f '\ de colon x \ en (a, b) \ para f' (x)}$ ${\ Displaystyle f '\ de colon x \ en (a, b) \ para f' (x)}$ que asocia a cada punto $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ la derivada $f'(x)$ ${\ Displaystyle f '(x)}$ $f '(x)$ de $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ es la función derivada de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ .

derivado complejo

Mismo tema en detalle: derivados complejos .

Aunque el caso más sencillo es el de las funciones reales, la definición de los hallazgos derivados de su lugar más natural en el contexto de un análisis complejo , donde, cuando se aplica a las funciones de variable compleja , que toma el nombre de derivados complejos. ^[1] Said $U$ ${\ Displaystyle U}$ $U$ un subconjunto abierto del plano complejo , una función compleja $f\colon U\to \mathbb {C}$ ${\ Displaystyle f \ dos puntos U \ a \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle f \ dos puntos U \ a \ mathbb {C}}$ que puede diferenciarse en un sentido complejo en un punto $z_{0}\in U$ ${\ Displaystyle z_ {0} \ in T}$ $z_0 \ en U$ Si el límite existe: ^[2]

f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.

{\ Displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ para z_ {0}} {\ frac {f (z) -f (z_ {0})} {z-z_ {0}}} .}

{\ Displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ para z_ {0}} {\ frac {f (z) -f (z_ {0})} {z-z_ {0}}} .}

Este límite debe entenderse en relación con la topología de la planta. En otras palabras, por cada secuencia de números complejos que converge a $z_{0}$ ${\ Displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ , La relación incremental debe tender al mismo número, indicado con $f'(z_{0}).$ ${\ Displaystyle f '(z_ {0}).}$ ${\ Displaystyle f '(z_ {0}).}$ Uno mismo $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ se puede diferenciar en un sentido complejo en todos los puntos $z_{0}\in U$ ${\ Displaystyle z_ {0} \ in T}$ $z_0 \ en U$ , Se dice que es una función holomorfa en $U$ ${\ Displaystyle U}$ $U$ .

Relación entre derivado real y complejo

La relación entre la diferenciabilidad de funciones reales y complejas funciones está dada por el hecho de que si una función compleja:

f(z)\equiv f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)

{\ Displaystyle f (z) \ equiv f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y)}

{\ Displaystyle f (z) \ equiv f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y)}

es holomorfo entonces $tu$ ${\ Displaystyle u}$ $tu$ Y $v$ ${\ Displaystyle v}$ $v$ poseer parcial primero derivado con respecto a $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Y $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ y satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann : ^[3]

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.

{\ Displaystyle {\ frac {\ u parcial} {\ partial x}} = {\ frac {\ v parcial} {\ partial y}}, \ qquad {\ frac {\ u parcial} {\ y parcial}} = - {\ frac {\ v parcial} {\ x parcial}}}.

{\ Displaystyle {\ frac {\ u parcial} {\ partial x}} = {\ frac {\ v parcial} {\ partial y}}, \ qquad {\ frac {\ u parcial} {\ y parcial}} = - {\ frac {\ v parcial} {\ x parcial}}}.

De manera equivalente, el derivado de Wirtinger $\partial f/\partial {\overline {z}}$ ${\ Displaystyle \ parcial f / \ parcial {\ overline {z}}}$ $\ parcial f / \ parcial \ overline {z}$ de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ con respecto al complejo conjugado ${\overline {z}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ overline {z}$ de $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ No es nada.

Derivado derivado e izquierda derecha

El derivado derecha de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ en $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ es el numero:

f'_{+}(x_{0})=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.

{\ Displaystyle f '_ {+} (x_ {0}) = \ lim _ {h \ a 0 ^ {+}} {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) } {h}}.}

{\ Displaystyle f '_ {+} (x_ {0}) = \ lim _ {h \ a 0 ^ {+}} {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) } {h}}.}

Del mismo modo, la izquierda derivado de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ en $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ es el numero:

f'_{-}(x_{0})=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.

{\ Displaystyle f '_ {-} (x_ {0}) = \ lim _ {h \ a 0 ^ {-}} {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) } {h}}.}

{\ Displaystyle f '_ {-} (x_ {0}) = \ lim _ {h \ a 0 ^ {-}} {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) } {h}}.}

Una función es diferenciable en $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ si y sólo si la derecha y la izquierda existen derivados finita e igual. Estos también permiten definir la diferenciabilidad en un intervalo cerrado: si $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ se define por ejemplo en el intervalo cerrado $[a,b]$ ${\ Displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , se dice que $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ es diferenciable en $[a,b]$ ${\ Displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ si es diferenciable en cualquier punto interno $x\in (a,b)$ ${\ Displaystyle x \ en (a, b)}$ $x \ en (a, b)$ y si no están a la izquierda y derecha, respectivamente, derivados de los extremos $x=a$ ${\ Displaystyle x = a}$ $x = a$ Y $x=b$ ${\ Displaystyle x = b}$ $x = b$ .

Notaciones

El mismo tema en detalle: Notación para la diferenciación .

La primera notación de derivada en el punto $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ que aparece históricamente es:

\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right)_{(x_{0})}

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} \ right) _ {(x_ {0})}}

\ Left (\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x} \ right) _ {(x 0)}

todavía se utiliza en la física actual. Alternativamente, de acuerdo a la notación de Lagrange que se indica con:

f^{\prime }(x_{0}),

{\ Displaystyle f ^ {\ prime} (x_ {0}),}

{\ Displaystyle f ^ {\ prime} (x_ {0}),}

de acuerdo con el Cauchy - notación de Euler con:

\operatorname {D} \left[{f}({x_{0}})\right],

{\ Displaystyle \ operatorname {D} \ left [{f} ({x_ {0}}) \ right],}

{\ Displaystyle \ operatorname {D} \ left [{f} ({x_ {0}}) \ right],}

de acuerdo a la notación de Leibniz con:

{\frac {\mathrm {d} f(x_{0})}{\mathrm {d} x}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f (x_ {0})} {\ mathrm {d} x}}}

\ Frac {\ mathrm {d} f (x 0)} {\ mathrm {d} x}

y de acuerdo a la notación de Newton con:

{\dot {f}}(x_{0}).

{\ Displaystyle {\ dot {f}} (x_ {0}).}

{\ Displaystyle {\ dot {f}} (x_ {0}).}

Derivada parcial

Mismo tema en detalle: derivada parcial .

En el caso de una función de varias variables, el incremento de la función con respecto a una única variable es la derivada parcial de la función con respecto a esa variable. Dada una función vectorial de varias variables $\mathbf {F} :E\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}: E \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ Mathbf {F}: E \ subset \ mathbb R ^ n \ rightarrow \ mathbb R ^ m$ definida en un conjunto abierto de espacio euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ , dijo $\{\mathbf {e} _{i}\}_{1\leq i\leq n}$ ${\ Displaystyle \ {\ vec {e} _ {i} \} _ {1 \ leq i \ leq n}}$ $\ {\ Mathbf e_i \} _ {1 \ le i \ le n}$ Y $\{\mathbf {u} _{i}\}_{1\leq i\leq m}$ ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {u} _ {i} \} _ {1 \ leq i \ leq m}}$ $\ {\ Mathbf u_i \} _ {1 \ le i \ le m}$ la base canónica de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ Y $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb R ^ m$ respectivamente, la función se puede escribir como sigue:

\mathbf {F} (\mathbf {x} )=\sum _{i}^{m}F_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {u} _{i},\quad \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in E.

{\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} ^ {m} F_ {i} (\ mathbf {x}) \ mathbf {u} _ {i}, \ quad \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ en E.}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} ^ {m} F_ {i} (\ mathbf {x}) \ mathbf {u} _ {i}, \ quad \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ en E.}

El componente $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ -ésimo de la función es entonces:

F_{i}(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {u} _{i},\quad 1\leq i\leq m.

{\ F_ displaystyle {i} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {u} _ {i}, \ quad 1 \ leq i \ leq m.}

{\ F_ displaystyle {i} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {u} _ {i}, \ quad 1 \ leq i \ leq m.}

Se define como un derivado parcial de $F_{i}$ ${\ Displaystyle F_ {i}}$ $f_i$ con respecto a la variable $x_{j}$ ${\ Displaystyle x_ {j}}$ $x_j$ el límite: ^[4]

{\begin{aligned}{\frac {\partial F_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}&=\lim _{t\to 0}{\frac {F_{i}(\mathbf {x} +t\mathbf {e} _{j})-F_{i}(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {F_{i}(x_{1},x_{2},\ldots x_{j}+t,\ldots ,x_{n})-F_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}{t}}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ partial F_ {i} (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}} y = \ lim _ {t \ a 0} {\ frac {F_ {i} (\ mathbf {x} + t \ mathbf {e} _ {j}) - F_ {i} (\ mathbf {x})} {t}} \\ & = \ lim _ {t \ a 0} {\ frac {F_ {i} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {j} + t, \ ldots, x_ {n}) - F_ {i} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})} {t}} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ partial F_ {i} (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}} y = \ lim _ {t \ a 0} {\ frac {F_ {i} (\ mathbf {x} + t \ mathbf {e} _ {j}) - F_ {i} (\ mathbf {x})} {t}} \\ & = \ lim _ {t \ a 0} {\ frac {F_ {i} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {j} + t, \ ldots, x_ {n}) - F_ {i} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})} {t}} \ end {alineado}}}

Este límite se llama a veces la razón incremental de límite de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ en el punto $\mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ , y también se denota con $D_{j}F_{i}$ ${\ Displaystyle D_ {j} F_ {i}}$ $D_jF_i$ . La derivada parcial de una función, o en el caso de una función de vector de uno de sus componentes, se lleva a cabo a continuación, teniendo en cuenta las variables distintas de la una con respecto a la que se quiere obtener como constantes y calculando su relación incrementales.

Derivado direccional

Mismo tema en detalle: Derivada direccional .

La derivada direccional de una función escalar $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ${\ Displaystyle f (\ mathbf {x}) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$ $f (\ mathbf {x}) = f (x_1, x_2, \ ldots, x_n)$ a lo largo de una unidad de vector $\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n})$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$ $\ Vec {u} = (U_1, \ ldots, u_n)$ es la función definida por el límite de :

D_{\mathbf {u} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.

{\ D displaystyle _ {\ mathbf {u}} {f} (\ mathbf {x}) = \ lim _ {h \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {f (\ mathbf {x} + h \ mathbf {u}) -f (\ vec {x})} {h}}.}

{\ D displaystyle _ {\ mathbf {u}} {f} (\ mathbf {x}) = \ lim _ {h \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {f (\ mathbf {x} + h \ mathbf {u}) -f (\ vec {x})} {h}}.}

Si la función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ es diferenciable en $\mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ , Entonces existe la derivada direccional a lo largo de cada vector unidad $\mathbf {u} ,$ ${\ Displaystyle \ vec {u},}$ $\ Mathbf {u},$ y tenemos: ^[5]

D_{\mathbf {u} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {u} ,

{\ Displaystyle D _ {\ mathbf {u}} {f} (\ mathbf {x}) = \ nabla f (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {u},}

{\ Displaystyle D _ {\ mathbf {u}} {f} (\ mathbf {x}) = \ nabla f (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {u},}

Dónde está $\nabla f$ ${\ Displaystyle \ nabla f}$ $\ nabla f$ al segundo miembro representa el gradiente de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ Y $\cdot$ ${\ Displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ la euclidiana producto escalar . En $\mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ la derivada direccional de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ representa la variación de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ largo $\mathbf {u}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ .

Las generalizaciones de la derivada

El mismo tema en detalle: Las generalizaciones de la derivada .

Diferenciabilidad de una función

El mismo tema en detalle: función diferenciable , Clase C de una función y diferencial (matemáticas) .

Una función de

\mathbb {R}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

\ R

en

\mathbb {R}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

\ R

Es diferenciable en un punto si se aproxima cerca de ese punto de una línea. Por tanto, esta línea debe ser tangente a la gráfica de la función. Esta noción se extiende a dimensiones arbitrarias, y se llama una función diferenciable.

Una función diferenciable en un punto es una función que puede ser aproximada por una transformación lineal en el punto. Para que esto suceda es necesario que todas las derivadas parciales calculados en el punto existen, es decir, hay límites finitos de las relaciones de dirección incrementales (por lo tanto, si una función es diferenciable en un punto entonces es diferenciable en el punto). La propiedad diferenciabilidad de una función permite generalizar el concepto de un diferenciable función a las funciones de vector de una variable de vector, y permite identificar una tangente hiperplano para cada punto de su gráfica .

Una función $\mathbf {F} :U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}: U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ Mathbf {F}: U \ rightarrow \ mathbb R ^ m$ definida en un conjunto abierto de espacio euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ que se dice que es diferenciable en un punto $\mathbf {x} _{0}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _0$ dominio si hay una aplicación lineal $\mathbf {L} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L}: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ Mathbf {L}: \ mathbb R ^ n \ rightarrow \ mathbb R ^ m$ de tal manera que la aproximación sostiene:

\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})=\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} +\mathbf {r} (\mathbf {h} ),

{\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) - \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0}) = \ mathbf {L} (\ mathbf {x} _ {0}) \ mathbf {h} + \ mathbf {r} (\ mathbf {h}),}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) - \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0}) = \ mathbf {L} (\ mathbf {x} _ {0}) \ mathbf {h} + \ mathbf {r} (\ mathbf {h}),}

Dónde está $\mathbf {r} (\mathbf {h} )$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (\ mathbf {h})}$ $\ Mathbf r (\ mathbf {h})$ se cancela cuando el incremento se cancela $\mathbf {h}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {h}}$ $\ Mathbf {h}$ . Esta condición se puede escribir de forma equivalente:

\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})-\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\|\mathbf {h} \|}}=\mathbf {0} .

{\ Displaystyle \ lim _ {\ mathbf {h} \ a \ mathbf {0}} {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) - \ mathbf { F} (\ mathbf {x} _ {0}) - \ mathbf {L} (\ mathbf {x} _ {0}) \ mathbf {h}} {\ | \ mathbf {h} \ |}} = \ mathbf {0}.}

{\ Displaystyle \ lim _ {\ mathbf {h} \ a \ mathbf {0}} {\ frac {\ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) - \ mathbf { F} (\ mathbf {x} _ {0}) - \ mathbf {L} (\ mathbf {x} _ {0}) \ mathbf {h}} {\ | \ mathbf {h} \ |}} = \ mathbf {0}.}

Si la función $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ es diferenciable en $\mathbf {x} _{0}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _0$ , la aplicación $\mathbf {L}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L}}$ $\ Mathbf {L}$ que está representado por la matriz jacobiana $J_{F}$ ${\ Displaystyle J_ {F}}$ $J_F$ .

El vector:

\mathbf {L} (\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} =\mathrm {d} \mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})=J_{F}\mathbf {h}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {x} _ {0}) \ mathbf {h} = \ mathrm {d} \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0}) = J_ {F } \ mathbf {h}}

\ Mathbf {L} (\ mathbf {x} _0) \ mathbf {h} = \ mathrm {d} \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _0) = J_F \ mathbf h

se llama diferencial de $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ en $\mathbf {x} _{0}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _0$ Y $\mathbf {L} (\mathbf {x_{0}} )$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {x_ {0}})}$ $\ Mathbf {L} (\ vec {x 0})$ es la derivada total de la función de $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ .

La función $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ finalmente es diferenciable si es así en todos los puntos del dominio. ^[6] En particular, el total de teorema diferencial que una función es diferenciable en un punto si existen todas las derivadas parciales en una vecindad del punto para cada componente de la función y si también son funciones continuas. Además, si la aplicación que vincula $\mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ para $\mathbf {L} (\mathbf {x} )$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} (\ vec {x})}$ $\ Mathbf {L} (\ vec {x})$ es continua, se dice que la función de ser diferenciable con continuidad. ^[7]

Continuidad y derivabilidad

Mismo tema en detalle: Función continua .

El teorema afirma que si la continuidad $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ es diferenciable en $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ asi que $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ también es continua en $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

El teorema obtiene invirtiendo las hipótesis con las tesis no es válido: por ejemplo, la función de $f(x)=|x|$ ${\ Displaystyle f (x) = | x |}$ $f (x) = | x |$ es continua en todo el dominio, pero no se puede diferenciar en el punto $x_{0}=0$ ${\ Displaystyle x_ {0} = 0}$ ${\ Displaystyle x_ {0} = 0}$ , Debido a que los límites derecho e izquierdo de la relación incremental no coinciden. Por tanto, la continuidad de una función es una condición necesaria, pero no suficiente, para determinar su derivabilidad. Una función también puede ser derivable (y por lo tanto continua) en un punto $pag$ ${\ Displaystyle p}$ $pag$ , Pero ser discontinua en cada punto alrededor $pag$ ${\ Displaystyle p}$ $pag$ . Esto sucede para funciones como:

f(x)={\begin{cases}0,&{\text{ se }}x\in \mathbb {Q} ,\\x^{2},&{\text{ se }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .\end{cases}}

{\ Displaystyle f (x) = {\ begin {0} casos, y {\ text {SE}} x \ in \ mathbb {Q}, \\ x ^ {2}, y {\ text {SE}} x \ in \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}. \ end {casos}}}

{\ Displaystyle f (x) = {\ begin {0} casos, y {\ text {SE}} x \ in \ mathbb {Q}, \\ x ^ {2}, y {\ text {SE}} x \ in \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}. \ end {casos}}}

ser $\mathbb {Q}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ Mathbb {Q}$ el conjunto de los números racionales e $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ el conjunto de los números reales , mientras que el símbolo "\" se refiere a la diferencia entre las series. La función en cuestión admite en derivado (el límite de la relación incremental de sostiene), pero no es continua en cualquier punto excepto lo. Observamos que si en lugar de una función es dos veces diferenciable en un punto, entonces es continua en un entorno de ese punto.

Para demostrar que si $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ es diferenciable en $x_{0},$ ${\ Displaystyle x_ {0},}$ ${\ Displaystyle x_ {0},}$ entonces es en continuo $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , La igualdad anterior se considera:

f(x)=f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0}),

{\ Displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f ^ {\ prime} (x_ {0}) (x-x_ {0}) + o (x-x_ {0}),}

{\ Displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f ^ {\ prime} (x_ {0}) (x-x_ {0}) + o (x-x_ {0}),}

a partir del cual:

{\begin{aligned}\lim _{x\to x_{0}}f(x)&=\lim _{x\to x_{0}}f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})\\&=f(x_{0})\\\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ lim _ {x \ a x_ {0}} f (x) y = \ lim _ {x \ a x_ {0}} f (x_ {0}) + f ^ { \ prime} (x_ {0}) (x-x_ {0}) + o (x-x_ {0}) \\ & = f (x_ {0}) \\\ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ lim _ {x \ a x_ {0}} f (x) y = \ lim _ {x \ a x_ {0}} f (x_ {0}) + f ^ { \ prime} (x_ {0}) (x-x_ {0}) + o (x-x_ {0}) \\ & = f (x_ {0}) \\\ end {alineado}}}

Por lo que la función está en continuo $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . La estimación lineal de la función alrededor $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ es una aproximación mejor que:

f(x)=f(x_{0})+o(1)

{\ Displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + o (1)}

f (x) = f (x 0) + O (1)

garantizada por la continuidad única (aquí $o(1){\underset {x\to x_{0}}{\longrightarrow }}0$ ${\ Displaystyle O (1) {\ underset {x \ a x_ {0}} {\ longrightarrow}} 0}$ $o (1) \ underset {x \ a x_0} {\ longrightarrow} 0$ ). Si la función es diferenciable en $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ lo infinitesimal puede "dividirse" $o(1)$ ${\ Displaystyle O (1)}$ $o (1)$ en un término lineal y un infinitesimal de orden superior. El teorema de Lagrange proporciona una aproximación diferente (siempre lineal) en la hipótesis de que la función es diferenciable en un entorno de $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ :

f(x)=f(x_{0})+f^{\prime }(\xi )(x-x_{0})

{\ Displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f ^ {\ prime} (\ xi) (x-x_ {0})}

f (x) = f (x 0) + f ^ {\ prime} (\ xi) (x-x 0)

para todos $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ en tales alrededor, y con $\xi$ ${\ Displaystyle \ xi}$ $\ xi$ un punto dado en $(x_{0},x)$ ${\ Displaystyle (x_ {0}, x)}$ $(X 0, x)$ (o $(x,x_{0})$ ${\ Displaystyle (x, x_ {0})}$ $(X, x 0)$ , Si se trata de un barrio izquierda). A pesar de que la aproximación es ahora "exacta" (no hay términos infinitesimales que se dejan de lado), el teorema no puede mostrar para el cual $\xi$ ${\ Displaystyle \ xi}$ $\ xi$ la igualdad es verdadera.

Las funciones no diferenciables

El valor absoluto función no es diferenciable en el origen, donde tiene un punto angular

Una función continua puede ser no diferenciable. Por ejemplo, una función continua puede no ser diferenciable en un punto aislado del dominio, en la presencia de un punto angular , un cambio de signo, o una tangente vertical inflexión . También hay funciones continuas que tienen formas más complejas de no derivabilidad, tales como la función de Cantor . La función de Weierstrass es una función real de una variable real que tiene la propiedad de ser continua en todos los puntos, pero no ser diferenciable en cualquiera.

Teoremas

Algunos importantes teoremas y resultados se exponen a continuación.

Reglas de derivación

Mismo tema en detalle: reglas de derivación .

Déjalos ser $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Y $g(x)$ ${\ Displaystyle g (x)}$ $g (x)$ funciones reales de variable real $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ derivable, y así sea $\mathrm {D}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {D}}$ $\ mathrm {D}$ la operación de derivación con respecto a $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ :

\mathrm {D} [f(x)]=f'(x),\qquad \mathrm {D} [g(x)]=g'(x).

{\ Displaystyle \ mathrm {D} [f (x)] = f '(x), \ qquad \ mathrm {D} [g (x)] = g' (x).}

{\ Displaystyle \ mathrm {D} [f (x)] = f '(x), \ qquad \ mathrm {D} [g (x)] = g' (x).}

Regla de la suma ( linealidad ):

\mathrm {D} [\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha f'(x)+\beta g'(x),\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R} .

{\ Displaystyle \ mathrm {D} [\ alpha f (x) + \ beta g (x)] = \ alpha f '(x) + \ beta g' (x), \ qquad \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}.}

{\ Displaystyle \ mathrm {D} [\ alpha f (x) + \ beta g (x)] = \ alpha f '(x) + \ beta g' (x), \ qquad \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}.}

Regla del producto (o de Leibniz ):

\mathrm {D} [{f(x)\cdot g(x)}]=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).

{\ Displaystyle \ mathrm {D} [{f (x) \ cdot g (x)}] = f '(x) \ cdot g (x) + f (x) \ cdot g' (x).}

{\ Displaystyle \ mathrm {D} [{f (x) \ cdot g (x)}] = f '(x) \ cdot g (x) + f (x) \ cdot g' (x).}

Regla del cociente :

\mathrm {D} \!\left[{f(x) \over g(x)}\right]={f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x) \over g(x)^{2}}.

{\ Displaystyle \ mathrm {D} \! \ Left [{f (x) \ over g (x)} \ right] = {f '(x) \ cdot g (x) -f (x) \ cdot g' (x) \ over g (x) ^ {2}}.}

{\ Displaystyle \ mathrm {D} \! \ Left [{f (x) \ over g (x)} \ right] = {f '(x) \ cdot g (x) -f (x) \ cdot g' (x) \ over g (x) ^ {2}}.}

Regla de función mutua :

\mathrm {D} \!\left[{1 \over f(x)}\right]=-{f'(x) \over f(x)^{2}}.

{\ Displaystyle \ mathrm {D} \ \ left [{1 \ sobre f (x)} \ right] = -. {F '(x) \ over f (x) ^ {2}}}

{\ Displaystyle \ mathrm {D} \ \ left [{1 \ sobre f (x)} \ right] = -. {F '(x) \ over f (x) ^ {2}}}

Regla de la función inversa :

\mathrm {D} [f^{-1}(y)]={1 \over f'(x)},

{\ Displaystyle \ mathrm {D} [f ^ {- 1} (y)] = {1 \ over f '(x)},}

{\ Displaystyle \ mathrm {D} [f ^ {- 1} (y)] = {1 \ over f '(x)},}

con:

y={f(x)},\qquad x={f^{-1}(y)}.

{\ Displaystyle y = {f (x)}, \ qquad x = {f ^ {-. 1} (y)}}

{\ Displaystyle y = {f (x)}, \ qquad x = {f ^ {-. 1} (y)}}

Regla de la cadena :

\mathrm {D} \left[f\left(g(x)\right)\right]=f'\left(g(x)\right)\cdot g'(x).

{\ Displaystyle \ mathrm {D} \ left [f \ left (g (x) \ right) \ right] = f '\ left (g (x) \ right) \ cdot g' (x).}

{\ Displaystyle \ mathrm {D} \ left [f \ left (g (x) \ right) \ right] = f '\ left (g (x) \ right) \ cdot g' (x).}

Teorema de Fermat

El mismo tema en detalle: el teorema de Fermat en puntos estacionarios .

Es $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ un diferenciable , y por lo tanto continua, función en un punto $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dentro del dominio . Uno mismo $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ es un máximo o punto mínimo para la función de $F,$ ${\ Displaystyle f,}$ $F,$ entonces la derivada de la función en $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ no es nada, es decir $f'(x_{0})=0$ ${\ Displaystyle f '(x_ {0}) = 0}$ $f '(x_ {0}) = 0$ .

No es imprescindible que $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ es interno al dominio, siendo suficiente que es un derecho e izquierdo punto de acumulación para el dominio, mientras que es esencial para asumir que la función es diferenciable en el punto $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ ya que no es posible deducir su derivabilidad de las otras hipótesis del teorema. Cada punto en el $f'(x)$ ${\ Displaystyle f '(x)}$ $f '(x)$ se desvanece (es decir, es igual a cero) se llama el punto estacionario . Los máximos y mínimos relativos se llaman puntos estacionarios de $f'(x)$ ${\ Displaystyle f '(x)}$ $f '(x)$ .

Este teorema es ampliamente utilizado en el estudio de funciones, ya que define la posibilidad de tener un punto máximo o mínimo donde la función derivada se desvanece.

El teorema de Rolle

Mismo tema en detalle: el teorema de Rolle .

Es $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ una función continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ ${\ Displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ ${\ Displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . Uno mismo $f(a)=f(b)$ ${\ Displaystyle f (a) = f (b)}$ $f (a) = f (b)$ entonces hay al menos un punto $x_{0}\in (a,b)$ ${\ Displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$ $x_0 \ in (a, b)$ donde la primera derivada $f'(x)$ ${\ Displaystyle f '(x)}$ $f '(x)$ cancelas.

El teorema de Lagrange

El mismo tema en detalle: el teorema de Lagrange .

Es $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ una función continua en $[a,b]$ ${\ Displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ ${\ Displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . Entonces hay al menos un punto $x_{0}\in (a,b)$ ${\ Displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$ $x_0 \ in (a, b)$ de tal manera que:

f'(x_{0})={{f(b)-f(a)} \over {b-a}}.

{\ Displaystyle f '(x_ {0}) = {{f (b) -f (a)} \ over {ba}}.}

{\ Displaystyle f '(x_ {0}) = {{f (b) -f (a)} \ over {b-a}}.}

El teorema afirma que existe al menos un punto $(x_{0},f(x_{0}))$ ${\ Displaystyle (x_ {0}, f (x_ {0}))}$ $(X 0, f (x 0))$ de la gráfica de la función en la que la línea tangente tiene un coeficiente angular igual a la de la cuerda de la línea que pasa por los puntos $(a,f(a))$ ${\ Displaystyle (a, f (a))}$ $(A, f (a))$ Y $(b,f(b))$ ${\ Displaystyle (b, f (b))}$ $(B, f (b))$ . Es una generalización de Rolle 's teorema que analiza el caso en el que $f(a)$ ${\ Displaystyle f (a)}$ $lo hace)$ es diferente de $f(b)$ ${\ Displaystyle f (b)}$ $f (b)$ .

El teorema de Cauchy

El mismo tema en detalle: el teorema de Cauchy (análisis matemático) .

Déjalos ser $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Y $g(x)$ ${\displaystyle g(x)}$ $g(x)$ funzioni continue in $[a,b]$ ${\displaystyle [a,b]}$ $[a,b]$ e derivabili in $(a,b)$ ${\displaystyle (a,b)}$ $(a,b)$ con $g'(x)$ ${\displaystyle g'(x)}$ $g'(x)$ diversa da 0 per ogni punto dell'intervallo. Allora esiste almeno un punto $x_{0}\in (a,b)$ $x_{0}\in (a,b)$ $x_0 \in (a,b)$ tale per cui:

{f'(x_{0}) \over g'(x_{0})}={{f(b)-f(a)} \over {g(b)-g(a)}}.

{f'(x_{0}) \over g'(x_{0})}={{f(b)-f(a)} \over {g(b)-g(a)}}.

{f'(x_{0}) \over g'(x_{0})}={{f(b)-f(a)} \over {g(b)-g(a)}}.

Considerando in particolare la funzione $g(t)=t$ ${\displaystyle g(t)=t}$ $g(t) = t$ , si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.

Con il teorema di Cauchy è inoltre possibile dimostrare la regola di de l'Hôpital .

Monotonia a partire dalla derivata

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Lagrange .

Sia $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ continua in $[a,b]$ ${\displaystyle [a,b]}$ $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ ${\displaystyle (a,b)}$ $(a,b)$ . Allora:

Per ogni $x\in (a,b)$ $x\in (a,b)$ $x \in (a,b)$ si ha $f'(x)\geqslant 0$ $f'(x)\geqslant 0$ $f'(x) \geqslant 0$ se e solo se la funzione è crescente in $(a,b)$ ${\displaystyle (a,b)}$ $(a,b)$ .
Per ogni $x\in (a,b)$ $x\in (a,b)$ $x \in (a,b)$ si ha $f'(x)\leqslant 0$ $f'(x)\leqslant 0$ $f'(x) \leqslant 0$ se e solo se la funzione è decrescente in $(a,b)$ ${\displaystyle (a,b)}$ $(a,b)$ .

La funzione può non essere strettamente crescente (o decrescente), e il teorema è direttamente ricavabile dall'enunciato di Lagrange.

Analogamente, valgono anche i fatti seguenti:

Se per ogni $x\in (a,b)$ $x\in (a,b)$ $x \in (a,b)$ si ha $f'(x)>0,$ ${\displaystyle f'(x)>0,}$ $f'(x)>0,$ allora la funzione è strettamente crescente in $(a,b)$ ${\displaystyle (a,b)}$ $(a,b)$ .
Se per ogni $x\in (a,b)$ $x\in (a,b)$ $x \in (a,b)$ si ha $f'(x)<0,$ ${\displaystyle f'(x)<0,}$ $f'(x)<0,$ allora la funzione è strettamente decrescente in $(a,b)$ ${\displaystyle (a,b)}$ $(a,b)$ .

Una funzione strettamente crescente non ha necessariamente derivata ovunque positiva. Ad esempio, $f(x)=x^{3}$ $f(x)=x^{3}$ $f(x)=x^{3}$ è strettamente crescente, ma ha derivata nulla nell'origine, dove c'è un punto di flesso .

Il teorema della funzione costante afferma che una funzione è costante in un intervallo $[a,b]$ ${\displaystyle [a,b]}$ $[a,b]$ se e solo se è derivabile e la derivata è ovunque nulla nell'intervallo. Mentre la condizione necessaria è conseguenza della definizione di derivata (la derivata di una costante è uguale a zero), la sufficienza segue dal teorema di Lagrange .

Derivate di ordine superiore

La derivata $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -esima $f^{(n)}$ $f^{(n)}$ $f^{(n)}$ di una funzione $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ è la funzione che si ottiene derivando successivamente $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ volte la funzione $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ . Si definiscono così la derivata seconda, terza, e così via; e si usa generalmente una delle seguenti notazioni:

{\begin{aligned}f''=f^{(2)}&={\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}\\f'''=f^{(3)}&={\frac {\mathrm {d} ^{3}f}{\mathrm {d} x^{3}}}\\&\vdots \\f^{(n)}&={\frac {\mathrm {d} ^{n}f}{\mathrm {d} x^{n}}}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}f''=f^{(2)}&={\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}\\f'''=f^{(3)}&={\frac {\mathrm {d} ^{3}f}{\mathrm {d} x^{3}}}\\&\vdots \\f^{(n)}&={\frac {\mathrm {d} ^{n}f}{\mathrm {d} x^{n}}}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}f''=f^{(2)}&={\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}\\f'''=f^{(3)}&={\frac {\mathrm {d} ^{3}f}{\mathrm {d} x^{3}}}\\&\vdots \\f^{(n)}&={\frac {\mathrm {d} ^{n}f}{\mathrm {d} x^{n}}}.\end{aligned}}

Una funzione derivabile non è necessariamente derivabile $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ volte. Ad esempio, la funzione $f(x)=x|x|$ ${\displaystyle f(x)=x|x|}$ $f(x) = x |x|$ ha una derivata prima, ma non una seconda: infatti, la derivata di $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ è $f'(x)=2|x|$ ${\displaystyle f'(x)=2|x|}$ $f'(x)=2|x|$ , che non è a sua volta derivabile nell'origine.

La classe delle funzioni derivabili $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ volte e la cui derivata $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -esima è continua si indica con $C^{n}$ $C^{n}$ $C^n$ .

Convessità

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione convessa .

Sia $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ derivabile. Allora $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ è convessa se e solo se $f'(x)$ ${\displaystyle f'(x)}$ $f'(x)$ è crescente in $[a,b]$ ${\displaystyle [a,b]}$ $[a,b]$ . Se $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ possiede derivata seconda, allora la convessità della funzione è data dalla disequazione:

f''(x)\geq 0.

f''(x)\geq 0.

f''(x)\geq 0.

Il cambiamento di segno della derivata seconda determina quindi un cambiamento di convessità della funzione e un relativo punto di flesso .

Significato geometrico della derivata

La retta in rosso è la tangente al grafico della f(x) nel punto (x ₀ , f(x ₀ ))

Il valore della derivata di $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ calcolata in $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ ha un significato geometrico: è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico di $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ nel punto di coordinate $(x_{0},f(x_{0}))$ $(x_{0},f(x_{0}))$ $(x_0,f(x_0))$ . In altre parole, la derivata è il valore della tangente trigonometrica dell'angolo (convesso) che la retta tangente in $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ al grafico della funzione forma con l'asse delle ascisse (a patto che tale angolo non sia retto ).

L'equazione della retta tangente in $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ risulta:

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

Più precisamente, se $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ è derivabile nel punto $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ , allora esiste una funzione $o(x-x_{0})$ $o(x-x_{0})$ $o(x-x_0)$ definita in un intorno di $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ tale che:

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0}),

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0}),

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0}),

con:

\lim _{x\to x_{0}}{{o(x-x_{0})} \over {x-x_{0}}}=0

\lim _{x\to x_{0}}{{o(x-x_{0})} \over {x-x_{0}}}=0

\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = 0

e tale formula è l' espansione di Taylor di $f(x)$ ${\displaystyle f(x)}$ $f(x)$ troncata al termine di primo grado. Si dice che $o(x-x_{0})$ $o(x-x_{0})$ $o(x-x_0)$ è un infinitesimo di ordine superiore alla funzione $(x-x_{0})$ $(x-x_{0})$ $(x-x_0)$ , e con questo si vuole esprimere l'idea che il termine $o(x-x_{0})$ $o(x-x_{0})$ $o(x-x_0)$ fornisce un contributo che diventa trascurabile rispetto agli altri termini quando ci si avvicina a $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ . Si può anche dire che una funzione derivabile in $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ è approssimabile linearmente intorno a $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ con la sua retta tangente in tale punto.

Se si definisce infatti $o(x-x_{0})$ $o(x-x_{0})$ $o(x-x_0)$ , avente lo stesso dominio di $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ , come:

o(x-x_{0})=f(x)-f(x_{0})-f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}),

o(x-x_{0})=f(x)-f(x_{0})-f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}),

o(x-x_{0})=f(x)-f(x_{0})-f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0}),

si verifica che:

\lim _{x\to x_{0}}{{o(x-x_{0})} \over {x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f^{\prime }(x_{0})\right).

\lim _{x\to x_{0}}{{o(x-x_{0})} \over {x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f^{\prime }(x_{0})\right).

\lim _{x\to x_{0}}{{o(x-x_{0})} \over {x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f^{\prime }(x_{0})\right).

Ricordando che per $x\to x_{0}$ $x\to x_{0}$ $x \to x_0$ allora $x-x_{0}\to 0$ $x-x_{0}\to 0$ $x-x_0 \to 0$ , e quindi $h=x-x_{0}$ $h=x-x_{0}$ $h = x-x_0$ . Sostituendo questa ultima uguaglianza con la precedente equazione si ha:

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-f^{\prime }(x_{0})=0.

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-f^{\prime }(x_{0})=0.

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-f^{\prime }(x_{0})=0.

Esempio

Una funzione espressa come serie di potenze $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$ $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$ $\sum_{n=0}^\infty a_n X^n$ con raggio di convergenza $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ è continua e derivabile su tutto l'intervallo $(-r,r)$ ${\displaystyle (-r,r)}$ $(-r, r)$ . La derivata può essere calcolata derivando termine a termine la serie nel modo seguente:

f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}.

f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}.

f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}.

Tuttavia, in una serie di potenze si preferisce che $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ sia l'indice della potenza, quindi utilizzando uno shift diventa:

f'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{(n+1)}a_{n+1}x^{n}.

f'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{(n+1)}a_{n+1}x^{n}.

f'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{(n+1)}a_{n+1}x^{n}.

Questo tipo di derivata è importante per lo sviluppo di Taylor e Maclaurin.

Note

^ Weisstein, Eric W. Derivative. From MathWorld , su mathworld.wolfram.com . URL consultato il 25-11-2012 .
^ Rowland, Todd. Complex Differentiable. From MathWorld , su mathworld.wolfram.com . URL consultato il 25-11-2012 .
^ Weisstein, Eric W. Cauchy-Riemann Equations. From MathWorld , su mathworld.wolfram.com . URL consultato il 25-11-2012 .
^ W. Rudin , Pag. 216 .
^ W. Rudin , Pag. 219 .
^ W. Rudin , Pag. 214 .
^ W. Rudin , Pag. 220 .

Bibliografia

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Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone : Lezioni di Analisi Matematica Due , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203
Walter Rudin , Principi di Analisi Matematica , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .
( EN ) Abramowitz, M. and Stegun, IA (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing . New York: Dover, p. 11, 1972.
( EN ) Amend, B. Camp FoxTrot . Kansas City, MO: Andrews McMeel, p. 19, 1998.
( EN ) Anton, Howard, Calculus: A New Horizon, 6th ed. , New York, Wiley, 1999, ISBN 978-04-71153-06-1 .
( EN ) Beyer, WH Derivatives . CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 229–232, 19

Voci correlate

Altri progetti

Wikibooks contiene testi o manuali su derivata
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Wikiversità contiene risorse su derivata

Collegamenti esterni

Derivata , su Treccani.it – Enciclopedie on line , Istituto dell'Enciclopedia Italiana .
( EN ) Derivata , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Derivata , in Treccani.it – Enciclopedie on line , Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
WIMS Function Calculator calcolo delle derivate online; questo sito permette anche di fare esercizi interattivi
Differenziazione calcolatrice , su easycalculation.com .
( EN ) Online Derivatives Calculator .
Limite, derivate, integrali Directory con varie risorse sulle derivate

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 32594 · LCCN ( EN ) sh2011005437 · NDL ( EN , JA ) 00560650

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[2] Rowland, Todd. Complex Differentiable. From MathWorld , su mathworld.wolfram.com . URL consultato il 25-11-2012 .

[3] Weisstein, Eric W. Cauchy-Riemann Equations. From MathWorld , su mathworld.wolfram.com . URL consultato il 25-11-2012 .

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[7] W. Rudin , Pag. 220 .

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V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione ( di funzioni ) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite ( di una funzione · di una successione · Forma indeterminata ) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie ( di funzioni ) · Criteri di convergenza ·Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo , di linea ( 1ª specie · 2ª specie ) e di superficie ( di volume )
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy