Funcion exponencial

En función de la variable real x , e ^x es siempre positivo y creciente . El semieje negativo del eje x es una asíntota horizontal del gráfico.

En matemáticas , la función exponencial es la función que se une a un valor $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ exponenciación basada en el número de Euler $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ y exponente $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ . La elección de la base $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ está motivado por el hecho de que, de esta manera, la derivada de la función exponencial es la propia función exponencial. Por lo general, se representa como $e^{x}$ ${\ Displaystyle e ^ {x}}$ $y ^ x$ , o $\exp(x)$ ${\ Displaystyle \ exp (x)}$ $\ exp (x)$ cuando es difícil escribir la variable como exponente.

Es de gran importancia en muchos campos de las matemáticas, como la trigonometría , el estudio de ecuaciones diferenciales , la teoría de desarrollos de Taylor , el estudio de transformadas integrales . Puede definirse no solo en números reales , sino también en números complejos o incluso en objetos más complicados, como matrices cuadradas u operadores. También es la función inversa de la función logaritmo .

Definiciones

El mismo tema en detalle: Definiciones de funciones exponenciales .

La función exponencial (en azul) es la suma de los primeros n + 1 términos de la serie de potencias a través de la cual se define (en rojo).

La función exponencial se puede definir de muchas formas: una de las más utilizadas, ya que se puede generalizar a muchas áreas, es la definición a través de su serie de potencias .

Se llama función exponencial $\exp(x)$ ${\ Displaystyle \ exp (x)}$ $\ exp (x)$ la función continua definida por la suma de la siguiente serie ^[1]

\exp(x)\equiv e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots ,

{\ Displaystyle \ exp (x) \ equiv e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ {n} \ over n!} = 1 + x + {x ^ {2 } \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots,}

\ exp (x) \ equiv e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ n \ over n!} = 1 + x + {x ^ 2 \ over 2!} + {x ^ ¡3 \ sobre 3!} + {X ^ 4 \ sobre 4!} + \ Cdots,

dicha serie exponencial , donde $norte!$ ${\ Displaystyle n!}$ $¡norte!$ denota el factorial de $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ . La definición está bien planteada ya que la serie de potencias converge absolutamente para cada $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ (tanto real como complejo). Además, la serie converge uniformemente en cada subconjunto acotado del campo complejo y, en consecuencia, en la función $\exp(x)$ ${\ Displaystyle \ exp (x)}$ $\ exp (x)$ se puede diferenciar en un sentido complejo en cada punto del plano complejo .

De forma diferente pero completamente equivalente, la función exponencial se puede definir como el límite de la secuencia

e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},

{\ Displaystyle e ^ {x} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n},}

e ^ x = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac {x} {n} \ right) ^ n,

convergente para cada uno $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ (real o complejo).

Equivalencia de definiciones

Las definiciones

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}\qquad e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

{\ Displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ {n} \ over n!} \ qquad e ^ {x} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty } \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}}

e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ n \ over n!} \ qquad e ^ x = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac {x} {n} \ derecha) ^ n

son coincidentes. De hecho, gracias al teorema del binomio tenemos:

\ \left(1+{x \over n}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}1^{n-k}{{x^{k}} \over {n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{{x^{k}} \over {n^{k}}},

{\ Displaystyle \ \ left (1+ {x \ over n} \ right) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ elige k} 1 ^ {nk} {{x ^ {k}} \ over {n ^ {k}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ elija k} {{x ^ {k}} \ over {n ^ {k}} },}

\ \ left (1 + {x \ over n} \ right) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {n \ elija k} 1 ^ {nk} {{x ^ k} \ over {n ^ k}} = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {n \ elija k} {{x ^ k} \ over {n ^ k}},

Dónde está:

\ {n \choose k}=\ {n! \over k!(n-k)!}={\prod _{h=0}^{k-1}{n-h} \over k!}.

{\ Displaystyle \ {n \ elige k} = \ {n! \ over k! (nk)!} = {\ prod _ {h = 0} ^ {k-1} {nh} \ over k!}.}

\ {n \ elige k} = \ {n! \ over k! (n-k)!} = {\ prod_ {h = 0} ^ {k-1} {n-h} \ over k!}.

Consecuentemente se obtiene

{\begin{aligned}\left(1+{x \over n}\right)^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{{x^{k}} \over {n^{k}}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\prod _{h=0}^{k-1}{n-h} \over {n^{k}}}{{x^{k}} \over {k!}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{{x^{k}} \over {k!}}\left[{{n-0} \over {n}}{{n-1} \over {n}}{{n-2} \over {n}}\cdots {{n-(k-1)} \over {n}}\right]\\&=\sum _{k=0}^{n}{{x^{k}} \over {k!}}\left[1\left(1-{{1} \over {n}}\right)\left(1-{{2} \over {n}}\right)\left(1-{{3} \over {n}}\right)\cdots \left(1-{{k-1} \over {n}}\right)\right].\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left (1+ {x \ over n} \ right) ^ {n} & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ elige k} {{x ^ {k}} \ over {n ^ {k}}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ prod _ {h = 0} ^ {k-1} {nh} \ sobre {n ^ {k}}} {{x ^ {k}} \ sobre {k!}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ sobre {k!}} \ left [{{n-0} \ over {n}} {{n-1} \ over {n}} {{n-2} \ over {n}} \ cdots {{n- (k-1)} \ over {n}} \ right] \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [1 \ left (1 - {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{3} \ over {n} } \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right]. \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left (1+ {x \ over n} \ right) ^ {n} & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ elige k} {{x ^ {k}} \ over {n ^ {k}}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ prod _ {h = 0} ^ {k-1} {nh} \ sobre {n ^ {k}}} {{x ^ {k}} \ sobre {k!}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ sobre {k!}} \ left [{{n-0} \ over {n}} {{n-1} \ over {n}} {{n-2} \ over {n}} \ cdots {{n- (k-1)} \ over {n}} \ right] \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [1 \ left (1 - {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{3} \ over {n} } \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right]. \ end {alineado}}}

Considerando el límite de $\ n\to \infty$ ${\ Displaystyle \ n \ to \ infty}$ $\ n \ a \ infty$ tenemos:

\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{{x^{k}} \over {k!}}\left[1\left(1-{{1} \over {n}}\right)\left(1-{{2} \over {n}}\right)\left(1-{{3} \over {n}}\right)\cdots \left(1-{{k-1} \over {n}}\right)\right].

{\ Displaystyle \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [1 \ left (1- {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{3} \ over {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right].}

{\ Displaystyle \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [1 \ left (1- {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{3} \ over {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right].}

Para cada apéndice de la suma, el factor

\ \left[1\left(1-{{1} \over {n}}\right)\left(1-{{2} \over {n}}\right)\left(1-{{3} \over {n}}\right)\cdots \left(1-{{k-1} \over {n}}\right)\right]

{\ Displaystyle \ \ left [1 \ left (1 - {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1- { {3} \ over {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right]}

{\ Displaystyle \ \ left [1 \ left (1 - {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1- { {3} \ over {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right]}

tiende a 1. Además, el paso al límite transforma la suma en una serie infinita

\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{{x^{k}} \over {k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{{x^{k}} \over {k!}},

{\ Displaystyle \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {{x ^ {k}} \ over {k!}},}

\ \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ {n} {{x ^ k} \ over {k!}} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {{x ^ k} \ over {k!}},

de lo que se sigue que

\ \lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{{x^{k}} \over {k!}}.

{\ Displaystyle \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1+ {x \ over n} \ right) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {{x ^ {k}} \ over {k!}}.}

\ \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + {x \ over n} \ right) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {{x ^ k} \ over {k! }}.

Propiedad

La función exponencial (en azul) es la suma de los primeros n + 1 términos de la serie de potencias a través de la cual se define (en rojo).

La convergencia absoluta de la serie que define la función exponencial implica que

\sum _{k=0}^{\infty }{a^{k} \over k!}\sum _{m=0}^{\infty }{b^{m} \over m!}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{n! \over {k!(n-k)!}}a^{k}b^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{(a+b)^{n} \over n!},

{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a ^ {k} \ over k!} \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {b ^ {m} \ over m! } = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n! \ over {k! (nk)!}} a ^ {k} b ^ {nk} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {(a + b) ^ {n} \ over n!} ,}

\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {a ^ k \ over k!} \ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} {b ^ m \ over m!} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {n!} \ sum_ {k = 0} ^ {n} {n! \ over {k! (n-k)!}} a ^ k b ^ {n -k} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {(a + b) ^ n \ over n!},

que muestra la propiedad importante ^[1]

\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b),

{\ Displaystyle \ exp (a + b) = \ exp (a) \ exp (b),}

{\ Displaystyle \ exp (a + b) = \ exp (a) \ exp (b),}

válido para cualquier par de números complejos $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ .

También se muestra que las siguientes propiedades son válidas para cualquier número complejo $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ : ^[2]

El número $\exp(z)$ ${\ Displaystyle \ exp (z)}$ $\ exp (z)$ no es cero.
La función $f(z)=\exp(z)$ ${\ Displaystyle f (z) = \ exp (z)}$ $f (z) = \ exp (z)$ es igual a su derivada.
La restricción de la función $f(z)=\exp(z)$ ${\ Displaystyle f (z) = \ exp (z)}$ $f (z) = \ exp (z)$ al eje real es una función monótona y positiva.
Hay un numero $π$ {\ Displaystyle \ pi} $\ Pi$ tal que
- $\exp \left({i\pi \over 2}\right)=i$ ${\ Displaystyle \ exp \ left ({i \ pi \ over 2} \ right) = i}$ $\ exp \ left ({i \ pi \ over 2} \ right) = i$
- $\exp(z)=1\$ ${\ Displaystyle \ exp (z) = 1 \}$ $\ exp (z) = 1 \$ si y solo si ${z \over 2\pi i}$ ${\ Displaystyle {z \ over 2 \ pi i}}$ ${z \ over 2 \ pi i}$ está completo.
La función $f(z)=\exp(z)$ ${\ Displaystyle f (z) = \ exp (z)}$ $f (z) = \ exp (z)$ es periódico con punto $2\pi i$ ${\ Displaystyle 2 \ pi i}$ $2 \ pi i$
La función que se une al número real. $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ el número $\exp(it)$ ${\ Displaystyle \ exp (it)}$ $\ exp (eso)$ parametrizar el círculo unitario.
Para cualquier número complejo $w$ ${\ Displaystyle w}$ $w$ existe un número distinto de cero $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ tal que $w=\exp(z)$ ${\ Displaystyle w = \ exp (z)}$ $w = \ exp (z)$ .

Importancia

La derivada de la función exponencial es la función en sí, de hecho:

{d \over dz}\exp(z)={\mathop {\lim _{h\to 0}} {{\exp \left({z+h}\right)-\exp \left(z\right)} \over h}}=\exp(z){\mathop {\lim _{h\to 0}} {{\exp \left({h}\right)-1} \over h}}=\exp(z).

{\ Displaystyle {d \ over dz} \ exp (z) = {\ mathop {\ lim _ {h \ to 0}} {{\ exp \ left ({z + h} \ right) - \ exp \ left ( z \ right)} \ over h}} = \ exp (z) {\ mathop {\ lim _ {h \ to 0}} {{\ exp \ left ({h} \ right) -1} \ over h} } = \ exp (z).}

{d \ over dz} \ exp (z) = {\ mathop {\ lim_ {h \ to 0}} {{\ exp \ left ({z + h} \ right) - \ exp \ left (z \ right) } \ over h}} = \ exp (z) {\ mathop {\ lim_ {h \ to 0}} {{\ exp \ left ({h} \ right) - 1} \ over h}} = \ exp ( z).

Utilizando la definición obtenemos, de forma equivalente:

{d \over dz}\exp(z)={d \over dz}\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{nz^{n-1} \over n!}=\sum _{n=1}^{\infty }{nz^{n-1} \over n!}=\sum _{n=1}^{\infty }{z^{n-1} \over (n-1)!}=\sum _{l=0}^{\infty }{z^{l} \over l!}=\exp(z).

{\ Displaystyle {d \ over dz} \ exp (z) = {d \ over dz} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {z ^ {n} \ over n!} = \ sum _ { n = 0} ^ {\ infty} {nz ^ {n-1} \ over n!} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {nz ^ {n-1} \ over n!} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {z ^ {n-1} \ over (n-1)!} = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {z ^ {l} \ over l!} = \ exp (z).}

{d \ over dz} \ exp (z) = {d \ over dz} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {z ^ n \ over n!} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {nz ^ {n-1} \ over n!} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {nz ^ {n-1} \ over n!} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {z ^ {n-1} \ over (n-1)!} = \ sum_ {l = 0} ^ {\ infty} {z ^ l \ over l!} = \ exp (z).

Las funciones de la forma $ce^{x}$ ${\ displaystyle ce ^ {x}}$ $ce ^ x$ , con $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ constante, son los únicos que disfrutan de esta propiedad. Más precisamente, para cualquier constante real $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ la función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $f: \ R \ a \ R$ en la variable $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ satisface la ecuación diferencial $f'=kf$ ${\ Displaystyle f '= kf}$ $f '= kf$ si y solo si $f=ce^{kx}$ ${\ Displaystyle f = ce ^ {kx}}$ $f = ce ^ {kx}$ por alguna constante $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ . De manera equivalente, se puede decir que la pendiente del gráfico es en cada punto igual al valor de la función en sí.

Para funciones exponenciales con diferentes bases tenemos:

{d \over dx}a^{x}=a^{x}\ln a.

{\ Displaystyle {d \ over dx} a ^ {x} = a ^ {x} \ ln a.}

{d \ over dx} a ^ x = a ^ x \ ln a.

Por tanto, cada exponencial es un múltiplo de su derivada.

Para funciones exponenciales con diferentes bases y una constante multiplicativa al exponente tenemos:

\left(a^{cx}\right)'={a^{cx}\ln a\cdot c}

{\ Displaystyle \ left (a ^ {cx} \ right) '= {a ^ {cx} \ ln a \ cdot c}}

\ left (a ^ {cx} \ right) '= {a ^ {cx} \ ln a \ cdot c}

La función $f(x)=e^{x}$ ${\ Displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ $f (x) = e ^ x$ y las funciones que compone resuelven una clase de ecuaciones diferenciales que expresan en términos matemáticos muchos de los problemas físicos más importantes. En particular, este tipo de función se utiliza cuando la tasa de crecimiento de una cantidad física es proporcional a la entidad de la misma cantidad. Muchas ecuaciones diferenciales importantes dan lugar a funciones exponenciales, como la ecuación de Schrödinger , la ecuación de Laplace o el movimiento armónico simple . Define el llamado crecimiento exponencial que es típico de muchos sistemas, fenómenos físicos y demográficos.

Trigonometría

Interpretación geométrica de la fórmula de Euler en el plano complejo .

La fórmula de Euler le permite usar la función exponencial para representar funciones trigonométricas . La fórmula establece que para cualquier número real $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ tenemos:

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

{\ Displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x,}

e ^ {{ix}} = \ cos x + i \ sin x,

Dónde está $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ es la unidad imaginaria , mientras que $\sin x$ ${\ Displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ Y $\cos x$ ${\ Displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$ son respectivamente seno y coseno .

Es una relación que se utiliza para representar números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para argumentos complejos. La representación de la función $e^{ix}$ ${\ Displaystyle e ^ {ix}}$ $y ^ {{ix}}$ en el plano complejo es un círculo unitario, y $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ es el ángulo formado con el eje positivo real por el segmento que une el origen con un punto del círculo unitario, medido en sentido antihorario y en radianes.

Usando las propiedades de los exponenciales, uno puede derivar fácilmente de ellos muchas identidades trigonométricas y la fórmula de De Moivre . La fórmula de Euler también nos permite interpretar las funciones seno y coseno como variantes simples de la función exponencial:

\cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2},

{\ Displaystyle \ cos x = {e ^ {ix} + e ^ {- ix} \ over 2},}

\ cos x = {e ^ {{ix}} + e ^ {{- ix}} \ over 2},

\sin x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i},

{\ Displaystyle \ sin x = {e ^ {ix} -e ^ {- ix} \ over 2i},}

\ sin x = {e ^ {ix} - e ^ {- ix} \ over 2i},

e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).\

{\ Displaystyle e ^ {z} = e ^ {x + iy} = e ^ {x} e ^ {iy} = e ^ {x} (\ cos y + i \ sin y). \}

e ^ z = e ^ {x + iy} = e ^ {x} e ^ {iy} = e ^ x (\ cos y + i \ sin y). \

El exponencial complejo es una función holomórfica y periódica con un período imaginario $2\pi i$ ${\ Displaystyle 2 \ pi i}$ $2 \ pi i$ , que mapea cada línea del plano complejo en una espiral logarítmica centrada en el origen. Esto se puede ver observando que las líneas paralelas al eje real e imaginario se mapean en una línea y un círculo respectivamente .

Extender la definición de logaritmo natural a valores complejos conduce a una función polidrómica , el logaritmo complejo $\ln(z)$ ${\ Displaystyle \ ln (z)}$ $\ ln (z)$ , que le permite definir una exponenciación con una base distinta a $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ :

z^{w}=e^{w\ln z},

{\ Displaystyle z ^ {w} = e ^ {w \ ln z},}

z ^ w = e ^ {w \ ln z},

para todos los números complejos $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ Y $w$ ${\ Displaystyle w}$ $w$ . Esta es también una función polidrómica, y las leyes exponenciales mencionadas anteriormente siguen siendo válidas si se interpretan correctamente como declaraciones sobre funciones polidrómicas.

Análisis armónico

El mismo tema en detalle: Serie de Fourier y Transformada de Fourier .

Un polinomio trigonométrico es una función periódica de período $2\pi$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ definido en el campo real del tipo: ^[3]

f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nt)+b_{n}\sin(nt)\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{int},

{\ Displaystyle f (t) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} \ cos (nt) + b_ {n} \ sin (nt) \ right ] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} e ^ {int},}

f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ left [a_n \ cos (nt) + b_n \ sin (nt) \ right] = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty c_n y ^ {int},

Dónde está $a_{i}$ ${\ Displaystyle a_ {i}}$ $al}$ Y $b_{i}$ ${\ Displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ son números complejos y n es un número entero.

Es:

u_{n}(t)=e^{int}

{\ Displaystyle u_ {n} (t) = e ^ {int}}

u_n (t) = e ^ {int}

y ambos:

\langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t){\overline {g(t)}}\,dt

{\ Displaystyle \ langle f, \, g \ rangle \; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \; {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) {\ overline {g (t)}} \, dt}

\ langle f, \, g \ rangle \; {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \; {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{- \ pi} } ^ {{\ pi}} f (t) \ overline {g (t)} \, dt

un producto interno en $L^{2}(T)$ ${\ Displaystyle L ^ {2} (T)}$ $L ^ {2} (T)$ , Dónde está $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ es la unidad de circunferencia .

Luego $\{u_{n}=e^{int},n\in \mathbb {Z} \}$ ${\ Displaystyle \ {u_ {n} = e ^ {int}, n \ in \ mathbb {Z} \}}$ $\ {u_ {n} = e ^ {{int}}, n \ in {\ mathbb {Z}} \}$ es una base ortonormal con respecto al producto interno así definido, de hecho: ^[4]

\langle u_{n},u_{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i(n-m)t}dt=\delta _{n,m}.

{\ Displaystyle \ langle u_ {n}, u_ {m} \ rangle = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {i (nm) t } dt = \ delta _ {n, m}.}

\ langle u_n, u_m \ rangle = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {i (n-m) t} dt = \ delta_ {n, m}.

Tal sistema ortonormal en $L^{2}(T)$ ${\ Displaystyle L ^ {2} (T)}$ $L ^ {2} (T)$ se llama sistema ortonormal trigonométrico y es un sistema completo.

Se llama serie de Fourier de una función. $f\in L^{2}(T)$ ${\ Displaystyle f \ en L ^ {2} (T)}$ $f \ en L ^ {2} (T)$ un cuadrado sumable es la representación de la función mediante una combinación lineal de los vectores base $u_{n}$ ${\ Displaystyle u_ {n}}$ $a}$ del sistema trigonométrico ortonormal: ^[5]

\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)u_{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)e^{int}.

{\ Displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) u_ {n} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) e ^ {int }.}

\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty f (n) u_n = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty f (n) e ^ {int}.

Los coeficientes de la combinación son, por tanto, la proyección de la función sobre los propios vectores base:

f(n):={\frac {\langle f,u_{n}\rangle }{\|u_{n}\|^{2}}}=\langle f,u_{n}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\,f(t)\,e^{-int}dt

{\ Displaystyle f (n): = {\ frac {\ langle f, u_ {n} \ rangle} {\ | u_ {n} \ | ^ {2}}} = \ langle f, u_ {n} \ rangle = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \, f (t) \, e ^ {- int} dt}

f (n): = \ frac {\ langle f, u_n \ rangle} {\ | u_n \ | ^ 2} = \ langle f, u_n \ rangle = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ \ pi \, f (t) \, e ^ {- int} dt

y se denominan coeficientes de Fourier .

Supongamos que extiendes $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ en un intervalo suficientemente grande para que el apoyo de una función periódica $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ con punto $T=2\pi$ ${\ Displaystyle T = 2 \ pi}$ $T = 2 \ pi$ está contenido en $[-T/2,T/2]$ ${\ Displaystyle [-T / 2, T / 2]}$ $[-T / 2, T / 2]$ . Entonces el n- ésimo coeficiente $f(n)$ ${\ Displaystyle f (n)}$ $f (n)$ está dado por:

f(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-T/2}^{T/2}f(x)\,e^{-i(2\pi {\frac {n}{T}})x}dx.

{\ Displaystyle f (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \, e ^ {- i (2 \ pi {\ frac {n} {T}}) x} dx.}

f (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \, e ^ {- i (2 \ pi \ frac n T) x} dx.

De manera informal se puede decir que a medida que aumenta la amplitud del intervalo $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ en el que se calcula la serie de Fourier de una función $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ los coeficientes de la serie se aproximan al valor de la transformada de Fourier ${\hat {f}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ hat {f}} (t)}$ $\ hat f (t)$ de la función en sí, y la suma de la serie se aproxima al valor de la transformada inversa. Más precisamente, por si acaso $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ es idénticamente cero fuera del intervalo de integración $[-T/2,T/2]$ ${\ Displaystyle [-T / 2, T / 2]}$ $[-T / 2, T / 2]$ , el valor del n-ésimo coeficiente de Fourier es igual a ${\mathcal {F}}\{f\}({n \over T})$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} ({n \ over T})}$ $\ mathcal {F} \ {f \} ({n \ over T})$ . Extensión $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ la transformada de Fourier se obtiene de esta forma a todo el eje real.

Definimos la transformada de Fourier de una función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ perteneciente al espacio de Schwartz la integral: ^[6]

{\mathcal {F}}\{f\}(t)={\hat {f}}(t):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-ixt}\,dx\qquad \forall t\in \mathbb {R} .

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} (t) = {\ hat {f}} (t): = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) e ^ {- ixt} \, dx \ qquad \ forall t \ in \ mathbb {R}.}

\ mathcal {F} \ {f \} (t) = \ hat {f} (t): = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {\ R} f (x) e ^ {-ixt} \, dx \ qquad \ forall t \ in \ R.

Ya que $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ pertenece a $L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ $L ^ {1} (\ mathbb {R})$ , la integral está bien definida para cualquier número real. Como consecuencia del teorema de Plancherel , la transformada puede extenderse de manera única también en el espacio de Hilbert $L^{2}$ ${\ Displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ sin embargo, como función puntual se define en casi todas partes de ese conjunto. ^[7]

Álgebra de Banach

El mismo tema en detalle: función matricial y matriz exponencial .

La asociación de una serie de Taylor a la exponencial nos permite extender el concepto a cualquier álgebra de Banach .

En particular, es útil aplicarlo a matrices cuadradas :

e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}=I+A+{\frac {A^{2}}{2}}+{\frac {A^{3}}{6}}+\cdots ,

{\ Displaystyle e ^ {A} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k}} {k!}} = I + A + {\ frac {A ^ {2 }} {2}} + {\ frac {A ^ {3}} {6}} + \ cdots,}

e ^ A = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {A ^ k} {k!} = I + A + \ frac {A ^ 2} {2} + \ frac {A ^ 3} {6 } + \ cdots,

Dónde está $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ es la matriz idéntica de rango $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ Y $A^{n}$ ${\ Displaystyle A ^ {n}}$ $A ^ n$ es la elevación al poder de la matriz . La matriz exponencial tiene las mismas propiedades que la exponencial escalar, como la de invertibilidad y unitaridad de la elevación a la matriz nula, y las de potencias, excepto las siguientes:

e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}

{\ Displaystyle e ^ {X + Y} = e ^ {X} e ^ {Y}}

e ^ {X + Y} = e ^ X e ^ Y

que es válido solo si el producto es conmutativo $xy=yx$ ${\ Displaystyle xy = yx}$ $xy = yx$ , en general no es cierto para todos los pares de matrices (en el caso no conmutativo se requiere la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff ).

Tambien tenemos eso $e^{X}$ ${\ Displaystyle e ^ {X}}$ $y ^ {X}$ es invertible, y su inverso es igual a $e^{-X}$ ${\ Displaystyle e ^ {- X}}$ $y ^ {- X}$ , mientras que la derivada en el punto $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ es el mapa lineal que envía $tu$ ${\ Displaystyle u}$ $tu$ en $u\cdot e^{X}$ ${\ Displaystyle u \ cdot e ^ {X}}$ $u \ cdot e ^ {X}$ .

El teorema de Hamilton-Cayley permite reducir el procedimiento del cálculo de las potencias matriciales del infinito dado por la definición al de n-2 potencias (la identidad y la matriz en sí no se calculan trivialmente), complicando los coeficientes:

\mathrm {e} ^{A}=\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}A^{k},

{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {A} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha _ {k} A ^ {k},}

\ mathrm e ^ A = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha_k A ^ k,

estos n-1 coeficientes se obtienen de hecho a partir de la solución de un sistema lineal que siempre es único, ya que la matriz del sistema es un cuadrado de tipo Vandermonde con n-1 filas y n-1 columnas en los valores propios de la matriz inicial , cada uno con multiplicidad $n_{i}$ ${\ Displaystyle n_ {i}}$ $n_i$ , luego con $\sum _{j=1}^{h}n_{j}=n$ ${\ Displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {h} n_ {j} = n}$ $\ sum_ {j = 1} ^ h n_j = n$ :

(\alpha _{k})=([(\lambda _{j}^{k})^{(i)}]^{T})^{-1}\,(e^{i\lambda _{j}})\qquad 0\leq k\leq n-1,\,1\leq j\leq h,\,0\leq i\leq n_{j}-1.

{\ Displaystyle (\ alpha _ {k}) = ([(\ lambda _ {j} ^ {k}) ^ {(i)}] ^ {T}) ^ {- 1} \, (e ^ {i \ lambda _ {j}}) \ qquad 0 \ leq k \ leq n-1, \, 1 \ leq j \ leq h, \, 0 \ leq i \ leq n_ {j} -1.}

(\ alpha_k) = ([(\ lambda_j ^ k) ^ {(i)}] ^ T) ^ {- 1} \, (e ^ {i \ lambda_j}) \ qquad 0 \ le k \ le n-1 , \, 1 \ le j \ le h, \, 0 \ le i \ le n_j-1.

En el contexto de las álgebras de Banach no conmutativas, como las álgebras de matrices o los operadores en el espacio de Banach o el espacio de Hilbert , la función exponencial se considera a menudo como una función de argumento real:

f(t)=\mathrm {e} ^{tA},\

{\ Displaystyle f (t) = \ mathrm {e} ^ {tA}, \}

f (t) = \ mathrm e ^ {t A}, \

Dónde está $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ es un elemento de álgebra fija y $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ es cualquier número real. Esta función tiene algunas propiedades importantes:

f(s+t)=f(s)f(t)\qquad f(0)=1\qquad f'(t)=Af(t).

{\ Displaystyle f (s + t) = f (s) f (t) \ qquad f (0) = 1 \ qquad f '(t) = Af (t).}

f (s + t) = f (s) f (t) \ qquad f (0) = 1 \ qquad f '(t) = A f (t).

Ejemplo de cálculo

Calculemos la exponencial

$\exp {{\begin{bmatrix}-1&2&0\\0&-2&0\\1&2&-2\end{bmatrix}}t}=\exp {\begin{bmatrix}-t&2t&0\\0&-2t&0\\t&2t&-2t\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle \ exp {{\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \ end {bmatrix}} t} = \ exp {\ begin {bmatrix } -t & 2t & 0 \\ 0 & -2t & 0 \\ t & 2t & -2t \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ exp {{\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \ end {bmatrix}} t} = \ exp {\ begin {bmatrix } -t & 2t & 0 \\ 0 & -2t & 0 \\ t & 2t & -2t \ end {bmatrix}}}$

los valores propios son λ ₁ = -1 con multiplicidad n ₁ = 1 y λ ₂ = -2 con multiplicidad n ₂ = 2, por lo tanto, los coeficientes son:

${\begin{bmatrix}\alpha _{0}(t)\\\alpha _{1}(t)\\\alpha _{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&1\\1&-2&4\\0&1&-4\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathrm {e} ^{-t}\\\mathrm {e} ^{-2t}\\t\mathrm {e} ^{-2t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\mathrm {e} ^{-t}-3\mathrm {e} ^{-2t}-2t\mathrm {e} ^{-2t}\\4\mathrm {e} ^{-t}-4\mathrm {e} ^{-2t}-3t\mathrm {e} ^{-2t}\\\mathrm {e} ^{-t}-\mathrm {e} ^{-2t}-t\mathrm {e} ^{-2t}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {0} (t) \\\ alpha _ {1} (t) \\\ alpha _ {2} (t) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -4 \ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {e} ^ {- t} \\\ mathrm {e} ^ {- 2t} \\ t \ mathrm {e} ^ {- 2t} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 4 \ mathrm {e} ^ {- t } -3 \ mathrm {e} ^ {-2t} -2t \ mathrm {e} ^ {- 2t} \\ 4 \ mathrm {e} ^ {- t} -4 \ mathrm {e} ^ {- 2t} -3t \ mathrm {e} ^ {-2t} \\\ mathrm {e} ^ {- t} - \ mathrm {e} ^ {- 2t} -t \ mathrm {e} ^ {- 2t} \ end { bmatrix}}}$ $\ begin {bmatrix} \ alpha_0 (t) \\ \ alpha_1 (t) \\ \ alpha_2 (t) \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \ \ 0 & 1 & -4 \ end {bmatrix} ^ {- 1} \ begin {bmatrix} \ mathrm e ^ {- t} \\ \ mathrm e ^ {- 2t} \\ t \ mathrm e ^ {- 2t } \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 4 \ mathrm e ^ {- t} -3 \ mathrm e ^ {- 2t} - 2t \ mathrm e ^ {- 2t} \\ 4 \ mathrm e ^ {- t} -4 \ mathrm e ^ {- 2t} - 3t \ mathrm e ^ {- 2t} \\ \ mathrm e ^ {- t} - \ mathrm e ^ {- 2t} - t \ mathrm e ^ {- 2t } \ end {bmatrix}$

por tanto resulta que:

${\begin{aligned}\exp {\begin{bmatrix}-t&2t&0\\0&-2t&0\\t&2t&-2t\end{bmatrix}}&=(4\mathrm {e} ^{-t}-3e^{-2t}-2te^{-2t}){\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+(4e^{-t}-4e^{-2t}-3te^{-2t}){\begin{bmatrix}-1&2&0\\0&-2&0\\1&2&-2\end{bmatrix}}\\&\qquad +(e^{-t}-e^{-2t}-te^{-2t}){\begin{bmatrix}1&-6&0\\0&4&0\\-3&-6&4\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}e^{-t}&2e^{-t}-2e^{-2t}&0\\0&e^{-2t}&0\\e^{-t}-e^{-2t}&2e^{-t}-2e^{-2t}&e^{-2t}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ exp {\ begin {bmatrix} -t & 2t & 0 \\ 0 & -2t & 0 \\ t & 2t & -2t \ end {bmatrix}} & = (4 \ mathrm {e} ^ {- t} - 3e ^ {- 2t} -2te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} + (4e ^ {- t} -4e ^ {- 2t} -3te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \ end {bmatrix}} \\ & \ qquad + (e ^ {- t} -e ^ {- 2t} -te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} 1 & -6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ - 3 & -6 & 4 \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} e ^ {- t} & 2e ^ {-t} -2e ^ {- 2t} & 0 \\ 0 & e ^ {- 2t} & 0 \\ e ^ {- t} -e ^ {- 2t} & 2e ^ {- t} -2e ^ {- 2t} & e ^ {- 2t} \ end {bmatrix}} \ end {alineado}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ exp {\ begin {bmatrix} -t & 2t & 0 \\ 0 & -2t & 0 \\ t & 2t & -2t \ end {bmatrix}} & = (4 \ mathrm {e} ^ {- t} - 3e ^ {- 2t} -2te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} + (4e ^ {- t} -4e ^ {- 2t} -3te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \ end {bmatrix}} \\ & \ qquad + (e ^ {- t} -e ^ {- 2t} -te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} 1 & -6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ - 3 & -6 & 4 \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} e ^ {- t} & 2e ^ {-t} -2e ^ {- 2t} & 0 \\ 0 & e ^ {- 2t} & 0 \\ e ^ {- t} -e ^ {- 2t} & 2e ^ {- t} -2e ^ {- 2t} & e ^ {- 2t} \ end {bmatrix}} \ end {alineado}}}$

Se puede observar que la moda no aparece en la matriz exponencial $te^{-2t}$ ${\ Displaystyle you ^ {- 2t}}$ $tú ^ {- 2t}$ que en cambio está presente en los coeficientes iniciales.

Álgebra de mentiras

El mapa exponencial que envía un álgebra de Lie al grupo de Lie que le da origen posee las propiedades mencionadas anteriormente, y esto justifica la terminología. De hecho, desde $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ es el álgebra de Lie del grupo de Lie de todos los números reales positivos con la suma, la función exponencial ordinaria de los argumentos reales es un caso especial de la situación del álgebra de Lie. Del mismo modo, dado que el álgebra de Lie $M(n,\mathbb {R} )$ ${\ Displaystyle M (n, \ mathbb {R})}$ $M (n, \ R)$ de todas las matrices cuadradas pertenece al grupo de Lie de todas las matrices cuadradas invertibles, la función exponencial para matrices cuadradas es un caso especial del mapa exponencial del álgebra de Lie.

Función doble exponencial

El término función doble exponencial puede tener dos significados:

Una función con dos términos exponenciales, con diferentes exponentes.
Una función $f(x)=a^{a^{x}}$ ${\ Displaystyle f (x) = a ^ {a ^ {x}}}$ $f (x) = a ^ {a ^ x}$ , que crece más rápido que una función exponencial. Por ejemplo, si $a=10$ ${\ Displaystyle a = 10}$ $a = 10$ : $f(-1)={\sqrt[{10}]{10}}\approx 1,26$ ${\ Displaystyle f (-1) = {\ sqrt [{10}] {10}} \ aproximadamente 1,26}$ ${\ Displaystyle f (-1) = {\ sqrt [{10}] {10}} \ aproximadamente 1,26}$ , $f(0)=10$ ${\ Displaystyle f (0) = 10}$ ${\ Displaystyle f (0) = 10}$ , $f(1)=10^{10}$ ${\ Displaystyle f (1) = 10 ^ {10}}$ ${\ Displaystyle f (1) = 10 ^ {10}}$ , $f(2)=10^{100}=$ ${\ Displaystyle f (2) = 10 ^ {100} =}$ ${\ Displaystyle f (2) = 10 ^ {100} =}$ googol $\ldots$ ${\ Displaystyle \ ldots}$ $\ ldots$ , $f(100)=$ ${\ Displaystyle f (100) =}$ ${\ Displaystyle f (100) =}$ googolplex .

Representación por fracción continua

Aplicando la fórmula de la fracción continua de Euler es posible representar la función exponencial mediante una fracción continua :

e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+z-{\cfrac {z}{2+z-{\cfrac {2z}{3+z-{\cfrac {3z}{4+z-{\cfrac {4z}{5+z-\ddots }}}}}}}}}}}}

{\ Displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + z - {\ cfrac {z} {2 + z - {\ cfrac {2z} {3 + z " - {\ cfrac {3z} {4 + z - {\ cfrac {4z} {5 + z- \ ddots}}}}}}}}}}}}}

{\ Displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + z - {\ cfrac {z} {2 + z - {\ cfrac {2z} {3 + z " - {\ cfrac {3z} {4 + z - {\ cfrac {4z} {5 + z- \ ddots}}}}}}}}}}}}}

que converge uniformemente en cada dominio limitado en el plano complejo.

Otra representación es la siguiente: ^[8] ^[9]

e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{2-{\cfrac {z}{3+{\cfrac {z}{2-{\cfrac {z}{5+{\cfrac {z}{2-\ddots }}}}}}}}}}}}}}

{\ Displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {2 - {\ cfrac {z} {3 + {\ cfrac {z " } {2 - {\ cfrac {z} {5 + {\ cfrac {z} {2- \ ddots}}}}}}}}}}}}}}

{\ Displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {2 - {\ cfrac {z} {3 + {\ cfrac {z " } {2 - {\ cfrac {z} {5 + {\ cfrac {z} {2- \ ddots}}}}}}}}}}}}}}

Ejemplos de

Ejemplo físico de una función exponencial

Un ejemplo simple es el de un objeto lanzado a una velocidad. $v_{0}$ ${\ Displaystyle v_ {0}}$ $v_0$ en un medio viscoso. Si asumimos que la resistencia que pone el vehículo al avance del objeto es proporcional a la velocidad $v$ ${\ Displaystyle v}$ $v$ del último:

F=-kv\,

{\ Displaystyle F = -kv \,}

F = -kv \,

existe una relación entre la velocidad y su variación en el tiempo (aceleración a):

ma=-kv,

{\ displaystyle ma = -kv,}

ma = -k v,

es decir:

m{\frac {dv}{dt}}=-kv.

{\ Displaystyle m {\ frac {dv} {dt}} = - kv.}

m \ frac {dv} {dt} = -k v.

Se puede demostrar que la solución de esta ecuación es:

v(t)=v_{0}e^{-t/\tau }=v_{0}e^{-t/{\frac {m}{k}}}.

{\ Displaystyle v (t) = v_ {0} e ^ {- t / \ tau} = v_ {0} e ^ {- t / {\ frac {m} {k}}}.}

v (t) = v_0 y ^ {- t / \ tau} = v_0 y ^ {- t / \ frac {m} {k}}.

En el caso de una bala disparada al aire sería más correcto asumir que la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad, sin embargo la tendencia de la velocidad en el tiempo se describe mediante una función formada a partir de la constante matemática. $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ .

Cálculo numérico

Para obtener una aproximación numérica de la función exponencial, la serie infinita se puede escribir de la siguiente manera:

e^{x}={\frac {1}{0!}}+x\left({\frac {1}{1!}}+x\left({\frac {1}{2!}}+x\left({\frac {1}{3!}}+x\left({\frac {1}{4!}}+x\left({\frac {1}{5!}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right).

e^{x}={\frac {1}{0!}}+x\left({\frac {1}{1!}}+x\left({\frac {1}{2!}}+x\left({\frac {1}{3!}}+x\left({\frac {1}{4!}}+x\left({\frac {1}{5!}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right).

e^x=\frac{1}{0!}+x\left(\frac{1}{1!}+x\left(\frac{1}{2!}+x\left(\frac{1}{3!}+x\left(\frac{1}{4!}+x\left(\frac{1}{5!}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right).

Questa espressione converge rapidamente se $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ è minore di 1.

In caso contrario, è possibile utilizzare la seguente identità:

e^{x}=e^{z+f}=e^{z}\cdot \left[{\frac {1}{0!}}+f\left({\frac {1}{1!}}+f\left({\frac {1}{2!}}+f\left({\frac {1}{3!}}+f\left({\frac {1}{4!}}+f\left({\frac {1}{5!}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\right],

e^{x}=e^{z+f}=e^{z}\cdot \left[{\frac {1}{0!}}+f\left({\frac {1}{1!}}+f\left({\frac {1}{2!}}+f\left({\frac {1}{3!}}+f\left({\frac {1}{4!}}+f\left({\frac {1}{5!}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\right],

e^x = e^{z+f} = e^z \cdot \left[\frac{1}{0!}+f\left(\frac{1}{1!}+f\left(\frac{1}{2!}+ f\left(\frac{1}{3!}+f\left(\frac{1}{4!}+f\left(\frac{1}{5!}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\right],

dove $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ è la parte intera di $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ , $f=x-z$ ${\displaystyle f=xz}$ $f = x - z$ e di conseguenza $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ è un numero intero e $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ è un numero reale minore di 1.

Note

^ ^a ^b W. Rudin , p. 1 .
^ W. Rudin , p. 2 .
^ W. Rudin , p. 88 .
^ W. Rudin , p. 89 .
^ W. Rudin , p. 91 .
^ W. Rudin , p. 180 .
^ W. Rudin , p. 189 .
^ Wolfram Mathworld - Exponential Function , su mathworld.wolfram.com . URL consultato il 12 aprile 2020 .
^ Mauro Fiorentini - Funzioni espresse tramite frazioni continue , su bitman.name . URL consultato il 10 aprile 2020 .

Bibliografia

Walter Rudin, Real and Complex Analysis , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill , 1970, ISBN 0-07-054234-1 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikibooks contiene testi o manuali su funzione esponenziale
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione esponenziale

Collegamenti esterni

( EN ) Yu.V. Sidorov, Exponential function , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Eric W. Weisstein, Exponential Function , in MathWorld , Wolfram Research.
( EN ) exponential function , in PlanetMath .
( EN ) complex exponential function , in PlanetMath .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 67951 · NDL ( EN , JA ) 00571261

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[def-1] W. Rudin , p. 1 .

[2] W. Rudin , p. 2 .

[3] W. Rudin , p. 88 .

[4] W. Rudin , p. 89 .

[5] W. Rudin , p. 91 .

[6] W. Rudin , p. 180 .

[7] W. Rudin , p. 189 .

[mathworld-8] Wolfram Mathworld - Exponential Function , su mathworld.wolfram.com . URL consultato il 12 aprile 2020 .

[9] Mauro Fiorentini - Funzioni espresse tramite frazioni continue , su bitman.name . URL consultato il 10 aprile 2020 .

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