ley de Hooke

En mecánica de materiales , la ley de Hooke es la relación constitutiva más simple de comportamiento de materiales elásticos . Se formula diciendo que un cuerpo elástico sufre una deformación directamente proporcional a la tensión que se le aplica. La constante de proporcionalidad depende de la naturaleza del material en sí.

Los materiales para los que la ley de Hooke es una aproximación útil del comportamiento real se denominan materiales elásticos lineales . Por lo tanto, define un sólido elástico de la misma manera que la ley de Pascal define un fluido ideal .

Dinamómetros de laboratorio

Dinamómetros

La ley de Hooke es la base del principio de funcionamiento del dinamómetro , un instrumento para medir fuerzas .

Fondo

Robert Hooke inició su estudio sobre la elasticidad a partir de la caracterización del comportamiento del resorte perfecto o ideal, es decir, un resorte sin masa , de grosor despreciable cuando está completamente comprimido y en total ausencia de fricción y otros fenómenos disipativos; de hecho, el resorte ideal representa el modelo clásico de elasticidad lineal. La ley se formuló por primera vez en 1675 , en forma del anagrama latino " ceiiinosssttuv ", cuya solución fue publicada por Hooke en 1678 como " Ut tensio, sic vis " (" como la extensión, entonces la fuerza ").

Declaración

Partiendo del enunciado originalmente proporcionado por Hooke, la ecuación que expresa la fuerza elástica ejercida por un resorte tensado longitudinalmente, en tracción o compresión, a lo largo de un eje ${\hat {\mathbf {x} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}}$ Y:

\mathbf {F} =-k_{E}\cdot \Delta l\cdot {\hat {\mathbf {x} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = -k_ {E} \ cdot \ Delta l \ cdot {\ hat {\ mathbf {x}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = -k_ {E} \ cdot \ Delta l \ cdot {\ hat {\ mathbf {x}}}}

de ahí la fuerza $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ con el que el resorte reacciona a la tensión es directamente proporcional al alargamiento $\Delta l$ ${\ Displaystyle \ Delta l}$ $\ Delta l$ de la primavera. El constante $k_{E}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ representa la constante elástica longitudinal del resorte, expresada en ${\textstyle [\mathrm {N\cdot m^{-1}} ]}$ ${\ textstyle [\ mathrm {N \ cdot m ^ {- 1}}]}$ ${\ textstyle [\ mathrm {N \ cdot m ^ {- 1}}]}$ .

De forma completamente análoga, obtenemos la ecuación que expresa el momento elástico, dirigido a lo largo de un eje ${\hat {\mathbf {z} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ ortogonal al plano de torsión, ejercido por un resorte de torsión tensado tangencialmente:

\mathbf {M} =-k_{\theta }\cdot \Delta \alpha \cdot {\hat {\mathbf {z} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = -k _ {\ theta} \ cdot \ Delta \ alpha \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = -k _ {\ theta} \ cdot \ Delta \ alpha \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}}

de ahí el momento mecánico $\mathbf {M}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ con el que el resorte reacciona a la tensión es directamente proporcional a la variación del ángulo $\Delta \alpha$ ${\ Displaystyle \ Delta \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ alpha}$ . El constante $k_{\theta }$ ${\ Displaystyle k _ {\ theta}}$ ${\ Displaystyle k _ {\ theta}}$ representa la constante elástica tangencial del cuerpo, expresada en $[\mathrm {N\cdot m} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {N \ cdot m}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {N \ cdot m}]}$ .

Primavera

Resortes de laboratorio La ley de Hooke proporciona la descripción del comportamiento físico de los cuerpos elásticos (como los resortes )

Sin embargo, la formulación actual de la ley de Hooke utiliza dos cantidades vectoriales, el voltaje ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ y deformación ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ , unidos entre sí por una relación tensorial .

En el caso unidimensional, la relación longitudinal se convierte en:

\sigma =E\cdot \varepsilon

{\ Displaystyle \ sigma = E \ cdot \ varepsilon}

{\ Displaystyle \ sigma = E \ cdot \ varepsilon}

Dónde está $\varepsilon ={\frac {l_{f}-l_{i}}{l_{i}}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ frac {l_ {f} -l_ {i}} {l_ {i}}}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ frac {l_ {f} -l_ {i}} {l_ {i}}}}$ es el coeficiente de expansión lineal e $Y$ ${\ Displaystyle E}$ $Y$ es el módulo de elasticidad longitudinal de Young , mientras que la relación inversa es:

\varepsilon =C\cdot \sigma

{\ Displaystyle \ varepsilon = C \ cdot \ sigma}

{\ Displaystyle \ varepsilon = C \ cdot \ sigma}

donde la inversa del módulo de Young se llama módulo de cumplimiento longitudinal $C=E^{-1}$ ${\ Displaystyle C = E ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle C = E ^ {- 1}}$ .

Mientras que el caso unidimensional de la relación tangencial se convierte en:

\tau =G\cdot \gamma

{\ Displaystyle \ tau = G \ cdot \ gamma}

{\ Displaystyle \ tau = G \ cdot \ gamma}

Dónde está $\gamma =\alpha _{i}-\alpha _{f}=-\Delta \alpha$ ${\ Displaystyle \ gamma = \ alpha _ {i} - \ alpha _ {f} = - \ Delta \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ gamma = \ alpha _ {i} - \ alpha _ {f} = - \ Delta \ alpha}$ es el coeficiente de deslizamiento angular e $GRAMO.$ ${\ Displaystyle G}$ $GRAMO.$ es el módulo de elasticidad tangencial .

De los informes anteriores se puede deducir que:

k_{E}=E\cdot {\frac {S}{l_{i}}}

{\ Displaystyle k_ {E} = E \ cdot {\ frac {S} {l_ {i}}}}

{\ Displaystyle k_ {E} = E \ cdot {\ frac {S} {l_ {i}}}}

es eso:

k_{\theta }=G\cdot S\cdot b

{\ Displaystyle k _ {\ theta} = G \ cdot S \ cdot b}

{\ Displaystyle k _ {\ theta} = G \ cdot S \ cdot b}

Dónde está:

$S.$ ${\ Displaystyle S}$ $S.$ es la sección;
$l_{i}$ ${\ Displaystyle l_ {i}}$ ${\ Displaystyle l_ {i}}$ es la dimensión longitudinal;
$B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ es el brazo de la fuerza que causa el momento.

Demostración

Dado un sistema de referencia cartesiano centrado en un punto $P_{0}$ ${\ Displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ perteneciente a un cuerpo deformable, con $P\in I_{\delta }(P_{0})$ ${\ Displaystyle P \ en I _ {\ delta} (P_ {0})}$ ${\ Displaystyle P \ en I _ {\ delta} (P_ {0})}$ y dijo $\mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{0}P}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = {\ overrightarrow {P_ {0} P}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = {\ overrightarrow {P_ {0} P}}}$ , tenemos que la cinemática del punto $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ viene dada por la ecuación:

s_{i}(P)=s_{i}(P_{0})+\mathbf {W} _{ij}\cdot r_{j}+\mathbf {E} _{ij}\cdot r_{j}

{\ Displaystyle s_ {i} (P) = s_ {i} (P_ {0}) + \ mathbf {W} _ {ij} \ cdot r_ {j} + \ mathbf {E} _ {ij} \ cdot r_ {j}}

{\ Displaystyle s_ {i} (P) = s_ {i} (P_ {0}) + \ mathbf {W} _ {ij} \ cdot r_ {j} + \ mathbf {E} _ {ij} \ cdot r_ {j}}

mientras que el tratamiento estático de $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ se obtiene mediante el teorema de Cauchy-Poisson :

t_{i}(P)_{\hat {\mathbf {n} }}=\mathbf {T} _{ij}\cdot n_{j}

{\ Displaystyle t_ {i} (P) _ {\ hat {\ mathbf {n}}} = \ mathbf {T} _ {ij} \ cdot n_ {j}}

{\ Displaystyle t_ {i} (P) _ {\ hat {\ mathbf {n}}} = \ mathbf {T} _ {ij} \ cdot n_ {j}}

Dónde está:

$\mathbf {s}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {s}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {s}}$ es el vector de desplazamiento ;
${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ es la posición ;
${\underline {\underline {\mathbf {E} }}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {E}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {E}}}}}$ Y ${\underline {\underline {\mathbf {T} }}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {T}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {T}}}}}$ son, respectivamente, los tensores de las deformaciones y de las tensiones, ambos simétricos; haciendo uso de la notación de Voigt , a estos dos tensores es posible asociar, respectivamente, el vector de deformación ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ y el vector de voltaje ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ .

En el campo elástico, deformando una unidad de volumen infinitesimal $dV_{1}$ ${\ Displaystyle dV_ {1}}$ ${\ Displaystyle dV_ {1}}$ , trayendo de un estado $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ a un estado $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ , solicitas un trabajo ${\mathcal {W}}_{AB}={\mathcal {W}}_{BA}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} _ {AB} = {\ mathcal {W}} _ {BA}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} _ {AB} = {\ mathcal {W}} _ {BA}}$ . Por tanto, el material libera toda la energía acumulada y esto permite que se produzca la ausencia de deformaciones residuales.

Para materiales hiperelásticos , la energía de deformación se define como una función continua:

\omega (\varepsilon _{ij})=\int _{0}^{\varepsilon _{ij}}\sigma _{ij}\,\mathrm {d} \varepsilon _{ij}

{\ Displaystyle \ omega (\ varepsilon _ {ij}) = \ int _ {0} ^ {\ varepsilon _ {ij}} \ sigma _ {ij} \, \ mathrm {d} \ varepsilon _ {ij}}

{\ Displaystyle \ omega (\ varepsilon _ {ij}) = \ int _ {0} ^ {\ varepsilon _ {ij}} \ sigma _ {ij} \, \ mathrm {d} \ varepsilon _ {ij}}

por tanto, representa el potencial de las tensiones, mientras que el potencial de las deformaciones está representado por la energía complementaria:

\gamma (\sigma _{ij})=\int _{0}^{\sigma {ij}}\varepsilon _{ij}\,\mathrm {d} \sigma _{ij}

{\ Displaystyle \ gamma (\ sigma _ {ij}) = \ int _ {0} ^ {\ sigma {ij}} \ varepsilon _ {ij} \, \ mathrm {d} \ sigma _ {ij}}

{\ Displaystyle \ gamma (\ sigma _ {ij}) = \ int _ {0} ^ {\ sigma {ij}} \ varepsilon _ {ij} \, \ mathrm {d} \ sigma _ {ij}}

Dado que ambos son potenciales , ambas funciones deben respetar las condiciones de Schwarz .

A partir de estas consideraciones enérgicas, es posible derivar la ley de Hooke en términos de tensores:

\sigma _{ij}=\mathbf {D} _{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}

{\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = \ mathbf {D} _ {ijkl} \ cdot \ varepsilon _ {kl}}

{\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = \ mathbf {D} _ {ijkl} \ cdot \ varepsilon _ {kl}}

donde el operador lineal $\mathbf {D} _{ijkl}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D} _ {ijkl}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D} _ {ijkl}}$ es el tensor de elasticidad, la ley inversa, por otro lado, se define como:

\varepsilon _{ij}=\mathbf {A} _{ijkl}\cdot \sigma _{kl}

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} = \ mathbf {A} _ {ijkl} \ cdot \ sigma _ {kl}}

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} = \ mathbf {A} _ {ijkl} \ cdot \ sigma _ {kl}}

donde el operador lineal $\mathbf {A} _{ijkl}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {ijkl}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {ijkl}}$ es el tensor de cumplimiento. Por lo tanto tenemos eso:

{\begin{aligned}&\omega ={\frac {1}{2}}\mathbf {D} _{ijkl}\,\varepsilon _{ij}\,\varepsilon _{kl}\\[4pt]&\gamma ={\frac {1}{2}}\mathbf {A} _{ijkl}\,\sigma _{ij}\,\sigma _{kl}\\\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ omega = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {D} _ {ijkl} \, \ varepsilon _ {ij} \, \ varepsilon _ {kl} \\ [4pt] & \ gamma = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {A} _ {ijkl} \, \ sigma _ {ij} \, \ sigma _ {kl} \\\ end {alineado}} }

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ omega = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {D} _ {ijkl} \, \ varepsilon _ {ij} \, \ varepsilon _ {kl} \\ [4pt] & \ gamma = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {A} _ {ijkl} \, \ sigma _ {ij} \, \ sigma _ {kl} \\\ end {alineado}} }

Aunque se han derivado para materiales hiperelásticos, estas leyes son válidas para todo tipo de materiales elásticos.

Es $\mathbf {D} _{ijkl}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D} _ {ijkl}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D} _ {ijkl}}$ ese $\mathbf {A} _{ijkl}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {ijkl}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {ijkl}}$ son tensores de cuarto orden, por lo que tienen ochenta y un coeficientes escalares.

En general, ambos tensores tienen treinta y seis coeficientes independientes, que se reducen a veintiuno en el caso de material hiperelástico ya solo dos en el caso de material homogéneo e isotrópico ; en el último caso el vínculo constitutivo viene dado por la relación:

{\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \cdot {\text{tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})\cdot \mathbf {I} +2\cdot G\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lambda \ cdot {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) \ cdot \ mathbf {I} +2 \ cdot G \ cdot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lambda \ cdot {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) \ cdot \ mathbf {I} +2 \ cdot G \ cdot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

mientras que, la expresión inversa del vínculo constitutivo es la siguiente:

{\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2G(3\lambda +2G)}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {2G}} {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ frac {\ lambda} {2G (3 \ lambda + 2G)}} \ nombre de operador {tr} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ mathbf {I}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {2G}} {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ frac {\ lambda} {2G (3 \ lambda + 2G)}} \ nombre de operador {tr} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ mathbf {I}}

Dónde está:

$\mathbf {I}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {I}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {I}}$ es la matriz de identidad ;
$\lambda$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ es la constante de Lamé ;
$GRAMO.$ ${\ Displaystyle G}$ $GRAMO.$ es el módulo de elasticidad tangencial

$\lambda$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ Y $GRAMO.$ ${\ Displaystyle G}$ $GRAMO.$ unirse al módulo de Young $Y$ ${\ Displaystyle E}$ $Y$ y la relación de Poisson $\nu$ ${\ Displaystyle \ nu}$ $\ nu$ a través de las siguientes relaciones:

G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\qquad \lambda ={\frac {E\cdot \nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}

{\ Displaystyle G = {\ frac {E} {2 (1+ \ nu)}} \ qquad \ lambda = {\ frac {E \ cdot \ nu} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu) }}}

{\ Displaystyle G = {\ frac {E} {2 (1+ \ nu)}} \ qquad \ lambda = {\ frac {E \ cdot \ nu} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu) }}}

Determinación experimental de la constante elástica de un resorte.

Aparato de verificación de la ley de Hooke

Tendencia típica del gráfico de la ley de Hooke

La validez de la ley de Hooke para un resorte también se puede verificar en el laboratorio usando un equipo simple. Generalmente, el objetivo del experimento es determinar el valor de la constante elástica longitudinal $k_{E}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ de un manantial.

Para hacer esto, el resorte debe someterse a cargas crecientes, midiendo su alargamiento. $\Delta l$ ${\ Displaystyle \ Delta l}$ $\ Delta l$ , igual a la diferencia entre la longitud del resorte sometido a la carga, en aumento, y la longitud del resorte en reposo, es decir, no sometido a ninguna carga vertical, menor que el peso del propio resorte. La relación entre fuerza $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ aplicado y alargamiento $\Delta l$ ${\ Displaystyle \ Delta l}$ $\ Delta l$ representa exactamente el valor de la constante elástica $k_{E}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ de esa fecha primavera. En este punto es necesario aplicar al resorte fuerzas verticales crecientes que, siguiendo la ley de Hooke, producirán alargamientos $\Delta l$ ${\ Displaystyle \ Delta l}$ $\ Delta l$ directamente proporcional a las fuerzas $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ aplicado. Los valores individuales de la constante elástica $k_{E}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ así determinadas, si el experimento se realiza correctamente, serán constantes, salvo que exista algún error de medición a determinar con la teoría de errores .

En el caso de $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ Los resortes se colocaron en serie, se puede demostrar y verificar experimentalmente que, en analogía con lo que ocurre en el campo eléctrico con las resistencias eléctricas colocadas en paralelo, el valor de la constante elástica equivalente total $K. Y q$ ${\ Displaystyle Keq}$ ${\ Displaystyle Keq}$ estará relacionado con las constantes elásticas de los resortes individuales $k_{i}$ ${\ Displaystyle k_ {i}}$ $k_ {i}$ colocados en serie de acuerdo con la siguiente relación:

{\frac {1}{k_{\text{eq}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{k_{i}}}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ text {eq}}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k_ {i}}}}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ text {eq}}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k_ {i}}}}

Por ejemplo, en el caso de dos resortes colocados en serie, el valor de la constante elástica equivalente total $K. Y q$ ${\ Displaystyle Keq}$ ${\ Displaystyle Keq}$ estará relacionado con las constantes elásticas de los dos resortes de acuerdo con la siguiente relación:

{\frac {1}{k_{\text{eq}}}}={\frac {1}{k_{\text{1}}}}+{\frac {1}{k_{\text{2}}}}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ text {eq}}}} = {\ frac {1} {k _ {\ text {1}}}} + {\ frac {1} {k _ {\ text {2}}}}}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ text {eq}}}} = {\ frac {1} {k _ {\ text {1}}}} + {\ frac {1} {k _ {\ text {2}}}}}

Bibliografía

P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voices, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 .
Stefano Lenci, Lecciones de mecánica estructural , Bolonia, Pitagora Editrice, 2009.