Identidad de Euler

La función exponencial e ^z se puede definir como el límite de (1 + z / N ) ^N cuando N se acerca al infinito. Por lo tanto, e ^iπ es el límite de (1 + iπ / N ) ^N. En esta animación, N toma valores crecientes de 1 a 100. El cálculo de (1 + iπ / N ) ^N se visualiza como el efecto de iterar N multiplicaciones en el plano complejo , con el último punto representando el valor real de (1 + iπ / N ) ^N. Podemos observar, a medida que N aumenta, la tendencia de (1 + iπ / N ) ^N al límite −1.

En matemáticas , la identidad de Euler es el caso especial de la fórmula de Euler donde la variable es igual a pi .

La identidad

La identidad de Euler es la siguiente igualdad:

e^{i\pi }+1=0

{\ Displaystyle e ^ {i \ pi} + 1 = 0}

y ^ {{i \ pi}} + 1 = 0

Dónde está:

1

{\ Displaystyle 1}

1

y son los elementos neutros del producto y la suma, respectivamente,

Y

{\ Displaystyle e}

Y

es la base de los logaritmos naturales ,

los

{\ Displaystyle i}

los

es la unidad imaginaria , el número complejo cuyo cuadrado es

-1

{\ Displaystyle -1}

-1

, Y

\pi

{\ Displaystyle \ pi}

\ Pi

es pi , la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

La identidad a veces se expresa de manera equivalente como:

e^{i\pi }=-1.

{\ Displaystyle e ^ {i \ pi} = - 1.}

y ^ {{i \ pi}} = - 1.

En la primera formulación se hace explícita la relación entre las cinco constantes matemáticas contenidas en ella.

Historia y significado

La ecuación, contrariamente a lo que se suele leer, no aparece en la Introductio in analysin infinitorum , el primer tratado sobre el cálculo infinitesimal de Euler , publicado en Lausana en 1748 . En realidad, no se sabe quién escribió la relación de manera explícita, aunque la fórmula de Euler , ahora relevante para el análisis complejo , era bien conocida en el siglo XVIII: los matemáticos Roger Cotes y Abraham de Moivre la habían probado de forma independiente y con diferentes procedimientos. ^[1] Esta fórmula se puede escribir de la siguiente manera:

e^{ix}=\cos x+i\sin x

{\ Displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x}

y ^ {{ix}} = \ cos x + i \ sin x

para cualquier número real $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ , siendo así la función coseno y pecado es la función seno . La identidad de Euler puede obtenerse como un caso particular de esta relación: si de hecho $x=\pi$ ${\ Displaystyle x = \ pi}$ $x = \ pi$ , asi que

e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi ,

{\ Displaystyle e ^ {i \ pi} = \ cos \ pi + i \ sin \ pi,}

y ^ {{i \ pi}} = \ cos \ pi + i \ sin \ pi,

y desde

\cos \pi =-1,

{\ Displaystyle \ cos \ pi = -1,}

\ cos \ pi = -1,

Y

\sin \pi =0,

{\ Displaystyle \ sin \ pi = 0,}

\ sin \ pi = 0,

resulta que

e^{i\pi }=-1.

{\ Displaystyle e ^ {i \ pi} = - 1.}

y ^ {{i \ pi}} = - 1.

Percepción de identidad

Benjamin Peirce , el conocido matemático del siglo XIX y profesor de Harvard , después de demostrar su identidad en una conferencia, dijo: "Señores, puedo decir con seguridad, es absolutamente paradójico; no podemos entenderlo, y no sabemos lo que significa. . Pero no sabemos lo que significa. Lo hemos probado y, por lo tanto, sabemos que debe ser la verdad ". ^[2] Richard Feynman llamó a la fórmula de Euler (de la cual se derivó la identidad) "la fórmula más extraordinaria en matemáticas". ^[3] Feynman, como muchos otros, encontró esta fórmula notable porque conecta algunas constantes matemáticas muy importantes:

El número, el elemento neutro para la suma (para cada $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ , $a+0=0+a=a$ ${\ Displaystyle a + 0 = 0 + a = a}$ $a + 0 = 0 + a = a$ ). Consulte Grupo (matemáticas) y Cero .
El número $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ , el elemento neutro para la multiplicación (para cada $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ , $a\times 1=1\times a=a$ ${\ Displaystyle a \ times 1 = 1 \ times a = a}$ $a \ times 1 = 1 \ times a = a$ ). Ver 1 (número) .
El número $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ es fundamental en trigonometría ; $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ es una constante para un mundo que es euclidiano , o para escalas pequeñas en una geometría no euclidiana (de lo contrario, la relación entre la longitud de la circunferencia de un círculo y su diámetro no sería una constante universal, es decir, la misma para todas las circunferencias ).
El número $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ es una constante fundamental (también llamada número de Napier ) relacionada con el estudio de los logaritmos en el análisis (como el estudio de ecuaciones diferenciales , por ejemplo, la solución de la ecuación diferencial $dy/dx=y$ ${\ Displaystyle dy / dx = y}$ $dy / dx = y$ con condición inicial $y(0)=1$ ${\ Displaystyle y (0) = 1}$ $y (0) = 1$ Y $y=e^{x}$ ${\ Displaystyle y = e ^ {x}}$ $y = e ^ {x}$ ).
La unidad imaginaria $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ (Dónde está $i^{2}=-1$ ${\ Displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $yo ^ 2 = -1$ ) es una unidad en números complejos . La introducción de esta unidad hace que todas las ecuaciones polinomiales no constantes puedan resolverse en el campo de los números complejos (ver el teorema fundamental del álgebra ).
La fórmula contiene un poder irracional (el número irracional neperiano $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ , elevado a un exponente que contiene el factor irracional $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ ), raro en fórmulas matemáticas, y conecta números irracionales reales ( $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ ), irracionales imaginarios ( $i\cdot \pi$ ${\ Displaystyle i \ cdot \ pi}$ $yo \ cdot \ pi$ ) y números enteros ( $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ ).

Además, están presentes todos los operadores fundamentales de la aritmética : igualdad , suma , multiplicación y exponenciación . Todos los supuestos fundamentales del análisis complejo están presentes, y los números enteros y $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ están conectados al campo de los números complejos.

Una investigación ^[4] dirigida por Semir Zeki sobre la belleza de las fórmulas matemáticas realizada en 16 matemáticos ha demostrado que la fórmula de identidad de Euler es la más popular (con una puntuación media de 0,8667).

Nota

^ Carl B. Boyer , Historia de las matemáticas , Mondadori, 2015, págs. 512-513.
^ Maor, pág. 160. Maor cita a Edward Kasner y James Newman, Mathematics and the Imagination , Nueva York: Simon y Schuster (1940), págs. 103-104
^ Feynman p. 22-10.
^ Fronteras en neurociencia humana (ver enlaces externos)

Bibliografía

Richard P. Feynman , Las conferencias de física de Feynman , vol. Yo Addison-Wesley (1977), ISBN 0-201-02010-6
Eli Maor, e: The Story of a number , Princeton University Press (4 de mayo de 1998), ISBN 0-691-05854-7
David Stipp, La ecuación de Dios. Euler y la belleza de las matemáticas , Codex Editions, 2018, ISBN 8875787549

enlaces externos

( ES ) Prueba de la identidad de Euler por Julius O. Smith III , en ccrma-www.stanford.edu . Consultado el 30 de agosto de 2005 (archivado desde el original el 4 de noviembre de 2005) .
( ES ) Prueba de la relación de Euler por Craig Lewis , en DJTricities.com . Consultado el 5 de junio de 2019. Archivado desde el original el 13 de marzo de 2009 .
( EN ) Artículo en Frontiers in Human Neuroscience , en journal.frontiersin.org .
Fórmula e identidad de Euler Fórmula e identidad de Euler , potencias y logaritmos complejos. Lección interactiva.

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[1] Carl B. Boyer , Historia de las matemáticas , Mondadori, 2015, págs. 512-513.

[2] Maor, pág. 160. Maor cita a Edward Kasner y James Newman, Mathematics and the Imagination , Nueva York: Simon y Schuster (1940), págs. 103-104

[3] Feynman p. 22-10.

[4] Fronteras en neurociencia humana (ver enlaces externos)

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