Ecuación diferencial lineal

En matemáticas , una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial , diferencial ordinaria o parcial , de modo que las combinaciones lineales de sus soluciones se pueden utilizar para obtener otras soluciones.

Definición

Una ecuación diferencial lineal tiene la forma:

Ly=f

{\ Displaystyle Ly = f}

Ly = f

Dónde está $L$ ${\ Displaystyle L}$ $L$ es un operador diferencial lineal , $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ la función desconocida (que se supone que es diferenciable $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ veces) y $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ una función de la misma naturaleza que $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ dicha fuente . Si dependen de la variable $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ tu lo escribes:

L[y(t)]=f(t)

{\ Displaystyle L [y (t)] = f (t)}

L [y (t)] = f (t)

Y $L$ ${\ Displaystyle L}$ $L$ Se puede escribir como:

L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y

{\ Displaystyle L_ {n} (y) \ equiv {\ frac {d ^ {n} y} {dt ^ {n}}} + A_ {1} (t) {\ frac {d ^ {n-1} y} {dt ^ {n-1}}} + \ cdots + A_ {n-1} (t) {\ frac {dy} {dt}} + A_ {n} (t) y}

L_ {n} (y) \ equiv {\ frac {d ^ {n} y} {dt ^ {n}}} + A_ {1} (t) {\ frac {d ^ {{n-1}} y } {dt ^ {{n-1}}}} + \ cdots + A _ {{n-1}} (t) {\ frac {dy} {dt}} + A_ {n} (t) y

o en la forma:

L_{n}(y)\equiv \left[\,D^{n}+A_{1}(t)D^{n-1}+\cdots +A_{n-1}(t)D+A_{n}(t)\right]y

{\ Displaystyle L_ {n} (y) \ equiv \ left [\, D ^ {n} + A_ {1} (t) D ^ {n-1} + \ cdots + A_ {n-1} (t) D + A_ {n} (t) \ right] y}

L_ {n} (y) \ equiv \ left [\, D ^ {n} + A _ {{1}} (t) D ^ {{n-1}} + \ cdots + A _ {{n-1 }} (t) D + A_ {n} (t) \ right] y

Dónde está $D=d/dt$ ${\ Displaystyle D = d / dt}$ $D = d / dt$ Y $A_{i}$ ${\ Displaystyle A_ {i}}$ $Al}$ se les asignan funciones.

Se dice que una ecuación de este tipo tiene orden $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ , es decir, orden igual al orden de la derivada más alta de la función desconocida $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ aquí estoy. En caso de que tengas $f=0$ ${\ Displaystyle f = 0}$ $f = 0$ la ecuación es homogénea. Cuando funciona $A_{i}$ ${\ Displaystyle A_ {i}}$ $Al}$ son simplemente números, se dice que la ecuación tiene coeficientes constantes .

Ecuaciones ordinarias de primer orden

Este tipo de ecuación toma la forma canónica:

y'=f(x,y)

{\ Displaystyle y '= f (x, y)}

y '= f (x, y)

Dónde está $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ es una función lineal en $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ . En el caso de:

y'=f(x)

{\ Displaystyle y '= f (x)}

y '= f (x)

la solución se encuentra inmediatamente a través de la integración:

y=\int f(x)dx=F(x)+c

{\ Displaystyle y = \ int f (x) dx = F (x) + c}

y = \ int f (x) dx = F (x) + c

con $F(x)$ ${\ Displaystyle F (x)}$ $F (x)$ un primitivo de $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . Dado entonces el problema de Cauchy :

{\begin{cases}y'=f(x)\\y(x_{0})=y_{0}\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cases} y '= f (x) \\ y (x_ {0}) = y_ {0} \ end {cases}}}

{\ begin {cases} y '= f (x) \\ y (x_ {0}) = y_ {0} \ end {cases}}

su única solución está dada por:

y=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt+y_{0}

{\ Displaystyle y = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t) dt + y_ {0}}

y = \ int _ {{x_ {0}}} ^ {{x}} f (t) dt + y_ {0}

Homogéneo con coeficientes constantes

La ecuación homogénea con coeficientes constantes es del tipo:

y'+ay=0

{\ displaystyle y '+ ay = 0}

y '+ ay = 0

Dónde está $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ es una constante. La solución general de este caso se obtiene separando las variables , es decir:

{\frac {dy}{dx}}=-ay

{\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - ay}

{\ frac {dy} {dx}} = - ay

a partir del cual:

\int _{y_{0}}^{y}{\frac {dy}{y}}=-a\int _{x_{0}}^{x}dx

{\ Displaystyle \ int _ {y_ {0}} ^ {y} {\ frac {dy} {y}} = - a \ int _ {x_ {0}} ^ {x} dx}

\ int _ {{y_ {0}}} ^ {{y}} {\ frac {dy} {y}} = - a \ int _ {{x_ {0}}} ^ {{x}} dx

tenemos:

\ln(y)-\ln(y_{0})=-a\cdot (x-x_{0})

{\ Displaystyle \ ln (y) - \ ln (y_ {0}) = - a \ cdot (x-x_ {0})}

\ ln (y) - \ ln (y_ {0}) = - a \ cdot (x-x_ {0})

y por lo tanto:

\ln \left({\frac {y}{y_{0}}}\right)=-a\cdot (x-x_{0})

{\ Displaystyle \ ln \ left ({\ frac {y} {y_ {0}}} \ right) = - a \ cdot (x-x_ {0})}

\ ln \ left ({\ frac {y} {y_ {0}}} \ right) = - a \ cdot (x-x_ {0})

La solución se obtiene utilizando el exponencial:

y=y_{0}\cdot e^{-a\cdot (x-x_{0})}

{\ Displaystyle y = y_ {0} \ cdot e ^ {- a \ cdot (x-x_ {0})}}

y = y_ {0} \ cdot e ^ {{- a \ cdot (x-x_ {0})}}

Recordando que el problema de Cauchy impone $y(x=x_{0})=y_{0}$ ${\ Displaystyle y (x = x_ {0}) = y_ {0}}$ $y (x = x_ {0}) = y_ {0}$ , la solución es única (en lugar de una familia de curvas):

y=y_{0}\cdot e^{-a\cdot (x-x_{0})}

{\ Displaystyle y = y_ {0} \ cdot e ^ {- a \ cdot (x-x_ {0})}}

y = y_ {0} \ cdot e ^ {{- a \ cdot (x-x_ {0})}}

No homogéneo con coeficientes variables

En el caso general, considere:

y'+a(x)\cdot y=f(x)

{\ Displaystyle y '+ a (x) \ cdot y = f (x)}

y '+ a (x) \ cdot y = f (x)

La ecuación homogénea correspondiente:

y'+a(x)\cdot y=0

{\ Displaystyle y '+ a (x) \ cdot y = 0}

y '+ a (x) \ cdot y = 0

se resuelve separando las variables:

{\frac {dy}{y}}=-a(x)\cdot dx

{\ Displaystyle {\ frac {dy} {y}} = - a (x) \ cdot dx}

{\ frac {dy} {y}} = - a (x) \ cdot dx

e integrando:

\int _{y_{0}}^{y}{\frac {dy}{y}}=-\int _{x_{0}}^{x}a(x)\cdot dx

{\ Displaystyle \ int _ {y_ {0}} ^ {y} {\ frac {dy} {y}} = - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} a (x) \ cdot dx}

\ int _ {{y_ {0}}} ^ {{y}} {\ frac {dy} {y}} = - \ int _ {{x_ {0}}} ^ {{x}} a (x) \ cdot dx

a partir del cual:

\ln y-\ln y_{0}=-(A(x)-A(x_{0}))

{\ Displaystyle \ ln y- \ ln y_ {0} = - (A (x) -A (x_ {0}))}

\ ln y- \ ln y_ {0} = - (A (x) -A (x_ {0}))

Dónde está $A(x)$ ${\ Displaystyle A (x)}$ $A (x)$ es una primitiva de la función $a(x)$ ${\ Displaystyle a (x)}$ $una (x)$ . La solución homogénea es:

y=y_{0}\cdot e^{-{(A(x)-A(x_{0}))}}

{\ Displaystyle y = y_ {0} \ cdot e ^ {- {(A (x) -A (x_ {0}))}}}

y = y_ {0} \ cdot e ^ {{- {(A (x) -A (x_ {0}))}}}

Nuevamente el problema de Cauchy:

y(x=x_{0})=y_{0}

{\ Displaystyle y (x = x_ {0}) = y_ {0}}

y (x = x_ {0}) = y_ {0}

tiene solución única.

Para encontrar una solución de lo no homogéneo, la buscamos en la forma:

y=u(x)\cdot e^{-A(x)}

{\ Displaystyle y = u (x) \ cdot e ^ {- A (x)}}

y = u (x) \ cdot e ^ {{- A (x)}}

Dónde está $u(x)$ ${\ Displaystyle u (x)}$ $u (x)$ es una función por determinar. Reemplazándolo en el anterior y ejecutando las derivadas:

u'(x)\cdot e^{-A(x)}-a(x)u(x)\cdot e^{-A(x)}+a(x)u(x)\cdot e^{-A(x)}=f(x)

{\ Displaystyle u '(x) \ cdot e ^ {- A (x)} - a (x) u (x) \ cdot e ^ {- A (x)} + a (x) u (x) \ cdot e ^ {- A (x)} = f (x)}

u '(x) \ cdot e ^ {{- A (x)}} - a (x) u (x) \ cdot e ^ {{- A (x)}} + a (x) u (x) \ cdot e ^ {{- A (x)}} = f (x)

Simplificando, tenemos:

u'(x)=f(x)\cdot e^{A(x)}

{\ Displaystyle u '(x) = f (x) \ cdot e ^ {A (x)}}

u '(x) = f (x) \ cdot e ^ {{A (x)}}

a partir del cual es suficiente integrarse para encontrar:

u(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)e^{A(t)}dt+u_{0}

{\ Displaystyle u (x) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t) e ^ {A (t)} dt + u_ {0}}

u (x) = \ int _ {{x_ {0}}} ^ {{x}} f (t) e ^ {{A (t)}} dt + u_ {0}

Dónde está $u_{0}$ ${\ Displaystyle u_ {0}}$ $u_ {0}$ es una constante desconocida que puede igualarse a cero sin perder generalidad. La solución del problema de Cauchy $y'+a(x)\cdot y=f(x)$ ${\ Displaystyle y '+ a (x) \ cdot y = f (x)}$ $y '+ a (x) \ cdot y = f (x)$ con $y(x=x_{0})=y_{0}$ ${\ Displaystyle y (x = x_ {0}) = y_ {0}}$ $y (x = x_ {0}) = y_ {0}$ (encontrado por primera vez por Jean Bernoulli ) es por lo tanto:

y(x)=y_{0}\cdot e^{(A(x_{0})-A(x))}+e^{-A(x)}\int _{x_{0}}^{x}f(t)e^{A(t)}dt.

{\ Displaystyle y (x) = y_ {0} \ cdot e ^ {(A (x_ {0}) - A (x))} + e ^ {- A (x)} \ int _ {x_ {0} } ^ {x} f (t) e ^ {A (t)} dt.}

y (x) = y_ {0} \ cdot e ^ {{(A (x_ {0}) - A (x))}} + e ^ {{- A (x)}} \ int _ {{x_ { 0}}} ^ {{x}} f (t) e ^ {{A (t)}} dt.

También en este caso es posible tener una y solo una solución en el intervalo de definición de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ .

Factor de integración

La ecuacion $Dy(x)+f(x)y(x)=g(x)$ ${\ Displaystyle Dy (x) + f (x) y (x) = g (x)}$ $Dy (x) + f (x) y (x) = g (x)$ , con $D.$ ${\ Displaystyle D}$ $D.$ operador diferencial lineal, se puede resolver de forma equivalente multiplicándolo por el factor de integración $e^{\int f(x)\,dx}$ ${\ Displaystyle e ^ {\ int f (x) \, dx}}$ $e ^ {{\ int f (x) \, dx}}$ . Usted obtiene:

Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx}

{\ Displaystyle Dy (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} + f (x) y (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} = g (x) e ^ { \ int f (x) \, dx}}

Dy (x) e ^ {{\ int f (x) \, dx}} + f (x) y (x) e ^ {{\ int f (x) \, dx}} = g (x) e ^ {{\ int f (x) \, dx}}

que para la regla del producto se simplifica a:

D(y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}

{\ Displaystyle D (y (x) e ^ {\ int f (x) \, dx}) = g (x) e ^ {\ int f (x) \, dx}}

D (y (x) e ^ {{\ int f (x) \, dx}}) = g (x) e ^ {{\ int f (x) \, dx}}

Integrando ambos miembros:

y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c

{\ Displaystyle y (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} = \ int g (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} \, dx + c}

y (x) e ^ {{\ int f (x) \, dx}} = \ int g (x) e ^ {{\ int f (x) \, dx}} \, dx + c

a partir del cual:

y(x)={\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}}

{\ Displaystyle y (x) = {\ int g (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} \, dx + c \ over e ^ {\ int f (x) \, dx}}}

y (x) = {\ int g (x) e ^ {{\ int f (x) \, dx}} \, dx + c \ over e ^ {{\ int f (x) \, dx}}}

La solucion de $y'(x)+f(x)y(x)=g(x)$ ${\ Displaystyle y '(x) + f (x) y (x) = g (x)}$ $y '(x) + f (x) y (x) = g (x)$ , tanto si los coeficientes son variables como constantes, es por tanto:

y=e^{-a(x)}\left(\int g(x)e^{a(x)}\,dx+\kappa \right)

{\ Displaystyle y = e ^ {- a (x)} \ left (\ int g (x) e ^ {a (x)} \, dx + \ kappa \ right)}

y = e ^ {{- a (x)}} \ left (\ int g (x) e ^ {{a (x)}} \, dx + \ kappa \ right)

Dónde está $\kappa$ ${\ Displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ es una constante de integración y:

a(x)=\int {f(x)\,dx}

{\ Displaystyle a (x) = \ int {f (x) \, dx}}

a (x) = \ int {f (x) \, dx}

Una forma compacta de la solución general es la siguiente:

y(x)=\int _{x_{0}}^{x}\!{[y(x_{0})\delta (t-x_{0})+g(t)]e^{-\int _{t}^{x}\!f(u)du}\,dt}

{\ Displaystyle y (x) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \! {[y (x_ {0}) \ delta (t-x_ {0}) + g (t)] e ^ {- \ int _ {t} ^ {x} \! f (u) du} \, dt}}

y (x) = \ int _ {{x_ {0}}} ^ {{x}} \! {[y (x_ {0}) \ delta (t-x_ {0}) + g (t)] y ^ {{- \ int _ {t} ^ {x} \! f (u) du}} \, dt}

Dónde está $\delta (x)$ ${\ Displaystyle \ delta (x)}$ $\ delta (x)$ es el delta de Dirac generalizado.

Ejemplos de

Considere la siguiente ecuación diferencial:

{\begin{cases}y'=x-y\\y(2)=5\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y '= xy \\ y (2) = 5 \ end {cases}}}

{\ begin {cases} y '= x-y \\ y (2) = 5 \ end {cases}}

Al llevarlo a su forma normal, obtienes:

y'+y=x

{\ Displaystyle y '+ y = x}

y '+ y = x

La solución general del homogéneo asociado es:

y=y_{0}\cdot e^{(x_{0}-x)}

{\ Displaystyle y = y_ {0} \ cdot e ^ {(x_ {0} -x)}}

y = y_ {0} \ cdot e ^ {{(x_ {0} -x)}}

a partir del cual:

y=5\cdot e^{2-x}

{\ Displaystyle y = 5 \ cdot e ^ {2-x}}

y = 5 \ cdot e ^ {{2-x}}

La solución de la ecuación completa se busca en la forma:

u(x)\cdot e^{-x}

{\ Displaystyle u (x) \ cdot e ^ {- x}}

u (x) \ cdot e ^ {{- x}}

Sustituido en la ecuación completa:

u'(x)\cdot e^{-x}-u(x)\cdot e^{-x}+u(x)\cdot e^{-x}=x

{\ Displaystyle u '(x) \ cdot e ^ {- x} -u (x) \ cdot e ^ {- x} + u (x) \ cdot e ^ {- x} = x}

u '(x) \ cdot e ^ {{- x}} - u (x) \ cdot e ^ {{- x}} + u (x) \ cdot e ^ {{- x}} = x

y entonces:

u'(x)\cdot e^{-x}=x

{\ Displaystyle u '(x) \ cdot e ^ {- x} = x}

u '(x) \ cdot e ^ {{- x}} = x

del cual tenemos:

u'(x)=x\cdot e^{x}

{\ Displaystyle u '(x) = x \ cdot e ^ {x}}

u '(x) = x \ cdot e ^ {{x}}

Integrando por partes obtenemos:

u(x)=xe^{x}-e^{x}-x_{0}e^{x_{0}}+e^{x_{0}}

{\ Displaystyle u (x) = xe ^ {x} -e ^ {x} -x_ {0} e ^ {x_ {0}} + e ^ {x_ {0}}}

u (x) = xe ^ {x} -e ^ {x} -x_ {0} e ^ {{x_ {0}}} + e ^ {{x_ {0}}}

entonces la solución es:

y=y_{0}e^{(x_{0}-x)}+e^{-x}(xe^{x}-e^{x}-x_{0}e^{x_{0}}+e^{x_{0}})

{\ Displaystyle y = y_ {0} e ^ {(x_ {0} -x)} + e ^ {- x} (xe ^ {x} -e ^ {x} -x_ {0} e ^ {x_ { 0}} + e ^ {x_ {0}})}

y = y_ {0} e ^ {{(x_ {0} -x)}} + e ^ {{- x}} (xe ^ {x} -e ^ {x} -x_ {0} e ^ {{ x_ {0}}} + e ^ {{x_ {0}}})

y por lo tanto:

y=4\cdot e^{(2-x)}+x-1

{\ Displaystyle y = 4 \ cdot e ^ {(2-x)} + x-1}

y = 4 \ cdot e ^ {{(2-x)}} + x-1

Considerar:

y'=x^{2}y{\mbox{ con }}y(1)=2

{\ Displaystyle y '= x ^ {2} y {\ mbox {con}} y (1) = 2}

y '= x ^ {2} y {\ mbox {con}} y (1) = 2

siempre y cuando:

\int _{2}^{y}{\frac {dy}{y}}=\int _{1}^{x}x^{2}\,dx

{\ Displaystyle \ int _ {2} ^ {y} {\ frac {dy} {y}} = \ int _ {1} ^ {x} x ^ {2} \, dx}

\ int _ {{2}} ^ {{y}} {\ frac {dy} {y}} = \ int _ {{1}} ^ {{x}} x ^ {2} \, dx

tenemos:

\ln(y)-\ln(2)={\frac {1}{3}}\cdot \left(x^{3}-1^{3}\right)

{\ Displaystyle \ ln (y) - \ ln (2) = {\ frac {1} {3}} \ cdot \ left (x ^ {3} -1 ^ {3} \ right)}

\ ln (y) - \ ln (2) = {\ frac {1} {3}} \ cdot \ left (x ^ {3} -1 ^ {3} \ right)

es decir:

y=2\cdot e^{{\frac {1}{3}}\left(x^{3}-1\right)}

{\ Displaystyle y = 2 \ cdot e ^ {{\ frac {1} {3}} \ left (x ^ {3} -1 \ right)}}

y = 2 \ cdot e ^ {{{\ frac {1} {3}} \ left (x ^ {3} -1 \ right)}}

donde si

para

{\ Displaystyle a}

para

es una constante, vuelve al caso descrito anteriormente.

Ecuaciones ordinarias de orden genérico

El mismo tema en detalle: Ecuación diferencial lineal de orden superior a la primera .

La solución general de una ecuación ordinaria de orden genérico se obtiene a partir de la suma de la solución de la ecuación homogénea más una solución particular de la ecuación no homogénea, obtenida con el método de variaciones de las constantes o con el método de coeficientes indeterminados . Si se especifican las condiciones iniciales, la solución particular se puede obtener directamente utilizando la transformada de Laplace .

Ecuación homogénea con coeficientes constantes

Considerar:

y^{(n)}+A_{1}y^{(n-1)}+\cdots +A_{n}y=0

{\ Displaystyle y ^ {(n)} + A_ {1} y ^ {(n-1)} + \ cdots + A_ {n} y = 0}

y ^ {{(n)}} + A _ {{1}} y ^ {{(n-1)}} + \ cdots + A _ {{n}} y = 0

Mediante la colocación de $y=e^{zx}$ ${\ Displaystyle y = e ^ {zx}}$ $y = e ^ {{zx}}$ , tenemos:

z^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots +A_{n}e^{zx}=0

{\ Displaystyle z ^ {n} e ^ {zx} + A_ {1} z ^ {n-1} e ^ {zx} + \ cdots + A_ {n} e ^ {zx} = 0}

z ^ {n} e ^ {{zx}} + A_ {1} z ^ {{n-1}} e ^ {{zx}} + \ cdots + A_ {n} e ^ {{zx}} = 0

Así dividiendo por $e^{zx}$ ${\ Displaystyle e ^ {zx}}$ $y ^ {{zx}}$ obtenemos un polinomio de orden n :

F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0

{\ Displaystyle F (z) = z ^ {n} + A_ {1} z ^ {n-1} + \ cdots + A_ {n} = 0}

F (z) = z ^ {{n}} + A _ {{1}} z ^ {{n-1}} + \ cdots + A_ {n} = 0

donde los términos $y^{(k)}$ ${\ Displaystyle y ^ {(k)}}$ $y ^ {{(k)}}$ de la ecuación original se reemplazan por $z^{k}$ ${\ Displaystyle z ^ {k}}$ $z ^ {k}$ . Sustituyendo cada una de las n raíces $z_{j}$ ${\ Displaystyle z_ {j}}$ $z_ {j}$ del polinomio en $e^{zx}$ ${\ Displaystyle e ^ {zx}}$ $y ^ {{zx}}$ se obtiene una solución respectiva $e^{z_{i}x}$ ${\ Displaystyle e ^ {z_ {i} x}}$ $y ^ {{z_ {i} x}}$ . Uno mismo $z_{j}$ ${\ Displaystyle z_ {j}}$ $z_ {j}$ tiene multiplicidad $m\geq 2$ ${\ Displaystyle m \ geq 2}$ ${\ Displaystyle m \ geq 2}$ , entonces otras soluciones vienen dadas por $xe^{z_{j}x},...,x^{m-1}e^{z_{j}x}$ ${\ Displaystyle xe ^ {z_ {j} x}, ..., x ^ {m-1} e ^ {z_ {j} x}}$ ${\ Displaystyle xe ^ {z_ {j} x}, ..., x ^ {m-1} e ^ {z_ {j} x}}$ .

Ecuación no homogénea con coeficientes constantes

Dejemos que se dé la ecuación:

{\frac {d^{n}y(x)}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y(x)}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y(x)=f(x)

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {n} y (x)} {dx ^ {n}}} + A_ {1} {\ frac {d ^ {n-1} y (x)} {dx ^ { n-1}}} + \ cdots + A_ {n} y (x) = f (x)}

{\ frac {d ^ {{n}} y (x)} {dx ^ {{n}}}} + A _ {{1}} {\ frac {d ^ {{n-1}} y (x )} {dx ^ {{n-1}}}} + \ cdots + A _ {{n}} y (x) = f (x)

y definir el polinomio característico:

P(v)=v^{n}+A_{1}v^{n-1}+\cdots +A_{n}

{\ Displaystyle P (v) = v ^ {n} + A_ {1} v ^ {n-1} + \ cdots + A_ {n}}

P (v) = v ^ {n} + A_ {1} v ^ {{n-1}} + \ cdots + A_ {n}

Se puede encontrar una base para las soluciones $\{y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x)\}$ ${\ Displaystyle \ {y_ {1} (x), y_ {2} (x), \ ldots, y_ {n} (x) \}}$ $\ {y_ {1} (x), y_ {2} (x), \ ldots, y_ {n} (x) \}$ buscando una solución particular $y_{p}(x)$ ${\ Displaystyle y_ {p} (x)}$ $y_ {p} (x)$ con el método de variaciones de constantes. Suponga que los coeficientes de la combinación lineal son una función de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ :

y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)+\cdots +u_{n}(x)y_{n}(x)

{\ Displaystyle y_ {p} (x) = u_ {1} (x) y_ {1} (x) + u_ {2} (x) y_ {2} (x) + \ cdots + u_ {n} (x ) y_ {n} (x)}

y_ {p} (x) = u_ {1} (x) y_ {1} (x) + u_ {2} (x) y_ {2} (x) + \ cdots + u_ {n} (x) y_ { n} (x)

Usando la notación $D=d/dt$ ${\ Displaystyle D = d / dt}$ $D = d / dt$ , puedes escribir:

f=P(D)y_{p}=P(D)(u_{1}y_{1})+P(D)(u_{2}y_{2})+\cdots +P(D)(u_{n}y_{n})

{\ Displaystyle f = P (D) y_ {p} = P (D) (u_ {1} y_ {1}) + P (D) (u_ {2} y_ {2}) + \ cdots + P (D ) (u_ {n} y_ {n})}

f = P (D) y_ {p} = P (D) (u_ {1} y_ {1}) + P (D) (u_ {2} y_ {2}) + \ cdots + P (D) (u_ {n} y_ {n})

con restricciones:

0=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}

{\ Displaystyle 0 = u '_ {1} y_ {1} + u' _ {2} y_ {2} + \ cdots + u '_ {n} y_ {n}}

0 = u '_ {1} y_ {1} + u' _ {2} y_ {2} + \ cdots + u '_ {n} y_ {n}

0=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}

{\ Displaystyle 0 = u '_ {1} y' _ {1} + u '_ {2} y' _ {2} + \ cdots + u '_ {n} y' _ {n}}

0 = u '_ {1} y' _ {1} + u '_ {2} y' _ {2} + \ cdots + u '_ {n} y' _ {n}

\cdots

{\ Displaystyle \ cdots}

\ cdots

0=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)}

{\ Displaystyle 0 = u '_ {1} y_ {1} ^ {(n-2)} + u' _ {2} y_ {2} ^ {(n-2)} + \ cdots + u '_ { n} y_ {n} ^ {(n-2)}}

0 = u '_ {1} y_ {1} ^ {{(n-2)}} + u' _ {2} y_ {2} ^ {{(n-2)}} + \ cdots + u'_ {n} y_ {n} ^ {{(n-2)}}

Tenemos:

f=u_{1}P(D)y_{1}+u_{2}P(D)y_{2}+\cdots +u_{n}P(D)y_{n}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}

{\ Displaystyle f = u_ {1} P (D) y_ {1} + u_ {2} P (D) y_ {2} + \ cdots + u_ {n} P (D) y_ {n} + u'_ {1} y_ {1} ^ {(n-1)} + u '_ {2} y_ {2} ^ {(n-1)} + \ cdots + u' _ {n} y_ {n} ^ { (n-1)}}

f = u_ {1} P (D) y_ {1} + u_ {2} P (D) y_ {2} + \ cdots + u_ {n} P (D) y_ {n} + u '_ {1} y_ {1} ^ {{(n-1)}} + u '_ {2} y_ {2} ^ {{(n-1)}} + \ cdots + u' _ {n} y_ {n} ^ {{(n-1)}}

pero siendo $P(D)y_{j}=0$ ${\ Displaystyle P (D) y_ {j} = 0}$ $P (D) y_ {j} = 0$ :

f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}

{\ Displaystyle f = u '_ {1} y_ {1} ^ {(n-1)} + u' _ {2} y_ {2} ^ {(n-1)} + \ cdots + u '_ { n} y_ {n} ^ {(n-1)}}

f = u '_ {1} y_ {1} ^ {{(n-1)}} + u' _ {2} y_ {2} ^ {{(n-1)}} + \ cdots + u'_ {n} y_ {n} ^ {{(n-1)}}

Esta expresión, junto con las restricciones, constituye un sistema lineal en ${u'}_{j}$ ${\ Displaystyle {u '} _ {j}}$ ${u '} _ {j}$ . Usando la regla de Cramer sobre el Wronskian :

u'_{j}=(-1)^{n+j}{\frac {W(y_{1},\ldots ,y_{j-1},y_{j+1}\ldots ,y_{n})_{0 \choose f}}{W(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}}

{\ Displaystyle u '_ {j} = (- 1) ^ {n + j} {\ frac {W (y_ {1}, \ ldots, y_ {j-1}, y_ {j + 1} \ ldots, y_ {n}) _ {0 \ elija f}} {W (y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {n})}}}

u '_ {j} = (- 1) ^ {{n + j}} {\ frac {W (y_ {1}, \ ldots, y _ {{j-1}}, y _ {{j + 1 }} \ ldots, y_ {n}) _ {{0 \ choose f}}} {W (y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {n})}}

e integrando ${u'}_{j}$ ${\ Displaystyle {u '} _ {j}}$ ${u '} _ {j}$ el sistema está resuelto. La solución particular no es única, ya que también:

y_{p}+c_{1}y_{1}+\cdots +c_{n}y_{n}

{\ Displaystyle y_ {p} + c_ {1} y_ {1} + \ cdots + c_ {n} y_ {n}}

y_ {p} + c_ {1} y_ {1} + \ cdots + c_ {n} y_ {n}

satisface la EDO para cualquier conjunto de constantes $c_{j}$ ${\ Displaystyle c_ {j}}$ $c_ {j}$ .

Bibliografía

( ES ) Arfken, G. "Una segunda solución". §8.6 en Métodos matemáticos para físicos , 3ª ed. Orlando, FL: Academic Press, págs. 467-480, 1985.
(EN) Boyce, WE y DiPrima, RC Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera, 4ª ed. Nueva York: Wiley, 1986.
( EN ) Morse, PM y Feshbach, H. Métodos de física teórica, Parte I. Nueva York: McGraw-Hill, págs. 667-674, 1953.

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( EN ) Ecuación diferencial lineal , de Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

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Ecuación diferencial lineal

Índice

Definición

Ecuaciones ordinarias de primer orden

Homogéneo con coeficientes constantes

No homogéneo con coeficientes variables

Factor de integración

Ejemplos de

Ecuaciones ordinarias de orden genérico

Ecuación homogénea con coeficientes constantes

Ecuación no homogénea con coeficientes constantes

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