Energía potencial

En física , la energía potencial de un objeto es la energía que posee debido a su posición u orientación con respecto a un campo de fuerza . ^[1] En el caso de un sistema , la energía potencial puede depender de la disposición de los elementos que lo componen. ^[2] La energía potencial también puede verse como la capacidad de un objeto (o sistema) para transformar su energía en otra forma de energía, como la energía cinética . El término "energía potencial" fue acuñado por Rankine ^[3] ^[4] en 1853 . En el sistema internacional se mide en julios ( J ).

Es una función escalar de las coordenadas del objeto en el sistema de referencia utilizado. Dado un campo vectorial conservador , la energía potencial es su capacidad para realizar trabajo : el trabajo relacionado con una fuerza que actúa sobre un objeto es la integral de segunda clase de la fuerza evaluada en la trayectoria recorrida por el objeto, y si es conservadora la El valor de esta integral no depende del tipo de camino seguido. Cuando se trata de fuerzas conservadoras podemos definir un potencial escalar definido en todo el espacio, normalmente el potencial se define como la energía potencial dividida por la variable responsable de la fuerza. En particular, desde el punto de vista matemático, este potencial existe solo si la fuerza es conservadora y, después de todo, se supone que para todas las fuerzas conservadoras siempre se puede definir físicamente como energía potencial.

La energía potencial también se puede definir para el campo magnético , que no es conservador, en regiones donde no hay corriente eléctrica . En este caso, de hecho, el rotor del campo es cero. ^[5] La energía potencial magnética de un imán en un campo magnético se define como el trabajo de la fuerza magnética (el momento mecánico ) en la realineación del momento dipolar magnético .

Definición

Si en una región del espacio hay alguna fuerza y un objeto que es sensible a la presencia de la fuerza, la energía potencial (asociada con la fuerza) que posee el objeto se define como la diferencia entre la energía que posee debido a la fuerza en una determinada posición en el espacio y la energía poseída en una posición elegida como referencia. Por tanto, en la posición elegida como referencia, la energía potencial es cero.

La energía potencial se puede definir como el trabajo requerido para llevar dos moléculas a una distancia infinita, y es igual a cero cuando la distancia entre las moléculas es infinita.

Dada una fuerza $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ ${\ mathbf {F}}$ , trabajo $W$ ${\ Displaystyle W}$ $W$ a lo largo de una curva $C.$ ${\ Displaystyle C}$ $C.$ viene dado en general por la relación:

W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x}

{\ Displaystyle W = \ int _ {C} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x}}

{\ Displaystyle W = \ int _ {C} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x}}

que en forma local está escrito:

\delta W=\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x}

{\ Displaystyle \ delta W = \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x}}

{\ Displaystyle \ delta W = \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x}}

Si el campo de fuerza es conservador , el trabajo no depende del tipo de camino tomado, sino solo de la magnitud de la fuerza en los extremos del camino (los extremos de integración): el diferencial $\delta W$ ${\ Displaystyle \ delta W}$ $\ delta W$ entonces es un diferencial exacto , y el campo conservador corresponde (por definición) al gradiente de un campo escalar $V.$ ${\ Displaystyle V}$ $V.$ , llamado potencial . En este caso, si el objeto se mueve desde un punto $\mathbf {r} _{A}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {A}}$ ${\ mathbf r} _ {A}$ a un punto $\mathbf {r} _{B}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {B}}$ ${\ mathbf r} _ {B}$ la fuerza ejercida por el campo hace un trabajo igual al opuesto $-\Delta U$ ${\ Displaystyle - \ Delta U}$ $- \ Delta U$ de la diferencia $\Delta U=U(\mathbf {r} _{B})-U(\mathbf {r} _{A})$ ${\ Displaystyle \ Delta U = U (\ mathbf {r} _ {B}) - U (\ mathbf {r} _ {A})}$ $\ Delta U = U ({\ mathbf r} _ {B}) - U ({\ mathbf r} _ {A})$ entre la energía potencial que posee el objeto en las dos posiciones inicial y final:

W=\int _{A}^{B}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =-[U(\mathbf {r} _{B})-U(\mathbf {r} _{A})]=-\Delta U

{\ Displaystyle W = \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} = - [U (\ mathbf {r} _ {B}) - U ( \ mathbf {r} _ {A})] = - \ Delta U}

{\ Displaystyle W = \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} = - [U (\ mathbf {r} _ {B}) - U ( \ mathbf {r} _ {A})] = - \ Delta U}

La razón del signo menos, para el cual el trabajo es igual al opuesto de la energía, es el hecho de que de esta manera un trabajo positivo corresponde a una reducción de la energía potencial. Dado que es posible fijar arbitrariamente el nivel cero de la energía potencial, se define hasta una constante aditiva. En el caso más simple, donde el movimiento tiene lugar en una sola dirección, la energía potencial de una fuerza conservadora es igual a alguna primitiva de la fuerza, cambiada de signo:

F(x)=-{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}U(x)\qquad U(x)=-\int _{x_{0}}^{x}F(\xi )\operatorname {d} \xi +U(x_{0})

{\ displaystyle F (x) = - {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} U (x) \ qquad U (x) = - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} F (\ xi) \ nombre del operador {d} \ xi + U (x_ {0})}

F (x) = - {\ frac {\ operatorname d} {\ operatorname dx}} U (x) \ qquad U (x) = - \ int _ {{x_ {0}}} ^ {x} F (\ xi) \ nombre del operador d \ xi + U (x_ {0})

Dónde está $U(x_{0})$ ${\ Displaystyle U (x_ {0})}$ $U (x_ {0})$ es la constante aditiva. Curioso $x_{0}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ se determina cuál es la primitiva, y por lo tanto es necesario imponer condiciones de contorno: para las fuerzas nulas en el infinito, se utiliza la condición de contorno de Dirichlet $U(\infty )=0$ ${\ Displaystyle U (\ infty) = 0}$ $U (\ infty) = 0$ , llamado condición de localidad .

En el caso tridimensional, si el dominio es un conjunto estrellado , el lema de Poincaré proporciona una condición suficiente y necesaria para que en el punto $(x,y,z)$ ${\ Displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ la fuerza es lo contrario $-\nabla U$ ${\ Displaystyle - \ nabla U}$ $- \ nabla U$ del gradiente $\nabla U$ ${\ Displaystyle \ nabla U}$ $\ nabla U$ de un potencial escalar $U$ ${\ Displaystyle U}$ $U$ (es decir, es conservador):

\mathbf {F} (x,y,z)=-\nabla U(x,y,z)

{\ Displaystyle \ mathbf {F} (x, y, z) = - \ nabla U (x, y, z)}

{\ mathbf F} (x, y, z) = - \ nabla U (x, y, z)

Además, la integral se puede separar:

{\begin{aligned}U(x,y,z)&=-\int _{(0,0,0)}^{(x,y,z)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\operatorname {d} \!s} +\mathrm {costante} \\&=-\int _{x_{0}}^{x}\mathbf {F} (t,0,0)\cdot \mathbf {e} _{1}\operatorname {d} \!t-\int _{y_{0}}^{y}\mathbf {F} (x,t,0)\cdot \mathbf {e} _{2}\operatorname {d} \!t-\int _{z_{0}}^{z}\mathbf {F} (x,y,t)\cdot \mathbf {e} _{3}\operatorname {d} \!t+\mathrm {costante} \end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} U (x, y, z) & = - \ int _ {(0,0,0)} ^ {(x, y, z)} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ operatorname {d} \! s} + \ mathrm {constante} \\ & = - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ mathbf {F} (t, 0,0) \ cdot \ mathbf {e} _ {1} \ operatorname {d} \! t- \ int _ {y_ {0}} ^ {y} \ mathbf {F} (x, t, 0) \ cdot \ mathbf {e} _ {2} \ operatorname {d} \! T- \ int _ {z_ {0}} ^ {z} \ mathbf {F} (x, y, t) \ cdot \ mathbf {e} _ {3} \ operatorname {d} \! t + \ mathrm {constante} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} U (x, y, z) & = - \ int _ {(0,0,0)} ^ {(x, y, z)} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ operatorname {d} \! s} + \ mathrm {constante} \\ & = - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ mathbf {F} (t, 0,0) \ cdot \ mathbf {e} _ {1} \ operatorname {d} \! t- \ int _ {y_ {0}} ^ {y} \ mathbf {F} (x, t, 0) \ cdot \ mathbf {e} _ {2} \ operatorname {d} \! T- \ int _ {z_ {0}} ^ {z} \ mathbf {F} (x, y, t) \ cdot \ mathbf {e} _ {3} \ operatorname {d} \! t + \ mathrm {constante} \ end {alineado}}}

donde el punto $(0,0,0)$ ${\ displaystyle (0,0,0)}$ $(0,0,0)$ se elige arbitrariamente y los vectores $\mathbf {e} _{1}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1}}$ ${\ mathbf e} _ {1}$ , $\mathbf {e} _{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {2}}$ ${\ mathbf e} _ {2}$ Y $\mathbf {e} _{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {3}}$ ${\ mathbf e} _ {3}$ son los versores canónicos de $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ .

Ejemplos de

La energía potencial gravitacional corresponde a la fuerza de gravedad . Si un cuerpo de masa $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ se coloca cerca de la superficie de la tierra, a una altura $h$ ${\ Displaystyle h}$ $h$ con respecto a una altura de referencia elegida arbitrariamente, tiene una energía potencial:

U_{(h)}=mgh

{\ Displaystyle U _ {(h)} = mgh}

{\ Displaystyle U _ {(h)} = mgh}

siendo g = 9,81 m / s² la intensidad de la aceleración de la gravedad. Si, por otro lado, la distancia de una masa

metro

{\ Displaystyle m}

metro

de la superficie de la tierra, o de cualquier otro cuerpo, es arbitraria, entonces la energía potencial a una distancia

r

{\ Displaystyle r}

r

desde el centro del cuerpo celeste se define por la relación general:

$U_{(\mathbf {r} )}=-G{\frac {Mm}{r}}$ ${\ Displaystyle U _ {(\ mathbf {r})} = - G {\ frac {Mm} {r}}}$ ${\ Displaystyle U _ {(\ mathbf {r})} = - G {\ frac {Mm} {r}}}$ Dónde está $GRAMO.$ ${\ Displaystyle G}$ $GRAMO.$ es la constante gravitacional universal e $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ la masa del cuerpo más grande. En este último, el nivel cero de $U$ ${\ Displaystyle U}$ $U$ se coloca a una distancia infinita del cuerpo celeste y, en consecuencia, los valores de $U$ ${\ Displaystyle U}$ $U$ siempre son negativos.

La fuerza de Coulomb admite una energía potencial eléctrica . Una carga $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ poste remoto $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ desde la oficina $Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ generador del campo, tiene una energía potencial:

U_{(\mathbf {r} )}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Qq}{r}}

{\ Displaystyle U _ {(\ mathbf {r})} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {Qq} {r}}}

{\ Displaystyle U _ {(\ mathbf {r})} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {Qq} {r}}}

siendo permitividad eléctrica

\varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}

{\ displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {r}}

{\ displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {r}}

, Dónde está

\varepsilon _{0}

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {0}}

\ varepsilon_0

es la constante dieléctrica del vacío e

\varepsilon _{r}

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {r}}

\ varepsilon_r

la constante dieléctrica relativa a cualquier medio.

La fuerza elástica es conservadora y en este caso la energía potencial es:

U_{(x)}={\frac {1}{2}}kx^{2}

{\ Displaystyle U _ {(x)} = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}}

{\ Displaystyle U _ {(x)} = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}}

Dónde está

k

{\ Displaystyle k}

k

es la constante elástica del resorte e

X

{\ Displaystyle x}

X

desplazamiento con respecto a la posición de reposo del resorte.

Ejemplo numérico

Una fuerza posicional que actúa sobre cualquier punto material del espacio tridimensional en un sistema de referencia se define en particular como:

\mathbf {F} =(2xy-\sin(yz),x^{2}-xz\cos(yz),-xy\cos(yz)+3e^{z})

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = (2xy- \ sin (yz), x ^ {2} -xz \ cos (yz), - xy \ cos (yz) + 3e ^ {z})}

{\ mathbf F} = (2xy- \ sin (yz), x ^ {2} -xz \ cos (yz), - xy \ cos (yz) + 3e ^ {z})

Dónde está $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ , $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ son las coordenadas cartesianas de un punto genérico en la referencia, y actúan sobre un punto material de masa $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ .

Inmediatamente notamos que esta fuerza es de tipo no local , ya que no es nada en el infinito:

{\lim _{x,y,z\to \infty }2xy-\sin(yz)\neq 0\qquad \lim _{x,y,z\to \infty }x^{2}-xz\cos(yz)\neq 0\qquad \lim _{x,y,z\to \infty }-xy\cos(yz)+3e^{z}\neq 0}=T

{\ displaystyle {\ lim _ {x, y, z \ to \ infty} 2xy- \ sin (yz) \ neq 0 \ qquad \ lim _ {x, y, z \ to \ infty} x ^ {2} - xz \ cos (yz) \ neq 0 \ qquad \ lim _ {x, y, z \ to \ infty} -xy \ cos (yz) + 3e ^ {z} \ neq 0} = T}

{\ lim _ {{x, y, z \ to \ infty}} 2xy- \ sin (yz) \ neq 0 \ qquad \ lim _ {{x, y, z \ to \ infty}} x ^ {2} -xz \ cos (yz) \ neq 0 \ qquad \ lim _ {{x, y, z \ to \ infty}} - xy \ cos (yz) + 3e ^ {z} \ neq 0} = T

El cálculo del trabajo de la fuerza a lo largo de la curva. $\Gamma$ ${\ Displaystyle \ Gamma}$ $\Distancia$ parametrizado por:

\lambda (t)=(t^{2}-4,\sin(t),{\frac {1}{1+t^{2}/\pi ^{2}}})\qquad t\in [0:\pi ]

{\ Displaystyle \ lambda (t) = (t ^ {2} -4, \ sin (t), {\ frac {1} {1 + t ^ {2} / \ pi ^ {2}}}) \ qquad t \ in [0: \ pi]}

\ lambda (t) = (t ^ {2} -4, \ sin (t), {\ frac {1} {1 + t ^ {2} / \ pi ^ {2}}}) \ qquad t \ in [0: \ pi]

ocurre a través de una integral curvilínea, o comprobando que puede haber una función de energía potencial asociada con la fuerza $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ . La fuerza se define en todo $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ . Según el lema de Poincaré, si el campo es irrotacional, existe una función de energía potencial asociada.

El rotor de $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ Y:

\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {i} \ (-x\cos(yz)-xyz\sin(yz)+x\cos(yz)+xyz\sin(yz))+\mathbf {j} \ (-y\cos(yz)+y\cos(yz))+\mathbf {k} (2x-z\cos(yz)-2x+z\cos(yz))=0

{\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {i} \ (-x \ cos (yz) -xyz \ sin (yz) + x \ cos (yz) + xyz \ sin (yz)) + \ mathbf {j} \ (-y \ cos (yz) + y \ cos (yz)) + \ mathbf {k} (2x-z \ cos (yz) -2x + z \ cos (yz)) = 0}

\ nabla \ times {\ mathbf F} = {\ mathbf i} \ (-x \ cos (yz) -xyz \ sin (yz) + x \ cos (yz) + xyz \ sin (yz)) + {\ mathbf j} \ (-y \ cos (yz) + y \ cos (yz)) + {\ mathbf k} (2x-z \ cos (yz) -2x + z \ cos (yz)) = 0

El campo es, por tanto, conservador: esto significa que el trabajo realizado por la fuerza no depende de la trayectoria del cuerpo. La función de energía potencial se calcula de la siguiente manera:

{\begin{aligned}U(x,y,z)&=-\int _{0}^{x}\mathbf {F} (\tau ,0,0)\cdot \mathbf {e} _{1}\operatorname {d} \!\tau +\int _{0}^{y}\mathbf {F} (x,\tau ,0)\cdot \mathbf {e} _{2}\operatorname {d} \!\tau +\int _{0}^{z}\mathbf {F} (x,y,\tau )\cdot \mathbf {e} _{3}\operatorname {d} \!\tau \\&=-\int _{0}^{x}(2\tau \cdot 0+0)\operatorname {d} \!\tau +\int _{0}^{y}(x^{2}-0)\operatorname {d} \!\tau +\int _{0}^{z}\left(-xy\cos(y\tau )+3e^{\tau }\right)\operatorname {d} \!\tau \\&=-x^{2}y+x\sin(yz)-3e^{z}+\mathrm {costante} \end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} U (x, y, z) & = - \ int _ {0} ^ {x} \ mathbf {F} (\ tau, 0,0) \ cdot \ mathbf {e} _ {1} \ operatorname {d} \! \ Tau + \ int _ {0} ^ {y} \ mathbf {F} (x, \ tau, 0) \ cdot \ mathbf {e} _ {2} \ operatorname {d} \! \ tau + \ int _ {0} ^ {z} \ mathbf {F} (x, y, \ tau) \ cdot \ mathbf {e} _ {3} \ operatorname {d} \! \ tau \\ & = - \ int _ {0} ^ {x} (2 \ tau \ cdot 0 + 0) \ operatorname {d} \! \ tau + \ int _ {0} ^ {y} (x ^ { 2} -0) \ operatorname {d} \! \ Tau + \ int _ {0} ^ {z} \ left (-xy \ cos (y \ tau) + 3e ^ {\ tau} \ right) \ operatorname { d} \! \ tau \\ & = - x ^ {2} y + x \ sin (yz) -3e ^ {z} + \ mathrm {constante} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} U (x, y, z) & = - \ int _ {0} ^ {x} \ mathbf {F} (\ tau, 0,0) \ cdot \ mathbf {e} _ {1} \ nombre de operador {d} \! \ Tau + \ int _ {0} ^ {y} \ mathbf {F} (x, \ tau, 0) \ cdot \ mathbf {e} _ {2} \ nombre de operador {d} \! \ tau + \ int _ {0} ^ {z} \ mathbf {F} (x, y, \ tau) \ cdot \ mathbf {e} _ {3} \ operatorname {d} \! \ tau \\ & = - \ int _ {0} ^ {x} (2 \ tau \ cdot 0 + 0) \ operatorname {d} \! \ tau + \ int _ {0} ^ {y} (x ^ { 2} -0) \ operatorname {d} \! \ Tau + \ int _ {0} ^ {z} \ left (-xy \ cos (y \ tau) + 3e ^ {\ tau} \ right) \ operatorname { d} \! \ tau \\ & = - x ^ {2} y + x \ sin (yz) -3e ^ {z} + \ mathrm {constante} \ end {alineado}}}

Al imponer la condición de localidad:

\lim _{x,y,z\to \infty }-x^{2}y+x\sin(yz)-3e^{z}+\mathrm {cost} =0\rightarrow \mathrm {cost} =\infty

{\ Displaystyle \ lim _ {x, y, z \ to \ infty} -x ^ {2} y + x \ sin (yz) -3e ^ {z} + \ mathrm {cost} = 0 \ rightarrow \ mathrm { costo} = \ infty}

\ lim _ {{x, y, z \ to \ infty}} - x ^ {2} y + x \ sin (yz) -3e ^ {z} + {\ mathrm {cost}} = 0 \ rightarrow {\ mathrm {costo}} = \ infty

Por tanto, parece que el campo de energía potencial es de tipo no local (así como la fuerza que lo origina). Vocación:

A=\lambda (0)=(-4,0,1)

{\ Displaystyle A = \ lambda (0) = (- 4,0,1)}

A = \ lambda (0) = (- 4,0,1)

Y

B=\lambda (\pi )=(\pi ^{2}-4,0,1/2)

{\ Displaystyle B = \ lambda (\ pi) = (\ pi ^ {2} -4,0,1 / 2)}

B = \ lambda (\ pi) = (\ pi ^ {2} -4,0,1 / 2)

el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de la trayectoria $\Gamma$ ${\ Displaystyle \ Gamma}$ $\Distancia$ es una función solo de los extremos del camino e igual a:

L_{\Gamma }=L_{AB}=U(A)-U(B)=3({\sqrt {e}}-1)

{\ Displaystyle L _ {\ Gamma} = L_ {AB} = U (A) -U (B) = 3 ({\ sqrt {e}} - 1)}

L _ {{\ Gamma}} = L _ {{AB}} = U (A) -U (B) = 3 ({\ sqrt {e}} - 1)

Como puede verse, la imposición de la condición de localidad no influye en el trabajo (ni tampoco en la fuerza). Además, si la fuerza $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ es la única fuerza presente, la energía mecánica del sistema se conserva $Y$ ${\ Displaystyle E}$ $Y$ , incluso si es infinito:

E=T+U={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)-x^{2}y+x\sin(yz)-3e^{z}+\infty =\mathrm {cost} =+\infty

{\ Displaystyle E = T + U = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} \ right) -x ^ {2} y + x \ sin (yz) -3e ^ {z} + \ infty = \ mathrm {cost} = + \ infty}

E = T + U = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot x} ^ {2} + {\ dot y} ^ {2} + {\ dot z} ^ {2} \ derecha) -x ^ {2} y + x \ sin (yz) -3e ^ {z} + \ infty = {\ mathrm {cost}} = + \ infty

y por lo tanto el conservadurismo de la cantidad mecánica:

{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)-x^{2}y+x\sin(yz)-3e^{z}=\mathrm {cost.}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ { 2} \ right) -x ^ {2} y + x \ sin (yz) -3e ^ {z} = \ mathrm {costo.}}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ { 2} \ right) -x ^ {2} y + x \ sin (yz) -3e ^ {z} = \ mathrm {costo.}}

no depende de la condición de la ubicación.

Nota

^ ( ES ) Libro de oro de la IUPAC, "energía potencial"
^ (EN) Mahesh C. Jain, Libro de texto de ingeniería física (Parte I) , PHI Learning Pvt. Ltd., 2009, p. 10, ISBN 81-203-3862-6 .
↑ (EN) Macquorn John William Rankine (1853), "Sobre la ley general de la transformación de la energía", Actas de la Sociedad Filosófica de Glasgow, vol. 3, no. 5, páginas 276-280.
^ (EN) Crosbie Smith, La ciencia de la energía - Energía en la historia cultural de la física en la Gran Bretaña victoriana, The University of Chicago Press, 1998, ISBN 0-226-76420-6 .
^ Un campo conservador es siempre irrotacional, mientras que un campo irrotacional es conservador si el conjunto en el que se define es un conjunto abierto estrellado , o más generalmente un conjunto simplemente conectado , como establece el lema de Poincaré .

Bibliografía

Richard Feynman ,La física de Feynman , Bolonia, Zanichelli, 2001 .:
- Vol I, par. 14-3: fuerzas conservadoras
- Vol I, par. 14-5: Potenciales y campos
( EN ) Feynman, Richard P., 14: Trabajo y energía potencial , en The Feynman Lectures on Physics, Vol. I , Basic Books, 2011, (14 -) 6-14, ISBN 978-0-465-02493-3 .
( ES ) Serway, Raymond A.; Jewett, John W., Física para científicos e ingenieros (8ª ed.) , Brooks / Cole cengage, 2010, ISBN 1-4390-4844-4 .
(EN) Tipler, Paul, Física para científicos e ingenieros: mecánica, oscilaciones y ondas, termodinámica (5ª ed.), WH Freeman, 2004, ISBN 0-7167-0809-4 .

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enlaces externos

( EN ) Energía potencial / Energía potencial (otra versión) , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( ES ) ¿Qué es la energía potencial? , en kineticenergys.com . Obtenido el 13 de julio de 2013 (archivado desde el original el 23 de diciembre de 2013) .

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[1] ( ES ) Libro de oro de la IUPAC, "energía potencial"

[2] (EN) Mahesh C. Jain, Libro de texto de ingeniería física (Parte I) , PHI Learning Pvt. Ltd., 2009, p. 10, ISBN 81-203-3862-6 .

[3] (EN) Macquorn John William Rankine (1853), "Sobre la ley general de la transformación de la energía", Actas de la Sociedad Filosófica de Glasgow, vol. 3, no. 5, páginas 276-280.

[4] (EN) Crosbie Smith, La ciencia de la energía - Energía en la historia cultural de la física en la Gran Bretaña victoriana, The University of Chicago Press, 1998, ISBN 0-226-76420-6 .

[5] Un campo conservador es siempre irrotacional, mientras que un campo irrotacional es conservador si el conjunto en el que se define es un conjunto abierto estrellado , o más generalmente un conjunto simplemente conectado , como establece el lema de Poincaré .

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