Elipsoide

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Representación de un elipsoide

En geometría , por elipsoide nos referimos al tipo de cuadrático que constituye el análogo tridimensional de la elipse en las dos dimensiones.

Definición

Elipsoide

La ecuación elipsoide estándar en un sistema de coordenadas cartesianas Oxyz es

,

Dónde está , Y son números reales fijos de manera que . Representan los semiejes del elipsoide.

Esta definición permite identificar los siguientes casos:

  • , tenemos un elipsoide escaleno ;
  • Si dos de estos parámetros son iguales, el elipsoide se llama esferoide o elipsoide de rotación.
    • , tenemos un esferoide alargado
    • , tenemos un esferoide achatado
  • tienes una esfera

Los ejes centrales de inercia se definen como los ejes de simetría del elipsoide que forman un sistema de referencia centrado en el centro de gravedad del elipsoide.

Parametrización

Usando las coordenadas comunes, donde es un punto de reducción de latitud , o paramétrico, y es su longitud planetográfica, un elipsoide se puede parametrizar de la siguiente manera:

(Tenga en cuenta que esto no es parametrización 1-1 a los polos, donde )

O, usando el sistema de coordenadas esféricas , donde es la colatitude, también llamada cenit , e es la longitud de 360 ​​°, también llamado acimut :

Volumen

El volumen de un elipsoide se obtiene simplemente del de una esfera y del efecto de la homotética :

Área de superficie

La superficie, en cambio, la proporcionan expresiones mucho más elaboradas. Una expresión exacta es:

Dónde está:

tiempo , denotan las integrales elípticas incompletas del primer y segundo género respectivamente.

También están disponibles expresiones aproximadas:

  • elipsoide plano:
  • prolato esferoide:
  • esferoide achatado:
  • elipsoide escaleno:

Si se utiliza p = 1,6075, hay un error relativo de más del 1,061% (fórmula de Knud Thomsen ); un valor p = 8/5 = 1,6 es óptimo para elipsoides casi esféricos y tiene un error relativo de menos del 1,178% (fórmula de David W. Cantrell ).

Manipulaciones lineales

Si aplica una transformación lineal invertible a una esfera, obtiene un elipsoide; como consecuencia del teorema espectral, este elipsoide puede reducirse a la forma estándar.

La intersección de un elipsoide con un plano puede ser un conjunto vacío , un conjunto que contiene un solo punto o una elipse.

Dimensiones superiores

Un elipsoide en más de 3 dimensiones también se puede definir como una imagen de una hiperesfera que experimenta una transformación lineal invertible. El teorema espectral aún garantiza la posibilidad de obtener una ecuación estándar de la forma

.

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