Ecuaciones de Euler (dinámica)

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Nota de desambiguación.svg Desambiguación : si está buscando ecuaciones de Euler que describan la rotación de un cuerpo rígido, consulte Ecuaciones de Euler (dinámica de cuerpos rígidos) .
Nota de desambiguación.svg Desambiguación : si está buscando ecuaciones variacionales de Euler, consulte Ecuaciones de Euler-Lagrange .

Las ecuaciones de la dinámica de Euler son ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de un cuerpo rígido en la mecánica newtoniana , lo que permite estudiar el comportamiento global del sistema independientemente de lo que suceda con sus componentes individuales.

La importancia de estas ecuaciones radica en simplificar la descripción de un sistema de fuerzas reduciendo sus grados mecánicos de libertad . Un ejemplo notable de la aplicación de estas ecuaciones es la introducción del modelo de cuerpo rígido para describir objetos sólidos.

Sistemas de masas

En la mecánica clásica , para ejemplificar lo más posible los métodos de cálculo necesarios para resolver cualquier problema, es conveniente introducir el concepto de sistema de masas .

Un sistema físico, como se comprende fácilmente, no es más que el conjunto de cuerpos, por tanto dotados de masa, puntiforme o alargada, objeto de estudio a realizar. Los sistemas de masas pueden ser:

  • discretos , cuando se componen de cuerpos puntiagudos;
  • continuos , cuando se componen de cuerpos extendidos.

Las ecuaciones de Euler discretas se aplican solo en el enfoque discreto, mientras que para el enfoque continuo es necesario utilizar métodos de mecánica estadística , que conducen a las ecuaciones de equilibrio y sus aproximaciones, por ejemplo, ecuaciones de Euler sobre dinámica de fluidos y ecuaciones de Navier-Stokes .

Primera ecuación cardinal

La primera ecuación cardinal describe el movimiento de traslación de un sistema en coordenadas lagrangianas y corresponde al segundo principio de dinámica . Un resultado importante desde el punto de vista intuitivo es que " el centro de masa se mueve como un punto material con masa igual a la masa total del sistema y sujeto a una fuerza igual a la resultante de las fuerzas externas que actúan" . Toma la forma:

,

donde, para un sistema discreto de partículas

  • es la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema,
  • es el impulso total del sistema,
  • es la masa total del sistema.

Se puede observar que colocando , equivalente al requisito de que un sistema esté aislado mecánicamente , el momento del sistema es constante. Este teorema se llama ley de conservación de la cantidad de movimiento .

Demostración

Partiendo de la definición de centro de masa ,

multiplicando izquierda y derecha por , es posible derivar miembro a miembro, obteniendo as

La cantidad de la derecha es la cantidad de movimiento total, es decir, la suma de la cantidad de movimiento de los puntos individuales del sistema. Derivando de nuevo tenemos

Como consecuencia de la tercera ley de la dinámica , independientemente del caso examinado, la resultante de las fuerzas internas es siempre cero:

entonces se prueba la ecuación. En el caso particular (pero muy frecuente) en el que la masa permanece constante, es posible escribir la ecuación como

Segunda ecuación cardinal

La segunda ecuación cardinal describe el movimiento de rotación de un sistema de coordenadas de Lagrange. Toma la forma:

,

Dónde está

  • es el momento angular del sistema
  • es el momento mecánico total que actúa sobre el sistema
  • es el impulso del sistema
  • es la velocidad del polo , el nombre que le damos al punto arbitrario con respecto al cual se calcula el momento angular

En el caso de que la velocidad del polo sea cero o sea paralela al vector de momento total del sistema, la ecuación toma la forma simplificada

Nuevamente se observa que colocando encontramos el resultado importante de la conservación del momento angular .

Demostración

Llamarte a ti mismo la posición del i-ésimo punto en el sistema de referencia del polo y calcular el momento angular del sistema de puntos materiales en consideración con respecto a un polo :

Ahora derívelo con respecto al tiempo, haciendo uso de la regla de derivación del producto de funciones.

Observe que el primero de los tres términos es (para las propiedades de los productos vectoriales)

mientras que el segundo término es:

Entonces, en última instancia:

Tercera ecuación cardinal

La tercera ecuación cardinal, a través del concepto de poder , proporciona una descripción superior del movimiento roto-traslacional del sistema, pero no es necesaria para su determinación. Un resultado importante desde el punto de vista intuitivo es que "en perfecto acuerdo con la mecánica lagrangiana , el poder deriva de todo tipo de fuerzas generalizadas " . Toma la forma:

Dónde está

  • es el poder y el trabajo total que actúa sobre el sistema
  • es la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema
  • es el momento mecánico resultante de fuerzas externas que actúan sobre el sistema.
  • Y son respectivamente la velocidad angular y la velocidad del polo , es decir, el punto arbitrario con respecto al cual se calcula el momento mecánico .

Demostración

Llamarte a ti mismo la posición del i-ésimo punto en el sistema de referencia del poste y calcular el trabajo total del sistema de puntos materiales en consideración con respecto a un poste :

Calculando la diferencial de forma 1 asociada, para la ecuación fundamental de la cinemática y dado que las fuerzas internas no funcionan, tenemos:

Entonces, en última instancia, el poder es:

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