Ley de planck

La ley de Planck , formulada por Max Planck en 1900, establece que la energía asociada con la radiación electromagnética se transmite en unidades discretas o cuantos , posteriormente identificados en fotones .

Fórmula

La ley de Planck (curvas de colores) determina con precisión la radiación del cuerpo negro . La curva negra es la predicción de la teoría clásica que provoca la llamada catástrofe ultravioleta .

El valor $Y$ ${\ Displaystyle E}$ $Y$ de un cuanto de energía depende de la frecuencia $\nu$ ${\ Displaystyle \ nu}$ $\ nu$ de la radiación según la fórmula:

E=h\nu

{\ Displaystyle E = h \ nu}

{\ Displaystyle E = h \ nu}

donde h es la constante de Planck .

Usando unidades del Sistema Internacional (SI), la energía se mide en julios , la frecuencia en hercios y la constante de Planck en julios segundos .

La ley de Planck también proporciona una fórmula para la distribución estadística de la energía cuántica a través del resplandor espectral de un cuerpo. $B_{\nu }(\nu ,T)$ ${\ Displaystyle B _ {\ nu} (\ nu, T)}$ ${\ Displaystyle B _ {\ nu} (\ nu, T)}$ , que describe la energía emitida por la radiación a diferentes frecuencias. Esta cantidad es la medida de la potencia emitida por unidad de área del cuerpo, por unidad de ángulo sólido por unidad de frecuencia. Dijo $\nu$ ${\ Displaystyle \ nu}$ $\ nu$ la frecuencia e $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ la temperatura absoluta , expresada en unidades de energía ^[1] :

B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2\ h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}

{\ Displaystyle B _ {\ nu} (\ nu, T) = {\ frac {2 \ h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {k _ {\ mathrm {B}} T}} - 1}}}

{\ Displaystyle B _ {\ nu} (\ nu, T) = {\ frac {2 \ h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {k _ {\ mathrm {B}} T}} - 1}}}

Dónde está $h$ ${\ Displaystyle h}$ $h$ es la constante de Planck e $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ es la velocidad de la luz en el vacío.

La ley tiene un valor máximo muy específico para el cual:

h\nu \approx 2.82k_{\mathrm {B} }T

{\ Displaystyle h \ nu \ aproximadamente 2,82 k _ {\ mathrm {B}} T}

{\ Displaystyle h \ nu \ aproximadamente 2,82 k _ {\ mathrm {B}} T}

Notas históricas y consecuencias

Planck formuló la ley para resolver el problema de la radiación del cuerpo negro, para lo cual las leyes conocidas, basadas en el supuesto de que una masa irradia la misma cantidad de energía en todo el espectro de frecuencias, pudiendo aumentar la frecuencia hasta el infinito, llevaron a resultados, en claro desacuerdo con los datos experimentales (la llamada catástrofe ultravioleta ). En ese momento, no existía una justificación teórica para esta elección de discretización, que simplemente permitía resolver el problema de manera elemental, y reproducía los datos experimentales de manera exacta, dejando el modelo sin cambios. El mismo Planck estaba perplejo al respecto. Fue entonces Albert Einstein en 1905 quien le dio al concepto de "cuanto de luz" un significado físico, teorizando que la radiación electromagnética estaba realmente formada por paquetes de energía (llamados fotones en 1926 por Gilbert Lewis ) y así logró explicar el fenómeno fotoeléctrico. efecto . El concepto de lo que luego se extendió a la magnitud "energía" en un sentido amplio, permitiendo la comprensión teórica del funcionamiento del átomo y convirtiéndose en un elemento fundamental de la mecánica cuántica .

Derivación

Se puede demostrar que la relación entre energía y frecuencia se puede derivar utilizando la relatividad especial . La temperatura a continuación se mide en julios, por lo que la constante de Boltzmann no aparece en las ecuaciones.

Se presenta la derivación clásica de la ley, que históricamente se refiere a la luz contenida en una cavidad, en equilibrio térmico con las paredes (es decir, con la energía de radiación absorbida igual a la energía emitida), como si se tratara de un gas . Las partículas de un solo material son reemplazadas por el campo electromagnético oscilante de las ondas (estacionarias) reflejadas entre las paredes, consideradas en todas las frecuencias posibles (que en una cavidad de longitud finita $L$ ${\ Displaystyle L}$ $L$ soy $\nu _{n}={\frac {c}{\lambda _{n}}}=n{\frac {c}{2L}}$ ${\ Displaystyle \ nu _ {n} = {\ frac {c} {\ lambda _ {n}}} = n {\ frac {c} {2L}}}$ ${\ Displaystyle \ nu _ {n} = {\ frac {c} {\ lambda _ {n}}} = n {\ frac {c} {2L}}}$ ). La distribución de energías cinéticas de partículas en un gas en equilibrio local a temperatura. $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ asume la distribución de Boltzmann , según la cual la probabilidad de un estado energético $Y$ ${\ Displaystyle E}$ $Y$ (dentro de un intervalo $D Y$ ${\ Displaystyle dE}$ ${\ Displaystyle dE}$ ) Y:

P(E)dE={\frac {e^{-{\frac {E}{T}}}}{\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}}\,dE

{\ Displaystyle P (E) dE = {\ frac {e ^ {- {\ frac {E} {T}}}} {\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {E } {T}}} \, dE}} \, dE}

{\ Displaystyle P (E) dE = {\ frac {e ^ {- {\ frac {E} {T}}}} {\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {E } {T}}} \, dE}} \, dE}

Aplicada a la radiación electromagnética dentro de la cavidad, esta fórmula da la probabilidad de que cada una de las ondas estacionarias descritas anteriormente tenga un contenido de energía. $Y$ ${\ Displaystyle E}$ $Y$ ; el número de frecuencias específicas, multiplicado por las posibles direcciones de polarización (dos), corresponde a los grados de libertad termodinámicos .

El valor medio de la energía almacenada dentro de cada longitud de onda se calcula en consecuencia:

\langle E\rangle ={\frac {\int _{0}^{\infty }Ee^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}{\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}}

{\ Displaystyle \ langle E \ rangle = {\ frac {\ int _ {0} ^ {\ infty} Ee ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} {\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE}}}

{\ Displaystyle \ langle E \ rangle = {\ frac {\ int _ {0} ^ {\ infty} Ee ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} {\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE}}}

Realizando las integrales encontramos: $\langle E\rangle =T$ ${\ Displaystyle \ langle E \ rangle = T}$ ${\ Displaystyle \ langle E \ rangle = T}$ , que es el resultado clásico para la energía media contenida en dos grados de libertad , válido para la teoría cinética de los gases . Aplicada a la radiación en una cavidad conduce inmediatamente, como es bien sabido, a la paradoja denominada catástrofe ultravioleta : dado que los grados de libertad corresponden a las posibles frecuencias, y no se conocían las razones por las que estas deberían tener un límite superior, la energía total obtenido sumando un número infinito de valores medios constantes $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ es infinito. El atributo ultravioleta se debe al hecho de que las frecuencias más altas son responsables del valor de fuga.

El problema, en su desconcertante sencillez, permaneció abierto durante muchos años sin ideas sobre posibles soluciones. Planck encontró la salida, y era un simple dispositivo algebraico.

Para ilustrarlo, mostramos brevemente en su totalidad los pasajes de la antigua solución de integrales:

{\frac {\int Ee^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}{\int e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}}={\frac {-{\frac {\partial }{\partial (1/T)}}\int e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}{\int e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}}=-{\frac {\partial }{\partial (1/T)}}\ln \int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE=-{\frac {\partial }{\partial (1/T)}}\ln T=T

{\ Displaystyle {\ frac {\ int Ee ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} {\ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} } = {\ frac {- {\ frac {\ parcial} {\ parcial (1 / T)}} \ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} {\ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE}} = - {\ frac {\ parcial} {\ parcial (1 / T)}} \ ln \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE = - {\ frac {\ parcial} {\ parcial (1 / T)}} \ ln T = T}

{\ Displaystyle {\ frac {\ int Ee ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} {\ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} } = {\ frac {- {\ frac {\ parcial} {\ parcial (1 / T)}} \ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} {\ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE}} = - {\ frac {\ parcial} {\ parcial (1 / T)}} \ ln \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE = - {\ frac {\ parcial} {\ parcial (1 / T)}} \ ln T = T}

El truco utilizado por Max Planck fue simplemente el reemplazo de la integral con una suma discreta:

\int e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE\mapsto \sum e^{-{\frac {\varepsilon n}{T}}}

{\ Displaystyle \ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE \ mapsto \ sum e ^ {- {\ frac {\ varepsilon n} {T}}}}

{\ Displaystyle \ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE \ mapsto \ sum e ^ {- {\ frac {\ varepsilon n} {T}}}}

,

a lo que sigue $\sum _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\varepsilon n}{T}}}={\frac {1}{1-e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}}}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {\ varepsilon n} {T}}} = {\ frac {1} {1-e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}}}}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {\ varepsilon n} {T}}} = {\ frac {1} {1-e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}}}}$ (la fórmula se utilizó para sumar los términos de la serie geométrica: $\sum _{0}^{N}x^{n}={\frac {1-x^{N+1}}{1-x}}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {0} ^ {N} x ^ {n} = {\ frac {1-x ^ {N + 1}} {1-x}}}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {0} ^ {N} x ^ {n} = {\ frac {1-x ^ {N + 1}} {1-x}}}$ ). Con esto el cálculo se convierte en:

\langle E\rangle ={\frac {\partial }{\partial (1/T)}}\ln \left(1-e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}\right)={\frac {\varepsilon e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}}{1-e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}}}={\frac {\varepsilon }{e^{\frac {\varepsilon }{T}}-1}}

{\ Displaystyle \ langle E \ rangle = {\ frac {\ partial} {\ partial (1 / T)}} \ ln \ left (1-e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}} \ derecha) = {\ frac {\ varepsilon e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}} {1-e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}}} = {\ frac {\ varepsilon} {e ^ {\ frac {\ varepsilon} {T}} - 1}}}

{\ Displaystyle \ langle E \ rangle = {\ frac {\ partial} {\ partial (1 / T)}} \ ln \ left (1-e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}} \ derecha) = {\ frac {\ varepsilon e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}} {1-e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}}} = {\ frac {\ varepsilon} {e ^ {\ frac {\ varepsilon} {T}} - 1}}}

A la cantidad constante $\varepsilon$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ se le atribuyó un valor proporcional a la frecuencia $\nu$ ${\ Displaystyle \ nu}$ $\ nu$ , $\varepsilon =h\nu$ ${\ Displaystyle \ varepsilon = h \ nu}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon = h \ nu}$ .

De esta forma el valor de la energía media que pertenece al grado de libertad deja de ser una constante, sino que disminuye a medida que aumenta la frecuencia de la radiación que la contiene, permitiendo tener un valor finito de la energía total.

Nota

^ multiplicar por ejemplo los kelvin por el valor de la constante de Boltzmann en julios / kelvin

Bibliografía

C. Mencuccini, V. Silvestrini, Physics II , Nápoles, Liguori Editore, 1998, págs. 645-648.