distancia euclidiana

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En matemáticas , la distancia euclidiana es una distancia entre dos puntos , en particular es una medida de la longitud del segmento que tiene los dos puntos como extremos.

Usando esta distancia, el espacio euclidiano se convierte en un espacio métrico (más específicamente da como resultado un espacio de Hilbert ). La literatura tradicional se refiere a esta métrica como una métrica pitagórica .

Distancia unidimensional

Para dos puntos en un espacio unidimensional, Y , la distancia euclidiana se calcula como:

Distancia bidimensional

Para dos puntos en el espacio bidimensional, Y , la distancia euclidiana se calcula como:

Aproximación 2D para aplicaciones informáticas

Se puede calcular una aproximación rápida de la distancia 2D basada en una vecindad octagonal de la siguiente manera. Es ( valor absoluto ) e . Uno mismo , la distancia aproximada es ; uno mismo , los dos valores están invertidos.

La diferencia con la distancia exacta está entre −6% y + 3%; más del 85% de todas las posibles diferencias se encuentran entre el −3% y el + 3%.

El siguiente código de Maple implementa esta aproximación y produce un gráfico con la circunferencia real en negro y la vecindad octagonal aproximada en rojo:

 fasthypot: =
  no aplicar (por partes (abs (dx)> abs (dy), 
                    abs (dx) * 0,941246 + abs (dy) * 0,41,
                    abs (dy) * 0,941246 + abs (dx) * 0,41),
          dx, dy):
hypot: = no aplicar (sqrt (x ^ 2 + y ^ 2), x, y):
parcelas [mostrar] (
  parcelas [implicitplot] (fasthypot (x, y)> 1, 
                      x = -1,1..1,1, 
                      y = -1,1..1,1,
                      numpoints = 4000),
  plottools [círculo] ([0,0], 1),
  escala = restringido, espesor = 2
);

Hay otros tipos de aproximaciones. En general, todos tratan de evitar las raíces cuadradas, ya que son caras en términos computacionales y son fuente de varios errores: relación de velocidades . Usando la notación anterior, la aproximación dx + dy - (1/2) × min ( dx , dy ) genera un error entre 0% y 12% (atribuido a Alan Paeth ). Una mejor aproximación en términos de error RMS es dx + dy - (5/8) × min ( dx , dy ), para el cual se estima un error entre −3% y 7%.

Cabe destacar que si es necesario comparar distancias (para lo cual solo se quiere saber por ejemplo cuál es mayor, y no la diferencia real) no es necesario calcular la raíz cuadrada de todos si se tiene en cuenta la siguientes propiedades:

  • Uno mismo es mayor que , luego también la distancia será mayor que la distancia .
  • Compruebe si la distancia es mayor que la distancia es como comparar con , etcétera.

Un ejemplo del primer caso podría ser intentar determinar en qué punto de la cuadrícula de un sistema CAD / CAM 2D podría caer un punto arbitrario ( ajustar ). Sin embargo, esto no es realmente una aproximación, ya que el resultado es exacto.

Distancia tridimensional

Para dos puntos en tres dimensiones, Y , la distancia se calcula como:

Aproximaciones 3D para aplicaciones informáticas

Como se señaló en la sección sobre aproximación 2D, al comparar distancias (para las cuales solo desea saber, por ejemplo, cuál es la mayor y no la diferencia real) no es necesario calcular la raíz cuadrada de todos. De hecho, se aplica la regla de que si es mayor que , luego también la distancia será mayor que la distancia .

Por ejemplo, si está buscando la distancia mínima entre dos superficies en un espacio tridimensional, utilizando un sistema CAD / CAM 3D , podría pensar en construir una cuadrícula de puntos en cada superficie y comparar la distancia de cada punto en la primera superficie de cada punto de la segunda. No es necesario conocer la distancia real, solo qué distancia es la más corta. Una vez que haya localizado los dos puntos más cercanos, puede crear una cuadrícula más pequeña alrededor de estos puntos en cada superficie y repetir el proceso. Después de varias iteraciones es posible evaluar cuáles son los puntos más cercanos en absoluto, y de estos calcular la raíz cuadrada para obtener una excelente aproximación de la distancia mínima entre las dos superficies.

Distancia N-dimensional

En general, para dos puntos en un espacio -dimensional, Y , la distancia euclidiana se calcula como:

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