Distancia (matemáticas)

El significado matemático del término distancia tiene un significado similar al de uso común, es decir, el de la medida de la "distancia" entre dos puntos de un conjunto al que se le puede atribuir algún carácter espacial . En matemáticas, sin embargo, esta noción adquiere caracteres abstractos y se basa solo en propiedades formales que la hacen perder su singularidad: hay ejemplos de conjuntos incluso comunes como $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ en el que se pueden dar infinitas definiciones de distancia, todas satisfaciendo las propiedades generales. Se puede decir que en matemáticas el término distancia caracteriza herramientas computacionales con algunas características comunes, pero utilizables para diferentes propósitos.

El concepto de distancia y el conectado de longitud se generalizan definiendo las geodésicas como el camino más corto entre dos puntos de un "espacio curvo".

Definición de distancia

Una distancia (o métrica ) en un conjunto $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ es una función

d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R}

{\ Displaystyle d: X \ times X \ longrightarrow \ mathbb {R}}

d: X \ times X \ longrightarrow \ mathbb {R}

que satisface las siguientes propiedades para cada elección de $X, y, z$ ${\ Displaystyle x, y, z}$ $x, y, z$ en $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ :

$d(x,y)\geq 0$ ${\ Displaystyle d (x, y) \ geq 0}$ $d (x, y) \ geq 0$
$d(x,y)=0~\Longleftrightarrow ~x=y$ ${\ Displaystyle d (x, y) = 0 ~ \ Longleftrightarrow ~ x = y}$ $d (x, y) = 0 ~ \ Longleftrightarrow ~ x = y$
$d(x,y)=d(y,x)\$ ${\ Displaystyle d (x, y) = d (y, x) \}$ $d (x, y) = d (y, x) \$ (simetría)
$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ ${\ Displaystyle d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)}$ $d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)$ ( desigualdad triangular )

La pareja $(X,d)$ ${\ Displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ se llama espacio métrico .

En realidad, solo las propiedades 2, 3, 4 son independientes entre sí. Esto significa que se pueden definir funciones que satisfagan algunos de 2, 3, 4 pero no otros. Por ejemplo, si $d(a,b)=d(b,c)=d(c,a)=d(b,a)=d(c,b)=2,d(a,c)=3$ ${\ Displaystyle re (a, b) = re (b, c) = re (c, a) = re (b, a) = re (c, b) = 2, re (a, c) = 3}$ ${\ Displaystyle re (a, b) = re (b, c) = re (c, a) = re (b, a) = re (c, b) = 2, re (a, c) = 3}$ entonces la función $d(x,y)$ ${\ Displaystyle d (x, y)}$ $d (x, y)$ para estos valores particulares satisface 2.4 pero no 3 y por lo tanto en general no satisface 3.

La prueba de que 3,4 implica 1 es muy simple.

De hecho, al explotar los 4 tenemos $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ ${\ Displaystyle d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}$ ${\ Displaystyle d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}$ Y $d(z,y)\leq d(z,x)+d(x,y)$ ${\ Displaystyle d (z, y) \ leq d (z, x) + d (x, y)}$ ${\ Displaystyle d (z, y) \ leq d (z, x) + d (x, y)}$ . Ahora agregando miembro a miembro obtenemos

$d(x,z)+d(z,y)\leq d(x,y)+d(y,z)+d(z,x)+d(x,y)$ ${\ Displaystyle d (x, z) + d (z, y) \ leq d (x, y) + d (y, z) + d (z, x) + d (x, y)}$ ${\ Displaystyle d (x, z) + d (z, y) \ leq d (x, y) + d (y, z) + d (z, x) + d (x, y)}$ finalmente (usando 3) la expresión se simplifica a

$0\leq 2d(x,y)$ ${\ Displaystyle 0 \ leq 2d (x, y)}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq 2d (x, y)}$ que es precisamente 1, después de dividir por 2 (e intercambiar los miembros).

Distancia inducida por una norma

Dado un estándar $||\cdot ||:X\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle || \ cdot ||: X \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $|| \ cdot ||: X \ flecha derecha {\ mathbb {R}}$ , puedes definir una distancia $d:X\times X\rightarrow R$ ${\ Displaystyle d: X \ times X \ rightarrow R}$ $d: X \ times X \ rightarrow R$ definiendo

d(x,y)=||x-y||\

{\ Displaystyle d (x, y) = || xy || \}

d (x, y) = || x-y || \

.

Se comprueba que la función así definida es una distancia, de hecho:

$d(x,y)=||x-y||\geq 0$ ${\ Displaystyle d (x, y) = || xy || \ geq 0}$ $d (x, y) = || x-y || \ geq 0$

$d(x,y)=||x-y||=0~\Longleftrightarrow ~||x-y||=||0||~\Longleftrightarrow ~x=y$ ${\ Displaystyle d (x, y) = || xy || = 0 ~ \ Longleftrightarrow ~ || xy || = || 0 || ~ \ Longleftrightarrow ~ x = y}$ $d (x, y) = || x-y || = 0 ~ \ Longleftrightarrow ~ || x-y || = || 0 || ~ \ Longleftrightarrow ~ x = y$

$d(x,y)=||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1|||y-x||=||y-x||=d(y,x)\$ ${\ Displaystyle d (x, y) = || xy || = || (-1) (yx) || = | -1 ||| yx || = || yx || = d (y, x) \}$ $d (x, y) = || x-y || = || (-1) (y-x) || = | -1 ||| y-x || = || y-x || = d (y, x) \$

$d(x,y)=||x-y||=||x-z+z-y||\leq ||x-z||+||z-y||=d(x,z)+d(z,y)$ ${\ Displaystyle d (x, y) = || xy || = || x-z + zy || \ leq || xz || + || zy || = d (x, z) + d (z, y) }$ $d (x, y) = || x-y || = || x-z + z-y || \ leq || x-z || + || z-y || = d (x, z) + d (z, y)$

Se observa que toda distancia inducida por una norma es invariante bajo traslaciones (es decir, para cada triplete de vectores $d(x+z,y+z)=d(x,y)$ ${\ Displaystyle d (x + z, y + z) = d (x, y)}$ $d (x + z, y + z) = d (x, y)$ ).

Distancias en espacios euclidianos

La distancia normalmente considerada en $\ \mathbb {R} ^{2}$ ${\ Displaystyle \ \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ \ mathbb {R} ^ {{2}}$ es el euclidiano , igual a la raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia horizontal (entre los dos puntos) más el cuadrado de la diferencia vertical:

d={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.

{\ Displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2}}}.}

d = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2}}}.

Si elimina la segunda dimensión, esta función se reduce a la magnitud de la diferencia entre los dos números: $d(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|$ ${\ Displaystyle d (x_ {1}, x_ {2}) = | x_ {1} -x_ {2} |}$ $d (x_ {1}, x_ {2}) = | x_ {1} -x_ {2} |$ .

Más generalmente en el espacio euclidiano $\ \mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ \ mathbb {R} ^ {{n}}$ puedes definir la distancia entre dos puntos $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ ${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n})}$ $(x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n})$ Y $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ ${\ Displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, ..., y_ {n})}$ $(y_ {1}, y_ {2}, ..., y_ {n})$ de las siguientes formas:

{\mbox{1-distanza}}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|

{\ Displaystyle {\ mbox {1-distancia}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} |}

{\ mbox {1-distancia}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} |

{\mbox{2-distanza}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{2}}}\

{\ Displaystyle {\ mbox {2-distancia}} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {2}}} \}

{\ mbox {2-distancia}} = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {2}}} \

(Distancia euclidiana)

p{\mbox{-distanza}}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}}\

{\ Displaystyle p {\ mbox {-distancia}} = {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p}} } \}

p {\ mbox {-distancia}} = {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p}}} \

, para cualquier p real mayor o igual a 1

\infty {\mbox{-distanza}}=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}}=\max _{i=1,\cdots ,n}\{|x_{i}-y_{i}|\}

{\ Displaystyle \ infty {\ mbox {-distancia}} = \ lim _ {p \ to \ infty} {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p}}} = \ max _ {i = 1, \ cdots, n} \ {| x_ {i} -y_ {i} | \}}

\ infty {\ mbox {-distance}} = \ lim _ {{p \ to \ infty}} {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i } -y_ {i} | ^ {p}}} = \ max _ {{i = 1, \ cdots, n}} \ {| x_ {i} -y_ {i} | \}

La distancia 2 en un espacio de n dimensiones corresponde al teorema de Pitágoras aplicado n-1 veces: es la distancia de un espacio euclidiano , normalmente utilizado en el plano o en el espacio y también se llama distancia de Pitágoras . La distancia 1 , también llamada distancia L1 o distancia Manhattan , genera en cambio una geometría diferente, llamada geometría de taxi . La distancia ∞ (o distancia L∞) es la llamada distancia de Chebyshev .

Otras distancias

En cualquier conjunto es posible definir una distancia como $d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{se}}\ x=y\\1&{\mbox{se}}\ x\neq y\end{matrix}}\right.$ ${\ Displaystyle d (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} 0 & {\ mbox {se}} \ x = y \\ 1 & {\ mbox {se}} \ x \ neq y \ end {matriz}} \ right.}$ $d (x, y) = \ left \ {{\ begin {matriz} 0 & {\ mbox {se}} \ x = y \\ 1 & {\ mbox {se}} \ x \ neq y \ end {matriz }} \ derecha.$ . Esta distancia se denomina " distancia discreta " y proporciona al conjunto la topología discreta . Esta distancia no es rica en aplicaciones, pero sirve para completar la exposición formal.
Sobre el conjunto de funciones continuas definidas en un conjunto adecuado A podemos definir la distancia, denominada " distancia del sup " o " del extremo superior ", $d(f,g)=\sup _{x\in A}\|f(x)-g(x)\|$ ${\ Displaystyle d (f, g) = \ sup _ {x \ in A} \ | f (x) -g (x) \ |}$ $d (f, g) = \ sup _ {{x \ en A}} \ | f (x) -g (x) \ |$ . Es la distancia inducida por la denominada norma uniforme . Esta distancia constituye el análogo continuo de la distancia ∞ definida en espacios de dimensión finita.
En el espacio L ^p , con p real mayor o igual a 1, la distancia entre dos funciones distintas (menor que la equivalencia en casi todas partes ) se define como $d(f,g)=\left(\int |f(x)-g(x)|^{p}~dx\right)^{1/p}$ ${\ Displaystyle d (f, g) = \ left (\ int | f (x) -g (x) | ^ {p} ~ dx \ right) ^ {1 / p}}$ $d (f, g) = \ left (\ int | f (x) -g (x) | ^ {p} ~ dx \ right) ^ {{1 / p}}$ .
El conjunto $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ de números reales constituye un espacio métrico con respecto a la distancia dada por $d(x,y)=\left|\arctan(x)-\arctan(y)\right|$ ${\ Displaystyle d (x, y) = \ left | \ arctan (x) - \ arctan (y) \ right |}$ $d (x, y) = \ left | \ arctan (x) - \ arctan (y) \ right |$ . Esta distancia, diferente de la pitagórica, no puede ser inducida por una norma , ya que no es invariante en las traducciones (p. Ej. $d(x+z,y+z)$ ${\ Displaystyle d (x + z, y + z)}$ $d (x + z, y + z)$ es en general diferente de $d(x,y)$ ${\ Displaystyle d (x, y)}$ $d (x, y)$ ).
En general $\mathbf {F} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} ^ {n}}$ ${\ mathbf {F}} ^ {n}$ de cuerdas de longitud $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ construido sobre el alfabeto $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ puede definir la " distancia de Hamming " como $d(x,y)=|\{i:x_{i}\neq y_{i}\}|$ ${\ Displaystyle d (x, y) = | \ {i: x_ {i} \ neq y_ {i} \} |}$ $d (x, y) = | \ {i: x_ {i} \ neq y_ {i} \} |$ (donde con $|A|$ ${\ Displaystyle | A |}$ $| A |$ la cardinalidad de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ ). Tenga en cuenta que se puede considerar que la distancia de Hamming se refiere a dos vectores (similares a cadenas) en el campo finito $\mathbf {F} =\mathbb {Z} _{2}\subseteq \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbb {Z} _ {2} \ subseteq \ mathbb {R}}$ ${\ mathbf {F}} = \ mathbb {Z} _ {2} \ subseteq \ mathbb {R}$ .

En el caso de un espacio de Hilbert $H.$ ${\ Displaystyle H}$ $H.$ , el teorema de la proyección establece que para cualquier punto $x\in H$ ${\ Displaystyle x \ in H}$ $x \ en H$ y para cualquier conjunto convexo cerrado $C\subset H$ ${\ Displaystyle C \ subconjunto H}$ $C \ subconjunto H$ sólo hay uno $y\in C$ ${\ Displaystyle y \ en C}$ $y \ en C$ tal que $\lVert x-y\rVert$ ${\ Displaystyle \ lVert xy \ rVert}$ $\ lVert x-y \ rVert$ asume el valor mínimo en $C.$ ${\ Displaystyle C}$ $C.$ . En particular, esto es cierto para cualquier subespacio cerrado. $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ de $H.$ ${\ Displaystyle H}$ $H.$ : en este caso una condición necesaria y suficiente para $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ es que el transportista $x-y$ ${\ Displaystyle xy}$ $x-y$ es ortogonal a $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ .

Discos asociados a una distancia

Dada una distancia en un conjunto, se puede definir como una bola , una burbuja o un disco, centrado en un punto. $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ de cierto radio $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ positivo el conjunto de puntos del conjunto que están distantes de $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ menos que $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ :

B(c,r)=\{x\in X:d(x,c)<r\}

{\ Displaystyle B (c, r) = \ {x \ in X: d (x, c) <r \}}

B (c, r) = \ {x \ en X: d (x, c) <r \}

Por lo general, la definición se entiende por <; sin embargo, si es necesario especificar, diremos "disco abierto" el conjunto definido por la relación "<" y "disco cerrado" el conjunto definido por la relación "≤".

El "borde" del disco también se define como el conjunto

\partial B=\{x\in X:d(x,c)=r\}

{\ Displaystyle \ parcial B = \ {x \ en X: d (x, c) = r \}}

{\ Displaystyle \ parcial B = \ {x \ en X: d (x, c) = r \}}

.

El conjunto de discos abiertos centrados en los distintos puntos del espacio satisface la definición topológica básica : la topología en el conjunto $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ determinada por esta base se llama topología generada (o inducida ) por la distancia $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ .

Es importante señalar que el disco cerrado no siempre coincide con el cierre del disco abierto, pero en general es solo un superconjunto; en particular en el espacio euclidiano, sin embargo, las dos nociones coinciden.

Distancias equivalentes

Dos distancias $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ Y $D^{'}$ ${\ Displaystyle d '}$ $D '$ se dice que son equivalentes si la identidad de la aplicación

id:(X,d)\to (X,d')

{\ ID de Displaystyle: (X, d) \ to (X, d ')}

id: (X, d) \ a (X, d ')

es un homeomorfismo .

De manera equivalente, se puede decir que son equivalentes si cada disco de la primera métrica contiene algún disco de la segunda métrica y viceversa. Por ejemplo, una distancia d es equivalente a la dada por la función $\min\{d,1\}$ ${\ Displaystyle \ min \ {d, 1 \}}$ $\ min \ {d, 1 \}$ y al que da la función ${d \over d+1}$ ${\ Displaystyle {d \ over d + 1}}$ ${d \ over d + 1}$ .

Dos distancias equivalentes generan la misma topología .

Generalizaciones

Si debilita las demandas sobre $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ , obtenemos espacios con propiedades más débiles y más pobres como posibilidades algorítmicas:

Perder una de las dos implicaciones de la propiedad 2, pero requiriendo solo que $d(x,x)=0$ ${\ Displaystyle d (x, x) = 0}$ $d (x, x) = 0$ (es decir, asumiendo que distintos puntos pueden tener una distancia cero), se obtiene una pseudometría . Su importancia es grande en el campo de la teoría de la relatividad y el análisis funcional , donde estos espacios a menudo se encuentran. Es el tipo de distancia inducida por una seminorma .
Al perder la propiedad 3, se obtiene un cuasimétrico .
Al perder la propiedad 4, se obtiene un semimétrico .
Al perder parcialmente la propiedad 2 en el sentido anterior y la propiedad 3, se obtiene una hemimétrica .
Al perder parcialmente la propiedad 2 y las propiedades 3 y 4, se obtiene un paramétrico . Cabe señalar que, aunque este es claramente el espacio más pobre de todos, todavía es posible definir una topología a partir de un espacio paramétrico, exactamente de la misma manera descrita anteriormente.

Por el contrario, reforzando la desigualdad triangular y haciendo cumplir

d(x,y)\leq \max\{d(x,z),d(z,y)\}

{\ Displaystyle d (x, y) \ leq \ max \ {d (x, z), d (z, y) \}}

d (x, y) \ leq \ max \ {d (x, z), d (z, y) \}

se obtiene un llamado ultrametro .

Otros proyectos

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enlaces externos

(EN) Distancia , de Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

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