Elipse

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Nota de desambiguación.svg Desambiguación : si busca la figura retórica, consulte Puntos suspensivos (figura retórica) .
a indica la longitud del semieje mayor, b la del semieje menor, F 1 y F 2 identifican los dos focos, c indica la distancia de cualquiera de los focos desde el centro y finalmente la suma es constante por definición de elipse y es igual a 2a, la longitud del eje mayor.
Tipos de secciones cónicas:
1. Parábola
2. Circunferencia y elipse
3. Hipérbola

En geometría , la elipse (del griego ἔλλειψις , 'falta') [1] es una curva plana que se obtiene al cruzar un cono con un plano para producir una curva cerrada .

Para que la sección cónica produzca una curva cerrada, la inclinación del plano debe ser mayor que la de la generatriz del cono con respecto a su eje. Por otro lado, las dos secciones cónicas obtenidas con planos de inclinación igual o menor a la de la línea generadora con respecto al eje del cono dan lugar a otros dos tipos de curvas abiertas e ilimitadas: la parábola y la hipérbola .

La circunferencia es un caso especial de elipse que se obtiene cuando la intersección se realiza con un plano ortogonal al eje del cono. Una elipse es también el lugar geométrico de los puntos del plano para los cuales la suma de las distancias desde dos puntos fijos llamados "focos" permanece constante.

La elipse también puede ser la proyección vertical sobre un plano horizontal de una circunferencia perteneciente a un plano inclinado: si el plano inclinado forma un ángulo con el plano horizontal, la proyección vertical de la circunferencia es una elipse de excentricidad .

Después de la circunferencia, es la más simple de las figuras de Lissajous obtenidas a partir de la composición de los dos movimientos sinusoidales verticales y horizontales de la misma frecuencia. Según las leyes de Kepler , la órbita de un planeta es una elipse con el Sol ocupando uno de sus dos focos.

Elementos de una elipse

Demostración geométrica del hecho de que la suma, constante por definición, de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es igual a 2a, longitud del eje mayor. Dado que, por definición, la suma anterior es constante y esto independientemente del punto que se tome en consideración, se puede decidir elegir el que se considere más conveniente a los efectos de la prueba. En particular, si se elige el punto B, se conoce como la suma es exactamente igual a la longitud 2a del eje mayor.

La elipse es una curva similar a un círculo alargado en una dirección: es un ejemplo de sección cónica y se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano para el cual la suma de las distancias desde dos puntos fijos, llamados focos, permanece constante. Si los dos focos coinciden, existe una circunferencia , que por tanto puede considerarse el caso particular de una elipse con excentricidad cero.

Es una curva con dos ejes de simetría y un centro de simetría. La distancia entre los puntos antípodas de la elipse, es decir, entre puntos simétricos con respecto a su centro, es máxima a lo largo del eje mayor, que también contiene los dos focos, y mínima a lo largo del eje menor perpendicular al mayor. El semieje mayor es una de las dos mitades del eje mayor: comienza desde el centro, pasa por un foco y llega a la elipse. De manera similar, el eje semi-menor es la mitad del eje menor. Los dos ejes son para la elipse el equivalente del diámetro de la circunferencia, mientras que los dos semiejes son el equivalente del radio .

El tamaño y la forma de una elipse están determinados por dos constantes reales positivas, llamadas convencionalmente Y . La constante mayor es la longitud del semieje mayor, mientras que la constante menor es la longitud del semiaeje menor.

Ecuaciones

Relación entre los parámetros a, b y c de una elipse. Si elegimos el punto C en particular, dado que la suma de las distancias de los dos focos desde C debe ser constante e igual a 2a y hay simetría con respecto al punto C , cada una de las dos distancias será igual a a . Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos que

La ecuación de la elipse se encuentra igualando la suma de las distancias entre los dos focos Y y un punto genérico con el doble del semieje mayor:

que es equivalente a:

En esta ecuación, para obtener una elipse no degenerada necesitamos requerir que ; uno mismo obtienes el segmento .

Para encontrar la ecuación "canónica" (o "normal") de la elipse, con centro en el origen y focos en el eje de (es decir ), se realizan reemplazos , , , , . Después de algunos pasajes encontramos que la elipse centrada en el origen de un sistema de ejes cartesianos con el eje mayor colocado a lo largo del eje de abscisas está definida por la ecuación:

La misma elipse también está representada por la ecuación paramétrica:

que hace uso de las funciones trigonométricas seno y coseno .

Excentricidad

Excentricidad de una elipse está entre y y es la relación de la distancia entre los dos focos y y la longitud del eje mayor :

La excentricidad explica la forma más o menos aplanada de la elipse: cuando es igual a, los dos focos coinciden y la elipse degenera en una circunferencia de radio. . Haciendo tensa la excentricidad un , la elipse se aplana cada vez más y cuando asume el valor unitario degenera en un segmento largo viajó dos veces, por lo que el perímetro de la elipse es igual a .

Recto semilatado

Recto semilatado

La mitad derecha de una elipse, generalmente indicada por la letra , es la distancia entre cada uno de los focos de la elipse y los puntos en la elipse cuyos focos son proyección ortogonal sobre el eje mayor. Está relacionado con Y de la fórmula

Cuerdas y diámetros

En cuanto a las otras cónicas, la siguiente propiedad también se aplica a la elipse: los puntos medios de un paquete de cuerdas paralelas están alineados.

El segmento que une los puntos medios de un haz de cordones paralelos se llama diámetro de la elipse. Los puntos medios de las cuerdas paralelas a un diámetro de la elipse constituyen el diámetro conjugado con el diámetro dado. Dos diámetros conjugados se cruzan en el centro de la elipse. Los ejes de simetría de la elipse son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre sí. La línea tangente a una elipse en el extremo de un diámetro siempre es paralela al diámetro conjugado.

Ecuación en coordenadas polares relativa a uno de los focos

Coordenadas polares con centro en uno de los focos.

En coordenadas polares , una elipse con un foco en el origen y con la coordenada angular medido desde el eje mayor está representado por la ecuación:

Dónde está denota la mitad recta y la coordenada angular es el ángulo que atraviesa la recta r forma con el eje mayor (ver figura al lado).

Si consideramos la línea recta pasando por el fuego y la coordenada angular es el ángulo en el que la línea que pasa a través forma con el eje mayor, la ecuación se convierte en:

Zona

El área encerrada por una elipse está dada por

Tangente a una elipse en uno de sus puntos: fórmula de duplicación

Tangente a una elipse en uno de sus puntos P 0 (x 0 , y 0 ). Coeficiente angular:
Ecuación:

La ecuación de la recta tangente a la elipse con su centro en el origen en uno de sus puntos. Y:

Su coeficiente angular viene dado por:

Prueba algebraica

Escribe el siguiente sistema no lineal de tres ecuaciones: la primera es la ecuación de la elipse, la segunda impone la pertenencia a la elipse del punto , el tercero impone el paso de la tangente por el punto con inclinación estar determinado:

En la primera y segunda ecuación, los segundos miembros son iguales a y por tanto también los primeros miembros serán iguales entre ellos:

Considere la ecuación de la tangente:

Sustituyendo en la primera ecuación:

Para la ley de cancelación de productos :

Fácilmente verificable ya que el punto pertenece a la elipse.

En cambio, en el segundo factor:

Siempre y cuando Y :

(coeficiente angular de la recta tangente en el punto )

Reemplazar la pendiente en la ecuación de la recta:

Por hipótesis en el sistema

Por lo tanto:

Prueba diferencial

Se puede hacer una prueba alternativa usando la derivada de la función elipse [2] en el punto : de hecho, basta recordar que la derivada de una función en uno de sus puntos coincide con el coeficiente angular de la recta tangente en el mismo punto. Haciendo así la derivada con respecto a de la ecuación de la elipse obtenemos:

Siempre y cuando con el coeficiente angular , usted obtiene

que calcula en el punto proporciona:

Propiedad tangencial

TangenteEllisse.png

Una tangente a la elipse en uno de sus puntos. forma ángulos iguales con líneas rectas a través de y para cada uno de los dos incendios.

Para demostrar esta propiedad podemos usar el teorema de Heron según el cual se da una recta y colon y externo a él, el punto de la linea que minimiza la suma es para lo que los segmentos Y forman ángulos iguales a la línea .

Para este propósito, consideramos una elipse con focos y : es cualquier punto satisface la condición

Por cualquier punto dentro de la elipse la condición se mantiene

Ahora considere una línea que pasa por un punto. de la elipse para formar ángulos iguales con los segmentos Y : por el teorema de Heron , el punto es el punto en la línea que minimiza la suma . Esto implica que la línea es tangente a la elipse: de hecho, si este no fuera el caso, la línea entraría en la elipse y dijo un punto dentro valdría la pena la condición en contraste con el teorema de Heron para el cual en y no en debería haberse registrado la cantidad más pequeña. Así queda demostrada la afirmación inicial.

De esta afirmación se deduce que en una mesa de billar en forma de elipse, una bola lanzada sin efecto desde uno de los dos fuegos se reflejará desde el borde y pasará necesariamente a través del otro fuego. Lo mismo ocurrirá en un espejo cóncavo en forma de elipse en el que todos los rayos de luz emitidos por uno de los dos incendios pasarán necesariamente por el otro fuego independientemente de la dirección que se siga: de ahí el nombre de los incendios que se les da a estos dos. puntos particulares. de la elipse. De igual manera, en una cámara en forma de elipse las ondas sonoras que parten de uno de los dos focos llegarán al otro desde todas las direcciones y dado que la distancia recorrida en el viaje de un foco a otro es siempre la misma, las ondas llegarán todas sincronizadas. : esto explica por qué dos personas colocadas en los dos focos de una sala elíptica pueden comunicarse fácilmente incluso desde largas distancias, a diferencia de dos personas más cercanas entre sí pero no ubicadas en los focos.

Tangente a una elipse que pasa por uno de sus puntos

Construcción de la recta tangente a la elipse en su punto P

Considere una elipse de focos , y eje mayor y un punto perteneciente a la elipse. Hay dos métodos gráficos para dibujar la tangente a un punto de la elipse. [3]

Primer método

Dibuja los segmentos Y . Trazar la bisectriz ángulo . Dibujar la línea perpendicular as en el punto . La línea es la recta tangente que se busca.

Basta con probar que esta recta satisface la propiedad tangencial descrita anteriormente. De hecho las esquinas Y son congruentes como la diferencia de ángulos respectivamente congruentes: los ángulos se restan de los dos ángulos rectos Y congruente para la bisectriz.

Segundo método

Trazar el círculo central y radio . Dibuja el segmento y extenderlo hasta encontrar el punto en la circunferencia. Para realizar un seguimiento . Dibuja el segmento . Fijar el punto medio de . La línea pasando por los puntos Y es la recta tangente que se busca.

De hecho, es posible demostrar que esta línea satisface la propiedad tangencial descrita anteriormente. como una diferencia de segmentos congruentes ( Y . De ahí el triángulo es isósceles y la mediana relativo a la base también es bisectriz y por lo tanto los ángulos Y son congruentes. Por otro lado las esquinas Y son congruentes en oposición al vértice. Y por lo tanto Y son congruentes para la propiedad transitiva.

Tangentes a una elipse a través de un punto externo

Tangentes a una elipse centrada en el origen conducidas por un punto P (x p , y p ) fuera de él. Los coeficientes angulares de las dos rectas se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado:

Los coeficientes angulares de las tangentes a la elipse. : conducido desde el punto externos a él se obtienen resolviendo la siguiente ecuación de segundo grado:

con Y .

Demostración

La elipse se traduce y el punto de un vector , para obtener la elipse : y el punto , con Y . Sabiendo que el paralelismo también se conserva en la traslación, los coeficientes angulares de las tangentes a transeúntes para son iguales a las de las tangentes a pasando por el punto . El sistema de dos ecuaciones se escribe con la primera relacionada con la ecuación de la elipse y la segunda relacionada con el conjunto de líneas rectas que pasan por el punto.

Se impone la condición de tangencia, es decir, el discriminante es nulo:

Costruzione geometrica delle rette tangenti ad un'ellisse condotte da un punto esterno

Rette tangenti ad un'ellisse condotte da un punto esterno

È data un'ellisse di fuochi , e asse maggiore , e un punto esterno all'ellisse. Esistono due metodi per tracciare le rette tangenti all'ellisse condotte dal punto esterno . [3]

Primo metodo

Tracciare la circonferenza di centro e raggio . Tracciare la circonferenza di centro e raggio . Le due circonferenze si intersecano nei punti e . Tracciare i segmenti e . Fissare i punti ed di intersezione tra i due segmenti e l'ellisse. Le rette e sono le rette tangenti cercate.

Infatti basta dimostrare che tali rette soddisfano la proprietà tangenziale sopra descritta. Anzitutto si osserva che i triangoli e sono congruenti perché hanno i tre lati ordinatamente congruenti: è in comune, perché raggi della stessa circonferenza e in quanto differenze di segmenti rispettivamente congruenti, infatti e . In particolare gli angoli . D'altra parte anche gli angoli e quindi la proprietà tangenziale è dimostrata.

Secondo metodo

Tracciare la circonferenza di centro e raggio . Tracciare la circonferenza di centro e raggio . Le due circonferenze si intersecano nei punti e . Tracciare i segmenti e . Condurre per la retta perpendicolare al segmento . Condurre per la retta perpendicolare al segmento . Le rette ed sono le rette tangenti cercate.

Dalla dimostrazione precedente si osserva che è bisettrice dell'angolo al vertice del triangolo isoscele e quindi è anche altezza.

Equazione generale di un'ellisse

L'equazione generale dell'ellisse avente i fuochi ed posti in posizione generica sul piano cartesiano e avente il semiasse maggiore denotato con è data da

dove i parametri , , , , ed sono uguali a

Queste equazioni si ricavano dalla definizione metrica di ellisse:

Dalla precedente equazione si eliminano le due radici con due elevamenti al quadrato e infine si uguagliano i coefficienti a quelli dell'equazione generale delle coniche.

Lunghezza

La lunghezza dell'ellisse è:

in cui la funzione è l' integrale ellittico completo di seconda specie ed è l'eccentricità.

Sono state proposte numerose formule approssimate per il calcolo della lunghezza dell'ellisse, che differiscono molto per complessità e accuratezza. [4]

Lo sviluppo in serie è:

Una semplice ma poco raffinata approssimazione per la lunghezza è

che fornisce il risultato esatto quando l'ellisse è una circonferenza, cioè per , mentre dà un risultato approssimato per eccesso negli altri casi. Nel caso limite in cui la formula dà , mentre il valore esatto è . La formula è più precisa per ellissi con bassa eccentricità. Utilizzare questa formula equivale ad assumere che l'ellisse abbia la stessa lunghezza di una circonferenza che ha raggio uguale alla media quadratica dei semiassi dell'ellisse.

Un'approssimazione migliore si ottiene con uno sviluppo in serie nel modo seguente: posto si ha

Anche in questo caso l'approssimazione è migliore per le ellissi di bassa eccentricità.

Due formule approssimate sono dovute a Ramanujan [5] :

Entrambe le formule danno il risultato esatto per una circonferenza e, nel caso generale, l'errore delle due formule è dell'ordine di e di , rispettivamente. Nel caso di ellisse degenere in un segmento ( , ) la prima dà , mentre la seconda dà , quando il risultato esatto è .

Metodo della tangente

Fissare i due fuochi e e l'asse maggiore di lunghezza (con ). Costruire una circonferenza di centro e raggio . Fissare sulla circonferenza un punto generico . Tracciare il raggio . Tracciare il segmento e l'asse di tale segmento (retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio ) che interseca nel punto . Il punto è equidistante da e da in quanto sta sull'asse del segmento . Dunque . D'altra parte e quindi . Quindi è un punto dell'ellisse. Questo metodo viene detto della tangente in quanto la retta è la tangente all'ellisse nel punto , infatti gode della proprietà tangenziale, precedentemente descritta.

Metodo del giardiniere

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Ellisse del giardiniere .
Tecnica del giardiniere per tracciare un'ellisse, utilizzando due pioli, una funicella ed un punteruolo

In questo caso sono note le lunghezze dei lati del rettangolo circoscritto all'ellisse. La linea rossa nella figura qui accanto sia la corda utilizzata dal "giardiniere" per tracciare l'ellisse.

Nel film Agorà del 2009 Ipazia, interpretata da Rachel Weisz , studiando l'orbita della Terra attorno al Sole traccia sulla sabbia un'ellisse con il metodo del giardiniere. In alcuni momenti si vede anche un cono di Apollonio .

Note

  1. ^ ellisse , in Treccani.it – Vocabolario Treccani on line , Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
  2. ^ Una ellisse con gli assi paralleli agli assi cartesiani non è una funzione in quanto ad ogni ascissa interna all'ellisse corrispondono due valori di anziché uno e uno solo: sono però funzioni le due semiellissi che la compongono e il risultato è identico per ciascuna di esse.
  3. ^ a b Cfr. il sito Nabla, Publisher of books and software in mathematics and computer science Copia archiviata , su nabla.hr . URL consultato il 10 gennaio 2013 (archiviato dall' url originale il 22 giugno 2012) .
  4. ^ ( EN ) Stanislav Sýkora, Approximations of the Ellipse Perimeter and of the Complete Elliptic Integral. A Review of Known Formulae , 2005, DOI : 10.3247/sl1math05.004 . URL consultato il 2 gennaio 2019 .
  5. ^ ( EN ) Srinivasa Ramanujan Aiyangar, Godfrey Harold Hardy e P. Veṅkatesvara Seshu Aiyar, Collected Papers of Srinivasa Ramanujan , American Mathematical Soc., 1º gennaio 1927, ISBN 9780821820766 . URL consultato il 14 febbraio 2016 .

Voci correlate

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