Dinámica

El problema del plano inclinado es un ejemplo elemental de la aplicación de la mecánica newtoniana

En física , la dinámica ^[1] es la rama de la mecánica newtoniana que se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos a partir de sus causas ( fuerzas ) o, en términos más concretos, de las circunstancias que lo determinan y modifican en el tiempo y en el espacio. de su marco de referencia .

Según la intuición fundamental de Galileo y Newton , las fuerzas no son la causa del movimiento, sino que producen una variación del estado de movimiento , o más bien una aceleración ; esta intuición equivale a afirmar la relatividad del movimiento; un observador puede determinar su estado de reposo o movimiento sólo en relación con otros cuerpos u otros observadores; para esto se puede hablar de las causas que varían el movimiento, pero no de las causas del movimiento.

El estudio de la dinámica se realiza en primer lugar refiriéndose a una entidad abstracta, dotada de masa , pero de dimensiones despreciables: el punto material ; todas las leyes referentes al punto material pueden entonces extenderse a cuerpos reales, dotados de masa y dimensiones finitas, interpretados como sistemas de puntos materiales ; un modelo más refinado es el de un cuerpo rígido , definido como un sistema de puntos materiales donde las distancias relativas entre los puntos constituyentes no varían en el tiempo; si no se verifica esta condición, ingresamos al campo de la dinámica de cuerpos deformables .

Principio de relatividad galileano

El mismo tema en detalle: Principio de relatividad de Galileo .

Principio de relatividad galileano

« Las leyes físicas son covariantes en todos los sistemas de referencia inerciales, es decir, son invariantes bajo las transformaciones galileanas. "

Al construir cualquier teoría, es esencial determinar las condiciones bajo las cuales dos observadores ven los fenómenos evolucionar de la misma manera y, por lo tanto, pueden describirlos con las mismas leyes. En el contexto de la mecánica clásica, dos observadores que realizan simultáneamente una medición mientras se encuentran en un movimiento relativo rectilíneo uniforme pueden traducir los datos de posición y velocidad observados por uno en los datos medidos correspondientes por el otro, a través de las transformaciones galileanas .

Estos observadores se denominan observadores inerciales u observadores galileanos , y el sistema de referencia en el que se insertan es un sistema de referencia inercial .

Principios de dinámica

El mismo tema en detalle: Principios de dinámica .

Las dos primeras leyes de los Principia Mathematicae de Isaac Newton

Isaac Newton recibió los fundamentos conceptuales de la dinámica ya como estudiante en el ensayo On Reflections de enero de 1665 , manuscrito en su Waste Book . Sin embargo, los planteó por primera vez de forma sintética y completa en 1687 con la publicación de su obra fundamental, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica , también conocida como Principia . En la primera parte de este trabajo, después de las definiciones de los conceptos fundamentales de masa , momento y fuerza , se introducen los tres axiomas o leyes del movimiento según Newton.

Primer principio

René Descartes

Primer principio de dinámica

" En un sistema inercial, un cuerpo libre o en equilibrio, es decir, no sometido a ninguna interacción real ni a un sistema de interacciones reales con resultante cero, mantiene su estado de movimiento rectilíneo uniforme o de reposo hasta que una fuerza externa actúa sobre él variando este movimiento ".

Esta ley también se conoce como el principio de inercia y es una consecuencia directa del principio de relatividad de Galileo; de hecho, un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza ni momento es estacionario con respecto a su propio sistema de referencia, mientras que está en movimiento rectilíneo uniforme con respecto a otro sistema de referencia que se mueve con movimiento rectilíneo uniforme con respecto al primero. Por tanto, las formulaciones parciales de este principio se encuentran en el Discurso de Galileo Galilei sobre los sistemas máximos ( 1632 ) y en las obras de física de René Descartes .

La demostración de este principio se obtiene poniendo a cero las resultantes de las fuerzas. $\mathbf {F^{(R)}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F ^ {(R)}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F ^ {(R)}}}$ y momentos $\mathbf {M^{(R)}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M ^ {(R)}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M ^ {(R)}}}$ comparado con un poste $O$ ${\ Displaystyle O}$ $O$ :

{\begin{aligned}&\mathbf {F^{(R)}} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m\mathbf {a} _{i}=0\\&\mathbf {M^{(R)}} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {M} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times m\mathbf {a} _{i}=0\\\end{aligned}}\iff \mathbf {a} _{i}=0\quad \forall i

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathbf {F ^ {(R)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m \ mathbf {a} _ {i} = 0 \\ & \ mathbf {M ^ {(R)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {M} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {r} _ {i} \ times m \ mathbf {a} _ {i} = 0 \\\ end {alineado}} \ iff \ mathbf {a} _ {i} = 0 \ quad \ forall i}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathbf {F ^ {(R)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m \ mathbf {a} _ {i} = 0 \\ & \ mathbf {M ^ {(R)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {M} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {r} _ {i} \ times m \ mathbf {a} _ {i} = 0 \\\ end {alineado}} \ iff \ mathbf {a} _ {i} = 0 \ quad \ forall i}

La primera ley no es válida en todos los sistemas de referencia , sino solo en los sistemas de referencia que se mueven con movimiento rectilíneo uniforme, es decir, sistemas inerciales; de hecho permite definir de forma unívoca estos sistemas de referencia.

Segundo principio

Galileo Galilei

Isac Newton

Leonhard Euler

Segundo principio de dinámica

"Una fuerza impresa en un cuerpo produce una variación de su impulso en la dirección y dirección de la fuerza de una manera directamente proporcional a la fuerza aplicada".

El impulso $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ de un punto material, o de un cuerpo, de masa $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ que se mueve con rapidez $\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ Se define como:

\mathbf {p} =m\mathbf {v}

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}

por lo tanto, de acuerdo con la primera ecuación cardinal de dinámica de Leonhard Euler , la fuerza es la derivada del momento con respecto al tiempo:

\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}

Esto significa que esta ley reconoce implícitamente el caráctervectorial tanto de la fuerza como del momento . A partir de una comparación entre la primera y la segunda ley, la primera ley puede interpretarse como un caso particular de la segunda. Suponiendo que la masa del punto material, o del cuerpo, en consideración es constante, obtenemos la formulación más común de este principio, ya expresada por Newton y Euler, a través de la siguiente ecuación:

\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (m\mathbf {v} )}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} (m \ mathbf {v} )} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = m \ mathbf {a}}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} (m \ mathbf {v} )} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = m \ mathbf {a}}

es decir, "la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante ejercida sobre el cuerpo, a través de una constante llamada masa inercial " .

Aquí la masa resulta ser una constante de proporcionalidad entre la fuerza resultante ejercida sobre el cuerpo y la aceleración resultante. La introducción del concepto de masa inercial es la piedra angular del segundo principio y es posible ver en él una definición de la masa misma. En este sentido, la masa es una propiedad intrínseca del cuerpo y da una medida de la inercia del cuerpo, que es la tendencia de un cuerpo a oponerse a cualquier variación de velocidad, por eso se le llama masa inercial.

Tercer principio

Tercer principio de dinámica

" En un marco de referencia inercial, el momento y el momento angular total con respecto a un polo fijo de un sistema dinámico libre o en equilibrio se conservan".

Esta ley también se conoce como el principio de acción y reacción , donde por "acción" entendemos fuerzas y momentos reales . Reconoce en primer lugar el hecho de que las fuerzas y los momentos surgen siempre de la interacción entre dos cuerpos. En términos matemáticos, si no actúan fuerzas o momentos externos sobre un sistema formado por dos puntos materiales, o dos cuerpos, resulta que:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=0,\quad {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=0;

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = 0, \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = 0;}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = 0, \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = 0;}

,

ese es el momento y el momento angular , ese es el momento del momento, del sistema permanecen constantes . De ello se deduce que en el momento en que se produce la interacción entre los dos cuerpos, la variación del momento y el momento angular del primer cuerpo deben equilibrar las del segundo cuerpo. Suponiendo las masas constantes y el polo, con respecto al cual se calcula el momento angular, tenemos:

\Delta \mathbf {p} _{12}=-\Delta \mathbf {p} _{21}\qquad \Delta \mathbf {L} _{12}=-\Delta \mathbf {L} _{21}

{\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {p} _ {12} = - \ Delta \ mathbf {p} _ {21} \ qquad \ Delta \ mathbf {L} _ {12} = - \ Delta \ mathbf {L} _ {21}}

{\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {p} _ {12} = - \ Delta \ mathbf {p} _ {21} \ qquad \ Delta \ mathbf {L} _ {12} = - \ Delta \ mathbf {L} _ {21}}

Derivando ambos lados de ambas ecuaciones con respecto al tiempo, nuevamente por la segunda ley, obtenemos:

\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}\qquad \mathbf {M} _{12}=-\mathbf {M} _{21}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21} \ qquad \ mathbf {M} _ {12} = - \ mathbf {M} _ {21}}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21} \ qquad \ mathbf {M} _ {12} = - \ mathbf {M} _ {21}}

Dónde está $\mathbf {F} _{12}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {12}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {12}}$ Y $\mathbf {M} _{12}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {12}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {12}}$ son la fuerza y el momento ejercidos por el segundo cuerpo sobre el primero e $\mathbf {F} _{21}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {21}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {21}}$ Y $\mathbf {M} _{21}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {21}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {21}}$ son la fuerza y el momento que ejerce el primer cuerpo sobre el segundo.

Aplicaciones de los principios de la dinámica

Dinámica del punto material

Un cuerpo puede considerarse con buena aproximación un punto material cuando sus dimensiones son despreciables en comparación con las dimensiones de su trayectoria. En el caso de que la masa del cuerpo permanezca constante durante el movimiento, la ecuación de movimiento se puede escribir en la forma:

\mathbf {F} (t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} (t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \left[m\mathbf {v} (t)\right]}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} (t)}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} (t)

{\ Displaystyle \ mathbf {F} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ izquierda [m \ mathbf {v} (t) \ right]} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} (t)} {\ mathrm {d} t}} = m \ mathbf {a} (t)}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ izquierda [m \ mathbf {v} (t) \ right]} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} (t)} {\ mathrm {d} t}} = m \ mathbf {a} (t)}

,

ser $\mathbf {a} (t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} (t)}$ la aceleración instantánea del cuerpo. Esta última ecuación es quizás la forma más extendida y mejor conocida de los principios de la dinámica: también recordamos que solo es válida en el caso de un cuerpo de masa constante.

El principio de inercia constituye, por tanto, un caso particular de la segunda ley de la dinámica;
Si ninguna fuerza actúa sobre el cuerpo, o si todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo no dan como resultado nada, entonces el cuerpo mantiene su estado sin cambios, por lo que la aceleración también es cero ( $para$ $=$ $0$ {\ Displaystyle \ mathbf {a} = 0} ${\ Displaystyle \ mathbf {a} = 0}$ ), es decir, la velocidad permanece constante en el tiempo ( $v$ $=$ $v$ $0$ $=$ $constante$ {\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {0} = {\ text {constante}}} ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {0} = {\ text {constante}}}$ ):
- uno mismo $\mathbf {v} _{0}=0$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {0} = 0}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {0} = 0}$ el estado está tranquilo
- uno mismo $\mathbf {v} _{0}\neq 0$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {0} \ neq 0}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {0} \ neq 0}$ el estado es de movimiento rectilíneo uniforme
Si una fuerza constante actúa sobre el cuerpo a lo largo del tiempo, entonces la aceleración también es constante y el cuerpo se mueve en un movimiento uniformemente acelerado .

Si la fuerza es una función conocida del tiempo $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ , de la posición $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ o velocidad $\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ , entonces la ecuación de movimiento representa una ecuación diferencial , cuya solución representa la trayectoria del punto material en función del tiempo: $\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (t)}$ .

Por ejemplo, en el caso de una fuerza elástica que sigue la ley de Hooke , considerando el caso unidimensional para el cual $\mathbf {F} =-k\mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = -k \ mathbf {x}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = -k \ mathbf {x}}$ , la solución de la ecuación de movimiento es una oscilación periódica del período $T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$ ${\ Displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {m} {k}}}}$ ${\ Displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {m} {k}}}}$ , llamado oscilación armónica o movimiento armónico .

Dinámica de sistemas de puntos o cuerpos materiales

El mismo tema en detalle: Ecuaciones cardinales de la dinámica .

Dinámica de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo

En el caso de un cuerpo de masa rígido $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ , vinculado a un eje de rotación particular ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ , la ecuación de movimiento toma la forma:

\mathbf {M} _{\hat {z}}(t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{\hat {z}}(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L} _ {\ hat {z}} (t)} {\ mathrm { d} t}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L} _ {\ hat {z}} (t)} {\ mathrm { d} t}}}

ser $\mathbf {M} _{\hat {z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}}}$ el momento mecánico e $\mathbf {L} _{\hat {z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}}}$ el momento angular tanto con respecto al eje ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ . Dado que el momento angular se puede expresar en función del momento de inercia del cuerpo

\mathbf {L} _{\hat {z}}(t)=I_{\hat {z}}{\boldsymbol {\omega }}(t)

{\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}} (t) = I _ {\ hat {z}} {\ boldsymbol {\ omega}} (t)}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}} (t) = I _ {\ hat {z}} {\ boldsymbol {\ omega}} (t)}

,

ser ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ la velocidad angular instantánea de rotación alrededor del eje ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ , si la masa o la distribución de la masa alrededor del eje de rotación no varía, entonces el momento de inercia no cambia durante el movimiento, por lo que la ecuación de movimiento se puede escribir en la forma:

\mathbf {M} _{\hat {z}}=I_{\hat {z}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\omega } (t)}{\mathrm {d} t}}=I_{\hat {z}}{\dot {\boldsymbol {\omega }}}(t)

{\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}} = I _ {\ hat {z}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {\ omega} (t)} {\ mathrm {d } t}} = I _ {\ hat {z}} {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} (t)}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}} = I _ {\ hat {z}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {\ omega} (t)} {\ mathrm {d } t}} = I _ {\ hat {z}} {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} (t)}

,

ser ${\dot {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}}}$ aceleración angular .

Dinámica y leyes de conservación

El mismo tema en detalle: Teoremas de la mecánica clásica § Leyes de conservación .

La dinámica se puede formular de forma complementaria con respecto a la ecuación de movimiento mediante leyes de conservación:

Nota

↑ Del latín dynamica , neologismo introducido por Leibniz en Dynamica de potentia et legibus naturae corporeae (1690).

Otros proyectos

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enlaces externos

(EN) Dinámica , de Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

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[1] Del latín dynamica , neologismo introducido por Leibniz en Dynamica de potentia et legibus naturae corporeae (1690).

[1]