Leyes de Kepler

Las leyes de Kepler son tres leyes relativas al movimiento de los planetas. Son la principal contribución de Johannes von Kepler a la astronomía y la mecánica .

El astrónomo alemán los derivó estudiando las observaciones de Tycho Brahe . Isaac Newton dedujo posteriormente de las leyes de Kepler la explicación dinámica de los movimientos planetarios introduciendo, como causa del movimiento, una fuerza, llamada fuerza gravitacional universal . Newton también demostró el teorema inverso, a saber, que las leyes de Kepler se obtienen de la misma manera a partir de su ley general de movimiento y de la fuerza de gravedad.

Primera ley (Ley de las órbitas elípticas, 1609)

El mismo tema en detalle: Derivación de las leyes de Kepler .

Parámetros característicos de la órbita, con los nombres de los ábsides para el caso de una órbita alrededor del Sol

La primera ley establece que:

"La órbita descrita por un planeta es una elipse , de la cual el Sol ocupa uno de los dos focos ".

Con esta ley, Kepler propuso un modelo heliocéntrico en el que las órbitas no son circulares sino elípticas, y de esta forma fue el primero en renunciar a la forma perfecta; lo apoyaron los datos de observación obtenidos por Tycho Brahe . Esta ley es muy importante porque separa definitivamente la teoría heliocéntrica de Nicolás Copérnico de la teoría geocéntrica de Ptolomeo .

Observamos que, dado que la elipse es una figura plana, los movimientos de los planetas ocurren en un plano, llamado plano orbital . Para la Tierra, este plano se llama eclíptica .

La ecuación de la elipse es

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

{\ Displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}

{\ Displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}

En la figura del lado se representa una órbita elíptica , con sus parámetros característicos indicados: semi-eje mayor (a) , semi-eje menor (b) , distancia semi-focal (c) , excentricidad (e) .

Existen las siguientes relaciones entre estos parámetros:

c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}

{\ Displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}

c = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}

e={\frac {c}{a}}

{\ Displaystyle e = {\ frac {c} {a}}}

e = {\ frac {c} {a}}

, a partir del cual

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

{\ Displaystyle e = {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}

{\ Displaystyle e = {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}

Para la elipse, la excentricidad está entre 0 y 1 (e = 0 para la circunferencia) pero para la mayoría de los planetas es e << 1. La elipse de la figura tiene una excentricidad de aproximadamente 0,5: una elipse con esta característica es muy frecuente entre las órbitas de los asteroides. Algunas excentricidades de los planetas: 0.0167 para la Tierra, 0.0934 para Marte y 0.2482 para Plutón (un planeta enano). Solo Mercurio y Marte tienen excentricidades de cierto valor, las otras órbitas pueden considerarse circulares.

Las partes más importantes de la elipse son el rayo vectorial que une el centro del sol con el centro de un planeta. Luego encontramos la línea de ábsides , que es la línea recta que pasa por los dos focos de la elipse junto con sus puntos de intersección con la elipse llamados ápides o vértices .

De esta ley también entendemos que la distancia de la Tierra al Sol no siempre es la misma sino que cambia. De hecho, el punto donde nuestro planeta está más alejado del Sol se llama afelio , mientras que el punto donde la Tierra está más cerca del Sol se llama perihelio . Las distancias correspondientes se denominan distancia del perihelio. $d_{p}$ ${\ Displaystyle d_ {p}}$ ${\ Displaystyle d_ {p}}$ y distancia al afelio $d_{a}$ ${\ Displaystyle d_ {a}}$ ${\ Displaystyle d_ {a}}$ . Resulta:

d_{p}+d_{a}=2a

{\ Displaystyle d_ {p} + d_ {a} = 2a}

{\ Displaystyle d_ {p} + d_ {a} = 2a}

c={\frac {d_{a}-d_{p}}{2}}

{\ Displaystyle c = {\ frac {d_ {a} -d_ {p}} {2}}}

{\ Displaystyle c = {\ frac {d_ {a} -d_ {p}} {2}}}

d_{p}=a-c=a-ae=a(1-e)

{\ Displaystyle d_ {p} = ac = a-ae = a (1-e)}

{\ Displaystyle d_ {p} = a-c = a-ae = a (1-e)}

d_{a}=a+c=a+ae=a(1+e)

{\ Displaystyle d_ {a} = a + c = a + ae = a (1 + e)}

{\ Displaystyle d_ {a} = a + c = a + ae = a (1 + e)}

e={\frac {d_{a}-d_{p}}{d_{a}+d_{p}}}

{\ Displaystyle e = {\ frac {d_ {a} -d_ {p}} {d_ {a} + d_ {p}}}}

{\ Displaystyle e = {\ frac {d_ {a} -d_ {p}} {d_ {a} + d_ {p}}}}

También es posible derivar esta ley a partir de la Ley de Gravitación Universal de Newton:

{\overrightarrow {F}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\widehat {u}}_{r}

{\ Displaystyle {\ overrightarrow {F}} = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} {\ widehat {u}} _ {r}}

{\ Displaystyle {\ overrightarrow {F}} = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} {\ widehat {u}} _ {r}}

poniendo:

Gm_{1}m_{2}=\alpha

{\ Displaystyle Gm_ {1} m_ {2} = \ alpha}

{\ Displaystyle Gm_ {1} m_ {2} = \ alpha}

y ser

{\widehat {u}}_{r}={{d{\widehat {u}}_{\theta }} \over {dt}}\cdot {\frac {1}{\dot {\theta }}}

{\ Displaystyle {\ widehat {u}} _ {r} = {{d {\ widehat {u}} _ {\ theta}} \ over {dt}} \ cdot {\ frac {1} {\ dot {\ theta}}}}

{\ Displaystyle {\ widehat {u}} _ {r} = {{d {\ widehat {u}} _ {\ theta}} \ over {dt}} \ cdot {\ frac {1} {\ dot {\ theta}}}}

entonces podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:

m{{d{\overrightarrow {v}}} \over {dt}}={\frac {\alpha }{r^{2}{\dot {\theta }}}}{\frac {d{\widehat {u}}_{\theta }}{dt}}

{\ displaystyle m {{d {\ overrightarrow {v}}} \ over {dt}} = {\ frac {\ alpha} {r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}} {\ frac {d {\ widehat {u}} _ {\ theta}} {dt}}}

{\ displaystyle m {{d {\ overrightarrow {v}}} \ over {dt}} = {\ frac {\ alpha} {r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}} {\ frac {d {\ widehat {u}} _ {\ theta}} {dt}}}

desde el momento angular

{\overrightarrow {p}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {p}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {p}}}

puedes escribirlo como

{\overrightarrow {p}}=mr^{2}{\dot {\theta }}

{\ Displaystyle {\ overrightarrow {p}} = mr ^ {2} {\ dot {\ theta}}}

{\ Displaystyle {\ overrightarrow {p}} = mr ^ {2} {\ dot {\ theta}}}

luego multiplicar y dividir por

metro

{\ Displaystyle m}

metro

en la ecuación anterior obtendremos:

m{{d{\overrightarrow {v}}} \over {dt}}={\frac {m\alpha }{\overrightarrow {p}}}{\frac {d{\widehat {u}}_{\theta }}{dt}}

{\ displaystyle m {{d {\ overrightarrow {v}}} \ over {dt}} = {\ frac {m \ alpha} {\ overrightarrow {p}}} {\ frac {d {\ widehat {u}} _ {\ theta}} {dt}}}

{\ displaystyle m {{d {\ overrightarrow {v}}} \ over {dt}} = {\ frac {m \ alpha} {\ overrightarrow {p}}} {\ frac {d {\ widehat {u}} _ {\ theta}} {dt}}}

{\frac {d}{dt}}({\overrightarrow {v}}-{\frac {\alpha }{\overrightarrow {p}}}{\widehat {u}}_{\theta })=0

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} ({\ overrightarrow {v}} - {\ frac {\ alpha} {\ overrightarrow {p}}} {\ widehat {u}} _ {\ theta}) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} ({\ overrightarrow {v}} - {\ frac {\ alpha} {\ overrightarrow {p}}} {\ widehat {u}} _ {\ theta}) = 0}

integrando la ecuación diferencial:

{\overrightarrow {v}}{\frac {\overrightarrow {p}}{\alpha }}-{\widehat {u}}_{\theta }=e{\widehat {\jmath }}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {v}} {\ frac {\ overrightarrow {p}} {\ alpha}} - {\ widehat {u}} _ {\ theta} = e {\ widehat {\ jmath}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {v}} {\ frac {\ overrightarrow {p}} {\ alpha}} - {\ widehat {u}} _ {\ theta} = e {\ widehat {\ jmath}}}

Dónde está

{\widehat {\jmath }}

{\ Displaystyle {\ widehat {\ jmath}}}

{\ Displaystyle {\ widehat {\ jmath}}}

es el vector unitario calculado en perihelio en el que

{\widehat {u}}_{\theta }

{\ Displaystyle {\ widehat {u}} _ {\ theta}}

{\ Displaystyle {\ widehat {u}} _ {\ theta}}

Y

{\overrightarrow {v}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {v}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {v}}}

son perpendiculares.

Mediante el resultado anterior podemos obtener la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares multiplicando todo por escalar

{\widehat {u}}_{\theta }

{\ Displaystyle {\ widehat {u}} _ {\ theta}}

{\ Displaystyle {\ widehat {u}} _ {\ theta}}

:

({\dot {r}}{\widehat {u}}_{r}+r{\dot {\theta }}{\widehat {u}}_{\theta }){\frac {\overrightarrow {p}}{\alpha }}\cdot {\widehat {u}}_{\theta }=e{\widehat {\jmath }}\cdot {\widehat {u}}_{\theta }

{\ displaystyle ({\ dot {r}} {\ widehat {u}} _ {r} + r {\ dot {\ theta}} {\ widehat {u}} _ {\ theta}) {\ frac {\ overrightarrow {p}} {\ alpha}} \ cdot {\ widehat {u}} _ {\ theta} = e {\ widehat {\ jmath}} \ cdot {\ widehat {u}} _ {\ theta}}

{\ Displaystyle ({\ dot {r}} {\ widehat {u}} _ {r} + r {\ dot {\ theta}} {\ widehat {u}} _ {\ theta}) {\ frac {\ overrightarrow {p}} {\ alpha}} \ cdot {\ widehat {u}} _ {\ theta} = e {\ widehat {\ jmath}} \ cdot {\ widehat {u}} _ {\ theta}}

r{\dot {\theta }}{\frac {\overrightarrow {p}}{\alpha }}=e\cos \theta

{\ displaystyle r {\ dot {\ theta}} {\ frac {\ overrightarrow {p}} {\ alpha}} = y \ cos \ theta}

{\ displaystyle r {\ dot {\ theta}} {\ frac {\ overrightarrow {p}} {\ alpha}} = y \ cos \ theta}

reemplazando

{\dot {\theta }}

{\ Displaystyle {\ dot {\ theta}}}

{\ Displaystyle {\ dot {\ theta}}}

usted obtiene:

{\frac {\overrightarrow {p^{2}}}{mr\alpha }}=e\cos \theta

{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {p ^ {2}}} {mr \ alpha}} = y \ cos \ theta}

{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {p ^ {2}}} {mr \ alpha}} = y \ cos \ theta}

y finalmente aislar

r

{\ Displaystyle r}

{\ Displaystyle r}

tendremos:

r={\frac {\overrightarrow {p^{2}}}{m\alpha }}\cdot {\frac {1}{e\cos \theta }}

{\ Displaystyle r = {\ frac {\ overrightarrow {p ^ {2}}} {m \ alpha}} \ cdot {\ frac {1} {e \ cos \ theta}}}

{\ displaystyle r = {\ frac {\ overrightarrow {p ^ {2}}} {m \ alpha}} \ cdot {\ frac {1} {e \ cos \ theta}}}

obteniendo así la ecuación de la trayectoria elíptica.

Segunda Ley (Ley de Áreas, 1609)

La segunda ley establece que:

«El segmento ( rayo vectorial ) que une el centro del Sol con el centro del planeta describe áreas iguales en tiempos iguales. ^[1] "

Prueba y consecuencias de la segunda ley

La segunda ley de Kepler no es otra que la conservación del momento angular orbital, de donde deriva la constancia de la velocidad areolar .

Demostramos ambas propiedades.

Se conserva el momento angular orbital del planeta.

La constancia del momento angular, a su vez, se deriva del hecho de que la fuerza es central .

Demostración

Di que la fuerza ${\overrightarrow {F}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}$ actuar sobre el planeta es central, significa que, cualquiera que sea la posición del planeta, es paralelo al rayo vectorial ${\overrightarrow {r}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}$ .

Además, del segundo principio de dinámica tenemos :

{\overrightarrow {F}}=m{\overrightarrow {a}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = m {\ overrightarrow {a}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = m {\ overrightarrow {a}}}

donde my ${\overrightarrow {a}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {a}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {a}}}$ son respectivamente la masa del planeta y su aceleración;

también tenemos, por definición, momento angular orbital ${\overrightarrow {L}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {L}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {L}}}$ :

{\overrightarrow {L}}=m{\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {v}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = m {\ overrightarrow {r}} \ times {\ overrightarrow {v}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = m {\ overrightarrow {r}} \ times {\ overrightarrow {v}}}

donde el simbolo $\times$ ${\ Displaystyle \ times}$ $\ veces$ denota el producto vectorial e ${\overrightarrow {v}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {v}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {v}}}$ es la velocidad del planeta.

En este punto, observamos que:

{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {L}}}{\operatorname {d} t}}=m\left({\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}\times {\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {r}}\times {\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {v}}}{\operatorname {d} t}}\right)=m{\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {v}}+m{\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {a}}=

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ overrightarrow {L}}} {\ operatorname {d} t}} = m \ left ({\ frac {\ operatorname {d} {\ overrightarrow {r}} } {\ operatorname {d} t}} \ times {\ overrightarrow {v}} + {\ overrightarrow {r}} \ times {\ frac {\ operatorname {d} {\ overrightarrow {v}}} {\ operatorname { d} t}} \ right) = m {\ overrightarrow {v}} \ times {\ overrightarrow {v}} + m {\ overrightarrow {r}} \ times {\ overrightarrow {a}} =}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ overrightarrow {L}}} {\ operatorname {d} t}} = m \ left ({\ frac {\ operatorname {d} {\ overrightarrow {r}} } {\ operatorname {d} t}} \ times {\ overrightarrow {v}} + {\ overrightarrow {r}} \ times {\ frac {\ operatorname {d} {\ overrightarrow {v}}} {\ operatorname { d} t}} \ right) = m {\ overrightarrow {v}} \ times {\ overrightarrow {v}} + m {\ overrightarrow {r}} \ times {\ overrightarrow {a}} =}

=m{\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {r}}\times (m{\overrightarrow {a}})=m{\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {F}}

{\ displaystyle = m {\ overrightarrow {v}} \ times {\ overrightarrow {v}} + {\ overrightarrow {r}} \ times (m {\ overrightarrow {a}}) = m {\ overrightarrow {v}} \ times {\ overrightarrow {v}} + {\ overrightarrow {r}} \ times {\ overrightarrow {F}}}

{\ displaystyle = m {\ overrightarrow {v}} \ times {\ overrightarrow {v}} + {\ overrightarrow {r}} \ times (m {\ overrightarrow {a}}) = m {\ overrightarrow {v}} \ times {\ overrightarrow {v}} + {\ overrightarrow {r}} \ times {\ overrightarrow {F}}}

pero ambos productos vectoriales son nulos porque involucran vectores paralelos, por lo tanto:

{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {L}}}{\operatorname {d} t}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ overrightarrow {L}}} {\ operatorname {d} t}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ overrightarrow {L}}} {\ operatorname {d} t}} = 0}

o

{\overrightarrow {L}}={\text{costante}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ text {constante}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ text {constante}}}

La velocidad areolar es constante.

Demostración

De hecho, en la figura opuesta, OA representa el radio del vector y AB la trayectoria del planeta en el tiempo Δ t. Si Δ t es lo suficientemente pequeño, AB puede aproximarse mediante un segmento de línea. Sea también θ el ángulo entre el radio del vector y AB. En el tiempo Δ t se describe entonces un área

\Delta S={\frac {1}{2}}{OA}\cdot {AB}\cdot \sin(\theta )

{\ Displaystyle \ Delta S = {\ frac {1} {2}} {OA} \ cdot {AB} \ cdot \ sin (\ theta)}

\ Delta S = {\ frac {1} {2}} {OA} \ cdot {AB} \ cdot \ sin (\ theta)

Por tanto, la velocidad areolar es

v_{A}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta S}{\Delta t}}={\frac {1}{2}}vr\sin(\theta )

{\ Displaystyle v_ {A} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ frac {\ Delta S} {\ Delta t}} = {\ frac {1} {2}} vr \ sin (\ theta )}

v_ {A} = \ lim _ {{\ Delta t \ rightarrow 0}} {\ frac {\ Delta S} {\ Delta t}} = {\ frac {1} {2}} vr \ sin (\ theta)

ser

v=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {AB}{\Delta t}}

{\ displaystyle v = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ frac {AB} {\ Delta t}}}

v = \ lim _ {{\ Delta t \ rightarrow 0}} {\ frac {AB} {\ Delta t}}

la velocidad orbital instantánea. Siempre y cuando $mvr\sin(\theta )$ ${\ Displaystyle mvr \ sin (\ theta)}$ $mvr \ sin (\ theta)$ es el módulo de momento angular, resulta $v_{A}={\frac {L}{2m}}$ ${\ Displaystyle v_ {A} = {\ frac {L} {2m}}}$ $v_ {A} = {\ frac {L} {2m}}$ . Por tanto, si L es constante, también $v_{A}$ ${\ Displaystyle v_ {A}}$ $va}$ está.

Ilustración de la ley de las áreas

Por tanto, la segunda ley de Kepler es generalizable a cualquier movimiento central , vinculando la aceleración tangencial a la velocidad areolar .

La velocidad orbital no es constante, sino que varía a lo largo de la órbita. Las dos áreas resaltadas en la figura del lado son de hecho las mismas y, por lo tanto, están cubiertas al mismo tiempo. Cerca del perihelio, donde el radio del vector es más corto que en el afelio, el arco de la elipse es correspondientemente más largo. Por tanto, se deduce que la velocidad orbital es máxima en el perihelio y mínima en el afelio .

Animación de la segunda ley.

La componente de la velocidad ortogonal al radio del vector para una órbita dada es inversamente proporcional al módulo del radio del vector. Ésta es una consecuencia de la conservación del momento angular. De hecho, indicado con $\theta$ ${\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ el ángulo entre el vector de radio y la tangente a la órbita, es decir, entre el vector de radio y el vector de velocidad, el módulo de momento angular $L=mvr\sin(\theta )$ ${\ Displaystyle L = mvr \ sin (\ theta)}$ ${\ Displaystyle L = mvr \ sin (\ theta)}$ es constante, pero $v\sin(\theta )$ ${\ Displaystyle v \ sin (\ theta)}$ ${\ Displaystyle v \ sin (\ theta)}$ representa el componente $v_{\perp }$ ${\ Displaystyle v _ {\ perp}}$ $v _ {\ perp}$ la velocidad ortogonal al radio del vector; por lo tanto, el producto $mv_{\perp }r$ ${\ displaystyle mv _ {\ perp} r}$ ${\ displaystyle mv _ {\ perp} r}$ es constante y, dado que la masa m también es constante, es evidente que $v_{\perp }$ ${\ Displaystyle v _ {\ perp}}$ $v _ {\ perp}$ es inversamente proporcional al módulo r del vector radio.

Importante : en general, el componente $v_{\perp }$ ${\ Displaystyle v _ {\ perp}}$ $v _ {\ perp}$ de la velocidad ortogonal al vector radio no coincide con la componente $v_{t}$ ${\ Displaystyle v_ {t}}$ ${\ Displaystyle v_ {t}}$ de la velocidad tangencial a la órbita. En cambio, esto es ciertamente cierto cuando la órbita es circular.

Se ejerce una fuerza central sobre el planeta, que se dirige según la conjunción entre el planeta y el Sol. La segunda ley de la dinámica para sistemas en rotación es

{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {L}}}{\operatorname {d} t}}={\overrightarrow {M}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ overrightarrow {L}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ overrightarrow {M}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ overrightarrow {L}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ overrightarrow {M}}}

Dónde está

{\overrightarrow {M}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {M}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {M}}}

es el momento mecánico aplicado. Siempre y cuando

{\overrightarrow {L}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}}}

se conserva, su variación es nula y por tanto también

{\overrightarrow {M}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {M}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {M}}}

es nulo. Esto solo puede suceder si

{\overrightarrow {F}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}

es paralelo a

{\overrightarrow {r}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

, es decir, es directo como la unión con el sol.

Tercera Ley (Ley de períodos, 1619)

Gráfico logarítmico del semieje mayor (en unidades astronómicas) en función del período orbital (en años terrestres) de los ocho planetas del Sistema Solar. Datos de la hoja de datos planetarios: relación con los valores de la Tierra ( NASA ).

La tercera ley establece que:

"Los cuadrados de los tiempos que los planetas tardan en recorrer sus órbitas son proporcionales al cubo del semieje mayor".

La relación entre el cuadrado del período de revolución y el cubo del semieje mayor de la órbita es la misma para todos los planetas.

Esta ley se puede expresar en forma matemática de la siguiente manera:

T^{2}={k}\cdot {a^{3}}

{\ Displaystyle T ^ {2} = {k} \ cdot {a ^ {3}}}

{\ Displaystyle T ^ {2} = {k} \ cdot {a ^ {3}}}

Dónde está $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ es el semieje mayor de la órbita, T el período de revolución y K una constante (a veces llamada de Kepler), que depende del cuerpo celeste alrededor del cual tiene lugar el movimiento de revolución.

Si consideramos el movimiento de revolución de los planetas del sistema solar alrededor del Sol y medimos las distancias en unidades astronómicas y el tiempo en años siderales (como en la figura del lado) K es igual a 1. Destacamos el hecho que la tercera ley también es válida para los satélites que orbitan alrededor de los planetas: el valor de los cambios constantes de planeta en planeta mientras que para un planeta fijo, es el mismo para todos los satélites del mencionado planeta. Para una órbita circular, la fórmula se reduce a

T^{2}=K{r^{3}}

{\ Displaystyle T ^ {2} = K {r ^ {3}}}

{\ Displaystyle T ^ {2} = K {r ^ {3}}}

donde r es el radio de la órbita.

Se puede demostrar que $K={\frac {4\pi ^{2}\mu }{|k|}}$ ${\ Displaystyle K = {\ frac {4 \ pi ^ {2} \ mu} {| k |}}}$ $K = {\ frac {4 \ pi ^ {2} \ mu} {| k |}}$ , con $k=Gm_{1}m_{2}$ ${\ Displaystyle k = Gm_ {1} m_ {2}}$ $k = Gm_ {1} m_ {2}$ para el caso gravitacional e $\mu$ ${\ Displaystyle \ mu}$ $\ mu$ masa reducida . La prueba es particularmente simple en el caso de una órbita de radio circular. $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ y en la aproximación en la que una masa (por ejemplo, la del sol) es mucho mayor que la otra (planeta), es decir $m_{1}\gg m_{2}$ ${\ Displaystyle m_ {1} \ gg m_ {2}}$ $m_ {1} \ gg m_ {2}$ . El tirón gravitacional es $F_{G}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{a^{2}}}$ ${\ displaystyle F_ {G} = {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {a ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle F_ {G} = {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {a ^ {2}}}}$ , y la fuerza centrípeta (asumiendo $m_{1}$ ${\ Displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ fijo) es $F_{C}=m_{2}\omega ^{2}r$ ${\ Displaystyle F_ {C} = m_ {2} \ omega ^ {2} r}$ ${\ Displaystyle F_ {C} = m_ {2} \ omega ^ {2} r}$ Dónde está $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ ${\ Displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}}}$ ${\ Displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}}}$ es la pulsación y $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ el período. Se obtiene la igualación de las dos fuerzas

{\frac {4\pi ^{2}}{T^{2}}}={\frac {Gm_{1}}{a^{3}}}

{\ Displaystyle {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {T ^ {2}}} = {\ frac {Gm_ {1}} {a ^ {3}}}}

{\ frac {4 \ pi ^ {2}} {T ^ {2}}} = {\ frac {Gm_ {1}} {a ^ {3}}}

Límites de validez de las leyes de Kepler y su aplicabilidad

Debe especificarse que las leyes de Kepler así formuladas son correctas si y solo si se satisfacen las siguientes hipótesis:

la masa del planeta es insignificante en comparación con la de la estrella de referencia;
el planeta y la estrella pueden modelarse como puntos materiales ;
las interacciones entre planetas diferentes, o entre el planeta y otros cuerpos, como los satélites, pueden ser despreciadas (tales interacciones conducen a ligeras perturbaciones en la forma de las órbitas);
la intensidad de la gravedad permite ignorar los efectos de la teoría de la relatividad general .

Siempre nos hemos referido a los planetas, pero las tres leyes de Kepler son aplicables a cualquier cuerpo que orbita alrededor de otro, por ejemplo a los satélites, naturales o artificiales (siempre bajo las hipótesis anteriores).

Nota

^ Demostración de la segunda ley de Kepler , en Mathematica.it , 27 de mayo de 2018.

Bibliografía

Frederick J. Bueche, Física , Milán, Principado, 1991
Paride Nobel, Physical Phenomena , Nápoles, Editrice Ferraro, 1994 ISBN 88-7271-126-6
Las tres leyes de Kepler
La distancia promedio de un planeta al Sol.

Otros proyectos

Wikimedia Commons contiene imágenes u otros archivos sobre las leyes de Kepler

enlaces externos

( EN ) Kepler's Laws / Kepler's Laws (otra versión) / Kepler's Laws (otra versión) , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Control de autoridad	Tesauro BNCF 34832 · LCCN (EN) sh94003544 · GND (DE) 4365820-9 · BNF (FR) cb12445155q (fecha)

Portal de astronomía

Portal de física

[1] Demostración de la segunda ley de Kepler , en Mathematica.it , 27 de mayo de 2018.

[1]