Logaritmo

La gráfica de la función logaritmo de base 2

En matemáticas , el logaritmo de un número en una base dada es el exponente para la que la base debe ser elevada para obtener el número en sí. ^[1] En general, si $b=a^{c}$ ${\ Displaystyle b = a ^ {c}}$ ${\ Displaystyle b = a ^ {c}}$ , asi que $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ es el logaritmo de base $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ de $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ , Es decir, escrito en notación matemática,

c=\log _{a}b.

{\ Displaystyle c = \ log _ {a} b.}

{\ Displaystyle c = \ log _ {a} b.}

Por ejemplo, el logaritmo de base $10$ ${\ Displaystyle 10}$ $10$ de $1000$ ${\ Displaystyle 1000}$ $1000$ Y $3$ ${\ Displaystyle 3}$ $3$ , Ya que es necesario elevar $10$ ${\ Displaystyle 10}$ $10$ a la tercera potencia para obtener $1000$ ${\ Displaystyle 1000}$ $1000$ , es decir $10^{3}=1000$ ${\ Displaystyle 10 ^ {3} = 1000}$ $10 ^ {3} = 1,000$ . Haciendo referencia a la fórmula anterior, tendremos $a=10$ ${\ Displaystyle a = 10}$ ${\ Displaystyle a = 10}$ , $b=1000$ ${\ Displaystyle b = 1,000}$ ${\ Displaystyle b = 1,000}$ Y $c=3$ ${\ Displaystyle c = 3}$ ${\ Displaystyle c = 3}$ .

Los logaritmos fueron introducidos por Napier a principios de 1600, y se encontró de inmediato la aplicación de la ciencia y la ingeniería, sobre todo como una herramienta para cálculos Simplificar con números muy grandes, gracias a la introducción de tablas de logaritmos.

La función $\log _{a}(x):(0,+\infty )\to \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} (x) :( 0, + \ infty) \ a \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} (x) :( 0, + \ infty) \ a \ mathbb {R}}$ (Log a la base $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ ) Es la inversa de la función de la función exponencial de base $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ dada por $a^{x}:\mathbb {R} \to (0,+\infty ).$ ${\ Displaystyle a ^ {x}:. \ Mathbb {R} \ a (0, + \ infty)}$ ${\ Displaystyle a ^ {x}:. \ Mathbb {R} \ a (0, + \ infty)}$

El logaritmo natural es de importancia fundamental, es decir, el logaritmo que tiene como base el número de Napier , indicado por $e\approx 2,718.$ ${\ Displaystyle es \ aproximadamente 2.718.}$ ${\ Displaystyle es \ aproximadamente 2.718.}$ El logaritmo natural es la inversa de la función exponencial $e^{x}:\mathbb {R} \to (0,+\infty ).$ ${\ Displaystyle e ^ {x}:. \ Mathbb {R} \ a (0, + \ infty)}$ ${\ Displaystyle e ^ {x}:. \ Mathbb {R} \ a (0, + \ infty)}$

Definición

Dados dos números reales positivos $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ , con $a\neq 1$ ${\ Displaystyle un \ neq 1}$ ${\ Displaystyle un \ neq 1}$ , Definimos logaritmo en base $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ de $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ el exponente al aumento $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ para obtener $B .$ ${\ Displaystyle b.}$ ${\ Displaystyle b.}$ El número $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ se le llama el argumento del logaritmo. En otras palabras, si $b=a^{c},$ ${\ Displaystyle b = a ^ {c},}$ ${\ Displaystyle b = a ^ {c},}$ está escrito que

c=\log _{a}b,

{\ Displaystyle c = \ log _ {a} b,}

{\ Displaystyle c = \ log _ {a} b,}

y lee: $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ es el logaritmo de base $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ de $B .$ ${\ Displaystyle b.}$ ${\ Displaystyle b.}$

Las suposiciones acerca $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ que son necesarios para tener la existencia y unicidad de $C,$ ${\ Displaystyle c,}$ $C,$ Por supuesto:

uno mismo $a=0$ ${\ Displaystyle a = 0}$ $a = 0$ Y $b\neq 0$ ${\ Displaystyle b \ neq 0}$ ${\ Displaystyle b \ neq 0}$ , ellos no existen $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ tal que $b=a^{c};$ ${\ Displaystyle b = a ^ {c};}$ ${\ Displaystyle b = a ^ {c};}$
uno mismo $a=0$ ${\ Displaystyle a = 0}$ $a = 0$ Y $b=0$ ${\ Displaystyle b = 0}$ $b = 0$ , Hay infinitos $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ con esa propiedad;
uno mismo $a=1$ ${\ Displaystyle a = 1}$ $a = 1$ Y $b\neq 1$ ${\ Displaystyle b \ neq 1}$ $b \ neq 1$ , ellos no existen $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ con esta propiedad, de hecho, no hay un número aparte $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ sí mismo, que puede ser obtenido a través de un poder de $1;$ ${\ Displaystyle 1;}$ ${\ Displaystyle 1;}$
uno mismo $a=1$ ${\ Displaystyle a = 1}$ $a = 1$ Y $b=1$ ${\ Displaystyle b = 1}$ $b = 1$ , Hay infinitos $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ con esa propiedad;
uno mismo $a<0$ ${\ Displaystyle a <0}$ $a <0$ , exponenciación $a^{c}$ ${\ Displaystyle a ^ {c}}$ ${\ Displaystyle a ^ {c}}$ que no está definida para todos los números reales $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ , Se puede definir para cualquier verdadero $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ sólo en números racionales expresable con una fracción con denominador impar y, en consecuencia, también en números enteros ;
el resultado de una exponenciación de un número positivo es un número positivo, por lo tanto, para la observación anterior, tiene que ser necesariamente $b>0.$ ${\ Displaystyle b> 0}$ ${\ Displaystyle b> 0}$

Ejemplos de

Por ejemplo, $\log _{3}81=4$ ${\ Displaystyle \ log _ {3} 81 = 4}$ $\ Log _ {3} 81 = 4$ porque $3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81.$ ${\ Displaystyle 3 ^ {4} = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81.}$ ${\ Displaystyle 3 ^ {4} = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81.}$

Los logaritmos también pueden ser negativos (base diferencia y el argumento). En efecto

\log _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=-1,

{\ Displaystyle \ log _ {3} \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) = - 1,}

{\ Displaystyle \ log _ {3} \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) = - 1,}

siempre y cuando $3^{-1}={\frac {1}{3}}.$ ${\ Displaystyle 3 ^ {-. 1} = {\ frac {1} {3}}}$ ${\ Displaystyle 3 ^ {-. 1} = {\ frac {1} {3}}}$

Propiedades de los logaritmos

Mismo tema en detalle: Identidad en logaritmos .

A partir de las relaciones $a^{1}=a$ ${\ Displaystyle a ^ {1} = a}$ $a ^ {1} = a$ Y $a^{0}=1$ ${\ Displaystyle a ^ {0} = 1}$ $a ^ {0} = 1$ , Que son válidos cualquiera que sea la base $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ , Derivar las propiedades básicas:

\log _{a}{a}=1

{\ Displaystyle \ log _ {a} {a} = 1}

\ Log _ {a} {a} = 1

\log _{a}1=0

{\ Displaystyle \ log _ {a} 1 = 0}

\ Log _ {a} 1 = 0

Por otra parte, se desprende de la definición que:

a^{\log _{a}x}=\log _{a}{a^{x}}=x

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {a} x} = \ log _ {a} {a ^ {x}} = x}

a ^ {{\ log _ {a} x}} = \ log _ {a} {a ^ {x}} = x

Producto, cociente, potencia y raíz

Una de las propiedades más importantes de los logaritmos es que el logaritmo del producto de dos números es la suma de los logaritmos de los dos números propios. Del mismo modo, el logaritmo del cociente de dos números es nada más que la diferencia entre los logaritmos de la misma. En otras palabras, son válidas

\log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}x+\log _{a}y

{\ Displaystyle \ log _ {a} (x \ cdot y) = \ log _ {a} x + \ log _ {a} y}

\ Log _ {a} (x \ cdot y) = \ log _ {a} x + \ log _ {a} y

Los logaritmos, junto con las fórmulas prostaferesis , por lo tanto permiten transformar las sumas en productos y las diferencias en los cocientes, una propiedad que a veces es muy útil en la simplificación algebraica.

Demostración

el logaritmo $\log _{a}(x)$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} (x)}$ $\ Log _ {a} (x)$ que es, por definición, el exponente que se debe poner en la base $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ para obtener $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ como resultado:

a^{\log _{a}(x)}=x

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x)} = x}

a ^ {{\ log _ {a} (x)}} = x

Si escribimos:

a^{\log _{a}(x)}=x

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x)} = x}

a ^ {{\ log _ {a} (x)}} = x

a^{\log _{a}(y)}=y

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {a} (y)} = y}

a ^ {{\ log _ {a} (y)}} = y

Utilizando las reglas exponenciales:

a^{\log _{a}(x)}\cdot a^{\log _{a}(y)}=a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}=xy

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x)} \ cdot a ^ {\ log _ {a} (y)} = a ^ {\ log _ {a} (x) + \ log _ {a } (y)} = xy}

a ^ {{\ log _ {a} (x)}} \ cdot a ^ {{\ log _ {a} (y)}} = a ^ {{\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}} = xy

Aplicando el logaritmo a ambos lados:

a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}=xy\Longrightarrow \log _{a}(a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)})=\log _{a}(xy)

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)} = xy \ Longrightarrow \ log _ {a} (a ^ {\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}) = \ log _ {a} (xy)}

a ^ {{\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}} = xy \ Longrightarrow \ log _ {a} (a ^ {{\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}}) = \ log _ {a} (xy)

\log _{a}(a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)})

{\ Displaystyle \ log _ {a} (a ^ {\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)})}

\ Log _ {a} (a ^ {{\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}})

representa que el número que se debe poner como un exponente en la base

para

{\ Displaystyle a}

para

para obtener

a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}}

a ^ {{\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}}

.

Su valor es, obviamente, el exponente en sí:

\log _{a}(x)+\log _{a}(y)

{\ Displaystyle \ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}

\ Log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)

\log _{a}(a^{\log _{a}(x)+\log _{a}(y)})=\log _{a}(xy)\Longrightarrow \log _{a}(x)+\log _{a}(y)=\log _{a}(xy)

{\ Displaystyle \ log _ {a} (a ^ {\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}) = \ log _ {a} (xy) \ Longrightarrow \ log _ { a} (x) + \ log _ {a} (y) = \ log _ {a} (xy)}

\ Log _ {a} (a ^ {{\ log _ {a} (x) + \ log _ {a} (y)}}) = \ log _ {a} (xy) \ Longrightarrow \ log _ {a } (x) + \ log _ {a} (y) = \ log _ {a} (xy)

\log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}x-\log _{a}y

{\ Displaystyle \ log _ {a} {\ frac {x} {y}} = \ log _ {a} x \ log _ {a} y}

\ Log _ {a} {\ frac {x} {y}} = \ log _ {a} x \ log _ {a} y

Demostración

Si escribimos:

a^{\log _{a}(x)}=x

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x)} = x}

a ^ {{\ log _ {a} (x)}} = x

a^{\log _{a}(y)}=y

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {a} (y)} = y}

a ^ {{\ log _ {a} (y)}} = y

Utilizando las reglas exponenciales:

{\frac {a^{\log _{a}(x)}}{a^{\log _{a}(y)}}}=a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}={\frac {x}{y}}

{\ Displaystyle {\ frac {a ^ {\ log _ {a} (x)}} {a ^ {\ log _ {a} (y)}}} = a ^ {\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)} = {\ frac {x} {y}}}

{\ Frac {a ^ {{\ log _ {a} (x)}}} {a ^ {{\ log _ {a} (y)}}}} = a ^ {{\ log _ {a} ( x) - \ log _ {a} (y)}} = {\ frac {x} {y}}

Aplicando el logaritmo a ambos lados:

a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}={\frac {x}{y}}\Longrightarrow \log _{a}(a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)})=\log _{a}({\frac {x}{y}})

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)} = {\ frac {x} {y}} \ Longrightarrow \ log _ {a} (a ^ {\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}) = \ log _ {a} ({\ frac {x} {y}})}

a ^ {{\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}} = {\ frac {x} {y}} \ Longrightarrow \ log _ {a} (a ^ {{\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}}) = \ log _ {a} ({\ frac {x} {y}})

\log _{a}(a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)})

{\ Displaystyle \ log _ {a} (a ^ {\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)})}

\ Log _ {a} (a ^ {{\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}})

representa que el número que se debe poner como un exponente en la base A para obtener

a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}

{\ Displaystyle a ^ {\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}}

a ^ {{\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}}

.

Su valor es, obviamente, el exponente en sí:

\log _{a}(x)-\log _{a}(y)

{\ Displaystyle \ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}

\ Log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)

\log _{a}(a^{\log _{a}(x)-\log _{a}(y)})=\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)\Longrightarrow \log _{a}(x)-\log _{a}(y)=\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)

{\ Displaystyle \ log _ {a} (a ^ {\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}) = \ log _ {a} \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) \ Longrightarrow \ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y) = \ log _ {a} \ left ({\ frac {x} {y}} \ right )}

\ Log _ {a} (a ^ {{\ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y)}}) = \ log _ {a} \ left ({\ frac {x} { y}} \ right) \ Longrightarrow \ log _ {a} (x) - \ log _ {a} (y) = \ log _ {a} \ left ({\ frac {x} {y}} \ right)

Además, el logaritmo de un número elevado a un cierto poder $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ Es igual a $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ multiplicado por el logaritmo del número en sí. De esto se deduce que el logaritmo de la raíz $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ -ésima de un número es igual a la inversa de $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ por el logaritmo del número, y que el logaritmo de la inversa de un número es el opuesto de la logaritmo del número en sí. En otras palabras, se aplican las fórmulas:

\log _{a}x^{k}=k\cdot \log _{a}x

{\ Displaystyle \ log _ {a} x ^ {k} = k \ cdot \ log _ {a} x}

\ Log _ {a} x ^ {k} = k \ cdot \ log _ {a} x

Demostración

Si escribimos:

{\left(a^{\log _{a}x}\right)}^{k}=x^{k}

{\ Displaystyle {\ left (a ^ {\ log _ {a} x} \ right)} ^ {k} = x ^ {k}}

{\ Left (a ^ {{\ log _ {a} x}} \ right)} ^ {k} = x ^ {k}

Utilizando las reglas exponenciales:

{\left(a^{\log _{a}x}\right)}^{k}=x^{k}\Longrightarrow a^{k\log _{a}(x)}=x^{k}

{\ Displaystyle {\ left (a ^ {\ log _ {a} x} \ right)} ^ {k} = x ^ {k} \ Longrightarrow a ^ {k \ log _ {a} (x)} = x ^ {k}}

{\ Left (a ^ {{\ log _ {a} x}} \ right)} ^ {k} = x ^ {k} \ Longrightarrow a ^ {{k \ log _ {a} (x)}} = x ^ {k}

Esto significa que $k\log _{a}(x)$ ${\ Displaystyle k \ log _ {a} (x)}$ $k \ log _ {a} (x)$ es el exponente que ha de darse a la base $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ para obtener $x^{k}$ ${\ Displaystyle x ^ {k}}$ $x ^ k$ , Es decir, el uso de logaritmos:

k\log _{a}(x)=\log _{a}(x^{k})\Longrightarrow \log _{a}(x^{k})=k\log _{a}(x)

{\ Displaystyle k \ log _ {a} (x) = \ log _ {a} (x ^ {k}) \ Longrightarrow \ log _ {a} (x ^ {k}) = k \ log _ {a} (X)}

k \ log _ {a} (x) = \ log _ {a} (x ^ {k}) \ Longrightarrow \ log _ {a} (x ^ {k}) = k \ log _ {a} (x)

\log _{a}{\sqrt[{k}]{x}}={\frac {1}{k}}\log _{a}(x)

{\ Displaystyle \ log _ {a} {\ sqrt [{k}] {x}} = {\ frac {1} {k}} \ log _ {a} (x)}

\ Log _ {a} {\ sqrt [{k}] {x}} = {\ frac {1} {k}} \ log _ {a} (x)

\log _{a}{\frac {1}{x}}=-\log _{a}x.

{\ Displaystyle \ log _ {a} {\ frac {1} {x}} = -. \ Log _ {a}} x

\ Log _ {a} {{\ frac {1} {x}}} = - \ log _ {a} x.

Cambio de base

Conocido el valor de un logaritmo en una base, es fácil de calcular su valor en otra base (a menudo calculadoras dan el logaritmo sólo en bases $10$ ${\ Displaystyle 10}$ $10$ y $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ ).

Uno mismo $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ , $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ , Y $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ son todos los números reales positivos (con $b\neq 1$ ${\ Displaystyle b \ neq 1}$ $b \ neq 1$ Y $k\neq 1$ ${\ Displaystyle k \ neq 1}$ $k \ neq 1$ ):

\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}

{\ Displaystyle \ log _ {b} x = {\ frac {\ log _ {k} x} {\ log _ {k} b}}}

\ Log _ {b} x = {\ frac {\ log _ {k} x} {\ log _ {k} b}}

donde k es cualquier base. La fórmula puede escribirse de la manera siguiente

\log _{k}b\cdot \log _{b}x=\log _{k}x

{\ Displaystyle \ log _ {k} b \ cdot \ log _ {b} x = \ log _ {k} x}

\ Log _ {k} b \ cdot \ log _ {b} x = \ log _ {k} x

y se desprende del informe

k^{\log _{k}b\cdot \log _{b}x}=(k^{\log _{k}b})^{\log _{b}x}=b^{\log _{b}x}=x.

{\ Displaystyle k ^ {\ log _ {k} b \ cdot \ log _ {b} x} = (k ^ {\ log _ {k} b}) ^ {\ log _ {b} x} = b ^ {\ log _ {b} x} = x.}

k ^ {{\ log _ {k} b \ cdot \ log _ {b} x}} = (k ^ {{\ log _ {k} b}}) ^ {{\ log _ {b} x}} = b ^ {{\ log _ {b} x}} = x.

De la fórmula de cambio de base, mediante la colocación de $k=x$ ${\ Displaystyle k = x}$ $k = x$ , Obtenemos la siguiente relación:

\log _{b}x={\frac {1}{\log _{x}b}}.

{\ Displaystyle \ log _ {b} x = {\ frac {1} {\ log _ {x} b}}.}

\ Log _ {b} x = {\ frac {1} {\ log _ {x} b}}.

Cálculo

Supongamos que queremos calcular $c=\log _{a}b$ ${\ Displaystyle c = \ log _ {a} b}$ ${\ Displaystyle c = \ log _ {a} b}$ , con $a\in (1;+\infty )$ ${\ Displaystyle a \ in (1; + \ infty)}$ ${\ Displaystyle a \ in (1; + \ infty)}$ Y $b\in [1;+\infty )$ ${\ Displaystyle b \ in [1; + \ infty)}$ ${\ Displaystyle b \ in [1; + \ infty)}$ , Representada en una cierta base $r\geq 2$ ${\ Displaystyle r \ geq 2}$ ${\ Displaystyle r \ geq 2}$ .

algoritmo ingenuo

Cálculo de la parte entera

Para el cálculo de la parte entera del logaritmo proceder como sigue:

pedir $q:=b$ ${\ Displaystyle q: = b}$ ${\ Displaystyle q: = b}$ , $c:=0$ ${\ Displaystyle c: = 0}$ ${\ Displaystyle c: = 0}$ y vaya al punto 3;
pedir $q:={\frac {q}{a}}$ ${\ Displaystyle q: = {\ frac {q} {a}}}$ ${\ Displaystyle q: = {\ frac {q} {a}}}$ Y $c:=c+1$ ${\ Displaystyle c: = c + 1}$ ${\ Displaystyle c: = c + 1}$ ;
uno mismo $q\geq a$ ${\ Displaystyle q \ geq a}$ ${\ Displaystyle q \ geq a}$ , Ir al punto 2, de lo contrario continuar con el cálculo de la mantisa.

Al final del procedimiento, $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ es igual a la parte entera de $\log _{a}b$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} b}$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} b}$ .

Cálculo de la mantisa

Para el cálculo de la antigua $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ dígitos de la mantisa, representados en una cierta base $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ , Hace lo siguiente iteración de $i=1,\dots ,n$ ${\ Displaystyle i = 1, \ dots, n}$ ${\ Displaystyle i = 1, \ dots, n}$ :

pedir $q:=q^{r}$ ${\ Displaystyle q: = q ^ {r}}$ ${\ Displaystyle q: = q ^ {r}}$ , $d_{i}:=0$ ${\ Displaystyle d_ {i}: = 0}$ ${\ Displaystyle d_ {i}: = 0}$ y vaya al punto 3;
pedir $q:={\frac {q}{a}}$ ${\ Displaystyle q: = {\ frac {q} {a}}}$ ${\ Displaystyle q: = {\ frac {q} {a}}}$ Y $d_{i}:=d_{i}+1$ ${\ Displaystyle d_ {i}: = d_ {i} 1}$ ${\ Displaystyle d_ {i}: = d_ {i} 1}$ ;
uno mismo $q\geq a$ ${\ Displaystyle q \ geq a}$ ${\ Displaystyle q \ geq a}$ , Ir a paso 2, de lo contrario termina la iteración.

Al final de cada iteración, $d_{i}$ ${\ Displaystyle d_ {i}}$ $de}$ es equivalente a $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ -ésimo dígito de la mantisa.

Generalización

El algoritmo también se puede generalizar para valores de $a,b\in (0;1)$ ${\ Displaystyle un, b \ in (0; 1)}$ ${\ Displaystyle un, b \ in (0; 1)}$ , Utilizando las propiedades de los logaritmos. Tenemos los tres casos siguientes:

Uno mismo $a\in (0;1)$ ${\ Displaystyle a \ in (0; 1)}$ ${\ Displaystyle a \ in (0; 1)}$ Y $b\in [1;+\infty )$ ${\ Displaystyle b \ in [1; + \ infty)}$ ${\ Displaystyle b \ in [1; + \ infty)}$ Y, a continuación, el cambio de la base con ${\frac {1}{a}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {a}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {a}}}$ , resulta que $\log _{a}b={\frac {\log _{\frac {1}{a}}b}{\log _{\frac {1}{a}}a}}={\frac {\log _{\frac {1}{a}}b}{-1}}=-\log _{\frac {1}{a}}b$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} b = {\ frac {\ log _ {\ frac {1} {a}} b} {\ log _ {\ frac {1} {a}} a}} = {\ frac {\ log _ {\ frac {1} {a}} b} {- 1}} = - \ log _ {\ frac {1} {a}} b}$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} b = {\ frac {\ log _ {\ frac {1} {a}} b} {\ log _ {\ frac {1} {a}} a}} = {\ frac {\ log _ {\ frac {1} {a}} b} {- 1}} = - \ log _ {\ frac {1} {a}} b}$ ; Por lo tanto, podemos calcular $\log _{\frac {1}{a}}b$ ${\ Displaystyle \ log _ {\ frac {1} {a}} b}$ ${\ Displaystyle \ log _ {\ frac {1} {a}} b}$ , ya que $a\in (0;1)\implies {\frac {1}{a}}\in (1;+\infty )$ ${\ Displaystyle a \ in (0; 1) \ implica {\ frac {1} {a}} \ in (1; + \ infty)}$ ${\ Displaystyle a \ in (0; 1) \ implica {\ frac {1} {a}} \ in (1; + \ infty)}$ .
Uno mismo $a\in (1;+\infty )$ ${\ Displaystyle a \ in (1; + \ infty)}$ ${\ Displaystyle a \ in (1; + \ infty)}$ Y $b\in (0;1)$ ${\ Displaystyle b \ in (0; 1)}$ ${\ Displaystyle b \ in (0; 1)}$ , asi que $\log _{a}b=\log _{a}b^{(-1)\cdot (-1)}=(-1)\cdot \log _{a}b^{-1}=-\log _{a}{\frac {1}{b}}$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} b = \ log _ {a} b ^ {(- 1) \ cdot (-1)} = (- 1) \ cdot \ log _ {a} b ^ {- 1} = - \ log _ {a} {\ frac {1} {b}}}$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} b = \ log _ {a} b ^ {(- 1) \ cdot (-1)} = (- 1) \ cdot \ log _ {a} b ^ {- 1} = - \ log _ {a} {\ frac {1} {b}}}$ ; Por lo tanto, podemos calcular $\log _{a}{\frac {1}{b}}$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} {\ frac {1} {b}}}$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} {\ frac {1} {b}}}$ .
Uno mismo $a\in (0;1)$ ${\ Displaystyle a \ in (0; 1)}$ ${\ Displaystyle a \ in (0; 1)}$ Y $b\in (0;1)$ ${\ Displaystyle b \ in (0; 1)}$ ${\ Displaystyle b \ in (0; 1)}$ Y, a continuación, la combinación de los resultados anteriores, $\log _{a}b=-\log _{a}{\frac {1}{b}}=-\left(-\log _{\frac {1}{a}}{\frac {1}{b}}\right)=\log _{\frac {1}{a}}{\frac {1}{b}}$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} b = - \ log _ {a} {\ frac {1} {b}} = - \ left (- \ log _ {\ frac {1} {a}} {\ frac {1} {b}} \ right) = \ log _ {\ frac {1} {a}} {\ frac {1} {b}}}$ ${\ Displaystyle \ log _ {a} b = - \ log _ {a} {\ frac {1} {b}} = - \ left (- \ log _ {\ frac {1} {a}} {\ frac {1} {b}} \ right) = \ log _ {\ frac {1} {a}} {\ frac {1} {b}}}$ .

Bases del logaritmo

Aunque en principio los logaritmos se puede calcular en cualquier forma que no sea positivo $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ , Los más utilizados son tres:

de base 10 (decimal o vulgares o Briggs logaritmos), utilizado para operaciones de cálculo (y para el cálculo del pH y pOH en química); que se indican con el registro _10, o con Log, o incluso con el registro cuando la base se hace referencia es claro por el contexto ( ISO símbolo lg).
de base e ( naturales o logaritmos neperianos ), utilizado en el cálculo ; que se indican con ln, o con el registro cuando la base se hace referencia es claro por el contexto (ISO símbolo ln).
base 2 (logaritmo binario), que se utiliza principalmente en el análisis de la complejidad computacional , en código teoría y en teoría de la señal ; que se indican con log _2, o con registro cuando la base a la que nos referimos es claro por el contexto (ISO símbolo lb).

Historia

El método logaritmo fue propuesto por el escocés Napier en 1614 , en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi inventó los logaritmos de forma independiente, pero publicó sus resultados después de seis años de Napier.

Para sustracciones posteriores, Napier calcula $(1-10^{-7})^{L}$ ${\ Displaystyle (1-10 ^ {- 7}) ^ {L}}$ $(1-10 ^ {{- 7}}) ^ {L}$ por $L$ ${\ Displaystyle L}$ $L$ de $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ para $100$ ${\ displaystyle 100}$ $100$ ; el resultado de $L=100$ ${\ Displaystyle L = 100}$ $L = 100$ es aproximadamente $0,99999$ ${\ Displaystyle 0,99999}$ $0.99999$ , es decir $1-10^{-5}$ ${\ Displaystyle 1-10 ^ {- 5}}$ $1-10 ^ {{- 5}}$ . Napier entonces calculado el producto de estos números por $10^{7}(1-10^{-5})^{L}$ ${\ Displaystyle 10 ^ {7} (1-10 ^ {- 5}) ^ {L}}$ $10 ^ {7} (1-10 ^ {{- 5}}) ^ {L}$ , con $L$ ${\ Displaystyle L}$ $L$ de $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ para $50$ ${\ Displaystyle 50}$ $50$ . Estos cálculos, que tuvo 20 años, le permitió encontrar, para cualquier entero $No.$ ${\ Displaystyle N}$ $No.$ del 5 al 10 millones, el número $L$ ${\ Displaystyle L}$ $L$ que resuelve la ecuación

N=10^{7}(1-10^{-7})^{L}.

{\ Displaystyle N = 10 ^ {7} (1-10 ^ {- 7}). ^ {L}}

N = 10 ^ {7} (1-10 ^ {{- 7}}) ^ {L}.

Napier llamó inicialmente este valor un "número artificial", pero más tarde se introdujo el nombre "logaritmo", desde los griegos palabras "logos", proporción, y "arithmos", número. Utilizando la notación moderna, los cálculos de Napier le permitieron calcular

L=\log _{(1-10^{-7})}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)\approx 10^{7}\log _{\frac {1}{e}}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)=-10^{7}\log _{e}\!\left({\frac {N}{10^{7}}}\right),

{\ Displaystyle L = \ log _ {(1-10 ^ {- 7})!} \ \ Left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right) \ aprox 10 ^ {7} \ log _ {\ frac {1} {e}} \ \ left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right) = -! 10 ^ {7} \ log _ {e} \ \ izquierda ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right),}

L = \ log _ {{(1-10 ^ {{{- 7}})!}} \ \ Left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right) \ aprox 10 ^ {7 } \ log _ {{{\ frac {1} {e}}}} \ \ left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right) = - 10 ^ {7} \ log _ {y} \! \ left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right),

donde la aproximación completado corresponde a lo siguiente:

{(1-10^{-7})}^{10^{7}}\approx {\frac {1}{e}}.

{\ Displaystyle {(1-10 ^ {- 7}).} ^ {10 ^ {7}} \ aprox {\ frac {1} {e}}}

{(1-10 ^ {{- 7}})} ^ {{10 ^ {7}}} \ aprox {\ frac {1} {e}}.

El invento de Nepero fue inmediatamente aclamado ampliamente: las obras de Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (China) y Giovanni Keplero (Alemania) se propagan rápidamente la idea.

En 1647 , el flamenco Gregorio di San Vincenzo conecta los logaritmos para la cuadratura de la hipérbola , lo que demuestra que la zona $A(t)$ ${\ Displaystyle A (t)}$ $A)$ subtendido por $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ para $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ satisface

A(tu)=A(t)+A(u).

{\ Displaystyle A (tu) = A (t) + A (u).}

A (tu) = A (t) + A (u).

El logaritmo natural fue descrita por primera vez por Nicolaus Mercator en su obra Logarithmotechnia publicado en 1668 , aunque las matemáticas profesor John Speidell había compilado previamente una tabla de logaritmos naturales en 1619 .

Alrededor de 1730, Euler definió la función exponencial y la función logarítmica como

e^{x}=\lim _{n\rightarrow +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},

{\ Displaystyle e ^ {x} = \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n},}

e ^ {x} = \ lim _ {{n \ rightarrow + \ infty}} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n},

\ln(x)=\lim _{n\rightarrow +\infty }n(x^{1/n}-1).

{\ Displaystyle \ ln (x) = \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} n (x ^ {1 / n} -1).}

\ Ln (x) = \ lim _ {{n \ rightarrow + \ infty}} n (x ^ {{1 / n}} - 1).

Euler también demostró que estas dos funciones eran el inverso de la otra.

Tablas de logaritmos y aplicaciones históricas

Al simplificar los cálculos complejos, logaritmos contribuyeron en gran medida al avance de la ciencia, y en particular de la astronomía . El instrumento que permitía su uso práctico fueron las tablas de logaritmos . El primero de ellos fue completado por Henry Briggs en 1617 , poco después de la invención de Napier. Posteriormente, otras placas fueron escritos con diferentes propósitos y precisión. Se enumeran el valor de $\log _{b}(x)$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (x)}$ ${\ Displaystyle \ log _ {b} (x)}$ y de $b^{x}$ ${\ Displaystyle b ^ {x}}$ $b ^ {x}$ para cada número de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ en un cierto rango, con una precisión fija y con una base $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ elección (normalmente $b=10$ ${\ Displaystyle b = 10}$ $b = 10$ ). Por ejemplo, la tabla de Briggs contenía el registro a la base $10$ ${\ Displaystyle 10}$ $10$ de todos los números de $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ para $1000$ ${\ Displaystyle 1000}$ $1000$ , Con una precisión de ocho cifras decimales. La función $b^{x}$ ${\ Displaystyle b ^ {x}}$ $b ^ {x}$ , Ya que es la inversa del logaritmo, se llamaba antilogaritmo.

El producto y el cociente de dos números $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ Y $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ por lo que se calcularon con la suma y la diferencia de sus logaritmos, respectivamente. El producto $C D$ ${\ Displaystyle cd}$ $CD$ es el antilogaritmo de la suma de los logaritmos de $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ Y $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ :

cd=b^{\log _{b}(c)}b^{\log _{b}(d)}=b^{\log _{b}(c)+\log _{b}(d)}.

{\ Displaystyle cd = b ^ {\ log _ {b} (c)} b ^ {\ log _ {b} (d)} = b ^ {\ log _ {b} (c) + \ log _ {b } (D)}.}

cd = b ^ {{\ log _ {b} (c)}} b ^ {{\ log _ {b} (d)}} = b ^ {{\ log _ {b} (c) + \ log _ {b} (d)}}.

el cociente $c/d$ ${\ Displaystyle c / d}$ $CD$ es el antilogaritmo de la diferencia de los logaritmos de $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ Y $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ :

{\frac {c}{d}}=cd^{-1}=b^{\log _{b}(c)-\log _{b}(d)}.

{\ Displaystyle {\ frac {c} {d}} = cd ^ {- 1} = b ^ {\ log _ {b} (c) -. \ Log _ {b} (d)}}

{\ Frac {c} {d}} = cd ^ {{- 1}} = b ^ {{\ log _ {b} (c) - \ log _ {b} (d)}}.

Para realizar cálculos complejos con buena precisión estas fórmulas eran mucho más rápido que el cálculo directo o el uso de los métodos anteriores, como prostaferesis .

El cálculo de potencias y raíces también se ha simplificado, reduciendo a la multiplicación y la división de los logaritmos:

c^{d}=(b^{\log _{b}(c)})^{d}=b^{d\log _{b}(c)}

{\ Displaystyle c ^ {d} = (b ^ {\ log _ {b} (c)}) ^ {d} = b ^ {d \ log _ {b} (c)}}

c ^ {d} = (b ^ {{\ log _ {b} (c)}}) ^ {d} = b ^ {{d \ log _ {b} (c)}}

Y

{\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=b^{{\frac {1}{d}}\log _{b}(c)}.

{\ Displaystyle {\ sqrt [{d}] {c}} = c ^ {\ frac {1} {d}} = b ^ {{\ frac {1} {d}} \ log _ {b} (c )}.}

{\ Sqrt [{d}] {c}} = c ^ {{{\ frac 1d}}} = b ^ {{{\ frac {1} {d}} \ log _ {b} (c)}} .

función logarítmica

Los logaritmos con diversas bases: rojo para la base y, verde para la base 10 y púrpura para la base 1,7. Como se puede ver, todas las funciones pasan por el punto (1, 0).

Operando en números reales, la función logaritmo es la función $f:(0,+\infty )\to \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle f: (0, + \ infty) \ a \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle f: (0, + \ infty) \ a \ mathbb {R}}$ definido por

f(x)=\log _{b}(x).

{\ Displaystyle f (x) = \ log _ {b} (x).}

f (x) = \ log _ {b} (x).

La función tiene el intervalo como su dominio $(0,+\infty ).$ ${\ Displaystyle (0, + \ infty).}$ ${\ Displaystyle (0, + \ infty).}$ La figura muestra tres ejemplos de la función logaritmo con diferentes valores para la base $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ . La curva roja es para la función con la base $b=e$ ${\ Displaystyle b = e}$ $b = e$ Constante Neperus (valor aproximado: $2,718$ ${\ Displaystyle 2718}$ ${\ Displaystyle 2718}$ ). Como puede verse en el gráfico, el dominio de la función logaritmo (el conjunto dentro del cual los valores de $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ ), Es el intervalo $(0,+\infty )$ ${\ displaystyle (0, + \ infty)}$ $(0, + \ infty)$ ; mientras que el rango, junto en el que los valores de $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ , Y $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Derivado

La función logaritmo es diferenciable y su derivado es el siguiente:

{\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}={\frac {\log _{b}e}{x}},

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ log _ {b} x = {\ frac {1} {x \ ln b}} = {\ frac {\ log _ {b} e} {x} },}

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ log _ {b} x = {\ frac {1} {x \ ln b}} = {\ frac {\ log _ {b} e} {x} },}

donde ln es el logaritmo natural, es decir, con la base $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ . En particular, la siguiente relación es fundamental en el cálculo :

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln x = {\ frac {1} {x}}.}

{\ Frac {d} {dx}} \ ln x = {\ frac {1} {x}}.

Prueba con la función inversa

La igualdad es demostrable utilizando la regla de la función inversa :

\left(f^{-1}\right)'\left(y_{0}\right)={\frac {1}{f'\left(x_{0}\right)}}

{\ Displaystyle \ left (f ^ {- 1} \ right) '\ left (y_ {0} \ right) = {\ frac {1} {f' \ left (x_ {0} \ right)}}}

\ Left (f ^ {{- 1}} \ right) '\ left (y_ {0} \ right) = {\ frac {1} {f' \ left (x_ {0} \ right)}}

La función inversa del logaritmo es la función exponencial , cuya coincide derivado consigo misma:

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}.}

{\ Frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}.

Sigue:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{\frac {de^{\ln x}}{d\ln x}}}={\frac {1}{e^{\ln x}}}={\frac {1}{x}}.

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln x = {\ frac {1} {\ frac {de ^ {\ ln x}} {d \ ln x}}} = {\ frac {1} {e ^ {\ ln x}}} = {\ frac {1} {x}}.}

{\ Frac {d} {dx}} \ ln x = {\ frac {1} {{\ frac {de ^ {{\ ln x}}} {d \ ln x}}}} = {\ frac {1 } {e ^ {{\ ln x}}}} = {\ frac {1} {x}}.

Prueba por definición

La definición de derivado se puede utilizar directamente:

{\frac {d}{dx}}\log _{b}x=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{b}(x+h)-\log _{b}x}{h}}

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ log _ {b} x = \ lim _ {h \ a 0} {\ frac {\ log _ {b} (x + h) - \ log _ { b} x} {h}}}

{\ Frac {d} {dx}} \ log _ {b} x = \ lim _ {{h \ a 0}} {\ frac {\ log _ {b} (x + h) - \ log _ {b } x} {h}}

=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{b}({\frac {x+h}{x}})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{b}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)}{h}}

{\ Displaystyle = \ lim _ {h \ a 0} {\ frac {\ log _ {b} ({\ frac {x + h} {x}})} {h}} = \ lim _ {h \ a 0} {\ frac {\ log _ {b} \ left (1 + {\ frac {h} {x}} \ right)} {h}}}

= \ Lim _ {{h \ a 0}} {\ frac {\ log _ {b} ({\ frac {x + h} {x}})} {h}} = \ lim _ {{h \ a 0}} {\ frac {\ log _ {b} \ left (1 + {\ frac {h} {x}} \ right)} {h}}

=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{b}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)}{{\frac {h}{x}}x}}

{\ Displaystyle = \ lim _ {h \ a 0} {\ frac {\ log _ {b} \ left (1 + {\ frac {h} {x}} \ right)} {{\ frac {h} { x}}}}} x

= \ Lim _ {{h \ a 0}} {\ frac {\ log _ {b} \ left (1 + {\ frac {h} {x}} \ right)} {{\ frac {h} {x }} X}}

y, recordando el límite notable del logaritmo, obtenemos:

={\frac {1}{x\ln b}}.

{\ Displaystyle = {\ frac {1} {x \ ln b}}.}

= {\ Frac {1} {x \ ln b}}.

Convexidad y concavidad

La segunda derivada de la función logaritmo es

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log _{b}x=-{\frac {1}{x^{2}\ln b}}.

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ log _ {b} x = -. {\ Frac {1} {x ^ {2} \ b ln}}}

{\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ log _ {b} x = - {\ frac {1} {x ^ {2} \ ln b}}.

Uno mismo $b>1$ ${\ Displaystyle b> 1}$ $b> 1$ , Este valor es siempre negativa y por lo tanto la función es una función cóncava . Uno mismo $b<1$ ${\ Displaystyle b <1}$ $b <1$ en vez de eso siempre es positivo y la función es convexa .

Integral

La función logaritmo es continua y por lo tanto integrable . La función integral del logaritmo, con una base genérica $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ , Está (aplicando la integración por partes ):

\int \log _{b}x\,dx=x\log _{b}x-{\frac {x}{\ln b}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C

{\ Displaystyle \ int \ log _ {b} x \, dx = x \ log _ {b} x - {\ frac {x} {\ ln b}} + C = x \ log _ {b} \ left ( {\ frac {x} {e}} \ right) + C}

\ Int \ log _ {b} x \, dx = x \ log _ {b} x - {\ frac {x} {\ ln b}} + C = x \ log _ {b} \ left ({\ frac {x} {e}} \ right) + C

Dónde está $C.$ ${\ Displaystyle C}$ $C.$ es la constante de integración, es decir, una constante real arbitraria.

Función analítica

La función logaritmo es analítica . Sin embargo, no es posible describir la función en toda su dominio con una sola serie de potencias (como sucede por ejemplo para la función exponencial ): la expansión centrada en un punto $R>0$ ${\ Displaystyle R> 0}$ $R> 0$ de hecho, tiene un radio de convergencia $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ y por lo tanto es convergente sólo en el intervalo $(0,2R)$ ${\ Displaystyle (0,2R)}$ $(0.2R)$ . Por ejemplo, en el desarrollo $R=1$ ${\ Displaystyle R = 1}$ $R = 1$ es el siguiente:

\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots

{\ Displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {x ^ {k}} {k}} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {4}} {4}} + \ dots}

{\ Displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {x ^ {k}} {k}} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {4}} {4}} + \ dots}

Relación entre la función exponencial y logarítmica

Para el estudio de las funciones exponenciales en el que es necesario extrapolar datos o parámetros de una manera sencilla, es posible explotar la función logaritmo para derivar una relación implícita de la función original que tiene la ventaja de ser lineal. Por ejemplo, para una función que puede ser descrito como

$y=ae^{bx}$ ${\ Displaystyle y = ae ^ {bx}}$ $y = ae ^ {bx}} {$

con constante de a y b es posible llegar a la relación:

$\ln \left(y\right)=\ln \left(ae^{bx}\right)=\ln \left(a\right)+\ln \left(e^{bx}\right)=\ln \left(a\right)+bx$ ${\ Displaystyle \ ln \ left (y \ right) = \ ln \ left (ae ^ {bx} \ right) = \ ln \ left (un \ right) + \ ln \ left (e ^ {bx} \ right) = \ ln \ left (un \ right) + bx}$ $\ Ln \ left (y \ right) = \ ln \ left (ae ^ {{bx}} \ right) = \ ln \ left (un \ right) + \ ln \ left (e ^ {{bx}} \ right ) = \ ln \ left (un \ right) + bx$

que en el plano semi-logarítmica representa una línea recta que intersecta el eje de ordenadas en ln (a), con primera b derivado y el ángulo de inclinación igual a arctan (b): de esta manera la extrapolación de los datos para la nueva función es más sencillo y más accesible.

logaritmo complejo

El mismo tema en detalle: Logaritmo complejo .

Logaritmo complejo gráfico: la altura representa el módulo y el color del ángulo.

La función logaritmo se puede extender a números complejos distintos de cero. En el caso en el que es un logaritmo natural con complejo argumento, se aplica la siguiente fórmula:

\ln {z}=\ln {|z|}+i\left(\arg z+2\pi k\right),z\in \mathbb {C} ,

{\ Displaystyle \ ln {z} = \ ln {| z |} + i \ left (\ arg z + 2 \ pi k \ right), z \ in \ mathbb {C},}

\ln {z}=\ln {|z|}+i\left(\arg z+2\pi k\right),z\in \mathbb {C} ,

con $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ l' unità immaginaria e $\arg z$ $\arg z$ $\arg z$ l' argomento di $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ . Il logaritmo complesso è in realtà una funzione a più valori , determinati dal parametro intero $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ .

Note

^ SK Kate e HR Bhapkar, 1 , in Basics Of Mathematics , Technical Publications, 2009, ISBN 978-81-8431-755-8 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikibooks contiene testi o manuali su logaritmo
Wikizionario contiene il lemma di dizionario « logaritmo »
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su logaritmo

Collegamenti esterni

( EN ) Logaritmo , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Logaritmi in MathWorld

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[1] SK Kate e HR Bhapkar, 1 , in Basics Of Mathematics , Technical Publications, 2009, ISBN 978-81-8431-755-8 .

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