Energía mecánica

La suma de energía potencial y energía cinética permanece constante.

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial relacionadas con el mismo sistema, que se distingue de la energía total del sistema que también incluye la energía interna .

Cuando dos sistemas intercambian energía mecánica entre sí, esta energía en tránsito se llama trabajo . Por lo tanto, un sistema puede poseer energía mecánica e intercambiarse con otros sistemas, mientras que el trabajo corresponde solo a la parte de energía mecánica que se intercambia.

Sistemas escleronómicos conservadores

Mismo tema en detalle: Conservación de la energía mecánica .

Para un sistema esclerónomo y en presencia de fuerzas conservadoras únicamente, se muestra que la energía mecánica constituye una integral del movimiento , es decir, se conserva y coincide con el hamiltoniano mecánico ^[1] . La demostración más simple se deriva directamente del teorema de la energía cinética : si el trabajo realizado por las fuerzas es igual al cambio en la energía cinética del sistema:

W_{AB}=T(B)-T(A)=\Delta T

{\ Displaystyle W_ {AB} = T (B) -T (A) = \ Delta T}

{\ Displaystyle W_ {AB} = T (B) -T (A) = \ Delta T}

Si las fuerzas son conservadoras es posible expresar el trabajo como un cambio en la energía potencial:

\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ mathbf {\ nabla} U}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ mathbf {\ nabla} U}

W_{AB}=\int _{A}^{B}\mathbf {F} \cdot \operatorname {d} \mathbf {s} =-\int _{A}^{B}\mathbf {\nabla } U\cdot \operatorname {d} \mathbf {s} =-(U(B)-U(A))=-\Delta U

{\ Displaystyle W_ {AB} = \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf {F} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s} = - \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf { \ nabla} U \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s} = - (U (B) -U (A)) = - \ Delta U}

{\ Displaystyle W_ {AB} = \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf {F} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s} = - \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf { \ nabla} U \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s} = - (U (B) -U (A)) = - \ Delta U}

obtenemos que la variación de la energía cinética más la variación de la energía potencial es idénticamente cero, es decir:

\Delta T+\Delta U=\Delta (T+U)=0

{\ Displaystyle \ Delta T + \ Delta U = \ Delta (T + U) = 0}

{\ Displaystyle \ Delta T + \ Delta U = \ Delta (T + U) = 0}

habiendo bautizado la cantidad T + U energía mecánica total del sistema.

Campo gravitacional

Un cuerpo en un campo gravitacional (conservador) está dotado de una determinada energía potencial que depende únicamente de la altura con respecto a un punto de referencia. Si lo dejamos libre, en ausencia de fuerzas disipativas como la fricción con el aire, la energía potencial inicial, a medida que cae, se transforma en energía cinética (la velocidad aumenta) mientras que la suma de las dos energías sigue siendo la misma. Vocación $h(t)=h$ ${\ Displaystyle h (t) = h}$ ${\ Displaystyle h (t) = h}$ Y $v(t)=v$ ${\ Displaystyle v (t) = v}$ ${\ Displaystyle v (t) = v}$ respectivamente la altura con respecto a una referencia fija y la velocidad de un cuerpo en el instante t , e $h(0)=h_{0}$ ${\ Displaystyle h (0) = h_ {0}}$ ${\ Displaystyle h (0) = h_ {0}}$ Y $v(0)=v_{0}$ ${\ Displaystyle v (0) = v_ {0}}$ ${\ Displaystyle v (0) = v_ {0}}$ las mismas cantidades en el instante inicial t = 0, tenemos:

\Delta T=-\Delta U

{\ Displaystyle \ Delta T = - \ Delta U}

{\ Displaystyle \ Delta T = - \ Delta U}

es decir

{\frac {1}{2}}m(v^{2}-v_{0}^{2})=-mg(h-h_{0})

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} m (v ^ {2} -v_ {0} ^ {2}) = - mg (h-h_ {0})}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} m (v ^ {2} -v_ {0} ^ {2}) = - mg (h-h_ {0})}

que podemos escribir como

{\frac {1}{2}}mv^{2}+mgh={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}+mgh_{0}.

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + mgh = {\ frac {1} {2}} mv_ {0} ^ {2} + mgh_ {0}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + mgh = {\ frac {1} {2}} mv_ {0} ^ {2} + mgh_ {0}.}

El primer miembro del anterior expresa la energía mecánica total T + U del sistema en el tiempo t , que es constante e igual a la energía mecánica $(T+U)_{0}$ ${\ Displaystyle (T + U) _ {0}}$ ${\ Displaystyle (T + U) _ {0}}$ del sistema en el tiempo t = 0. Por lo tanto:

{\frac {1}{2}}mv^{2}+mgh=(T+U)(t)=(T+U)_{0}\quad (={\mbox{cost.}})

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + mgh = (T + U) (t) = (T + U) _ {0} \ quad (= {\ mbox {cost.} })}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + mgh = (T + U) (t) = (T + U) _ {0} \ quad (= {\ mbox {cost.} })}

Al final de la caída, cuando el cuerpo golpea el piso y vuelve a estar estacionario, la energía cinética vuelve a ser cero, y dado que la energía potencial también ha disminuido, concluimos que en este evento la energía mecánica se ha disipado (luego a una inelástica impacto ). En realidad, la energía mecánica que ha desaparecido resulta haberse convertido en energía térmica y, posiblemente, en ondas sonoras : midiendo la temperatura del objeto podemos de hecho encontrar un ligero aumento en él, además de notar, si está presente, una perturbación del eventual medio donde ocurre la colisión. Este es un hecho general: las leyes de conservación de la física implican la conservación de la energía en sistemas aislados.

Péndulo de Maxwell

El péndulo de Maxwell proporciona un excelente ejemplo del principio de conservación de la energía mecánica. El sistema consta de un volante. Dos cables se enrollan en la misma dirección alrededor del eje del volante, mientras que los extremos opuestos se conectan a un soporte horizontal. El volante se carga enrollando los cables alrededor del eje, de modo que el volante esté a una determinada altura con respecto al plano de referencia. Si se suelta, el volante comienza a descender y gana velocidad. Al llegar al punto más bajo permitido por el desenrollado de los cables, el péndulo se rebobina en la dirección opuesta y vuelve a subir. En condiciones ideales, volvería a la misma altitud inicial; sin embargo, debido a la presencia de fricción con los alambres y con el medio (aire), el movimiento se amortigua, y después de un cierto número de oscilaciones el péndulo se detiene en el punto más bajo permitido por los alambres.

Para determinar el período de este péndulo, o el tiempo que tarda el volante en descender y ascender, se utiliza el principio de conservación de energía:

\Delta T=-\Delta U

{\ Displaystyle \ Delta T = - \ Delta U}

{\ Displaystyle \ Delta T = - \ Delta U}

es decir, las variaciones de energía cinética, tanto de traslación como de rotación, compensan las variaciones de energía potencial. Habiendo tomado como eje de referencia el eje h dirigido hacia arriba y como plano de referencia aquel plano horizontal en el que se encuentra el punto más bajo alcanzado por el volante, en la altura máxima h _max la energía es toda potencial, mientras que en el punto más alto baja ( h = 0) la energía es toda cinética. Si hyv son la altura y la velocidad genéricas en el instante t , podemos hacer explícita la conservación de la energía:

mgh_{max}-mgh(t)=-\left({\frac {1}{2}}m[v(t)]^{2}+{\frac {1}{2}}I[\omega (t)]^{2}\right).

{\ displaystyle mgh_ {max} -mgh (t) = - \ left ({\ frac {1} {2}} m [v (t)] ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I [\ omega (t)] ^ {2} \ right).}

{\ displaystyle mgh_ {max} -mgh (t) = - \ left ({\ frac {1} {2}} m [v (t)] ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I [\ omega (t)] ^ {2} \ right).}

Si expresamos I , el momento de inercia del volante, como kmr ² , con k coeficiente adimensional, el anterior se puede escribir de la siguiente manera (recordando que v = ω r ):

mgh-mgh_{max}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kmv^{2}={\frac {1+k}{2}}mv^{2}.

{\ displaystyle mgh-mgh_ {max} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {1} {2}} kmv ^ {2} = {\ frac {1 + k} {2}} mv ^ {2}.}

{\ displaystyle mgh-mgh_ {max} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {1} {2}} kmv ^ {2} = {\ frac {1 + k} {2}} mv ^ {2}.}

Derivamos ambos miembros con respecto al tiempo (recordando incluir todas las dependencias de tiempo y aplicar correctamente la regla de derivación de funciones compuestas ):

mgv=(1+k)mva\quad \Rightarrow \quad a={\frac {g}{1+k}}

{\ displaystyle mgv = (1 + k) mva \ quad \ Rightarrow \ quad a = {\ frac {g} {1 + k}}}

{\ displaystyle mgv = (1 + k) mva \ quad \ Rightarrow \ quad a = {\ frac {g} {1 + k}}}

La ley horaria de un cuerpo uniformemente acelerado viene dada por:

\Delta h=h(t)-h_{max}={\frac {1}{2}}at^{2}

{\ Displaystyle \ Delta h = h (t) -h_ {max} = {\ frac {1} {2}} en ^ {2}}

{\ Displaystyle \ Delta h = h (t) -h_ {max} = {\ frac {1} {2}} en ^ {2}}

Al imponer que Δh es igual a la extensión máxima del volante (es decir, h ( t ) = 0), se obtiene el tiempo t en el que el volante llega al fondo (el período T es exactamente el doble):

h_{max}={\frac {-g}{2(1+k)}}t^{2}\quad \Rightarrow \quad t^{2}=2h_{max}{\frac {1+k}{-g}}\quad \Rightarrow \quad t={\sqrt {2h_{max}{\frac {1+k}{-g}}}}

{\ Displaystyle h_ {max} = {\ frac {-g} {2 (1 + k)}} t ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad t ^ {2} = 2h_ {max} {\ frac {1 + k} {- g}} \ quad \ Rightarrow \ quad t = {\ sqrt {2h_ {max} {\ frac {1 + k} {- g}}}}}

{\ Displaystyle h_ {max} = {\ frac {-g} {2 (1 + k)}} t ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad t ^ {2} = 2h_ {max} {\ frac {1 + k} {- g}} \ quad \ Rightarrow \ quad t = {\ sqrt {2h_ {max} {\ frac {1 + k} {- g}}}}}

Entonces, en última instancia:

T=2{\sqrt {2h_{max}{\frac {1+k}{-g}}}}

{\ Displaystyle T = 2 {\ sqrt {2h_ {max} {\ frac {1 + k} {- g}}}}}

{\ Displaystyle T = 2 {\ sqrt {2h_ {max} {\ frac {1 + k} {- g}}}}}

Colisiones elásticas de un cuerpo contra un objetivo estacionario

El mismo tema en detalle: Colisión elástica .

Consideremos un cuerpo de masa m con velocidad inicial $v_{i}$ ${\ Displaystyle v_ {i}}$ $usted}$ que choca elásticamente con otro cuerpo, inicialmente estacionario, de masa M. Dado que la colisión es elástica, se debe conservar la energía mecánica de todo el sistema. Dado que las fuerzas impulsivas actúan en una colisión, es posible descuidar las otras fuerzas involucradas (por ejemplo, la gravitacional ), por lo que la energía del sistema está dada por la suma de las energías cinéticas de los cuerpos. Además, dado que en una colisión, por definición, el sistema se considera aislado, se conserva el impulso. Llamando v _M la velocidad final del objetivo, obtenemos el sistema:

{\begin{cases}T_{i}=T_{f}\\P_{i}=P_{f}\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cases} T_ {i} = T_ {f} \\ P_ {i} = P_ {f} \ end {cases}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cases} T_ {i} = T_ {f} \\ P_ {i} = P_ {f} \ end {cases}}}

{\begin{cases}{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}+{\frac {1}{2}}Mv_{M}^{2}\\mv_{i}=mv_{f}+Mv_{M}\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {1} {2}} mv_ {i} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} mv_ {f} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} Mv_ {M} ^ {2} \\ mv_ {i} = mv_ {f} + Mv_ {M} \ end {cases}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {1} {2}} mv_ {i} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} mv_ {f} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} Mv_ {M} ^ {2} \\ mv_ {i} = mv_ {f} + Mv_ {M} \ end {cases}}}

Es fácil de encontrar, obteniendo v _M de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera:

v_{f}={\frac {(m-M)}{(m+M)}}\cdot v_{i}=\mu v_{i}

{\ Displaystyle v_ {f} = {\ frac {(mM)} {(m + M)}} \ cdot v_ {i} = \ mu v_ {i}}

{\ Displaystyle v_ {f} = {\ frac {(m-M)} {(m + M)}} \ cdot v_ {i} = \ mu v_ {i}}

donde μ es un coeficiente adimensional que indica la relación entre la velocidad inicial y la final. La energía cinética final del proyectil se obtiene inmediatamente.

T_{f}={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}={\frac {1}{2}}m\left[\mu v_{i}\right]^{2}

{\ Displaystyle T_ {f} = {\ frac {1} {2}} mv_ {f} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m \ left [\ mu v_ {i} \ right] ^ {2}}

{\ Displaystyle T_ {f} = {\ frac {1} {2}} mv_ {f} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m \ left [\ mu v_ {i} \ right] ^ {2}}

es decir

T_{f}=\mu ^{2}T_{i}

{\ Displaystyle T_ {f} = \ mu ^ {2} T_ {i}}

{\ Displaystyle T_ {f} = \ mu ^ {2} T_ {i}}

la energía cinética del cuerpo, después del impacto, es igual a la inicial para un coeficiente positivo μ ² llamado restitución .

Sistemas escleronómicos no conservadores

Las fuerzas que actúan sobre un sistema no siempre son conservadoras y, por lo tanto, la energía mecánica no siempre se conserva. Entonces, sean F _C y F _NC la suma de todas las fuerzas conservadoras y no conservadoras, respectivamente. El trabajo que han realizado es entonces:

W=W_{\operatorname {C} }+W_{\operatorname {NC} }

{\ Displaystyle W = W _ {\ operatorname {C}} + W _ {\ operatorname {NC}}}

{\ Displaystyle W = W _ {\ operatorname {C}} + W _ {\ operatorname {NC}}}

Por el teorema de la energía cinética , el trabajo corresponde al cambio total en la energía cinética del sistema:

W=\Delta T

{\ Displaystyle W = \ Delta T}

{\ Displaystyle W = \ Delta T}

mientras que, siendo F _C fuerzas conservadoras, es posible asociarles una función potencial U tal que el trabajo de estas fuerzas se puede expresar como:

W_{\operatorname {C} }=-\Delta U

{\ Displaystyle W _ {\ operatorname {C}} = - \ Delta U}

{\ Displaystyle W _ {\ operatorname {C}} = - \ Delta U}

De esta forma, sustituyendo en la expresión de la obra, tenemos:

\Delta T=-\Delta U+W_{\operatorname {NC} }\qquad \Rightarrow \qquad \Delta (T+U)=W_{\operatorname {NC} }

{\ Displaystyle \ Delta T = - \ Delta U + W _ {\ operatorname {NC}} \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ Delta (T + U) = W _ {\ operatorname {NC}}}

{\ Displaystyle \ Delta T = - \ Delta U + W _ {\ operatorname {NC}} \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ Delta (T + U) = W _ {\ operatorname {NC}}}

Ahora el primer miembro reconoce la variación de energía mecánica del sistema, prueba de que las variaciones de energía mecánica de un sistema se deben exclusivamente al trabajo realizado por las fuerzas no conservadoras sobre el sistema.

Un ejemplo de fuerza no conservadora, tomado de la experiencia cotidiana, es la fuerza de fricción . Aunque en la naturaleza no existen fuerzas no conservadoras (a nivel microscópico), la fuerza de fricción se considera no conservadora, principalmente porque, en general, no es constante, al menos en dirección y hacia; en segundo lugar, porque los efectos que produce (generalmente sobrecalentamiento de las partes en contacto) no se contabilizan en el cálculo de la energía mecánica. Del mismo modo, no se contabilizan las contribuciones del campo electromagnético que produce un trabajo no conservador y dependiente del desplazamiento.

Nota

^ si bien esto no es cierto para los sistemas reonómicos o no conservadores donde la energía mecánica pierde importancia a favor de la segunda cantidad

Bibliografía

C. Mencuccini y V. Silvestrini, Física I (Mecánica y termodinámica) , 3a ed., ISBN 88-207-1493-0 , Liguori Editore, 1996.
Herbert Goldstein, Mecánica clásica , Zanichelli, 2005.

enlaces externos

( EN )Energía mecánica , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

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[1] si bien esto no es cierto para los sistemas reonómicos o no conservadores donde la energía mecánica pierde importancia a favor de la segunda cantidad

[1]