Energía cinética

Los vagones de una montaña rusa alcanzan su máxima energía cinética cuando están al final del camino. A medida que comienzan a elevarse, la energía cinética comienza a convertirse en energía potencial gravitacional. La suma de la energía cinética y potencial en el sistema permanece constante, ignorando las pérdidas por fricción.

La energía cinética es la energía que posee un cuerpo debido a su propio movimiento . Según el teorema de la energía cinética, la energía cinética de un cuerpo es equivalente al trabajo requerido para acelerar el cuerpo de velocidad cero a su velocidad y es igual al trabajo requerido para reducir la velocidad del cuerpo de la misma velocidad a velocidad cero. La unidad de medida de la energía cinética en el sistema internacional es el joule .

Descripción

En mecánica newtoniana , evaluamos la energía cinética $E_{\rm {c}}$ ${\ Displaystyle E _ {\ rm {c}}}$ ${\ Displaystyle E _ {\ rm {c}}}$ de una partícula de masa $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ que, en un caso sencillo, se mueve en línea recta según la ley horaria $x=x(t)$ ${\ Displaystyle x = x (t)}$ ${\ Displaystyle x = x (t)}$ , con velocidad $v=v(t)={\mathrm {d} }x/{\mathrm {d} }t$ ${\ Displaystyle v = v (t) = {\ mathrm {d}} x / {\ mathrm {d}} t}$ ${\ Displaystyle v = v (t) = {\ mathrm {d}} x / {\ mathrm {d}} t}$ . $E_{\rm {c}}$ ${\ Displaystyle E _ {\ rm {c}}}$ ${\ Displaystyle E _ {\ rm {c}}}$ se definirá de la siguiente manera:

E_{\rm {c}}=\int _{x_{0}}^{x}F(x){\mathrm {d} }x

{\ Displaystyle E _ {\ rm {c}} = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} F (x) {\ mathrm {d}} x}

{\ Displaystyle E _ {\ rm {c}} = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} F (x) {\ mathrm {d}} x}

Dónde está $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ denota el punto donde la partícula tiene velocidad cero en un determinado instante $t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ , $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ el punto donde la partícula tiene velocidad $v$ ${\ Displaystyle v}$ $v$ , al instante $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ , Y $F(x){\mathrm {d} }x$ ${\ Displaystyle F (x) {\ mathrm {d}} x}$ ${\ Displaystyle F (x) {\ mathrm {d}} x}$ representa el trabajo elemental realizado por la fuerza $F.$ ${\ Displaystyle F}$ $F.$ al mover la partícula de ${\mathrm {d} }x$ ${\ Displaystyle {\ mathrm {d}} x}$ ${\ Displaystyle {\ mathrm {d}} x}$ , desde el punto $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ al punto $x+{\mathrm {d} }x$ ${\ Displaystyle x + {\ mathrm {d}} x}$ ${\ Displaystyle x + {\ mathrm {d}} x}$ .

Para el segundo principio de dinámica, tenemos ${\mathrm {d} }p/{\mathrm {d} }t=F$ ${\ Displaystyle {\ mathrm {d}} p / {\ mathrm {d}} t = F}$ ${\ Displaystyle {\ mathrm {d}} p / {\ mathrm {d}} t = F}$ , Dónde está $p=mv$ ${\ Displaystyle p = mv}$ ${\ Displaystyle p = mv}$ es el impulso de la partícula.

Sigue:

{\begin{aligned}E_{\rm {c}}&=\int _{x_{0}}^{x}F(x)\mathrm {d} x=\int _{x_{0}}^{x}\left({\frac {{\mathrm {d} }p}{{\mathrm {d} }t}}\right){\mathrm {d} }x\\&=\int _{x_{0}}^{x}m\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right){\mathrm {d} }x=m\int _{0}^{v}{\mathrm {d} }v\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)\\&=m\int _{0}^{v}v{\,}{\mathrm {d} }v={\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} E _ {\ rm {c}} & = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} F (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {x_ { 0}} ^ {x} \ left ({\ frac {{\ mathrm {d}} p} {{\ mathrm {d}} t}} \ right) {\ mathrm {d}} x \\ & = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} m \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} \ right) {\ mathrm {d}} x = m \ int _ {0} ^ {v} {\ mathrm {d}} v \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) \\ & = m \ int _ {0} ^ {v} v {\,} {\ mathrm {d}} v = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} E _ {\ rm {c}} & = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} F (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {x_ { 0}} ^ {x} \ left ({\ frac {{\ mathrm {d}} p} {{\ mathrm {d}} t}} \ right) {\ mathrm {d}} x \\ & = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} m \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} \ right) {\ mathrm {d}} x = m \ int _ {0} ^ {v} {\ mathrm {d}} v \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) \\ & = m \ int _ {0} ^ {v} v {\,} {\ mathrm {d}} v = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \ end {alineado}}}

Para un punto material , la energía cinética siempre se puede expresar en su totalidad por el semiproducto de su masa por el cuadrado del módulo de su velocidad ; ^[1] en el caso más general de movimiento en tres dimensiones, y utilizando un sistema de coordenadas cartesianas , la energía cinética se expresa como:

E_{\rm {c}}={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})

{\ Displaystyle E _ {\ rm {c}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2})}

{\ Displaystyle E _ {\ rm {c}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2})}

La energía cinética de un cuerpo rígido con simetría axial que gira alrededor del eje de simetría con velocidad angular. $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ y que se mueve en el espacio con rapidez $v$ ${\ Displaystyle v}$ $v$ (velocidad del centro de masa) viene dada por la suma de la energía cinética de traslación, previamente definida, y la energía cinética de rotación:

E_{\rm {c}}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}

{\ Displaystyle E _ {\ rm {c}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}}

{\ Displaystyle E _ {\ rm {c}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}}

Dónde está $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ es la masa total del cuerpo e $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

El valor de la energía cinética de un cuerpo depende del sistema de referencia inercial en el que se calcula. Para el teorema de la velocidad relativa Colocando un sistema de referencia fijo y un punto con velocidad v con respecto al sistema fijo, el mismo punto tendrá una velocidad diferente con respecto a otro sistema de referencia en movimiento, por lo que el valor de la energía cinética también cambiará.

Una relación útil entre la energía cinética $E_{\rm {c}}$ ${\ Displaystyle E _ {\ rm {c}}}$ ${\ Displaystyle E _ {\ rm {c}}}$ y el módulo de impulso $p={\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}$ ${\ Displaystyle p = {\ sqrt {p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle p = {\ sqrt {p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2}}}}$ viene dada por la siguiente relación:

E_{\rm {c}}={\frac {p^{2}}{2m}}\quad \Rightarrow \quad p={\sqrt {2mE_{\rm {c}}}}

{\ Displaystyle E _ {\ rm {c}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ quad \ Rightarrow \ quad p = {\ sqrt {2mE _ {\ rm {c}}}} }

{\ Displaystyle E _ {\ rm {c}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ quad \ Rightarrow \ quad p = {\ sqrt {2mE _ {\ rm {c}}}} }

En ciertos casos, puede ser útil definir una energía cinética específica. $\epsilon _{\rm {c}}$ ${\ Displaystyle \ epsilon _ {\ rm {c}}}$ ${\ Displaystyle \ epsilon _ {\ rm {c}}}$ , definida como energía cinética por unidad de volumen:

\epsilon _{\rm {c}}={\frac {{\mathrm {d} }E_{\rm {c}}}{{\mathrm {d} }V}}={\frac {1}{2}}{\frac {{\mathrm {d} }m}{{\mathrm {d} }V}}v^{2}={\frac {1}{2}}\rho v^{2}

{\ Displaystyle \ epsilon _ {\ rm {c}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} E _ {\ rm {c}}} {{\ mathrm {d}} V}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {{\ mathrm {d}} m} {{\ mathrm {d}} V}} v ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2}}

{\ Displaystyle \ epsilon _ {\ rm {c}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} E _ {\ rm {c}}} {{\ mathrm {d}} V}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {{\ mathrm {d}} m} {{\ mathrm {d}} V}} v ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2}}

Expresión en coordenadas generalizadas

El mismo tema en detalle: coordenadas generalizadas .

En mecánica analítica (no relativista) es posible extender el concepto de energía cinética, manteniendo su aspecto peculiar de función dependiente del módulo cuadrado de velocidad .

Para hacer esto, es necesario pasar de las coordenadas cartesianas habituales a un sistema de coordenadas genérico: por lo tanto, son

\mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),q_{2}(t),...,q_{n}(t))

{\ Displaystyle \ mathbf {q} (t) = (q_ {1} (t), q_ {2} (t), ..., q_ {n} (t))}

{\ mathbf {q}} (t) = (q_ {1} (t), q_ {2} (t), ..., q_ {n} (t))

las coordenadas generalizadas, todas dependientes del tiempo . Estas coordenadas identifican la posición de un punto material en un espacio. $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ -Espacio de configuración llamado dimensional . Al formalizar el concepto, se define la función

\mathbf {q} :\mathbb {R} \to {\mathcal {C}}\,,

{\ Displaystyle \ mathbf {q}: \ mathbb {R} \ to {\ mathcal {C}} \ ,,}

{\ mathbf q}: \ mathbb {R} \ to {\ mathcal C} \ ,,

es decir, que envía un número real al espacio de configuración y que describe la trayectoria de la partícula en ese espacio. Cabe señalar que no estamos hablando de las trayectorias de la partícula en el espacio-tiempo, sino en el espacio de configuraciones. Un cambio de coordenadas es entonces una función

\mathbf {x} :{\mathcal {C}}\times \mathbb {R} \to {\mathcal {C}}\,,\qquad \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {q} (t),t)

{\ Displaystyle \ mathbf {x}: {\ mathcal {C}} \ times \ mathbb {R} \ to {\ mathcal {C}} \ ,, \ qquad \ mathbf {x} = \ mathbf {x} (\ mathbf {q} (t), t)}

{\ Displaystyle \ mathbf {x}: {\ mathcal {C}} \ times \ mathbb {R} \ to {\ mathcal {C}} \ ,, \ qquad \ mathbf {x} = \ mathbf {x} (\ mathbf {q} (t), t)}

en general dependiente tanto del vector de posición como del tiempo, con características particulares (un difeomorfismo ), que expresa la relación existente entre las coordenadas antiguas y las nuevas.

Introducimos energía cinética

E_{c}(v^{2})={\frac {m}{2}}v^{2}

{\ Displaystyle E_ {c} (v ^ {2}) = {\ frac {m} {2}} v ^ {2}}

E_ {c} (v ^ {2}) = {\ frac {m} {2}} v ^ {2}

que en este punto tiene una forma diferente a la habitualmente utilizada: la diferencia deriva de la nueva forma que asume la velocidad, que si bien es como es habitual definida por

\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} t}},}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} t}},}

esta vez es una función compuesta, entonces

\mathbf {v} (\mathbf {q} (t),t)={\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}(\mathbf {q} (t),t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}(\mathbf {q} (t),t)\cdot {\dot {q}}_{i}(t)+{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}(\mathbf {q} (t),t)\,.

{\ Displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {q} (t), t) = {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {x}} {\ operatorname {d} t}} (\ mathbf {q } (t), t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {i}}} (\ mathbf {q} (t) , t) \ cdot {\ dot {q}} _ {i} (t) + {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial t}} (\ mathbf {q} (t), t) \,.}

{\ mathbf {v}} ({\ mathbf {q}} (t), t) = {\ frac {\ operatorname {d} {\ mathbf {x}}} {\ operatorname {d} t}} ({ \ mathbf {q}} (t), t) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {\ parcial {\ mathbf {x}}} {\ parcial q_ {i}}} ({\ mathbf {q}} (t), t) \ cdot {\ dot {q}} _ {i} (t) + {\ frac {\ parcial {\ mathbf {x}}} {\ parcial t} } ({\ mathbf {q}} (t), t) \,.

Calculando explícitamente la energía cinética gracias a las propiedades de linealidad y simetría del producto escalar estándar, tenemos

{\begin{aligned}(E_{c})&={\frac {m}{2}}\langle \mathbf {v} \,,\mathbf {v} \rangle =\\&={\frac {m}{2}}\left\{\left\langle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}\cdot {\dot {q}}_{i}\,,\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}\cdot {\dot {q}}_{j}\right\rangle +2\left\langle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}\cdot {\dot {q}}_{i}\,,{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle \right\}=\\&={\frac {m}{2}}\left\{\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}\right\rangle {\dot {q}}_{j}+2\sum _{i=1}^{n}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle {\dot {q}}_{i}+\left\|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\|^{2}\right\}=\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}+\,\sum _{i=1}^{n}\nabla _{i}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{i}+(E_{c})_{(0)}\,.\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} (E_ {c}) & = {\ frac {m} {2}} \ langle \ mathbf {v} \ ,, \ mathbf {v} \ rangle = \\ & = { \ frac {m} {2}} \ left \ {\ left \ langle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {i}}} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} \ ,, \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {j}}} \ cdot {\ dot {q}} _ {j} \ right \ rangle +2 \ left \ langle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {i}}} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} \ ,, {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial t}} \ derecha \ rangle + \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial t}}, {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial t}} \ right \ rangle \ right \} = \\ & = {\ frac {m} {2}} \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \ left \ langle {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {i}}}, {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {j}}} \ right \ rangle {\ punto {q}} _ {j} +2 \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {i}}}, { \ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial t}} \ derecha \ rangle {\ dot {q}} _ {i} + \ izquierda \ | {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} { \ parcial t}} \ right \ | ^ {2} \ right \} = \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q} } _ {i} \, H_ {ij} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {i = 1} ^ {n } \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {i} + (E_ {c}) _ {(0)} \ ,. \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} (E_ {c}) & = {\ frac {m} {2}} \ langle \ mathbf {v} \ ,, \ mathbf {v} \ rangle = \\ & = { \ frac {m} {2}} \ left \ {\ left \ langle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {i}}} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} \ ,, \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {j}}} \ cdot {\ dot {q}} _ {j} \ right \ rangle +2 \ left \ langle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {i}}} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} \ ,, {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial t}} \ derecha \ rangle + \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial t}}, {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial t}} \ right \ rangle \ right \} = \\ & = {\ frac {m} {2}} \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \ left \ langle {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {i}}}, {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {j}}} \ right \ rangle {\ punto {q}} _ {j} +2 \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {i}}}, { \ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial t}} \ derecha \ rangle {\ dot {q}} _ {i} + \ izquierda \ | {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} { \ parcial t}} \ right \ | ^ {2} \ right \} = \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q} } _ {i} \, H_ {ij} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {i = 1} ^ {n } \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {i} + (E_ {c}) _ {(0)} \ ,. \ end {alineado}}}

Así obtuvimos una forma cuadrática haciendo las sustituciones

H_{ij}(E_{c})_{(0)}={\frac {m}{2}}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}\right\rangle \,,\nabla _{i}(E_{c})_{(0)}=m\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle \,,\quad (E_{c})_{(0)}={\frac {m}{2}}\left\|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\|^{2}\,.

{\ Displaystyle H_ {ij} (E_ {c}) _ {(0)} = {\ frac {m} {2}} \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {i}}}, {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {j}}} \ derecha \ rangle \ ,, \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {(0 )} = m \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {i}}}, {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial t}} \ derecha \ rangle \ ,, \ quad (E_ {c}) _ {(0)} = {\ frac {m} {2}} \ left \ | {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial t }} \ right \ | ^ {2} \,.}

H _ {{ij}} (E_ {c}) _ {{(0)}} = {\ frac {m} {2}} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ mathbf {x}}} {\ parcial q_ {i}}}, {\ frac {\ parcial {\ mathbf {x}}} {\ parcial q_ {j}}} \ derecha \ rangle \ ,, \ nabla _ {i} (E_ {c }) _ {{(0)}} = m \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial {\ mathbf {x}}} {\ parcial q_ {i}}}, {\ frac {\ parcial {\ mathbf { x}}} {\ parcial t}} \ right \ rangle \ ,, \ quad (E_ {c}) _ {{(0)}} = {\ frac {m} {2}} \ left \ | {\ frac {\ parcial {\ mathbf {x}}} {\ parcial t}} \ derecha \ | ^ {2} \,.

El resultado es verdaderamente notable si tenemos en cuenta la generalidad de la que partimos en la discusión: bastaba con proporcionar unas condiciones de regularidad (habitualmente comprobadas en el caso de las condiciones físicas) para obtener una fórmula que amplíe la de uso común. En el caso en el que sea una partícula libre, por tanto, podemos escribir inmediatamente el Lagrangiano :

$(\mathbf {F} =\nabla U=0\rightarrow U(q_{i})=U)$ ${\ Displaystyle (\ mathbf {F} = \ nabla U = 0 \ rightarrow U (q_ {i}) = U)}$ $({\ mathbf F} = \ nabla U = 0 \ rightarrow U (q_ {i}) = U)$

{\mathcal {L}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}+\,\sum _{i=1}^{n}\nabla _{i}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{i}+((E_{c})_{(0)}-U)\,=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}+\,\sum _{i=1}^{n}\nabla _{i}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{i}+(E_{c})_{(0)}\,

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H_ { ij} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {i} + ((E_ {c}) _ {(0)} - U) \, = \ sum _ {i = 1 } ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H_ {ij} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ punto {q}} _ {j} + \, \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ punto {q} } _ {i} + (E_ {c}) _ {(0)} \,}

{\ mathcal L} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H _ { {ij}} (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {i} + ((E_ {c}) _ {{(0)}} - U) \, = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H _ {{ij} } (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ nabla _ {i } (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {i} + (E_ {c}) _ {{(0)}} \,

mientras que la posible presencia de energía potencial $U(q_{i})$ ${\ Displaystyle U (q_ {i})}$ $U (q_ {i})$ dependiendo solo de la posición, solo agrega un término:

{\mathcal {L}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}+\,\sum _{i=1}^{n}\nabla _{i}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{i}+(E_{c})_{(0)}-U(q_{i})\,.

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H_ { ij} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {i} + (E_ {c}) _ {(0)} - U (q_ {i}) \,.}

{\ mathcal L} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H _ { {ij}} (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {i} + (E_ {c}) _ {{(0)}} - U (q_ {el}) \ ,.

Otra característica interesante se deriva de considerar cambios de coordenadas independientes del tiempo: en estos casos la energía cinética simplemente se convierte en un caso particular de la ya encontrada arriba.

T=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}\,,

{\ Displaystyle T = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H_ {ij} (E_ {c }) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {j} \ ,,}

T = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H _ {{ij}} (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {j} \ ,,

pero dado que los vectores de coordenadas del espacio de configuración son por definición

\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}\,,\;\forall \,i=1,2,\ldots ,n\,,

{\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = {\ frac {\ parcial \ mathbf {x}} {\ parcial q_ {i}}} \ ,, \; \ forall \, i = 1,2, \ ldots, n \ ,,}

{\ mathbf e} _ {i} = {\ frac {\ parcial {\ mathbf x}} {\ parcial q_ {i}}} \ ,, \; \ forall \, i = 1,2, \ ldots, n \ ,,

los coeficientes $H_{ij}(E_{c})_{(0)}$ ${\ Displaystyle H_ {ij} (E_ {c}) _ {(0)}}$ $H _ {{ij}} (E_ {c}) _ {{(0)}}$ constituyen una matriz cuadrada que representa el producto escalar con respecto a la base de coordenadas elegida.

La extensión natural a un sistema que consta de varios puntos se realiza asignando a cada uno de ellos un vector de velocidad y un vector de posición: por lo tanto, para $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ se producen partículas libres $2k$ ${\ displaystyle 2k}$ $2k$ portadores, cada uno de $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ coordenadas y luego proceda como lo hicimos para la partícula individual, obteniendo el resultado de que la energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de las partículas individuales:

T=\sum _{i=1}^{k}(E_{c})_{i}\,.

{\ Displaystyle T = \ sum _ {i = 1} ^ {k} (E_ {c}) _ {i} \,.}

T = \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} (E_ {c}) _ {i} \,.

Mecánica relativista

En la mecánica relativista de Einstein (usada particularmente a velocidades cercanas a la velocidad de la luz) la masa es siempre constante, pero el trabajo requerido para llevar una partícula de masa (apropiada) m inicialmente en reposo a una velocidad v no depende del cuadrado de la velocidad como en el caso clásico, de hecho diverge en $v\rightarrow c$ ${\ Displaystyle v \ rightarrow c}$ $v \ rightarrow c$ . Lugares:

$v$ ${\ Displaystyle v}$ $v$ el módulo de velocidad corporal, $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ la velocidad de la luz en el vacío,

$metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ la masa invariante del cuerpo,

$mc^{2}$ ${\ displaystyle mc ^ {2}}$ $mc ^ {2}$ la energía del cuerpo en reposo e $\gamma mc^{2}$ ${\ Displaystyle \ gamma mc ^ {2}}$ $\ gamma mc ^ {2}$ la energía del cuerpo en movimiento

el trabajo W requerido para acelerar una partícula de masa m inicialmente en reposo a una velocidad v es igual a:

W=\Delta E_{c}=\gamma mc^{2}-mc^{2}=(\gamma -1)mc^{2}

{\ Displaystyle W = \ Delta E_ {c} = \ gamma mc ^ {2} -mc ^ {2} = (\ gamma -1) mc ^ {2}}

W = \ Delta E_ {c} = \ gamma mc ^ {2} -mc ^ {2} = (\ gamma -1) mc ^ {2}

en el cual $\gamma$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ $\distancia$ es el factor de Lorentz :

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}

{\ Displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v} {c}} \ right) ^ {2}}}}}

\ gamma = {\ frac {1} {{\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v} {c}} \ right) ^ {2}}}}}

Expansión en la serie de Taylor para pequeños ${\textstyle {\frac {v}{c}}}$ ${\ textstyle {\ frac {v} {c}}}$ ${\ textstyle {\ frac {v} {c}}}$ :

{\begin{aligned}W&=(\gamma -1)mc^{2}\\&=\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)mc^{2}\\&=\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}+\cdots -1\right)mc^{2}\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}+\cdots \\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} W & = (\ gamma -1) mc ^ {2} \\ & = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2 " }} {c ^ {2}}}}}} - 1 \ right) mc ^ {2} \\ & = \ left (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {v ^ {2 }} {c ^ {2}}} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {4}}} + \ cdots -1 \ right) mc ^ { 2} \\ & = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {3} {8}} m {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {2}} } + \ cdots \\\ end {alineado}}}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} W & = (\ gamma -1) mc ^ {2} \\ & = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2 " }} {c ^ {2}}}}}} - 1 \ right) mc ^ {2} \\ & = \ left (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {v ^ {2 }} {c ^ {2}}} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {4}}} + \ cdots -1 \ right) mc ^ { 2} \\ & = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {3} {8}} m {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {2}} } + \ cdots \\\ end {alineado}}}

El desarrollo de la serie deja claro que para valores pequeños de la velocidad $v$ ${\ Displaystyle v}$ $v$ todos los términos por encima del primero son insignificantes y la serie adquiere el valor

W={\frac {1}{2}}mv^{2}

{\ Displaystyle W = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

W = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}

que, teniendo en cuenta la rapidez inicial cero, es precisamente la expresión del teorema de la energía cinética en la mecánica clásica. Por tanto, la fórmula de Einstein generaliza la energía cinética a altas velocidades.

Es inmediato del desarrollo en serie observar que cuando $v$ ${\ Displaystyle v}$ $v$ la relación entre la energía cinética relativista y la energía newtoniana dada por tiende a 0 $mv^{2}/2$ ${\ displaystyle mv ^ {2} / 2}$ ${\ displaystyle mv ^ {2} / 2}$ aproximadamente 1:

\lim _{v\rightarrow 0}{\frac {\left(\gamma -1\right)mc^{2}}{{\frac {1}{2}}mv^{2}}}=\lim _{v\rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}+{\mathcal {O}}\left(v^{4}\right)}{{\frac {1}{2}}mv^{2}}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {v \ rightarrow 0} {\ frac {\ left (\ gamma -1 \ right) mc ^ {2}} {{\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}} = \ lim _ {v \ rightarrow 0} {\ frac {{\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ mathcal {O}} \ left (v ^ {4} \ right)} { {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}} = 1}

\ lim _ {{v \ rightarrow 0}} {\ frac {\ left (\ gamma -1 \ right) mc ^ {2}} {{\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}} = \ lim _ {{v \ rightarrow 0}} {\ frac {{\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ mathcal {O}} \ left (v ^ {4} \ right)} {{\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}} = 1

La teoría de la relatividad establece que la energía cinética de un objeto tiende al infinito para velocidades que se acercan a la velocidad de la luz y, por lo tanto, resulta imposible acelerar el cuerpo a esa velocidad. En otras palabras, ningún cuerpo material puede alcanzar la velocidad de la luz mediante aceleración.

Nota

^ (ES) Libro de oro de la IUPAC, "energía cinética"

Bibliografía

C. Mencuccini y V. Silvestrini, Física I (Mecánica y termodinámica) , 3ª ed., Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-1493-0 .
Herbert Goldstein, Mecánica clásica , Zanichelli, 2005.
Robert Resnick, Introducción a la relatividad especial , Ambrosiana Publishing House, 2006 [1979] .

enlaces externos

( EN ) Energía cinética , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

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[1] (ES) Libro de oro de la IUPAC, "energía cinética"

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