Lagrangiano

En la mecánica racional , en particular en la mecánica lagrangiana , el lagrangiano de un sistema físico es una función que caracteriza su dinámica, siendo para los sistemas mecánicos la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial en cada punto del camino seguido durante el movimiento. De acuerdo con el principio de mínima acción , un sistema físico en movimiento entre dos puntos sigue un camino que, entre todos los caminos posibles, es el que minimiza la acción , que es la integral del Lagrangiano con respecto al tiempo. A partir de esto, se escriben las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange .

Al describir sistemas físicos, la invariancia del Lagrangiano con respecto a las transformaciones continuas de las coordenadas determina la presencia de cantidades conservadas durante el movimiento, o constantes de movimiento , de acuerdo con el teorema de Noether .

Definición

La Lagrangiana $L({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ ${\ Displaystyle L ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ Displaystyle L ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ de un sistema físico con $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ grados de libertad se define como la diferencia entre la energía cinética $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ y la energía potencial total $U$ ${\ Displaystyle U}$ $U$ :

L({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)=T({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)-U(\mathbf {q} ,t)

{\ Displaystyle L ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) -U (\ mathbf {q}, t)}

{\ Displaystyle L ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) -U (\ mathbf {q}, t)}

Dónde está $\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ denota las coordenadas generalizadas , ${\dot {\mathbf {q} }}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ sus respectivas velocidades e $t\in \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in \ mathbb {R}$ es la hora. En sistemas conservadores , donde esa es la energía potencial $U$ ${\ Displaystyle U}$ $U$ no depende del tiempo y se conserva la energía, el lagrangiano es a su vez independiente de la variable tiempo. De hecho, considerando un punto material de masa $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ , tiene la expresión:

L({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} )=T({\dot {\mathbf {q} }})-U(\mathbf {q} )={\frac {1}{2}}m({\dot {\mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }})-U(\mathbf {q} )

{\ Displaystyle L ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}) - U (\ mathbf {q}) = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {\ mathbf {q}}} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}) - U (\ mathbf {q})}

{\ Displaystyle L ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}) - U (\ mathbf {q}) = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {\ mathbf {q}}} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}) - U (\ mathbf {q})}

Si el lagrangiano se conoce en función de las coordenadas $\mathbf {q}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ y sus derivadas, entonces la ecuación de movimiento del sistema se puede escribir en la forma de las ecuaciones de Euler-Lagrange . El lagrangiano de un sistema puede no ser único. De hecho, dos lagrangianos que describen el mismo sistema pueden diferir en la derivada total con respecto al tiempo de alguna función. $f(\mathbf {q} ,t)$ ${\ Displaystyle f (\ mathbf {q}, t)}$ ${\ Displaystyle f (\ mathbf {q}, t)}$ , sin embargo, la ecuación de movimiento correspondiente será la misma. ^[1] ^[2]

A veces, el lagrangiano también se expresa como dependiente de las derivadas de las coordenadas que siguen a la primera. En general se define como una función ${\mathcal {L}}:TM\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}: TM \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}: TM \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ en el paquete tangente $T. METRO.$ ${\ displaystyle TM}$ ${\ displaystyle TM}$ de una variedad diferenciable , llamada variedad de configuraciones , en un punto.

Ecuaciones de Lagrange y Euler-Lagrange

El mismo tema en detalle: ecuaciones de Euler-Lagrange .

Para el principio de mínima acción , las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange, es decir, las trayectorias geodésicas del sistema, son tales que hacen estacionaria (con variación cero) la integral de acción calculada con respecto a las posibles trayectorias entre dos fijos. puntos.

Además, según el teorema de Noether , si una cierta cantidad es invariante con respecto a la transformación de un campo, entonces el Lagrangiano correspondiente es simétrico bajo esta transformación. Por ejemplo, si el lagrangiano no depende explícitamente de una determinada coordenada $q_{i}$ ${\ Displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , llamada en este caso coordenada cíclica , a través de las ecuaciones de Euler-Lagrange tenemos:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}} \ derecha) = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}} \ derecha) = 0}

y por lo tanto:

p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}

{\ Displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}}}

{\ Displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ dot {q}} _ {i}}}}

por tanto, el momento conjugado es una constante de movimiento o cantidad conservada .

En particular, si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, el hamiltoniano ${\mathcal {H}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ es una constante de movimiento. En concreto, esta cantidad almacenada tiene la forma:

H=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-L=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}p_{i}-L

{\ Displaystyle H = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {{\ dot {q}} _ {i}}}} -L = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} p_ {i} -L}

{\ Displaystyle H = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {{\ dot {q}} _ {i}}}} -L = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} p_ {i} -L}

es decir, el hamiltoniano es la transformada de Legendre del lagrangiano. Si el lagrangiano está dado por la diferencia de energía cinética y potencial , $H.$ ${\ Displaystyle H}$ $H.$ es igual a su suma, es decir, a la energía total del sistema. Si además la relación $p_{i}=\partial L/\partial {\dot {q}}_{i}$ ${\ Displaystyle p_ {i} = \ L parcial / \ parcial {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ Displaystyle p_ {i} = \ L parcial / \ parcial {\ dot {q}} _ {i}}$ es invertible, las ecuaciones de Euler-Lagrange son equivalentes a las ecuaciones de Hamilton del sistema.

Densidad lagrangiana

En varios campos de la física, incluida la electrodinámica y la teoría cuántica de campos , se define la densidad lagrangiana ${\mathcal {L}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ así que eso:

L=\int _{\mathbf {x} \in D}{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ',t,\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x}

{\ Displaystyle L = \ int _ {\ mathbf {x} \ in D} {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q} ' , t, \ mathbf {x}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {x}}

{\ Displaystyle L = \ int _ {\ mathbf {x} \ in D} {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q} ' , t, \ mathbf {x}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {x}}

Dónde está $\mathbf {q} '=(\partial q_{i}/\partial x_{j})$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q} '= (\ parcial q_ {i} / \ parcial x_ {j})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {q} '= (\ parcial q_ {i} / \ parcial x_ {j})}$ , $\mathbf {\dot {q}} =(\partial q_{1}/\partial t,\dots ,\partial q_{n}/\partial t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = (\ parciales q_ {1} / \ parciales t, \ puntos, \ parciales q_ {n} / \ parciales t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = (\ parciales q_ {1} / \ parciales t, \ puntos, \ parciales q_ {n} / \ parciales t)}$ Y $D\subset \mathbb {R} ^{k}$ ${\ Displaystyle D \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ Displaystyle D \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {k}}$ .

Por ejemplo, en relatividad especial se utiliza la densidad lagrangiana por ser un escalar de Lorentz local, y la acción se define mediante la integral:

{\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\ \mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{\mathbf {x} \in D}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\mathrm {d} t=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{4}x

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \ \ mathrm {d} t = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2 }} \ int _ {\ mathbf {x} \ in D} {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \, \ mathrm {d} t = \ int {\ mathcal {L }} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \ \ mathrm {d} t = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2 }} \ int _ {\ mathbf {x} \ in D} {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \, \ mathrm {d} t = \ int {\ mathcal {L }} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

El uso de la densidad lagrangiana nos permite escribir las ecuaciones de movimiento de una manera manifiestamente covariante .

Ejemplo

Supongamos que tenemos el Lagrangiano en un espacio tridimensional:

L={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-U(\mathbf {x} )

{\ Displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ mathbf {x}}} ^ {2} -U (\ mathbf {x})}

{\ Displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ mathbf {x}}} ^ {2} -U (\ mathbf {x})}

donde la derivada con respecto al tiempo se escribe convencionalmente como un punto por encima de la función que se deriva. Se puede demostrar fácilmente que el enfoque de Lagrange es equivalente al newtoniano. Escribiendo la fuerza conservadora en términos de energía potencial:

\mathbf {F} =-\nabla U

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla U}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla U}

la ecuación resultante es de hecho:

\mathbf {F} =m{\ddot {\mathbf {x} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = m {\ ddot {\ mathbf {x}}}}

{\ mathbf {F}} = m {\ ddot {{\ mathbf {x}}}}

Entonces, suponiendo que queremos representar el movimiento de un punto material en un espacio tridimensional usando coordenadas esféricas $(r,\theta ,\phi )$ ${\ Displaystyle (r, \ theta, \ phi)}$ $(r, \ theta, \ phi)$ , la forma del Lagrangiano es:

L={\frac {m}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2}\right)-U(r,\theta ,\phi )

{\ Displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right) -U (r, \ theta, \ phi)}

{\ Displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right) -U (r, \ theta, \ phi)}

La ventaja más inmediata de la formulación lagrangiana sobre la newtoniana consiste en el hecho de que en el caso de sistemas restringidos es posible obtener las ecuaciones de movimiento sin tener en cuenta las reacciones de restricción, que en su mayoría son indeterminadas. Para ello, basta con sustituir en el Lagrangiano para el sistema no restringido una parametrización adecuada de la restricción. Por ejemplo, para cambiar de la descripción de un punto material no sujeto a restricciones a la de un punto material restringido a permanecer a una distancia fija $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ de un centro asignado, que es un péndulo esférico, es suficiente preguntar $r={\text{costante}}$ ${\ displaystyle r = {\ text {constante}}}$ ${\ displaystyle r = {\ text {constante}}}$ en el Lagrangiano en coordenadas esféricas y obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange solo para las funciones desconocidas $\theta (t)$ ${\ Displaystyle \ theta (t)}$ $\ theta (t)$ Y $\phi (t)$ ${\ Displaystyle \ phi (t)}$ $\ phi (t)$ . De esta forma, las ecuaciones de movimiento se obtienen de forma inmediata, sin tener que calcular primero la proyección de las fuerzas activas sobre el plano tangente a la esfera de radio. $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ , como sería necesario hacer para escribir las ecuaciones de Newton.

Nota

^ Herbert Goldstein, Charles Poole y John Safko, Mecánica clásica , 3ª ed., Addison-Wesley, 2002, p. 21 , ISBN 978-0-201-65702-9 .
^ Lev D. Landau y Evgenij M. Lifšic, Meccanica , Roma, Editori Riuniti, 1991, ISBN 88-359-3473-7 .

Bibliografía

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Antonio Fasano y Stefano Marmi, Mecánica Analítica , Turín, Bollati Boringhieri , 2002, ISBN 88-339-5681-4 .
Valter Moretti, Mecánica analítica , Springer, DOI : 10.1007 / 978-88-470-3998-8 , ISBN 978-88-470-3998-8 .
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( FR ) Joseph-Louis Lagrange Oeuvres de Lagrange ^{[ enlace roto ]} v. 11-12 Gauthier-Villars, París (1867-1892).
( ES ) AG Webster La dinámica de partículas y de cuerpos rígidos, elásticos y fluidos. Siendo conferencias sobre física matemática (1912) BG Teubner, Leipzig.
( EN ) ET Whittaker Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos , (1917) Cambridge University Press.
( ES ) A. Ziwet y P. Field Introducción a la mecánica analítica (1921) p. 263 MacMillan, Nueva York.

enlaces externos

( EN ) IV Volovich, Lagrangiano , en Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Christoph Schiller, Descripciones globales del movimiento: la simplicidad de la complejidad ( PDF ), su motionmountain.net , 2005 (archivado desde el original el 17 de diciembre de 2008) .
( EN ) David Tong, Classical Dynamics (notas de la conferencia de Cambridge) , en damtp.cam.ac.uk .
(EN)David Morin - The Lagrangian Method (PDF) en people.fas.harvard.edu.

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Portal mecánico

[Goldstein-1] Herbert Goldstein, Charles Poole y John Safko, Mecánica clásica , 3ª ed., Addison-Wesley, 2002, p. 21 , ISBN 978-0-201-65702-9 .

[2] Lev D. Landau y Evgenij M. Lifšic, Meccanica , Roma, Editori Riuniti, 1991, ISBN 88-359-3473-7 .

[1]

[2]