Ecuación de movimiento

En la mecánica clásica , una ecuación de movimiento es una ecuación que describe el movimiento de un sistema físico en función de la posición en el espacio y el tiempo . ^[1] En particular, la ecuación que expresa una coordenada generalizada en función de la variable de tiempo se llama ley horaria .

Descripción

Un sistema mecánico con $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ Los grados de libertad generalmente se describen a través de un conjunto de coordenadas generalizadas. ${\textstyle q_{1},\dots ,q_{n}}$ ${\ textstyle q_ {1}, \ dots, q_ {n}}$ ${\ textstyle q_ {1}, \ dots, q_ {n}}$ . El conocimiento de coordenadas generalizadas y velocidades generalizadas en un momento dado en el tiempo. ${\textstyle {\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{n}}$ ${\ textstyle {\ dot {q}} _ {1}, \ dots, {\ dot {q}} _ {n}}$ ${\ textstyle {\ dot {q}} _ {1}, \ dots, {\ dot {q}} _ {n}}$ , que son las derivadas con respecto al tiempo de las coordenadas generalizadas, permite una caracterización completa del estado mecánico del sistema. Con esta información, las aceleraciones se pueden determinar de forma única ${\textstyle {\ddot {q}}_{1},\dots ,{\ddot {q}}_{n}}$ ${\ textstyle {\ ddot {q}} _ {1}, \ dots, {\ ddot {q}} _ {n}}$ ${\ textstyle {\ ddot {q}} _ {1}, \ dots, {\ ddot {q}} _ {n}}$ , por lo que es posible predecir la evolución del sistema en un momento posterior al considerado. La ecuación de movimiento relaciona cantidades ${\textstyle q_{i}}$ ${\ textstyle q_ {i}}$ ${\ textstyle q_ {i}}$ , ${\textstyle {\dot {q}}_{i}}$ ${\ textstyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ textstyle {\ dot {q}} _ {i}}$ Y ${\textstyle {\ddot {q}}_{i}}$ ${\ textstyle {\ ddot {q}} _ {i}}$ ${\ textstyle {\ ddot {q}} _ {i}}$ , y si lo desconocido es ${\textstyle q_{i}}$ ${\ textstyle q_ {i}}$ ${\ textstyle q_ {i}}$ , como suele suceder, es una ecuación diferencial de segundo orden cuyas soluciones son las posibles leyes horarias $q_{i}(t)$ ${\ Displaystyle q_ {i} (t)}$ $q_ {i} (t)$ de un punto material, o un cuerpo, sujeto a una interacción conocida. Las ecuaciones de movimiento se completan con la definición de los parámetros iniciales, que definen el problema de Cauchy y que, bajo hipótesis adecuadas, permiten determinar unívocamente la solución.

Por lo general, la ley horaria de un objeto en movimiento es una ecuación que se deriva de la aplicación al sistema de las leyes de la dinámica de Newton o las leyes de conservación , como la ley de conservación de la energía mecánica o el momento angular . La ley horaria de un punto material se puede dar tanto con respecto a un sistema de referencia como con respecto a una abscisa curvilínea . Por ejemplo, si un punto de material está restringido en una guía para definir su posición, es posible indicar los valores de la proyección del punto en los ejes, así como la distancia desde un punto de referencia tomado en la guía.

Definición

En la mecánica newtoniana una ecuación de movimiento es una función $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ que tiene la forma de una ecuación diferencial ordinaria con respecto a la función que describe la posición en función del tiempo $\mathbf {r} (t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf r} (t)$ :

M\left[\mathbf {r} (t),\mathbf {\dot {r}} (t),\mathbf {\ddot {r}} (t),t\right]=0

{\ Displaystyle M \ left [\ mathbf {r} (t), \ mathbf {\ dot {r}} (t), \ mathbf {\ ddot {r}} (t), t \ right] = 0}

M \ left [{\ mathbf {r}} (t), {\ mathbf {{\ dot {r}}}} (t), {\ mathbf {{\ ddot {r}}}} (t), t \ right] = 0

El problema de Cauchy se da asignando un valor a la posición y su derivada en el instante $t=0$ ${\ Displaystyle t = 0}$ $t = 0$ :

\mathbf {r} (0)=\mathbf {r} _{0}\qquad \mathbf {\dot {r}} (0)={\dot {\mathbf {r} }}_{0}

{\ Displaystyle \ mathbf {r} (0) = \ mathbf {r} _ {0} \ qquad \ mathbf {\ dot {r}} (0) = {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {0 }}

{\ mathbf {r}} (0) = {\ mathbf r} _ {0} \ qquad {\ mathbf {{\ dot {r}}}} (0) = {\ dot {\ mathbf r}} _ { 0}

El segundo principio de la dinámica se puede formular tanto a través de la ley de Newton como con la primera ecuación de Euler . Este último representa su forma más general:

\mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}\mathbf {p} }{{\rm {d}}t}}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {{\ rm {d}} \ mathbf {p}} {{\ rm {d}} t}}}

{\ mathbf {F}} = {\ frac {{{\ rm {d}}} {\ mathbf {p}}} {{{\ rm {d}}} t}}

Dónde está $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ es la fuerza y $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ momento y esta ecuación tiene la forma de una ecuación de movimiento. Dado que se supone una masa constante, también se puede escribir usando la notación de Newton $\mathbf {F} =m\mathbf {\ddot {x}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {\ ddot {x}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {\ ddot {x}}}$ y en el caso unidimensional tenemos:

{\ddot {x}}={\frac {F(x,{\dot {x}})}{m}}

{\ Displaystyle {\ ddot {x}} = {\ frac {F (x, {\ dot {x}})} {m}}}

{\ ddot x} = {\ frac {F (x, {\ dot x})} {m}}

Esta ecuación tiene tres casos notables:

Uno mismo $F.$ ${\ Displaystyle F}$ $F.$ es nula, se obtiene la solución de movimiento rectilíneo uniforme : $x(t)=x(0)+v(0)t$ ${\ Displaystyle x (t) = x (0) + v (0) t}$ ${\ Displaystyle x (t) = x (0) + v (0) t}$

Uno mismo $F.$ ${\ Displaystyle F}$ $F.$ es constante el movimiento se acelera uniformemente: $x(t)=x(0)+v(0)t+{\frac {F}{2m}}t^{2}$ ${\ Displaystyle x (t) = x (0) + v (0) t + {\ frac {F} {2m}} t ^ {2}}$ ${\ Displaystyle x (t) = x (0) + v (0) t + {\ frac {F} {2m}} t ^ {2}}$

Uno mismo $F.$ ${\ Displaystyle F}$ $F.$ es proporcional al opuesto de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ el movimiento es el de un oscilador armónico : $x(t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\varphi \right)$ ${\ Displaystyle x (t) = A \ cos \ left ({\ sqrt {\ frac {k} {m}}} t + \ varphi \ right)}$ $x (t) = A \ cos \ left ({\ sqrt {\ frac {k} {m}}} t + \ varphi \ right)$

Dónde está

PARA

{\ Displaystyle A}

PARA

Y

\varphi

{\ Displaystyle \ varphi}

\ varphi

son constantes conocidas a partir de la posición inicial y la velocidad e

k

{\ Displaystyle k}

k

es la constante de proporcionalidad, con signo positivo, entre fuerza y desplazamiento.

Principio variacional de Hamilton

El mismo tema en detalle: el principio variacional de Hamilton .

La ley de Newton no es la única forma de describir la dinámica de un sistema. Considere un sistema físico descrito por $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ coordenadas generalizadas $\mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{n})$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})}$ ${\ mathbf q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})$ que evoluciona entre dos estados $\mathbf {q} _{1}(t)=\mathbf {q} (t_{1})$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {1} (t) = \ mathbf {q} (t_ {1})}$ ${\ mathbf q} _ {1} (t) = {\ mathbf q} (t_ {1})$ Y $\mathbf {q} _{2}(t)=\mathbf {q} (t_{2})$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {2} (t) = \ mathbf {q} (t_ {2})}$ ${\ mathbf q} _ {2} (t) = {\ mathbf q} (t_ {2})$ en el intervalo de tiempo entre los instantes $t_{1}$ ${\ Displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Y $t_{2}$ ${\ Displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ . El movimiento de tal sistema, que es un sistema conservador , respeta el principio variacional de Hamilton, según el cual el camino tomado minimiza la acción ${\mathcal {S}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal S}$ , dado por la integral :

{\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,\operatorname {d} \!t

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q}] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q} (t) , {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) \, \ operatorname {d} \! t}

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q}] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q} (t) , {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) \, \ operatorname {d} \! t}

Dónde está ${\mathcal {L}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal L}$ es el lagrangiano del sistema. Las ecuaciones de Euler-Lagrange :

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=0

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ mathbf {q}}} - {\ frac {\ nombre del operador {d}} {\ nombre del operador {d} \! t}} { \ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} = 0}

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ mathbf {q}}} - {\ frac {\ nombre del operador {d}} {\ nombre del operador {d} \! t}} { \ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} = 0}

se obtienen directamente a partir del principio variacional y son ecuaciones de movimiento. Describen el movimiento de un objeto que obedece al segundo principio de dinámica , relacionando la posición y velocidad de cada elemento que compone el sistema. ^[2]

Constantes de movimiento

El mismo tema en detalle: constante de movimiento e integral prima .

Las soluciones de la ecuación de movimiento se representan mediante órbitas en el espacio de fase . Una constante de movimiento es una función constante a lo largo de cada órbita del sistema. Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}

una función escalar $X(\mathbf {r} )$ ${\ Displaystyle X (\ mathbf {r})}$ ${\ Displaystyle X (\ mathbf {r})}$ es una constante de movimiento o cantidad conservada si para todas las condiciones iniciales tenemos:

{\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} t}}=0\qquad \forall t

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} X} {\ mathrm {d} t}} = 0 \ qquad \ forall t}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} X} {\ mathrm {d} t}} = 0 \ qquad \ forall t}

La solución del sistema es tangente al campo vectorial $\mathbf {f}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ , que puede ser, por ejemplo, un campo de velocidades , y es la intersección de dos superficies: son las integrales principales del sistema de ecuaciones diferenciales. Usando la regla de la cadena , mostramos que el campo vectorial $\mathbf {f}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ es ortogonal al gradiente de la cantidad conservada $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ .

Ejemplos de

1 talla

Un caso simple de ley horaria es el de la trayectoria de una partícula puntual obligada a permanecer en línea recta. Tomada como sistema de referencia la propia línea recta, orientada y con un origen, la ley horaria es una función $x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle x: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $x: {\ mathbb R} \ rightarrow {\ mathbb R}$ que asocia con cada momento $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ un punto $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ de la recta (en este caso coinciden el sistema de referencia ortonormal y la abscisa curvilínea). Por ejemplo, suponga que tiene una partícula de masa $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ empujado por una fuerza constante $F.$ ${\ Displaystyle F}$ $F.$ en la dirección positiva de la línea. Aplicando el segundo principio de dinámica tenemos la ecuación de movimiento:

{\ddot {x}}={\frac {F}{m}}

{\ Displaystyle {\ ddot {x}} = {\ frac {F} {m}}}

{\ ddot x} = {\ frac {F} {m}}

de lo cual, integrando dos veces (o recordando la fórmula para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado ) tenemos la ley horaria:

x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}{\frac {F}{m}}t^{2}

{\ Displaystyle x (t) = x_ {0} + v_ {0} t + {\ frac {1} {2}} {\ frac {F} {m}} t ^ {2}}

x (t) = x_ {0} + v_ {0} t + {\ frac {1} {2}} {\ frac {F} {m}} t ^ {2}

2 tamaños

Movimiento en un plano inclinado.

Un caso menos trivial, en el que también podemos ver la diferencia entre el sistema de referencia cartesiano y la abscisa curvilínea, es el de un cuerpo puntual en un plano inclinado liso, con una inclinación $\theta$ ${\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , sometido a la fuerza de la gravedad , como se muestra en la figura. El sistema de referencia se toma con el eje $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ horizontal de izquierda a derecha y el eje $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ vertical orientado hacia arriba.

La segunda ley de la dinámica, una vez que se han sumado todas las fuerzas, incluida la reacción de restricción , da las siguientes dos ecuaciones:

\left\{{\begin{aligned}&{\ddot {x}}=g\cos {\theta }\sin {\theta }\\&{\ddot {y}}=-g\sin ^{2}{\theta }\end{aligned}}\right.

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} & {\ ddot {x}} = g \ cos {\ theta} \ sin {\ theta} \\ & {\ ddot {y}} = - g \ sin ^ {2} {\ theta} \ end {alineado}} \ right.}

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} & {\ ddot {x}} = g \ cos {\ theta} \ sin {\ theta} \\ & {\ ddot {y}} = - g \ sin ^ {2} {\ theta} \ end {alineado}} \ right.}

que se resuelven independientemente como dos movimientos uniformemente acelerados a lo largo de los ejes $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Y $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ :

\left\{{\begin{aligned}&x(t)=x_{0}+v_{x}t+{\frac {1}{2}}\left(g\cos {\theta }\sin {\theta }\right)t^{2}\\&y(t)=y_{0}+v_{y}t-{\frac {1}{2}}\left(g\sin ^{2}{\theta }\right)t^{2}\end{aligned}}\right.

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} & x (t) = x_ {0} + v_ {x} t + {\ frac {1} {2}} \ left (g \ cos {\ theta} \ sin {\ theta} \ right) t ^ {2} \\ & y (t) = y_ {0} + v_ {y} t - {\ frac {1} {2}} \ left (g \ sin ^ {2} {\ theta} \ right) t ^ {2} \ end {alineado}} \ right.}

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} & x (t) = x_ {0} + v_ {x} t + {\ frac {1} {2}} \ left (g \ cos {\ theta} \ sin {\ theta} \ right) t ^ {2} \\ & y (t) = y_ {0} + v_ {y} t - {\ frac {1} {2}} \ left (g \ sin ^ {2} {\ theta} \ right) t ^ {2} \ end {alineado}} \ right.}

El conjunto de estas dos funciones es la ley horaria buscada: dado un valor de tiempo $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ la posición del punto se puede conocer a través de sus coordenadas cartesianas. Sin embargo, se puede dar otra expresión de la posición en términos de una abscisa coincidente con el plano y dirigida hacia abajo: de esta manera el movimiento, que antes era bidimensional, se reduce a un movimiento unidimensional a lo largo del plano. Con este sistema de referencia, la ecuación de movimiento es:

{\ddot {r}}=g\sin {\theta }

{\ Displaystyle {\ ddot {r}} = g \ sin {\ theta}}

{\ Displaystyle {\ ddot {r}} = g \ sin {\ theta}}

y la ley horaria:

r(t)=r_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}\left(g\sin {\theta }\right)t^{2}

{\ Displaystyle r (t) = r_ {0} + v_ {0} t + {\ frac {1} {2}} \ left (g \ sin {\ theta} \ right) t ^ {2}}

{\ Displaystyle r (t) = r_ {0} + v_ {0} t + {\ frac {1} {2}} \ left (g \ sin {\ theta} \ right) t ^ {2}}

Para aclarar el formalismo vectorial, se puede definir un vector de posición $\mathbf {r} (t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf r} (t)$ igual que:

\mathbf {r} (t)=\left(x(t),y(t)\right)

{\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ left (x (t), y (t) \ right)}

{\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ left (x (t), y (t) \ right)}

y la ley horaria se expresa como una función vectorial:

r\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}

{\ Displaystyle r \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}

{\ Displaystyle r \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}

Este vector se establece en el plano vertical formado por los ejes $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Y $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ e indica la posición de la partícula momento a momento. El desplazamiento de la partícula entre dos instantes. $t_{1}$ ${\ Displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Y $t_{2}$ ${\ Displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ simplemente está dado por:

\Delta \mathbf {s} =\mathbf {s} (t_{2})-\mathbf {s} (t_{1})=\left(x(t_{2})-x(t_{1}),y(t_{2})-y(t_{1})\right)

{\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {s} = \ mathbf {s} (t_ {2}) - \ mathbf {s} (t_ {1}) = \ left (x (t_ {2}) - x (t_ { 1}), y (t_ {2}) - y (t_ {1}) \ right)}

{\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {s} = \ mathbf {s} (t_ {2}) - \ mathbf {s} (t_ {1}) = \ left (x (t_ {2}) - x (t_ { 1}), y (t_ {2}) - y (t_ {1}) \ right)}

Nota

^ Enciclopedia de física (segunda edición), RG Lerner, GL Trigg, VHC Publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1 (VHC Inc.) 0-89573-752-3
^ Landau, Lifshits , p. 28 .

Bibliografía

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C. Mencuccini - V. Silvestrini, Física I - Mecánica y termodinámica 3a ed., 1996, Liguori Editore ISBN 8820714930
(EN) David Halliday, Robert Resnick y Jearl Walker, Fundamentals of Physics, 7 Sub, Wiley, 16 de junio de 2004, ISBN 0-471-23231-9 .
( EN ) Val Hanrahan y R Porkess, Matemáticas adicionales para OCR , Londres, Hodder & Stoughton, 2003, p. 219, ISBN 0-340-86960-7 .
( EN ) Keith Johnson, Physics for you: edición revisada del plan de estudios nacional para GCSE , 4th, Nelson Thornes, 2001, p. 135, ISBN 978-0-7487-6236-1 .