Función (matemáticas)

Representación de una función que asocia los valores del dominio X con los valores del rango Y

En matemáticas , una función es una relación entre dos conjuntos , llamados dominio y codominio de la función, que asocia con cada elemento del dominio uno y solo un elemento del codominio.

Si los dos conjuntos se indican respectivamente con $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ Y $Y$ ${\ Displaystyle Y}$ $Y$ , la relación se indica con $f\colon X\to Y$ ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ dos puntos X \ a Y$ y el elemento asociado con $x\in X$ ${\ Displaystyle x \ in X}$ $x \ en X$ a través de la función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ generalmente se indica con $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ (pronunciado "efecto de x").

Descripción

Por tanto, la palabra función no se refiere sólo a la relación, sino a la tríada: relación, dominio y codominio. Por ejemplo: la función que asocia la raíz cuadrada de ese número a un número natural es diferente de la función que asocia la raíz cuadrada de ese número a un número entero (dependiendo de cómo se defina el rango, el segundo puede que ni siquiera sea correcto asociación). En muchos casos, cuando el dominio y el rango son claros del contexto, una función se expresa indicando solo la relación e implicando dominio y rango.

Se dice que $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ es el argumento de la función, o un valor de la variable independiente, mientras que $y=f(x)$ ${\ Displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ es un valor de la variable dependiente de la función.

Los sinónimos de la palabra función son aplicación y mapa. El término transformación se usa a menudo en campos geométricos para indicar una función. $f:X\rightarrow X$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow X}$ invertible y que conserva las propiedades geométricas de $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ , Mientras que el operador a veces se usa en el tratamiento de funciones lineales entre espacios vectoriales .

Las funciones tienen un papel muy importante en todas las ciencias exactas . El concepto de dependencia funcional entre dos cantidades de hecho reemplaza, dentro de las teorías físicas y matemáticas, la causa y efecto, que, a diferencia del anterior, no concierne a las entidades teóricas sino directamente a los elementos de la realidad concreta. Si decimos, por ejemplo, que la presión de una determinada cantidad de gas perfecto es función de su temperatura y de su volumen, estamos haciendo una afirmación interna de un modelo termodinámico , mientras que la relación causa-efecto que se identifica entre los tres cantidades depende sustancialmente de las posibilidades de intervención concreta sobre ellas. Siguiendo con este ejemplo, el valor de la presión se ve más a menudo como consecuencia del valor de los otros dos parámetros, ya que generalmente es mucho más fácil intervenir sobre el volumen y la temperatura que directamente sobre la presión.

Ejemplos de

Los ejemplos más simples de función son aquellos para los que tanto el dominio como el codominio son conjuntos numéricos . Por ejemplo, si el doble de este número está asociado con cada número natural, tenemos una función, cuyo dominio está dado por naturales y cuyo rango está compuesto por naturales pares.

Sin embargo, hablamos de función incluso cuando el dominio o rango, o ambos, no son conjuntos numéricos. Si, por ejemplo, el círculo inscrito en él está asociado a cada triángulo del plano, también hay una función, ya que para cada triángulo hay uno y solo un círculo inscrito en él.

Además, a menudo hablamos de funciones con más argumentos o con más valores: por ejemplo, la función que en coordenadas $X, y, z$ ${\ Displaystyle x, y, z}$ $x, y, z$ un punto en el espacio equivale a temperatura $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ y presion $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ del aire. En este caso, la función en realidad siempre tiene un solo argumento, que es la tríada $(x,y,z),$ ${\ Displaystyle (x, y, z),}$ ${\ Displaystyle (x, y, z),}$ y siempre tiene un solo valor, que es el par $(T,P).$ ${\ Displaystyle (T, P).}$ ${\ Displaystyle (T, P).}$

Definición

Dados dos conjuntos no vacíos $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ Y $Y$ ${\ Displaystyle Y}$ $Y$ , se llama la función from $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ en $Y$ ${\ Displaystyle Y}$ $Y$ una relación $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ tal que para cada $x\in X\;$ ${\ Displaystyle x \ en X \;}$ $x \ in X \;$ hay uno y solo un elemento $y\in Y\;$ ${\ Displaystyle y \ in Y \;}$ $y \ in Y \;$ tal que $(x,y)\in f$ ${\ Displaystyle (x, y) \ in f}$ $(x, y) \ en f$ . Este elemento se denota tradicionalmente por $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ : en otras palabras, en lugar de escribir $(x,y)\in f$ ${\ Displaystyle (x, y) \ in f}$ $(x, y) \ en f$ puedes usar la escritura más tradicional:

y=f(x).

{\ Displaystyle y = f (x).}

{\ Displaystyle y = f (x).}

El hecho de que $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ es una función de $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ en $Y$ ${\ Displaystyle Y}$ $Y$ con el que se asocia $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ el elemento $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ se puede expresar por escrito:

{\begin{matrix}f:&X&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &f(x)\end{matrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & X & \ longrightarrow & Y \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ end {matrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & X & \ longrightarrow & Y \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ end {matrix}}.}

El conjunto $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ (de ahí la función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ "Toma" los valores) es el dominio de la función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ , mientras que todo $Y$ ${\ Displaystyle Y}$ $Y$ (donde son los valores "devueltos" por la función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ ) Es el codominio de la función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ . ^[1]

Las expresiones "toman un valor" y "devuelven un valor" se refieren a un modelo mecánico de funciones, representadas como mecanismos que, dándoles un elemento del dominio, lo "transforman" en el elemento correspondiente del rango.

Imagen y contraimagen

El mismo tema en detalle: Imagen (matemáticas) .

Dada una función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ dominio $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ y codominio $Y,$ ${\ Displaystyle Y,}$ ${\ Displaystyle Y,}$ Sin embargo, eligió un artículo $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ dominio, se llama imagen $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ el elemento correspondiente del rango, indicado con $f(x).$ ${\ Displaystyle f (x).}$ $f (x).$ Del mismo modo, si $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ es un elemento del rango que es una imagen de un elemento $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ del dominio, es decir, si $y=f(x)$ ${\ Displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ , se dice que $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ es una imagen inversa de $y .$ ${\ Displaystyle y.}$ ${\ Displaystyle y.}$ Mientras que cada elemento del dominio de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ se asigna una y solo una imagen, es posible que un elemento en el rango tenga varias imágenes de contador, o que no tenga ninguna. Por tanto, se define la "contraimagen" del elemento $y\in Y$ ${\ Displaystyle y \ in Y}$ $y \ en Y$ El conjunto

f^{-1}(y)=\{x\in X\,|\,f(x)=y\}

{\ Displaystyle f ^ {- 1} (y) = \ {x \ en X \, | \, f (x) = y \}}

f ^ {- 1} (y) = \ {x \ en X \, | \, f (x) = y \}

.

Uno mismo $f^{-1}(y)\neq \varnothing$ ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (y) \ neq \ varnothing}$ ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (y) \ neq \ varnothing}$ para cada $y\in Y$ ${\ Displaystyle y \ in Y}$ $y \ en Y$ se dice que $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ es sobreyectiva , mientras que si $f^{-1}(y)$ ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ $f ^ {{- 1}} (y)$ contiene como máximo un elemento para cada $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ se dice que $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ es inyección . Si se aplican ambas condiciones, $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ Se llama biyectiva o biyectiva.

El conjunto

\{y\in Y\,|\,\exists x\in X:y=f(x)\}

{\ Displaystyle \ {y \ en Y \, | \, \ existe x \ en X: y = f (x) \}}

\ {y \ en Y \, | \, \ existe x \ en X: y = f (x) \}

de los elementos $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ del rango para el que hay al menos un $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ en el dominio que tiene $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ como una imagen se dice imagen $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ y se denota por ${\textrm {Im}}(f)$ ${\ Displaystyle {\ textrm {Im}} (f)}$ ${\ textrm {Im}} (f)$ o con $f(X)$ ${\ Displaystyle f (X)}$ $f (X)$ . ^[2]

Otras notaciones para funciones

Por el valor de una función $F.$ ${\ Displaystyle F}$ $F.$ correspondiente a un elemento $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ , denotable con la notación tradicional $F(x)$ ${\ Displaystyle F (x)}$ $F (x)$ , también se utilizan otros dos scripts.

Por lo que surge la función de notación de prefijo

\,Fx:=F(x).

{\ Displaystyle \, Fx: = F (x).}

{\ Displaystyle \, Fx: = F (x).}

Por lo que surge lo que llamamos función sufijo de notación

\,xF:=F(x).

{\ Displaystyle \, xF: = F (x).}

{\ Displaystyle \, xF: = F (x).}

A veces se utilizan corchetes en lugar de corchetes redondos:

F[x]=F(x).

{\ Displaystyle F [x] = F (x).}

{\ Displaystyle F [x] = F (x).}

Esto evita confusiones con paréntesis que indican el orden de las operaciones. Esta notación es utilizada por algunos programas de cálculo simbólico.

En las funciones de dos variables a veces se usa la notación infija, es decir

yFx:=F(x,y),

{\ Displaystyle yFx: = F (x, y),}

{\ Displaystyle yFx: = F (x, y),}

por ejemplo, en las operaciones habituales de suma y resta usamos para escribir $x+y$ ${\ Displaystyle x + y}$ $x + y$ Y $x-y$ ${\ Displaystyle xy}$ $x-y$ en lugar de $+(x,y)$ ${\ Displaystyle + (x, y)}$ ${\ Displaystyle + (x, y)}$ Y $-(x,y).$ ${\ Displaystyle - (x, y).}$ ${\ Displaystyle - (x, y).}$

Ampliación y restricción de una función

Dada una función $f:A\to Y$ ${\ Displaystyle f: A \ to Y}$ $f: A \ a Y$ Es un conjunto $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ tal que $A\subset X$ ${\ Displaystyle A \ subconjunto X}$ $A \ subconjunto X$ , se dice que la función ${\tilde {f}}:X\to Y$ ${\ Displaystyle {\ tilde {f}}: X \ a Y}$ ${\ tilde {f}}: X \ a Y$ Es una 'extensión del conjunto f $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ uno mismo

{\tilde {f}}\circ i=f

{\ Displaystyle {\ tilde {f}} \ circ i = f}

{\ tilde {f}} \ circ i = f

Dónde está $i:A\to X$ ${\ Displaystyle i: A \ a X}$ $yo: A \ a X$ Es la ' inclusión de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ en $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ , dada por $i(a)=a$ ${\ Displaystyle i (a) = a}$ $yo (a) = a$ . Por el contrario, se dice que $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ Es la restricción de ${\tilde {f}}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {f}}}$ ${\ tilde {f}}$ al conjunto $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ .

La restricción de una función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ a un conjunto $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ contenido en su dominio generalmente se indica con $f{\big |}_{A}$ ${\ Displaystyle f {\ big |} _ {A}}$ $f {\ grande |} _ {A}$ .

Funciones de dos o más variables

Cuando el dominio de una función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ Es el producto cartesiano de dos o más conjuntos y, por tanto, la función actúa sobre $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ -uples de elementos de conjuntos, luego la imagen vectorial de estos elementos $\mathbf {x}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ se indica con la notación

f(x_{i})\

{\ Displaystyle f (x_ {i}) \}

f (x_ {i}) \

En este caso, la función también se denomina vector de características . En este sentido, en física hablamos de campo .

Por ejemplo, considere la función de multiplicación que asocia un vector de dos números naturales $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Y $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ a su producto: $f(x,y)=xy$ ${\ Displaystyle f (x, y) = xy}$ ${\ Displaystyle f (x, y) = xy}$ . Esta función se puede definir formalmente como tener para dominio $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}$ , el conjunto de todos los pares de números naturales; también tenga en cuenta que en este caso la función es simétrica con respecto a las componentes del vector: $f(x,y)=f(y,x)$ ${\ Displaystyle f (x, y) = f (y, x)}$ ${\ Displaystyle f (x, y) = f (y, x)}$ y por lo tanto es una función de un conjunto $f\{x,y\}$ ${\ Displaystyle f \ {x, y \}}$ ${\ Displaystyle f \ {x, y \}}$ en el que el orden de los elementos no importa. También son posibles otras variables y agrupaciones: por ejemplo, es extremadamente importante en el estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales, la teoría de la función de matriz :

f(x_{ij}).

{\ Displaystyle f (x_ {ij}).}

{\ Displaystyle f (x_ {ij}).}

Operaciones binarias

Muchas operaciones binarias de ' aritmética , como la' suma y multiplicación , son funciones del producto cartesiano $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}$ a los valores en $\mathbb {Z}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ Y se describen mediante la notación infija : escribe que $x+y$ ${\ Displaystyle x + y}$ $x + y$ (y no $+(x,y)$ ${\ Displaystyle + (x, y)}$ $+ (x, y)$ ) para describir la imagen de la pareja $(x,y)$ ${\ Displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$ a través de la operación $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ . ^[3]

Esta notación se generalizó a partir del ' álgebra moderna, para definir estructuras algebraicas como la del grupo en su conjunto $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ equipado con algunas operaciones binarias que tienen ciertas propiedades.

Funciones de varios valores

Si el rango de una función $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ es el producto cartesiano de dos o más conjuntos, esto puede indicarse como una función de valor vectorial . Estas variables a menudo se agregan en un vector ; en este sentido en física se nos llama campo vectorial .

Un ejemplo típico lo da una transformación lineal del plano , por ejemplo:

(x,y)\to (y,x)

{\ Displaystyle (x, y) \ to (y, x)}

(x, y) \ a (y, x)

.

En cambio, una función se denomina polidroma en el caso de que haya al menos un elemento del dominio que corresponda a más de uno de los elementos del codominio. De hecho, estas funciones no entran dentro de la definición dada inicialmente, pero en algunos campos (por ejemplo, en el análisis complejo ) se amplía en este sentido. Un ejemplo de una función multivalor es la raíz cuadrada de un número real positivo, que se puede describir como una función

\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {P} (\mathbb {R} )

{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {P} (\ mathbb {R})}

\ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {P} (\ mathbb {R})

que asocia cada número real positivo l ' junto con sus dos raíces cuadradas. Un ejemplo similar es el logaritmo definido en el conjunto de números complejos . ^[4]

Tipología

En matemáticas y sustancialmente en todas sus aplicaciones, se encuentran numerosos tipos de funciones, que también tienen características muy diferentes, y que se clasifican según diferentes criterios.

Clasificación puramente establecida

Clasificación de funciones en la teoría de la computabilidad

Función recursiva primitiva
Función calculable
Función recursiva (según la tesis de Church-Turing , las funciones computables y las funciones recursivas son lo mismo)
Función recursiva total
Función enumerativa

Clasificación de funciones en el campo del ' análisis matemático

Algunas características notables

Funciones de interés probabilístico y estadístico

Operaciones elementales sobre funciones de una variable real con valores reales

Dada una función $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ de variable real con valores reales y una constante $c\in \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ $c \ in \ mathbb {R}$ , Las operaciones aritméticas elementales o en él son aplicables suma , resta , multiplicación , división , exponenciación , raíz n -ésima a saber:

z(x)=f(x)+c,

{\ Displaystyle z (x) = f (x) + c,}

z (x) = f (x) + c,

z(x)=f(x)-c,

{\ Displaystyle z (x) = f (x) -c,}

z (x) = f (x) -c,

z(x)=f(x)\cdot c,

{\ Displaystyle z (x) = f (x) \ cdot c,}

z (x) = f (x) \ cdot c,

uno mismo $c\neq 0$ ${\ Displaystyle c \ neq 0}$ $c \ neq 0$ tu también tienes

z(x)={\frac {f(x)}{c}},

{\ Displaystyle z (x) = {\ frac {f (x)} {c}},}

z (x) = {\ frac {f (x)} {c}},

uno mismo $f(x)>0$ ${\ Displaystyle f (x)> 0}$ $f (x)> 0$ tu también tienes

z(x)=f(x)^{c},

{\ Displaystyle z (x) = f (x) ^ {c},}

z (x) = f (x) ^ {c},

y si $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ entero mayor que 1, y si $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ Igual también debe ser tenido $f(x)\geq 0$ ${\ Displaystyle f (x) \ geq 0}$ ${\ Displaystyle f (x) \ geq 0}$ , tu también tienes

z(x)={\sqrt[{c}]{f(x)}}.

{\ Displaystyle z (x) = {\ sqrt [{c}] {f (x)}}.}

z (x) = {\ sqrt [{c}] {f (x)}}.

Dar dos funciones $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Y $g(x)$ ${\ Displaystyle g (x)}$ $g (x)$ de variable real con valores reales, son aplicables las operaciones aritméticas elementales referidas anteriormente, es decir:

z(x)=f(x)+g(x),

{\ Displaystyle z (x) = f (x) + g (x),}

z (x) = f (x) + g (x),

z(x)=f(x)-g(x),

{\ Displaystyle z (x) = f (x) -g (x),}

z (x) = f (x) -g (x),

z(x)=f(x)\cdot g(x),

{\ Displaystyle z (x) = f (x) \ cdot g (x),}

z (x) = f (x) \ cdot g (x),

uno mismo $g(x)\neq 0$ ${\ Displaystyle g (x) \ neq 0}$ $g (x) \ neq 0$ tu también tienes

z(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}

{\ Displaystyle z (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}}}

z (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}}

uno mismo $f(x)>0$ ${\ Displaystyle f (x)> 0}$ $f (x)> 0$ (o $f(x)\geq 0$ ${\ Displaystyle f (x) \ geq 0}$ ${\ Displaystyle f (x) \ geq 0}$ En el caso de $f(x)=0\land g(x)>0$ ${\ Displaystyle f (x) = 0 \ land g (x)> 0}$ ${\ Displaystyle f (x) = 0 \ land g (x)> 0}$ ) también tiene

z(x)=f(x)^{g(x)}

{\ Displaystyle z (x) = f (x) ^ {g (x)}}

z (x) = f (x) ^ {{g (x)}}

Composición

Dar dos funciones $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ : $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ → $Y$ ${\ Displaystyle Y}$ $Y$ Y $gramo$ ${\ Displaystyle g}$ $gramo$ : $Y$ ${\ Displaystyle Y}$ $Y$ → $Z$ ${\ Displaystyle Z}$ $Z$ puede definir su composición : esto se define aplicando primero $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ para $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ y luego aplicando $gramo$ ${\ Displaystyle g}$ $gramo$ al resultado $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ .

Esta nueva función se denota con $g\circ f$ ${\ Displaystyle g \ circ f}$ $g \ circ f$ (lee: "f compuesto g"). ^{[ Sin fuente ]} Riconducendoci la notación tradicional con las dos notaciones el resultado de la composición anterior aplicada al elemento x en el dominio podemos escribir ^[5]

\,(g\circ f)(x)=g[f(x)]

{\ Displaystyle \, (g \ circ f) (x) = g [f (x)]}

\, (g \ circ f) (x) = g [f (x)]

Traducción

Dada una función $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ de variable real con valores reales y una constante $c\in \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ $c \ in \ mathbb {R}$ :

su traslación con respecto al eje $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ a la derecha está $f(x-c)$ ${\ Displaystyle f (xc)}$ $f (x-c)$
su traslación con respecto al eje $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ a la izquierda está $f(x+c)$ ${\ Displaystyle f (x + c)}$ ${\ Displaystyle f (x + c)}$
su traslación con respecto al eje $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ hacia arriba es $f(x)+c$ ${\ Displaystyle f (x) + c}$ $f (x) + c$
su traslación con respecto al eje $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ abajo es $f(x)-c$ ${\ Displaystyle f (x) -c}$ $f (x) -c$

Simetría

Dada una función $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ de variable real con valores reales:

el simétrico de $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ con respecto al eje y es $f(-x)$ ${\ Displaystyle f (-x)}$ $f (-x)$
el simétrico de $f(x)$ ${\ Displaystyle f (x)}$ $f (x)$ con respecto al eje x es $-f(x)$ ${\ Displaystyle -f (x)}$ $-f (x)$

Nota

^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Análisis matemático , Liguori Editore Srl, 1994, p. 63.
^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Análisis matemático , Liguori Editore Srl, 1994, p. 67.
^ Francesca Dalla Volta, Marco Rigoli, elementos de matemáticas discretas y álgebra lineal , Pearson Pearson Addison Mondad, 2007, p. 169.
^ Gazzola Ferrero Zanotti, elementos de análisis superiores en física e ingeniería , Aesculapius Publishing Company, 2007, págs. 127-128.
^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Análisis matemático , Liguori Editore Srl, 1994, págs. 69-70.

Bibliografía

Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Análisis matemático, Liguori Editore, 1995 ISBN 9788820723972
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Dos lecciones de análisis matemático, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203
Paul Marcellini , Carlo Sbordone , análisis de Mathematics One, Liguori Editore, 1998 ISBN 9788820728199
Enrico Giusti , Cálculo 1, Libros básicos, 2002, ISBN 9788833956848

Otros proyectos

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enlaces externos

Función en Treccani.it - enciclopedias en línea,Instituto de la Enciclopedia Italiana .
(ES) función , en Encyclopedia Britannica , enciclopedia Britannica, Inc.
Función en Treccani.it - enciclopedias en línea, el Instituto Italiano de Enciclopedia.

Control de autoridad	Tesauro BNCF 19483 · LCCN (EN) sh85052327 · GND (DE) 4071510-3 · BNF (FR) cb11946892t (fecha) · NDL (EN, JA) 00.56496 millones

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[1] Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Análisis matemático , Liguori Editore Srl, 1994, p. 63.

[2] Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Análisis matemático , Liguori Editore Srl, 1994, p. 67.

[3] Francesca Dalla Volta, Marco Rigoli, elementos de matemáticas discretas y álgebra lineal , Pearson Pearson Addison Mondad, 2007, p. 169.

[4] Gazzola Ferrero Zanotti, elementos de análisis superiores en física e ingeniería , Aesculapius Publishing Company, 2007, págs. 127-128.

[5] Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Análisis matemático , Liguori Editore Srl, 1994, págs. 69-70.

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V · D · M Análisis matemático
Cálculo infinitesimal	Número real · infinitesimal · Big O · Sucesión ( de funciones ) · Sucesión de Cauchy · teorema de Bolzano-Weierstrass · estimación asintótica · Límite ( una función · una sucesión · forma indeterminada ) · Teorema de dos policías · Límite considerable · punto de acumulación · punto aislado · Alrededor · Serie ( función ) · criterios de convergencia ·límite de funciones multivariantes
Estudio de continuidad	De función continua · punto de discontinuidad · uniforme Continuidad · Función Lipschitz · Bolzano Teorema · Weierstrass teorema · Teorema de los valores intermedios · Heine-Cantor teorema · módulo de continuidad · Función semicontinua · separar Continuidad · Teorema de aproximación de Weierstrass
Calculo diferencial	Derivado · diferencial · reglas de derivación · Fermat Teorema · teorema de Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · teorema de Darboux · teorema de Taylor · serie de Taylor · función diferenciable · Gradiente · jacobiana · Hessian · forma diferencial · Las generalizaciones de derivados · derivada parcial · derivados mezclados
Integral	Primitive · Riemann integral · integral impropia · Lebesgue Integral · teorema fundamental · métodos de integración · Tablas · múltiplo entero , de línea ( 1ª especies · 2ª especies ) y superficie ( volumen )
Estudio de funciones	Función · Variable · dominio y el rango · funciones pares e impares · función periódica · función monótona · función convexa · máximo y mínimo de una función · angular Point · Cúspide · punto de inflexión · Asymptote · gráfica de una función · inyección Función
Desigualdades	La desigualdad triangular · Cauchy-Schwarz desigualdad · Bernoulli · Jensen · Hölder · joven · Minkowski
Otro	Aproximación de Stirling · Producto de Wallis · Función Rango · Implícito teorema de la función · Teorema de la función inversa · función del sostenedor · espacio métrico · normado Espacio · gama · Junto insignificante · cerradas juntas · Junto abierta · Bola · homeomorfismo · homeomorfismo local · difeomorfismo · locales difeomorfismo · Clase C de una función · ecuación diferencial · problema de Cauchy