Mapa de herradura

Mapa de herradura de Smale

F

{\ Displaystyle f}

F

es la composición de tres transformaciones geométricas.

Se funde en una bola real de masilla de colores después de interacciones consecutivas del mapa de herradura.

En la teoría del caos , un mapa de herradura es cualquier elemento de una clase de mapas caóticos del propio cuadrado, fundamental en el estudio de sistemas dinámicos . El mapa fue presentado por Stephen Smale mientras estudiaba el comportamiento de las órbitas del oscilador de van der Pol . La acción del mapa se define geométricamente como la contracción del cuadrado, el posterior estiramiento del resultado en una larga tira y finalmente doblarlo en forma de herradura.

Descripción

La mayoría de los puntos finalmente salen del cuadrado después de aplicar el mapa. Iterando el mapa, este último se dirigirá a los semidiscos adheridos al cuadrado donde convergerán en un punto fijo en uno de los semicírculos. Los puntos que permanecen en el cuadrado después de iteraciones repetidas forman un conjunto fractal y son parte del conjunto invariante del mapa.

La contracción, dilatación y pliegue del mapa en herradura son típicos de los sistemas caóticos, pero no necesarios y ni siquiera suficientes. ^[1] En el mapa de Smale, la contracción y la dilatación son uniformes. Se compensan entre sí para que el área del cuadrado no cambie. El pliegue se hizo simple y ordenado, por lo que puede describir fácilmente las órbitas que permanecen en el cuadrado para siempre.

Para un mapa de herradura:

hay un número infinito de órbitas periódicas;
hay órbitas periódicas de un período arbitrariamente grande;
el número de órbitas periódicas crece exponencialmente con el período;
cerca de cada punto del conjunto invariante hay un punto de una órbita periódica.

Características

El mapa de la herradura $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ es un difeomorfismo definido por una región $S.$ ${\ Displaystyle S}$ $S.$ del avión en sí. La región $S.$ ${\ Displaystyle S}$ $S.$ es un cuadrado flanqueado por dos semicírculos. La acción de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ se define mediante la composición de tres transformaciones geométricas. Primero, el cuadrado se contrae verticalmente por un factor $\alpha <1/2$ ${\ Displaystyle \ alpha <1/2}$ ${\ Displaystyle \ alpha <1/2}$ . Los semicírculos se contraen para permanecer así y también para unirse al rectángulo resultante. Contrato por un factor menor que $1/2$ ${\ Displaystyle 1/2}$ $1/2$ asegura que habrá un espacio vacío entre los dos brazos de la herradura. Luego, el rectángulo se expande horizontalmente por un factor $1/\alpha$ ${\ Displaystyle 1 / \ alpha}$ ${\ Displaystyle 1 / \ alpha}$ ; los medios discos permanecen sin cambios. Finalmente, la tira resultante se dobla en forma de herradura y se vuelve a colocar en $S.$ ${\ Displaystyle S}$ $S.$ .

Lo interesante es la imagen de la propia plaza. Una vez definida esta parte, el mapa puede extenderse a un difeomorfismo describiendo su acción sobre los semicírculos. Los medios discos son para contraer y, finalmente, mapear en uno de los dos medios círculos (la izquierda en la figura). La extensión de $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ a los semicírculos adjuntos, agrega un punto fijo al conjunto no errante del mapa. Para mantener la clase de mapa de Smale simple, la región curva de la herradura no debe volver al cuadrado.

El mapa de herradura es inyectivo , lo que significa que existe lo inverso $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ cuando te encoges a la imagen de $S.$ ${\ Displaystyle S}$ $S.$ en comparación con $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ .

Doblando la tira de diferentes formas, son posibles otros tipos de mapas en herradura.

Variantes del mapa de herradura

Para garantizar que el mapa siga siendo inyectivo, el cuadrado contraído no debe superponerse. Cuando la acción en el cuadrado se extiende a un difeomorfismo, la extensión no siempre se puede hacer en el plano. Por ejemplo, para extender el mapa de la derecha a un difeomorfismo, necesita usar una " capucha " que envuelva el ecuador.

El mapa de herradura es un difeomorfismo que satisface el axioma A de Smale y que también sirve como modelo para el comportamiento general en un punto homoclinal transversal, donde las variedades estables e inestables de un punto periódico se cruzan.

Dinámica

El mapa de herradura se creó para la dinámica caótica de un flujo en la vecindad de una órbita periódica determinada. La vecindad elegida es un pequeño disco perpendicular a la órbita . A medida que el sistema evoluciona, los puntos del disco permanecen cerca de la órbita periódica, trazando las órbitas que eventualmente volverán a cruzarse con el disco, y las otras órbitas divergirán en su lugar.

El comportamiento de todas las órbitas en el disco se puede determinar considerando lo que sucede en el disco. La intersección entre el disco y la órbita periódica dada devuelve cada período a sí mismo y también lo hacen los puntos a su alrededor. Cuando este entorno regresa, su forma ha cambiado. Entre los puntos mapeados en el cuadrado hay puntos que dejarán el disco y otros que seguirán regresando. El conjunto de puntos que nunca abandonan la vecindad de la órbita periódica forma un fractal.

Se puede dar un nombre simbólico a las órbitas que quedan alrededor. El disco inicial se puede dividir en una pequeña cantidad de regiones. Al conocer la sucesión de visitas a la órbita en estas regiones, la órbita se puede ubicar con exactitud. La sucesión de visitas proporciona una representación simbólica de la dinámica, conocida como dinámica simbólica .

Órbitas

Es posible describir el comportamiento de todas las condiciones iniciales del mapa de herradura. Un punto de partida $u_{0}=(x,y)$ ${\ Displaystyle u_ {0} = (x, y)}$ ${\ Displaystyle u_ {0} = (x, y)}$ está mapeado al punto $u_{1}=f(u_{0})$ ${\ Displaystyle u_ {1} = f (u_ {0})}$ ${\ Displaystyle u_ {1} = f (u_ {0})}$ . Su iteración es el punto $u_{2}=f(u_{1})=f^{2}(u_{0})$ ${\ Displaystyle u_ {2} = f (u_ {1}) = f ^ {2} (u_ {0})}$ ${\ Displaystyle u_ {2} = f (u_ {1}) = f ^ {2} (u_ {0})}$ , y continuando la órbita se genera $u_{0}$ ${\ Displaystyle u_ {0}}$ $u_ {0}$ , $u_{1}$ ${\ Displaystyle u_ {1}}$ $u_1$ , $u_{2}$ ${\ Displaystyle u_ {2}}$ $u_2$ , $\ldots$ ${\ Displaystyle \ ldots}$ $\ ldots$

Con interacciones repetidas del mapa de Smale, la mayoría de las órbitas terminan en el punto fijo del medio disco izquierdo. Esto sucede porque el mapa envía el semidisco a sí mismo a través de una transformación afín , que tiene exactamente un punto fijo. Cualquier órbita que termine en el medio disco izquierdo nunca la abandonará y convergerá hacia el punto fijo. Los puntos del semicírculo de la derecha se asignan al de la izquierda en la siguiente iteración, y la mayoría de los puntos se envían a los semidiscos.

Iterar el cuadrado

Imágenes y contraimágenes de la región cuadrada aplicando el mapa de Smale

A través de interacciones hacia adelante del mapa de herradura, el cuadrado original se envía en una serie de franjas horizontales. Los puntos de estas franjas horizontales provienen de franjas verticales del cuadrado inicial. Dijo $S_{0}$ ${\ Displaystyle S_ {0}}$ $S_0$ el cuadrado original se mapea hacia adelante $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ A veces solo consideramos los puntos devueltos en el cuadrado, que es un conjunto de franjas horizontales

H_{n}=f^{n}(S_{0})\cap S_{0}.

{\ Displaystyle H_ {n} = f ^ {n} (S_ {0}) \ cap S_ {0}.}

{\ Displaystyle H_ {n} = f ^ {n} (S_ {0}) \ cap S_ {0}.}

Los puntos de las franjas horizontales provienen de franjas verticales del cuadrado

V_{n}=f^{-n}(H_{n})

{\ Displaystyle V_ {n} = f ^ {- n} (H_ {n})}

{\ Displaystyle V_ {n} = f ^ {- n} (H_ {n})}

,

cuales son las rayas horizontales $H_{n}$ ${\ Displaystyle H_ {n}}$ $H_ {n}$ mapeado al revés $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ veces. Es decir, un punto en $V_{n}$ ${\ Displaystyle V_ {n}}$ $V_ {n}$ terminará como un todo $H_{n}$ ${\ Displaystyle H_ {n}}$ $H_ {n}$ rayas verticales después $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ interacciones.

Conjunto invariante

Intersecciones que convergen al conjunto invariante

Ejemplo de una medida invariante

Si un punto permanece indefinidamente en el cuadrado, debe pertenecer al conjunto $\Lambda$ ${\ Displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ que está mapeado en sí mismo. Debe determinarse si este conjunto está vacío o no. Las rayas verticales $V_{1}$ ${\ Displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ se envían a los horizontales $H_{1}$ ${\ Displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ , pero no todos los puntos de $V_{1}$ ${\ Displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ se envían a sí mismos. Solo los puntos en la intersección de $V_{1}$ ${\ Displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ Y $H_{1}$ ${\ Displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ puede pertenecer a $\Lambda$ ${\ Displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ , como puede comprobar siguiendo los puntos fuera de la intersección en la siguiente iteración.

La intersección de las franjas verticales y horizontales, $H_{n}\cap V_{n}$ ${\ Displaystyle H_ {n} \ cap V_ {n}}$ ${\ Displaystyle H_ {n} \ cap V_ {n}}$ , son cuadrados que en el límite $n\to \infty$ ${\ Displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ converge al conjunto invariante $\Lambda$ ${\ Displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ . La estructura de este conjunto puede entenderse mejor introduciendo un sistema de etiquetas para cada intersección: una dinámica simbólica.

Dinámica simbólica

Los dominios básicos del mapa de herradura

Siempre y cuando $H_{n}\cap V_{n}\subset V_{1}$ ${\ Displaystyle H_ {n} \ cap V_ {n} \ subconjunto V_ {1}}$ ${\ Displaystyle H_ {n} \ cap V_ {n} \ subconjunto V_ {1}}$ , cualquier punto que pertenezca a $\Lambda$ ${\ Displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ debe estar mapeado en la franja vertical izquierda $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ de $V_{1}$ ${\ Displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ , o en el de la derecha $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ . La franja horizontal inferior de $H_{n}$ ${\ Displaystyle H_ {n}}$ $H_ {n}$ es la imagen de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ mientras que el superior es la imagen de $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ , es decir $H_{1}=f(A)\cup f(B)$ ${\ Displaystyle H_ {1} = f (A) \ cup f (B)}$ ${\ Displaystyle H_ {1} = f (A) \ cup f (B)}$ . Luego se pueden usar tiras $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ Y $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ para etiquetar los cuatro cuadrados en la intersección de $V_{1}$ ${\ Displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ Y $H_{1}$ ${\ Displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ :

{\begin{aligned}\Lambda _{A\bullet A}&=f(A)\cap A\\\Lambda _{A\bullet B}&=f(A)\cap B\\\Lambda _{B\bullet A}&=f(B)\cap A\\\Lambda _{B\bullet B}&=f(B)\cap B\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Lambda _ {A \ bullet A} & = f (A) \ cap A \\\ Lambda _ {A \ bullet B} & = f (A) \ cap B \\\ Lambda _ {B \ bullet A} & = f (B) \ cap A \\\ Lambda _ {B \ bullet B} & = f (B) \ cap B \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Lambda _ {A \ bullet A} & = f (A) \ cap A \\\ Lambda _ {A \ bullet B} & = f (A) \ cap B \\\ Lambda _ {B \ bullet A} & = f (B) \ cap A \\\ Lambda _ {B \ bullet B} & = f (B) \ cap B \ end {alineado}}}

El conjunto $\Lambda _{A\bullet B}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {A \ bullet B}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {A \ bullet B}}$ consta de puntos de tira $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ en que estoy $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ en la iteración anterior. El punto fue usado $\bullet$ ${\ Displaystyle \ bullet}$ $\ bala$ para separar la región donde está el punto de la órbita de donde estaba anteriormente.

La notación también se puede extender a interacciones más grandes del mapa de Smale. Las franjas verticales se pueden llamar según la secuencia de visitas a la franja $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ o $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ . Por ejemplo, todo $ABB\subset V_{3}$ ${\ Displaystyle ABB \ subconjunto V_ {3}}$ ${\ Displaystyle ABB \ subconjunto V_ {3}}$ consta de puntos de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ que será enviado en $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ con una iteración y que permanecerá en la siguiente iteración:

ABB=\{x\in A\,|\,f(x)\in B\,\,\,\mathrm {e} \,\,\,f_{2}(x)\in B\}.

{\ Displaystyle ABB = \ {x \ en A \, | \, f (x) \ en B \, \, \, \ mathrm {e} \, \, \, f_ {2} (x) \ en B \}.}

{\ Displaystyle ABB = \ {x \ en A \, | \, f (x) \ en B \, \, \, \ mathrm {e} \, \, \, f_ {2} (x) \ en B \}.}

Las franjas horizontales están indicadas por las franjas verticales que son sus contraimágenes. Con esta notación, la intersección de $H_{2}$ ${\ Displaystyle H_ {2}}$ $H_2$ Y $V_{2}$ ${\ Displaystyle V_ {2}}$ ${\ Displaystyle V_ {2}}$ consta de 16 cuadrados, uno de los cuales es

\Lambda _{AB\bullet BB}=f_{2}(AB)\cap BB.

{\ Displaystyle \ Lambda _ {AB \ bullet BB} = f_ {2} (AB) \ cap BB.}

{\ Displaystyle \ Lambda _ {AB \ bullet BB} = f_ {2} (AB) \ cap BB.}

Todos los puntos en $\Lambda _{AB\bullet BB}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {AB \ bullet BB}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {AB \ bullet BB}}$ estoy en $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ y seguirá siéndolo durante al menos una iteración posterior. Su trayectoria previa antes de ser mapeada en $B. B.$ ${\ displaystyle BB}$ ${\ displaystyle BB}$ era $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ seguido por $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ .

Órbitas periódicas

Cualquiera de las intersecciones $\Lambda _{P\bullet F}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {P \ bullet F}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {P \ bullet F}}$ de una franja horizontal con una vertical, donde $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ Y $F.$ ${\ Displaystyle F}$ $F.$ son secuencias de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ Y $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ , es una afinidad de la pequeña región $V_{1}$ ${\ Displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ . Uno mismo $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ está compuesto por $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ símbolos, y si $f^{-k}(\Lambda _{P\bullet F})$ ${\ Displaystyle f ^ {- k} (\ Lambda _ {P \ bullet F})}$ ${\ Displaystyle f ^ {- k} (\ Lambda _ {P \ bullet F})}$ Y $\Lambda _{P\bullet F}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {P \ bullet F}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {P \ bullet F}}$ intersectar, la región $\Lambda _{P\bullet F}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {P \ bullet F}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {P \ bullet F}}$ tendrá un punto fijo. Esto sucede cuando $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ Y $F.$ ${\ Displaystyle F}$ $F.$ son iguales, de hecho $\Lambda _{ABAB\bullet ABAB}\subset V_{4}\cup H_{4}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {ABAB \ bullet ABAB} \ subconjunto V_ {4} \ cup H_ {4}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {ABAB \ bullet ABAB} \ subconjunto V_ {4} \ cup H_ {4}}$ tiene al menos un punto fijo, que también es el mismo que $\Lambda _{AB\bullet AB}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {AB \ bullet AB}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {AB \ bullet AB}}$ . Incluyendo cada vez más $PARA B.$ ${\ Displaystyle AB}$ $AB$ en $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ Y $F.$ ${\ Displaystyle F}$ $F.$ , el área de intersección puede hacerse arbitrariamente pequeña que convergerá a un punto que es parte de una órbita periódica del mapa en herradura. La órbita periódica se puede describir mediante la secuencia más simple de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ Y $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ indicando las regiones visitadas por órbita.

Para cada secuencia de $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ Y $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ hay una órbita periódica.

Nota

^ David Ruelle,¿Qué es un atractor extraño? ( PDF ), en Notices of the American Mathematical Society , vol. 53, n. 7, 2006, págs. 764–765.

Bibliografía

David Ruelle ,¿Qué es un atractor extraño? ( PDF ), en Notices of the American Mathematical Society , vol. 53, n. 7, 2006, págs. 764–765.
Stephen Smale, Sistemas dinámicos diferenciables , en Bulletin of the American Mathematical Society , vol. 73, n. 6, 1967, págs. 747–817, DOI :10.1090 / S0002-9904-1967-11798-1 .
P. Cvitanović, G. Gunaratne e I. Procaccia, Propiedades topológicas y métricas de atractores extraños de tipo Hénon , en Physical Review A , vol. 38, n. 3, 1988, págs. 1503-1520, DOI : 10.1103 / PhysRevA.38.1503 , PMID 9900529 .
André de Carvalho, Poda de frentes y formación de herraduras , en Teoría ergódica y sistemas dinámicos , vol. 19, n. 4, 1999, págs. 851–894, DOI : 10.1017 / S0143385799133972 .
André de Carvalho y Toby Hall, Cómo podar una herradura , en No linealidad , vol. 15, no. 3, 2002, págs. R19 - R68, DOI : 10.1088 / 0951-7715 / 15/3/201 .

Otros proyectos

Wikimedia Commons contiene imágenes u otros archivos de mapas en forma de herradura

enlaces externos

Smale Horseshoe Scholarpedia
Capítulo de ChaosBook.org "Estirar, doblar, podar"

Portal de matemáticas : acceda a las entradas de Wikipedia relacionadas con las matemáticas

[1] David Ruelle,¿Qué es un atractor extraño? ( PDF ), en Notices of the American Mathematical Society , vol. 53, n. 7, 2006, págs. 764–765.

[1]

V · D · M Teoría del caos
Teoría de la bifurcación	Horquilla de bifurcación · Nodo de silla de bifurcación · Bifurcación imperfecta · Bifurcación transcrítica · Bifurcación Hopf · Larva Pino (sistema dinámico)
Fractales	Fractal Arte · Buddhabrot · Quemar barco · Compresión fractal · Koch copo de nieve · curva de Peano · curva de Sierpinski · dimensión de Hausdorff · dimensión fractal · función de Cantor · Conjunto de Cantor · Conjunto Julia · conjunto de Mandelbrot · Fractales para el tamaño de Hausdorff · Cantor polvo · Sterling · Triángulo de Sierpinski · Dimensión de Minkowski-Bouligand
Atractores	Sistema de Lorenz · Atractor de Hénon · Mapa de Poincaré · Mapa logístico · Mapa de herradura · Espacio de fase
Teóricos del caos	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Lyapunov · Benoît Mandelbrot · Edward October · Henri Poincare · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke