Geometría diferencial de curvas

En matemáticas , la geometría diferencial de curvas utiliza el análisis matemático para estudiar curvas en el plano, en el espacio y más generalmente en un espacio euclidiano .

Definiciones

Definiciones basicas

El mismo tema en detalle: Curva (matemáticas) .

Una curva es una función continua $f\colon I\to \mathbb {R} ^{m}$ ${\ Displaystyle f \ colon I \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ Displaystyle f \ colon I \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ , Dónde está $I\subset \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle I \ subconjunto \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle I \ subconjunto \ mathbb {R}}$ es un rango de números reales . Uno mismo $I=[a,b]$ ${\ Displaystyle I = [a, b]}$ ${\ Displaystyle I = [a, b]}$ , con $a<b$ ${\ Displaystyle a <b}$ ${\ Displaystyle a <b}$ , $f(a)$ ${\ Displaystyle f (a)}$ ${\ Displaystyle f (a)}$ se llama punto de partida e $f(b)$ ${\ Displaystyle f (b)}$ ${\ Displaystyle f (b)}$ punto final, mientras que la variable en este rango generalmente se denota con la letra $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ y la notación se usa para la función $f(t)$ ${\ Displaystyle f (t)}$ $f (t)$ . En apoyo de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ nos referimos a la imagen de esa función $\operatorname {Im} f$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} f}$ .

Asumir que $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ es una función diferenciable suficientemente regular, o una función que tiene derivadas continuas de un orden suficientemente alto; también pide que su primera derivada $f'(t)$ ${\ Displaystyle f '(t)}$ $f '(t)$ es un vector que nunca es cero en todo el intervalo $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ .

Longitud y parametrización

El mismo tema en detalle: Curva en el espacio .

Una reparametrización de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ es otra curva $gramo$ ${\ Displaystyle g}$ $gramo$ tal que:

g=f\circ p

{\ Displaystyle g = f \ circ p}

g = f \ circ p

Dónde está $p\colon J\to I$ ${\ Displaystyle p \ colon J \ to I}$ $p \ colon J \ a I$ es una biyección diferenciable con derivada siempre positiva (y por lo tanto creciente ) e $J$ ${\ Displaystyle J}$ $J$ es un intervalo de reales que podría coincidir con $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ . En este caso las curvas $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ Y $gramo$ ${\ Displaystyle g}$ $gramo$ , aunque se describen con diferentes parametrizaciones, se pretende que sean equivalentes.

La longitud de una curva $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ definido en un intervalo cerrado $I=[a,b]$ ${\ Displaystyle I = [a, b]}$ $Yo = [a, b]$ Es provisto por:

L(f)=\int _{a}^{b}\vert f'(t)\vert dt

{\ Displaystyle L (f) = \ int _ {a} ^ {b} \ vert f '(t) \ vert dt}

{\ Displaystyle L (f) = \ int _ {a} ^ {b} \ vert f '(t) \ vert dt}

La longitud de una curva no cambia si se vuelve a parametrizar. También es posible definir la abscisa curvilínea como:

L(t)=\int _{a}^{t}\vert f'(t)\vert dt

{\ Displaystyle L (t) = \ int _ {a} ^ {t} \ vert f '(t) \ vert dt}

{\ Displaystyle L (t) = \ int _ {a} ^ {t} \ vert f '(t) \ vert dt}

Ejemplo

Considere que el rango de definición de la curva tiene la forma $[0,T]$ ${\ Displaystyle [0, T]}$ $[0, T]$ y que un cuerpo puntual $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ recorre la curva mientras que el tiempo variable $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ varía en el intervalo de tiempo de 0 a $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ ; por tanto, tenemos un modelo cinemático de la curva. La longitud de la curva recorrida por el corpúsculo desde el instante 0 al instante $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ Y:

s(t)=\int _{0}^{t}\vert f'(u)\vert du

{\ Displaystyle s (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ vert f '(u) \ vert du}

{\ Displaystyle s (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ vert f '(u) \ vert du}

La función cada vez mayor $s(t)$ ${\ Displaystyle s (t)}$ $S t)$ establece una biyección entre los intervalos $[0,T]$ ${\ Displaystyle [0, T]}$ $[0, T]$ Y $[0,L]$ ${\ Displaystyle [0, L]}$ $[0, L]$ y conduce a una reparametrización de la curva. Escribiendo:

f(t)~=~f_{0}(s(t))

{\ Displaystyle f (t) ~ = ~ f_ {0} (s (t))}

f (t) ~ = ~ f_ {0} (s (t))

se consigue la denominada parametrización de la longitud del arco $f_{0}$ ${\ Displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ de la curva. Esta parametrización, en términos cinemáticos, se puede leer como el movimiento de un cuerpo puntual que recorre la curva con una velocidad constante igual a $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ :

\vert f_{0}'(s(t))\vert =1\qquad (\forall t\in I)

{\ Displaystyle \ vert f_ {0} '(s (t)) \ vert = 1 \ qquad (\ forall t \ in I)}

\ vert f_ {0} '(s (t)) \ vert = 1 \ qquad (\ forall t \ in I)

Esta parametrización de la curva es la única que tiene la velocidad constantemente igual a $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ . Aunque a menudo es difícil de calcular, es útil para demostrar fácilmente algunos teoremas.

Sistema de frenet

Un sistema Frenet es un sistema de referencia móvil de $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ vectores ortonormales $\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)\,\!$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t), \ ldots, \ mathbf {e} _ {n} (t) \, \!}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t), \ ldots, \ mathbf {e} _ {n} (t) \, \!}$ adicto a $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ , útil para describir el comportamiento local de la curva en $f(t)$ ${\ Displaystyle f (t)}$ $f (t)$ .

Supongamos que las derivadas $f'(t),\ldots ,f^{(n)}(t)\,\!$ ${\ Displaystyle f '(t), \ ldots, f ^ {(n)} (t) \, \!}$ ${\ Displaystyle f '(t), \ ldots, f ^ {(n)} (t) \, \!}$ forman una base y, por lo tanto, son linealmente independientes . En este caso, el sistema Frenet se define a partir de esta base mediante el procedimiento de ortonormalización de Gram-Schmidt .

Las curvaturas generalizadas se definen como:

\chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{|f'(t)|}}.

{\ Displaystyle \ chi _ {i} (t) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {i} '(t), \ mathbf {e} _ {i + 1} (t) \ rangle} {| f '(t) |}}.}

\ chi _ {i} (t) = {\ frac {\ langle {\ mathbf {e}} _ {i} '(t), {\ mathbf {e}} _ {{i + 1}} (t) \ rangle} {| f '(t) |}}.

El sistema Frenet y las curvaturas generalizadas no dependen de la parametrización elegida.

2 tamaños

El círculo osculador

En el plan, el primer vector Frenet $\mathbf {e} _{1}(t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t)}$ es el vector tangente ${\hat {\mathbf {T} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ a la curva de valor $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ del parámetro, mientras que el vector $\mathbf {e} _{2}(t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (t)}$ , llamado vector unitario normal ${\hat {\mathbf {N} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ es el vector normal a $\mathbf {e} _{1}(t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t)}$ y apunta hacia el centro del círculo (tiene la misma dirección que el radio).

El círculo osculador es el círculo tangente a $\mathbf {e} _{1}(t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t)}$ y radio $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ . El círculo osculador se aproxima a la curva alrededor del valor $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ del parámetro "hasta segundo orden": es decir, tiene las mismas derivadas primera y segunda de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ en el punto. La curvatura :

k(t)=\chi _{1}(t)

{\ Displaystyle k (t) = \ chi _ {1} (t)}

{\ Displaystyle k (t) = \ chi _ {1} (t)}

indica el desplazamiento de la curva desde la recta tangente. El recíproco, correspondiente al radio del círculo osculante en $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ , se llama radio de curvatura :

r(t)={\frac {1}{k(t)}}

{\ Displaystyle r (t) = {\ frac {1} {k (t)}}}

{\ Displaystyle r (t) = {\ frac {1} {k (t)}}}

Por ejemplo, un círculo de radio $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ tiene una curvatura constante $k=1/r$ ${\ Displaystyle k = 1 / r}$ ${\ Displaystyle k = 1 / r}$ , mientras que una línea recta tiene curvatura cero.

3 tamaños

Un sistema Frenet en tres dimensiones y el plano osculador relacionado resaltado

En el espacio tridimensional, los vectores de Frenet se denominan tríada intrínseca , mientras que las curvaturas generalizadas se denominan curvatura y torsión .

Versor tangente

El versor tangente ${\hat {\mathbf {T} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ es el primer vector de Frenet $\mathbf {e} _{1}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1}}$ ${\ mathbf e} _ {1}$ , que se define como:

{\hat {\mathbf {T} }}=\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {f'(t)}{|f'(t)|}}

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}} = \ mathbf {e} _ {1} (t) = {\ frac {f '(t)} {| f' (t) |}}}

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}} = \ mathbf {e} _ {1} (t) = {\ frac {f '(t)} {| f' (t) |}}}

Por lo tanto, será posible reescribir la derivada en función de la longitud del arco:

f'(t)=(L)'{\hat {\mathbf {T} }}

{\ Displaystyle f '(t) = (L)' {\ hat {\ mathbf {T}}}}

{\ Displaystyle f '(t) = (L)' {\ hat {\ mathbf {T}}}}

Uno mismo $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ se parametriza según la longitud del arco, este toma un valor unitario, por lo que la relación simplemente se reduce a

{\hat {\mathbf {T} }}=f'(t)

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}} = f '(t)}

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}} = f '(t)}

De las relaciones anteriores obtenemos una relación adicional entre la relación entre la longitud del arco y la unidad del vector tangente, de hecho:

{\frac {\mathrm {d} f'}{\mathrm {d} L}}={\hat {\mathbf {T} }}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f '} {\ mathrm {d} L}} = {\ hat {\ mathbf {T}}}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f '} {\ mathrm {d} L}} = {\ hat {\ mathbf {T}}}}

Versor normal

El vector unitario normal ${\hat {\mathbf {N} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ es el segundo vector de Frenet que mide cuánto difiere la curva de una línea recta; Se define como:

{\hat {\mathbf {N} }}=\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)}{|{\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)|}},\quad {\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)=f''(t)-\langle f''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \ \mathbf {e} _{1}(t)

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}} = \ mathbf {e} _ {2} (t) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e}}} _ {2} (t) } {| {\ overline {\ mathbf {e}}} _ {2} (t) |}}, \ quad {\ overline {\ mathbf {e}}} _ {2} (t) = f '' ( t) - \ langle f '' (t), \ mathbf {e} _ {1} (t) \ rangle \ \ mathbf {e} _ {1} (t)}

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}} = \ mathbf {e} _ {2} (t) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e}}} _ {2} (t) } {| {\ overline {\ mathbf {e}}} _ {2} (t) |}}, \ quad {\ overline {\ mathbf {e}}} _ {2} (t) = f '' ( t) - \ langle f '' (t), \ mathbf {e} _ {1} (t) \ rangle \ \ mathbf {e} _ {1} (t)}

Existe una relación que vincula el versor normal con la longitud del arco:

{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {T} }}}{\mathrm {d} L}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}f'}{\mathrm {d} L^{2}}}=k(t){\hat {\mathbf {N} }}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {\ mathbf {T}}}} {\ mathrm {d} L}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} f '} {\ mathrm {d} L ^ {2}}} = k (t) {\ hat {\ mathbf {N}}}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {\ mathbf {T}}}} {\ mathrm {d} L}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} f '} {\ mathrm {d} L ^ {2}}} = k (t) {\ hat {\ mathbf {N}}}}

La tangente y normal vectorors generan un plano, llamado el plano osculador de la curva en el punto $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ .

Versor binormal

El vector unitario binormal ${\hat {\mathbf {B} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}}}$ es el tercer vector de Frenet $\mathbf {e} _{3}(t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {3} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {3} (t)}$ , que es ortogonal al plano osculante, definido con el producto vectorial simplemente como:

{\hat {\mathbf {B} }}=\mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}} = \ mathbf {e} _ {3} (t) = \ mathbf {e} _ {1} (t) \ times \ mathbf {e} _ {2 } (t)}

{\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}} = \ mathbf {e} _ {3} (t) = \ mathbf {e} _ {1} (t) \ times \ mathbf {e} _ {2 } (t)}

Curvatura y torsión

La primera curvatura generalizada $\chi _{1}(t)$ ${\ Displaystyle \ chi _ {1} (t)}$ $\ chi _ {1} (t)$ simplemente se llama la curvatura de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ en $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ , y está dado por

k(t)=\chi _{1}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle }{|f^{'}(t)|}}

{\ Displaystyle k (t) = \ chi _ {1} (t) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {1} '(t), \ mathbf {e} _ {2} (t) \ rangle} {| f ^ {'} (t) |}}}

{\ Displaystyle k (t) = \ chi _ {1} (t) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {1} '(t), \ mathbf {e} _ {2} (t) \ rangle} {| f ^ {'} (t) |}}}

La segunda curvatura generalizada $\chi _{2}(t)$ ${\ Displaystyle \ chi _ {2} (t)}$ $\ chi _ {2} (t)$ se llama torsión y mide hasta qué punto la curva sale del plano osculante.

\tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t)\rangle }{|f'(t)|}}

{\ Displaystyle \ tau (t) = \ chi _ {2} (t) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {2} '(t), \ mathbf {e} _ {3} (t ) \ rangle} {| f '(t) |}}}

\ tau (t) = \ chi _ {2} (t) = {\ frac {\ langle {\ mathbf {e}} _ {2} '(t), {\ mathbf {e}} _ {3} ( t) \ rangle} {| f '(t) |}}

El recíproco de la curvatura en el punto $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ es el radio de curvatura $\rho (t)=\left[k(t)\right]^{-1}$ ${\ Displaystyle \ rho (t) = \ left [k (t) \ right] ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle \ rho (t) = \ left [k (t) \ right] ^ {- 1}}$ ; además, una curva tiene torsión cero si y solo si es una curva plana .

Fórmulas de Frenet-Serret

Las fórmulas de Frenet-Serret son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, cuya solución es el sistema de Frenet que describe la curva. Los coeficientes de la ecuación diferencial están dados por las curvaturas generalizadas $\chi _{i}$ ${\ Displaystyle \ chi _ {i}}$ $\ chi _ {i}$ .

2 tamaños

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&k(t)\\-k(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} 0 & k (t) \\ - k (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ end {bmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} 0 & k (t) \\ - k (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ end {bmatrix}}}

3 tamaños

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&k(t)&0\\-k(t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ mathbf {e} _ {3} '( t) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & k (t) & 0 \\ - k (t) & 0 & \ tau (t) \\ 0 & - \ tau (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ mathbf {e} _ {3} (t) \ \\ end {bmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ mathbf {e} _ {3} '( t) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & k (t) & 0 \\ - k (t) & 0 & \ tau (t) \\ 0 & - \ tau (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ mathbf {e} _ {3} (t) \ \\ end {bmatrix}}}

n dimensiones (fórmula general)

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\\\vdots \\\\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\dots &0\\-\chi _{1}(t)&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&\dots &-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\\\vdots \\\\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\\\ vdots \\\\\ mathbf {e} _ {n}' (t) \\\ end { bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & \ chi _ {1} (t) & \ dots & 0 \\ - \ chi _ {1} (t) & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & 0 & \ chi _ {n-1} (t) \\ 0 & \ dots & - \ chi _ {n-1} (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\\\ vdots \\\\\ mathbf {e} _ {n} (t) \\\ end {bmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\\\ vdots \\\\\ mathbf {e} _ {n}' (t) \\\ end { bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & \ chi _ {1} (t) & \ dots & 0 \\ - \ chi _ {1} (t) & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & 0 & \ chi _ {n-1} (t) \\ 0 & \ dots & - \ chi _ {n-1} (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\\\ vdots \\\\\ mathbf {e} _ {n} (t) \\\ end {bmatrix}}}

Propiedades de las curvaturas

Las curvaturas determinan la curva. Formalmente, da $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ funciones:

\chi _{i}\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n},\ i=1,\ldots ,n

{\ Displaystyle \ chi _ {i} \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}, \ i = 1, \ ldots, n}

\ chi _ {i} \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}, \ i = 1, \ ldots, n

suficientemente diferenciable, con:

\chi _{i}(t)>0{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1

{\ Displaystyle \ chi _ {i} (t)> 0 {\ mbox {,}} 1 \ leq i \ leq n-1}

\ chi _ {i} (t)> 0 {\ mbox {,}} 1 \ leq i \ leq n-1

solo hay una curva $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ teniendo esas curvaturas, a excepción de las traslaciones y otras isometrías del espacio euclidiano.

Descripción a través de áreas y esquinas.

El mismo tema en detalle: velocidad angular y velocidad areolar .

En geometría diferencial de curvas, la velocidad angular y la velocidad areolar son la velocidad con la que el radio vectorial de un punto que se mueve a lo largo de una curva barre un ángulo y una superficie , respectivamente. Los dos vectores son paralelos y tienen la misma dirección que el vector binormal.

Bibliografía

( EN ) Erwin Kreyszig, Geometría diferencial , Publicaciones de Dover, Nueva York, 1991, ISBN 0-486-66721-9 . El capítulo II es un tratamiento clásico de la teoría de curvas en 3 dimensiones.
E. Cesàro Lecciones de geometría intrínseca (1896)

Geometría diferencial de curvas

Índice

Definiciones

Definiciones basicas

Longitud y parametrización

Ejemplo

Sistema de frenet

2 tamaños

3 tamaños

Versor tangente

Versor normal

Versor binormal

Curvatura y torsión

Fórmulas de Frenet-Serret

2 tamaños

3 tamaños

n dimensiones (fórmula general)

Propiedades de las curvaturas

Descripción a través de áreas y esquinas.

Bibliografía

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