Fase (señales)

La fase , en física y en teoría de señales , de una función periódica en un tiempo determinado es la fracción del período transcurrido con respecto a un tiempo fijo. ^[1] Es un instante particular durante el desarrollo de un fenómeno periódico, ya sea un movimiento o una señal eléctrica , que se mide a través de un ángulo , llamado ángulo de fase .

Fase en movimiento armónico

Diagrama espacio-tiempo de un movimiento armónico

El ejemplo en un sentido canónico de movimiento periódico es el llamado movimiento armónico : es útil comenzar a analizar el significado del término fase con referencia a este tipo particular de movimiento, tanto por su simplicidad como por la frecuencia con la que se produce. se puede encontrar en la naturaleza.

En un movimiento armónico, denotado por $x(t)$ ${\ Displaystyle x (t)}$ ${\ Displaystyle x (t)}$ la posición instantánea del punto de material en movimiento en el tiempo (o el valor instantáneo de la señal, por ejemplo, su voltaje ), con $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ la amplitud del movimiento, con $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ su frecuencia angular (también llamada "pulsación") y con $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ tiempo, la ley del movimiento resulta ser:

x(t)=A\cos(\omega t+\varphi _{0})

{\ Displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t + \ varphi _ {0})}

{\ Displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t + \ varphi _ {0})}

(1)

en el que por simplicidad se ha asumido (sin pérdida de generalidad) que el tiempo inicial y la posición inicial son cero.

También tenga en cuenta que las cantidades $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ , $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ Y $\varphi _{0}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ , en este movimiento particular, son constantes. Por lo tanto, la única cantidad variable aquí es el tiempo y, en consecuencia, la tendencia del movimiento en un diagrama de espacio-tiempo será similar al gráfico de coseno (ver figura al lado). Las únicas diferencias se deben a A, que "amplifica" verticalmente la señal (en nuestro caso en 2 veces) y a la constante $\varphi _{0}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ que produce una "traducción" de la señal de cantidad $-\varphi _{o}/\omega$ ${\ Displaystyle - \ varphi _ {o} / \ omega}$ ${\ Displaystyle - \ varphi _ {o} / \ omega}$ (en nuestro caso igual a 4/3, como se puede ver en la figura).

La cantidad entre paréntesis a la derecha en la fórmula (1), es decir, el argumento $\omega t+\varphi _{0}$ ${\ Displaystyle \ omega t + \ varphi _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ omega t + \ varphi _ {0}}$ del coseno, se llama fase de movimiento $\varphi$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , mientras que la única parte $\varphi _{0}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ se llama fase constante o fase inicial .

Tenga en cuenta que ambas cantidades representan ángulos; el primero representa el ángulo, variable en el tiempo, asociado con el movimiento armónico (es decir, cuando pensamos en el movimiento armónico como la proyección de un movimiento circular uniforme sobre su diámetro ), mientras que el segundo representa el valor inicial del ángulo de fase, es decir, el asociado con la posición del movimiento correspondiente al instante considerado como inicial (que hemos supuesto cero por simplicidad).

También debe tenerse en cuenta que, con una elección adecuada del tiempo inicial, la constante de fase siempre se puede establecer igual a cero, sin pérdida de generalidad.

En este caso, la fórmula se simplifica a:

x(t)=A\cos(\omega t)

{\ Displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t)}

{\ Displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t)}

Entonces, dado que el tiempo inicial es arbitrario, la fase inicial también será arbitraria.

También se puede ver fácilmente que si surge en su lugar $\varphi _{0}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ = - 90 ° (es decir $-\pi /2$ ${\ Displaystyle - \ pi / 2}$ ${\ Displaystyle - \ pi / 2}$ radianes, en unidades del Sistema Internacional ) obtenemos:

x(t)=A\cos(\omega t-\pi /2)=A\sin(\omega t)

{\ Displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t- \ pi / 2) = A \ sin (\ omega t)}

{\ Displaystyle x (t) = A \ cos (\ omega t- \ pi / 2) = A \ sin (\ omega t)}

Esto significa que para tratar un movimiento armónico se puede utilizar indistintamente el seno o el coseno, ya que una función se transforma en otra simplemente mediante un cambio trivial de fase inicial.

Desplazamiento de fase

Espacio - diagrama de ángulo que muestra el cambio de fase (en verde)

Cuando consideramos dos señales sinusoidales que tienen la misma frecuencia , podemos hablar de diferencia de fase entre ellas. $\Delta \phi$ ${\ Displaystyle \ Delta \ phi}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ phi}$ o cambio de fase , es decir, desde un punto de vista matemático, la diferencia entre las dos constantes de fase

\Delta \phi =\varphi _{0}-\varphi _{0}'

{\ Displaystyle \ Delta \ phi = \ varphi _ {0} - \ varphi _ {0} '}

{\ Displaystyle \ Delta \ phi = \ varphi _ {0} - \ varphi _ {0} '}

En la figura por ejemplo. la señal en negro es la misma que en la figura anterior, ampliada y en función del ángulo de fase en lugar del tiempo; la señal roja (que es la mitad de ancho) tiene una fase inicial igual a 3/4 $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ radianes. Por lo tanto, el cambio de fase entre las dos señales será igual a:

\Delta \phi =3/4\pi -(-\pi /3)=13/12\pi

{\ Displaystyle \ Delta \ phi = 3/4 \ pi - (- \ pi / 3) = 13/12 \ pi}

{\ Displaystyle \ Delta \ phi = 3/4 \ pi - (- \ pi / 3) = 13/12 \ pi}

Desde un punto de vista físico, el desplazamiento de fase representa el ángulo correspondiente a la diferencia de tiempo entre el logro posterior de la misma fase particular (por ejemplo, el máximo) entre las dos señales (en la figura es el ángulo correspondiente al segmento horizontal en verde que muestra la separación angular entre los instantes correspondientes a dos máximos adyacentes, de la primera y segunda señal).

Avance y retardo de fase, casos especiales

Señales en fase: el cambio de fase es cero

Señales en cuadratura: el cambio de fase es un ángulo recto

Señales push-pull: el cambio de fase es un ángulo plano

Un caso muy común es donde las dos señales son voltaje $v$ ${\ Displaystyle v}$ $v$ y la corriente $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ en un circuito eléctrico de corriente alterna . En este caso podemos hablar de voltaje de avance de fase (o retraso de fase ) sobre la corriente; que, dicho sea de paso, también se puede expresar de manera equivalente diciendo en cambio que la corriente se retrasa (o adelanta) respectivamente de fase en el voltaje.

Por ejemplo, nuevamente con referencia a la figura anterior, si la señal negra representa el voltaje y la señal roja la corriente, se puede decir que el voltaje es un desfase (su máximo viene después) de 13/12 $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ rad con respecto a la corriente. Por supuesto, también se puede suponer que el voltaje está por delante de la corriente de 11/12 $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ rad (que se obtiene de 5/4 $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ - $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ / 3); NB: creo que 13/12 $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ rad y -11/12 $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ rad en realidad representan el mismo ángulo (igual a 195 ° = -165 °).

Los casos particulares notables son aquellos en los que:

el desplazamiento de fase es igual a 0 ° y se dice que las señales están en fase : observe cómo las "crestas" y las "gargantas" de las ondas están alineadas verticalmente (por lo tanto, sincrónicas);
el desplazamiento de fase es igual a ± 90 ° y se dice que las señales están en cuadratura : puntos correspondientes, por ejemplo. las crestas de las dos señales se desplazan en un cuarto de período;
el desplazamiento de fase es igual a 180 ° y se dice que las señales están en contrafase : las crestas de una señal están alineadas verticalmente con las ranuras de la otra y viceversa.

Fase en la propagación de ondas

Diagrama de propagación espacial de una onda sinusoidal transversal. Los puntos coloreados realizan un movimiento armónico en dirección vertical con la misma frecuencia, pero con una fase diferente.

Finalmente, cuando examinamos el fenómeno de la propagación de ondas , indicando con $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ la dirección de propagación de la onda, la entidad $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ La oscilación vendrá dada por una función del tipo:

y=f(z-vt)

{\ Displaystyle y = f (z-vt)}

{\ Displaystyle y = f (z-vt)}

con $v$ ${\ Displaystyle v}$ $v$ que indica la llamada velocidad de fase de la onda.

En particular, considerando el caso más común e importante, que es la onda sinusoidal, la fórmula anterior se convierte en:

y=A\sin(kz-\omega t-\varphi _{0})

{\ Displaystyle y = A \ sin (kz- \ omega t- \ varphi _ {0})}

{\ Displaystyle y = A \ sin (kz- \ omega t- \ varphi _ {0})}

(2)

donde el signo "-" delante de $\varphi _{0}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ tradicionalmente parece indicar por convención una onda que se propaga en la dirección positiva del eje z, k representa el llamado número de onda angular , que depende de la longitud de onda $\lambda$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ :

k={\frac {2\pi }{\lambda }}

{\ Displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

{\ Displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

$\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ tiene el significado habitual de pulsación, que depende del período T:

\omega ={\frac {2\pi }{T}}

{\ Displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}}}

{\ Displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}}}

la velocidad de fase se expresa por la relación fundamental de las ondas :

v={\frac {\lambda }{T}}={\frac {\omega }{k}}

{\ Displaystyle v = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {\ omega} {k}}}

{\ Displaystyle v = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {\ omega} {k}}}

y las otras cantidades $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ Y $\varphi _{0}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ tienen un significado análogo al que tenían en el tratamiento del movimiento armónico expuesto al principio.

Por lo tanto $\varphi _{0}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ varphi _ {0}}$ en este caso se dice la constante de fase de la onda , mientras que el argumento del seno, es decir $kz-\omega t-\varphi _{0}$ ${\ Displaystyle kz- \ omega t- \ varphi _ {0}}$ ${\ Displaystyle kz- \ omega t- \ varphi _ {0}}$ se llama fase de onda .

Sin embargo, tenga en cuenta que en el caso de ondas, además del tiempo t, z también es variable; y, por lo tanto, la propagación de la onda sinusoidal se puede considerar formada por una doble oscilación: una onda sinusoidal en el espacio (en un tiempo fijo, es decir, una especie de foto instantánea de la onda a lo largo de la dirección de propagación, o si se prefiere una especie de "sinusoide congelada") y un armónico en el tiempo (en una posición z fija, es decir, examinando las oscilaciones inducidas por la onda en un solo punto oscilante, dispuesto a lo largo de la dirección de propagación).

Es decir, durante la propagación de una onda sinusoidal, cada punto del medio lleva a cabo oscilantes un movimiento armónico con el tiempo, progresivamente fuera de fase con respecto a los otros puntos, de acuerdo a coordinar sus z.

Por ejemplo, en el caso ilustrado por la animación, la longitud de onda es igual a 4 metros y, dado que los tres puntos resaltados tienen abscisas respectivamente 1, 2,5 y 3,5 metros a lo largo de la dirección de propagación z, los cambios de fase del punto rojo y de el punto verde en comparación con el punto amarillo será respectivamente igual a:

\Delta \phi _{1}

{\ Displaystyle \ Delta \ phi _ {1}}

{\ Displaystyle \ Delta \ phi _ {1}}

= 360 ° (2,5 - 1) /

\lambda

{\ Displaystyle \ lambda}

\ lambda

= 135 °

\Delta \phi _{2}

{\ Displaystyle \ Delta \ phi _ {2}}

{\ Displaystyle \ Delta \ phi _ {2}}

= 360 ° (3,5 - 1) /

\lambda

{\ Displaystyle \ lambda}

\ lambda

= 225 °

de lo cual, entre otras cosas, se observa que los puntos rojo y verde están en cuadratura entre sí (cuando uno de los dos está en un extremo de la onda, el otro está en su nodo y viceversa).

Podemos estar convencidos del hecho de que el movimiento de los puntos oscilantes es verdaderamente armónico eligiendo un valor constante para la coordenada z, por ejemplo $z=\pi /k=\lambda /2$ ${\ Displaystyle z = \ pi / k = \ lambda / 2}$ ${\ Displaystyle z = \ pi / k = \ lambda / 2}$ y sustituyéndolo en la ecuación de onda (2). Con los siguientes pasajes matemáticos se puede deducir que la oscilación en función del tiempo solo viene dada por: