Fuerza conservadora

En la mecánica newtoniana , una fuerza conservadora es una fuerza que puede describirse como un campo conservador en el espacio en el que se mueven los cuerpos, y no solo como una fuerza aplicada a un cuerpo en movimiento.

Para que esto suceda, el trabajo que realiza la fuerza sobre el cuerpo en un camino determinado no debe depender del camino particular seguido, sino solo de los puntos de inicio y final del camino recorrido por el cuerpo.

De una manera simple, una fuerza es conservadora si depende solo de la posición en el espacio del punto material , y no de su historia pasada. En este caso, podemos desvincular el vector de fuerza del punto material que se mueve en el espacio, para asignarlo en su lugar al punto geométrico fijo en el espacio donde se coloca la partícula.

De esta manera, podemos pasar del concepto puramente newtoniano de fuerza aplicada a un cuerpo, a la idea de un campo de magnitud de fuerza, en el que existe un valor de fuerza que se puede asociar con el punto material en cada " punto geométrico "de la región del espacio. en el que se mueve el punto material. En otras palabras, mientras que originalmente la fuerza se aplica al punto material y lo sigue en su movimiento, en el caso de la fuerza conservadora cada punto geométrico de la región del espacio en la que se mueve la partícula se caracteriza en cada punto por un valor fijo de fuerza, que se transmite a la partícula a medida que pasa por esa posición.

Además, se muestra que solo en estas condiciones, siempre que se consideren algunas restricciones y restricciones adicionales, se conserva la energía mecánica del sistema, no solo para algunas sino para cualquier trayectoria.

Finalmente, se puede anticipar que todas las interacciones fundamentales corresponden en los modelos físicos a campos conservadores.

Descripción

Un punto material está sujeto a una fuerza, que se puede representar en el espacio con un campo vectorial. $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ . El trabajo realizado por la fuerza sobre el objeto se define como la integral curvilínea (con respecto a la posición) de $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ a lo largo del camino hecho en el espacio. Una condición necesaria y suficiente para que la fuerza sea conservadora es que el trabajo que realiza a lo largo de cualquier trayectoria cerrada sea nulo. En este caso, el potencial de la fuerza en un punto es proporcional a la energía potencial que posee el objeto en ese punto debido a la presencia de la fuerza. Por tanto, una fuerza conservadora es una función que depende únicamente de la posición. La fuerza del peso y la fuerza del resorte son dos ejemplos de fuerzas conservadoras.

Un sistema dinámico en el que solo actúan fuerzas conservadoras se denomina sistema conservador .

Definición

Una fuerza es conservadora si hace el trabajo $W$ ${\ Displaystyle W}$ $W$ que se completa a lo largo de cualquier trayectoria finita cerrada $\partial S$ ${\ Displaystyle \ parcial S}$ $\ parcial S$ es nulo:

W=\oint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {r} =0

{\ Displaystyle W = \ unción _ {\ parcial S} \ mathbf {F} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {r} = 0}

{\ Displaystyle W = \ unción _ {\ parcial S} \ mathbf {F} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {r} = 0}

Por el teorema del rotor , en cualquier superficie limitada por la curva $\partial S$ ${\ Displaystyle \ parcial S}$ $\ parcial S$ tenemos:

\oint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {r} =\int _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =0

{\ Displaystyle \ oint _ {\ parcial S} \ mathbf {F} \ cdot \ nombre del operador {d} \! \ mathbf {r} = \ int _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s} = 0}

{\ Displaystyle \ oint _ {\ parcial S} \ mathbf {F} \ cdot \ nombre del operador {d} \! \ mathbf {r} = \ int _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s} = 0}

de donde se obtiene la expresión en forma local:

\nabla \times \mathbf {F} =0

{\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} = 0}

{\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} = 0}

Según el lema de Poincaré , el rotor es cero si y solo si su argumento se puede expresar como un gradiente , es decir:

\mathbf {F} =-\nabla U

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla U}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla U}

y por lo tanto una fuerza es conservadora si y solo si hay un potencial escalar $U$ ${\ Displaystyle U}$ $U$ de los cuales es el gradiente. Lo contrario de la variación $U(\mathbf {r} _{2})-U(\mathbf {r} _{1})$ ${\ Displaystyle U (\ mathbf {r} _ {2}) - U (\ mathbf {r} _ {1})}$ ${\ Displaystyle U (\ mathbf {r} _ {2}) - U (\ mathbf {r} _ {1})}$ de $U$ ${\ Displaystyle U}$ $U$ durante un viaje desde un punto de coordenadas 1: $\mathbf {r} _{1}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$ $\ mathbf {r} _ {1}$ , en el punto 2 de coordenadas $\mathbf {r} _{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$ $\ mathbf {r} _ {2}$ es igual a trabajar $W$ ${\ Displaystyle W}$ $W$ realizado por la fuerza en este camino, que según el teorema fundamental del cálculo integral es independiente del camino seguido:

W_{21}=U(\mathbf {r} _{1})-U(\mathbf {r} _{2})

{\ Displaystyle W_ {21} = U (\ mathbf {r} _ {1}) - U (\ mathbf {r} _ {2})}

{\ Displaystyle W_ {21} = U (\ mathbf {r} _ {1}) - U (\ mathbf {r} _ {2})}

Bibliografía

( EN ) Louis N. Hand, Janet D. Finch, Mecánica analítica , Cambridge University Press, 1998, p. 41, ISBN 0-521-57572-9 .
( EN ) George B. Arfken y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos , 6a ed., Elsevier Academic Press, 2005.

enlaces externos

( EN ) Fuerza conservadora , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

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