Fluir

El flujo de un campo vectorial a través de una superficie orientada en matemáticas y física , es la ' integral de superficie del producto escalar del campo vectorial con el vector unitario normal de la superficie, que se extiende sobre toda la superficie de la misma.

Cualquier superficie S en un espacio tridimensional puede estar, al menos localmente, orientada atribuyendo a cada elemento de superficie infinitesimal ${\mbox{d}}S$ ${\ Displaystyle {\ mbox {d}} S}$ ${\ mbox {d}} S$ un versor ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $\ hat {\ mathbf n}$ perpendicular a ella, según la convención de la mano derecha ; Por lo tanto, podemos definir la superficie orientada infinitesimal:

{\mbox{d}}\mathbf {S} ={\hat {\mathbf {n} }}{\mbox{d}}S

{\ Displaystyle {\ mbox {d}} \ mathbf {S} = {\ hat {\ mathbf {n}}} {\ mbox {d}} S}

{\ Displaystyle {\ mbox {d}} \ mathbf {S} = {\ hat {\ mathbf {n}}} {\ mbox {d}} S}

El término flujo deriva originalmente de la hidrodinámica , con referencia al caudal volumétrico , sin embargo, el flujo, como concepto matemático, no necesariamente representa el paso de energía o materia .

Definición

La imagen ilustra cómo el flujo de un campo a través de una superficie depende de la fuerza del campo, la extensión de la superficie y su orientación respectiva.

Es $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ ${\ Displaystyle D \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle D \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {2}}$ un dominio conectado , $(x_{0},y_{0})\in D$ ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in D}$ ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in D}$ , $\phi \colon D\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ phi \ colon D \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ phi \ colon D \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ una elegante superficie lisa ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ ${\ mathcal {C}} ^ {1}$ parametrizado en $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ , $\Sigma =\operatorname {Im} \phi$ ${\ Displaystyle \ Sigma = \ operatorname {Im} \ phi}$ ${\ Displaystyle \ Sigma = \ operatorname {Im} \ phi}$ , $\mathbf {F} \colon \Sigma ^{^{\!\!\!^{\circ }}}\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} \ colon \ Sigma ^ {^ {\! \! \! ^ {\ circ}}} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} \ colon \ Sigma ^ {^ {\! \! \! ^ {\ circ}}} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ campo vectorial continuo y limitado, ${\hat {\mathbf {n} }}\colon \Sigma ^{^{\!\!\!^{\circ }}}\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}} \ colon \ Sigma ^ {^ {\! \! \! ^ {\ circ}}} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}} \ colon \ Sigma ^ {^ {\! \! \! ^ {\ circ}}} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ campo vectorial de posición tal que ${\hat {\mathbf {n} }}(x_{0},y_{0})=\nu (x_{0},y_{0})$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}} (x_ {0}, y_ {0}) = \ nu (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}} (x_ {0}, y_ {0}) = \ nu (x_ {0}, y_ {0})}$ , Dónde está $\nu (x,y)$ ${\ Displaystyle \ nu (x, y)}$ ${\ Displaystyle \ nu (x, y)}$ es la unidad canónica normal de la superficie. Se llama el flujo de $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ mediante $\Sigma$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ la función escalar dada por la integral de superficie

\Phi _{\Sigma }(\mathbf {F} )=\int _{\Sigma }\langle \mathbf {F} ,{\hat {\mathbf {n} }}\rangle \operatorname {dS} =\int _{\Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

{\ Displaystyle \ Phi _ {\ Sigma} (\ mathbf {F}) = \ int _ {\ Sigma} \ langle \ mathbf {F}, {\ hat {\ mathbf {n}}} \ rangle \ operatorname {dS } = \ int _ {\ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

{\ Displaystyle \ Phi _ {\ Sigma} (\ mathbf {F}) = \ int _ {\ Sigma} \ langle \ mathbf {F}, {\ hat {\ mathbf {n}}} \ rangle \ operatorname {dS } = \ int _ {\ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

,

Al hacer explícito el producto escalar, parece claro que el flujo elemental $\mathrm {d} \Phi$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ Phi}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ Phi}$ es nulo si en ese punto el campo y la normal a la superficie elemental son perpendiculares ; es máximo o mínimo si son respectivamente paralelos o antiparalelos.

Cantidades relacionadas

Densidad de flujo

En física , la densidad de flujo, o densidad de corriente, es una cantidad vectorial , o tensor , que representa la cantidad de cierto tamaño que pasa a través de una superficie dada por unidad de tiempo y se usa para describir los fenómenos de transporte que involucran la cantidad anterior. Se define como el caudal dividido por el área de la superficie perpendicular a la dirección en la que tiene lugar el transporte de la cantidad mencionada. ^[1]

Hay muchos ejemplos de densidad de flujo, algunos de ellos se muestran a continuación con sus respectivas unidades de medida en el Sistema Internacional :

Densidad de flujo	Símbolo	Unidad de medida	Cantidad transportada	Símbolo	Unidad de medida
Velocidad	$\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$	$[\mathrm {m\cdot s^{-1}} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {m \ cdot s ^ {- 1}}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {m \ cdot s ^ {- 1}}]}$	Volumen	$V.$ ${\ Displaystyle V}$ $V.$	$[\mathrm {m^{3}} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {m ^ {3}}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {m ^ {3}}]}$
Esfuerzo	${\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}}}$	$[\mathrm {Pa} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {Pa}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {Pa}]}$	Impulso	$\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$	$[\mathrm {kg\cdot m\cdot s^{-1}} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {kg \ cdot m \ cdot s ^ {- 1}}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {kg \ cdot m \ cdot s ^ {- 1}}]}$
Densidad de corriente térmica ^[2]	$\mathbf {q}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$	$[\mathrm {W\cdot m^{-2}} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {W \ cdot m ^ {- 2}}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {W \ cdot m ^ {- 2}}]}$	Calor	$Q$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$	$[\mathrm {J} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {J}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {J}]}$
Densidad de flujo de masa	$\mathbf {J} _{m}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {m}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {m}}$	$[\mathrm {kg\cdot s^{-1}\cdot m^{-2}} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {kg \ cdot s ^ {- 1} \ cdot m ^ {- 2}}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {kg \ cdot s ^ {- 1} \ cdot m ^ {- 2}}]}$	Masa	$metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$	$[\mathrm {kg} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {kg}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {kg}]}$
Densidad de flujo de la cantidad de materia	$\mathbf {J} _{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {n}}$	$[\mathrm {mol\cdot s^{-1}\cdot m^{-2}} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {mol \ cdot s ^ {- 1} \ cdot m ^ {- 2}}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {mol \ cdot s ^ {- 1} \ cdot m ^ {- 2}}]}$	Cantidad de materia	$norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$	$[\mathrm {mol} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {mol}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {mol}]}$
Densidad de corriente eléctrica	$\mathbf {J} _{e}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {e}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {e}}$	$[\mathrm {A\cdot m^{-2}} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {A \ cdot m ^ {- 2}}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {A \ cdot m ^ {- 2}}]}$	Carga eléctrica	$q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$	$[\mathrm {C} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {C}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {C}]}$

Fluidez

La fluencia se define como el campo vectorial dado por la integral del campo durante un intervalo de tiempo:

{\boldsymbol {\Phi }}_{t}=\int _{t}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {t} = \ int _ {t} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} t}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Phi}} _ {t} = \ int _ {t} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} t}

,

Aplicaciones

Las integrales de flujo se utilizan a menudo en muchos resultados matemáticos importantes del análisis vectorial , como el teorema de la divergencia y el teorema del rotor , que a menudo permiten calcularlas sin tener que hacerlo explícitamente.

Algunas cantidades vectoriales cuyo flujo a través de una superficie se calcula a menudo son el campo gravitacional y el campo eléctrico . El cálculo del flujo de estos campos a través de una superficie cerrada a menudo se ve facilitado por el teorema de Gauss , debido a su estructura particular.

Transporte de impulso

El significado concreto del flujo se hace evidente cuando consideramos los fluidos continuos . Tomemos una superficie infinitesimal $\mathrm {d} S$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} S}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} S}$ en el espacio: pretendemos calcular el volumen $\mathrm {d} V$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} V}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} V}$ de fluido que pasa a través de esa superficie en la dirección ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $\ hat {\ mathbf n}$ , a tiempo $\mathrm {d} t$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} t}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} t}$ . Dado que la sustancia se mueve a gran velocidad cerca de la superficie $\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ , $\mathrm {d} V$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} V}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} V}$ simplemente viene dado por el volumen del sólido que tiene $\mathrm {d} \mathbf {S}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ como base y $\mathbf {v} \,\mathrm {d} t$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \, \ mathrm {d} t}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \, \ mathrm {d} t}$ como altura, eso es

\mathrm {d} V=\mathrm {d} \mathbf {S} \cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} t

{\ Displaystyle \ mathrm {d} V = \ mathrm {d} \ mathbf {S} \ cdot \ mathbf {v} \, \ mathrm {d} t}

{\ Displaystyle \ mathrm {d} V = \ mathrm {d} \ mathbf {S} \ cdot \ mathbf {v} \, \ mathrm {d} t}

es positivo si la sustancia fluye en una dirección que coincide con ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $\ hat {\ mathbf n}$ de lo contrario negativo. El caso límite es aquel en el que el fluido fluye paralelo a la superficie y el volumen por el que pasa $\mathrm {d} S$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} S}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} S}$ es nulo, como es lógico esperar.

En hidrodinámica, el flujo de la velocidad del fluido se denomina caudal volumétrico , que en la práctica representa el volumen del fluido que pasa por la sección en la unidad de tiempo, además la correspondiente densidad de flujo volumétrico coincide con la propia velocidad.

El volumen de líquido que atraviesa la sección a lo largo del tiempo. $\mathrm {d} t$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} t}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} t}$ , se obtiene sumando las contribuciones individuales, es decir, calculando el flujo de la velocidad en esa superficie:

{\dot {V}}=\int _{S}\mathbf {v} \cdot \operatorname {d} \mathbf {S}

{\ Displaystyle {\ dot {V}} = \ int _ {S} \ mathbf {v} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {S}}

{\ Displaystyle {\ dot {V}} = \ int _ {S} \ mathbf {v} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {S}}

Electrodinámica

Al asimilar el movimiento de una densidad de carga eléctrica $\rho _{e}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {e}}$ $\ rho _ {e}$ a la de un fluido, la intensidad de la corriente eléctrica será exactamente igual al flujo de la densidad de corriente:

i=\int _{A}\mathbf {J} _{e}\cdot \operatorname {d} \mathbf {S} =\int _{A}\rho _{e}\mathbf {v} _{d}\cdot \operatorname {d} \mathbf {S} =\rho _{e}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle i = \ int _ {A} \ mathbf {J} _ {e} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {S} = \ int _ {A} \ rho _ {e} \ mathbf {v} _ {d} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {S} = \ rho _ {e} {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle i = \ int _ {A} \ mathbf {J} _ {e} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {S} = \ int _ {A} \ rho _ {e} \ mathbf {v} _ {d} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {S} = \ rho _ {e} {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} t}}}

Dónde está $\mathbf {J} _{e}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {e}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {e}}$ es la densidad de corriente eléctrica e $\mathbf {v} _{d}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {d}}$ $\ mathbf v_d$ velocidad de deriva de carga.

Otro ejemplo importante en el campo de la electrodinámica es el del vector de Poynting , cuyo flujo es la potencia electromagnética transportada por la onda:

P(t)=\int _{S}\mathbf {E} (t)\times \mathbf {H} (t)\cdot \operatorname {d} \mathbf {s}

{\ Displaystyle P (t) = \ int _ {S} \ mathbf {E} (t) \ times \ mathbf {H} (t) \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s}}

P (t) = \ int _ {S} {\ mathbf E} (t) \ times {\ mathbf H} (t) \ cdot \ operatorname d {\ mathbf s}

,

cuya transformada de Fourier es la potencia compleja .

P(\omega )=\int _{S}\mathbf {E} (\omega )\times \mathbf {H} ^{*}(\omega )\cdot \operatorname {d} \mathbf {s}

{\ Displaystyle P (\ omega) = \ int _ {S} \ mathbf {E} (\ omega) \ times \ mathbf {H} ^ {*} (\ omega) \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s }}

P (\ omega) = \ int _ {S} {\ mathbf E} (\ omega) \ times {\ mathbf H} ^ {*} (\ omega) \ cdot \ operatorname d {\ mathbf s}

,

Termodinámica

Otro ejemplo importante de flujo es la corriente térmica de conducción , obtenida a partir de la ley de Fourier :

{\dot {Q}}=-\int _{S}\mathbf {q} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =-\int _{S}(\mathbf {k} _{ij}\,\mathbf {\nabla } T)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

{\ Displaystyle {\ dot {Q}} = - \ int _ {S} \ mathbf {q} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = - \ int _ {S} (\ mathbf {k} _ {ij} \, \ mathbf {\ nabla} T) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

{\ Displaystyle {\ dot {Q}} = - \ int _ {S} \ mathbf {q} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = - \ int _ {S} (\ mathbf {k} _ {ij} \, \ mathbf {\ nabla} T) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

Dónde está $\mathbf {q}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$ ${\ mathbf {q}}$ representa la densidad de corriente térmica , $\mathbf {k} _{ij}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {ij}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {ij}}$ el tensor de conductividad térmica e $\mathbf {\nabla } T$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla} T}$ ${\ mathbf \ nabla} T$ es el gradiente de temperatura en función de la posición.

Astronomía

El concepto vincula el brillo absoluto $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ con brillo aparente $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ . Brillo aparente se define como la cantidad de energía recibida por una estrella , por encima de la Tierra 's ambiente , en un segundo y dentro de un área unidad. De ello se deduce que este es simplemente el campo que fluye con respecto al brillo absoluto de la estrella:

P=\oint _{4\pi r^{2}}I\,\mathrm {d} S=4\pi r^{2}I

{\ Displaystyle P = \ oint _ {4 \ pi r ^ {2}} I \, \ mathrm {d} S = 4 \ pi r ^ {2} I}

{\ Displaystyle P = \ oint _ {4 \ pi r ^ {2}} I \, \ mathrm {d} S = 4 \ pi r ^ {2} I}

Irradiancia de fotones de una fuente estelar

Por tanto, el brillo aparente mide la tasa de energía que fluye a través de la superficie de un objeto. El brillo absoluto como potencia no depende de la distancia de la fuente que irradia la energía, mientras que el brillo aparente como irradiancia sí y de forma inversa al cuadrado, ya que la energía para llegar hasta nosotros se distribuye dentro de una superficie esférica cuyo radio es nuestra distancia. $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ , como se ilustra en la figura 1: si la distancia se duplica recibimos $\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}$ ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {4}}}$ $\ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {4}}$ del flujo original.

Por ejemplo, mediciones recientes realizadas en órbita (el Monitor de Irradiancia Total (TIM) montado a bordo del Experimento de Radiación Solar y Clima de la NASA (SORCE)) han determinado el brillo aparente del Sol a nuestra distancia (también llamado Constante de Radiación Solar) como ^{[3 ]} :

I(149,6Gm)=1360,8\pm 0,5\ \mathrm {W/m^{2}}

{\ Displaystyle I (149,6 Gm) = 1360,8 \ pm 0,5 \ \ mathrm {W / m ^ {2}}}

Yo (149.6Gm) = 1360.8 \ pm 0.5 \ {\ mathrm {W / m ^ {2}}}

entonces calcularíamos el brillo solar aproximadamente en Yotta Watt :

P=4\,\pi \,d^{2}I(d)=4\pi \left(1,496\cdot 10^{11}\right)^{2}1360,8W=382,6\pm 0,1YW

{\ Displaystyle P = 4 \, \ pi \, d ^ {2} I (d) = 4 \ pi \ left (1,496 \ cdot 10 ^ {11} \ right) ^ {2} 1360,8W = 382,6 \ pm 0 , 1YW}

P = 4 \, \ pi \, d ^ {2} I (d) = 4 \ pi \ left (1,496 \ cdot 10 ^ {{11}} \ right) ^ {2} 1360.8W = 382.6 \ pm 0.1YW

En este cálculo indirecto, que al fin y al cabo es bastante preciso, habría sido más significativo referirse a la distancia real en el momento de la medición, con la incertidumbre relativa. La excentricidad de la órbita de la Tierra, de hecho, hace que la unidad astronómica sea solo una distancia promedio con una variación máxima de aproximadamente $\pm 3,3\%$ ${\ Displaystyle \ pm 3,3 \%}$ $\ pm 3.3 \%$ . Entonces, si bien el brillo absoluto del Sol depende solo de la actividad solar , el brillo aparente también varía con su distancia a la Tierra.

Nota

^ (ES) Libro de oro de la IUPAC, "flux"
^ (ES) Libro de oro de la IUPAC, "flujo de calor"
^ G. Kopp y JL Lean, "Un nuevo valor más bajo de la irradiancia solar total: evidencia e importancia climática" CARTAS DE INVESTIGACIÓN GEOFÍSICA, VOL. 38 de 2011

Bibliografía

( EN ) Ernest Weekley, Diccionario etimológico del inglés moderno , Publicaciones de Courier Dover, 1967, p. 581, ISBN 0-486-21873-2 .
( EN ) R. Byron Bird, Stewart, Warren E. y Lightfoot, Edwin N.,Transport Phenomena , Wiley, 1960, ISBN 0-471-07392-X .
( EN ) PM Whelan, MJ Hodgeson, Essential Principles of Physics , 2do, John Murray, 1978, ISBN 0-7195-3382-1 .
(EN) HS Carslaw y Jaeger, JC, Conducción de calor en sólidos, segundo, Oxford University Press, 1959, ISBN 0-19-853303-9 .
(EN) Welty, Wicks y Wilson Rorrer, Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer, 4th, Wiley, 2001, ISBN 0-471-38149-7 .
( EN ) James Clerk Maxwell, Tratado sobre electricidad y magnetismo , 1892, ISBN 0-486-60636-8 .
( EN ) D. McMahon, Mecánica cuántica desmitificada , desmitificada, Mc Graw Hill, 2006, ISBN 0-07-145546-9 .
(EN) Sakurai, JJ, Mecánica cuántica avanzada, Addison Wesley, 1967, ISBN 0-201-06710-2 .

Otros proyectos

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enlaces externos

( EN ) Flusso , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portal de física

Portal de Matemáticas

[1] (ES) Libro de oro de la IUPAC, "flux"

[2] (ES) Libro de oro de la IUPAC, "flujo de calor"

[3] G. Kopp y JL Lean, "Un nuevo valor más bajo de la irradiancia solar total: evidencia e importancia climática" CARTAS DE INVESTIGACIÓN GEOFÍSICA, VOL. 38 de 2011

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