Mecánica cuántica

El físico alemán Max Planck (1858-1947) fue el primero en introducir el concepto de " cuántico ", en la base de la ley que lleva su nombre , en su obra de 1900 " Ueber die Elementarquanta der Materie und der Elektrizitaet " (Sui quantum elementos de materia y electricidad) ^[1]

La mecánica cuántica es la teoría física que describe el comportamiento de la materia , la radiación y las interacciones mutuas, con especial atención a los fenómenos característicos de la escala de longitudes o de la energía atómica y subatómica ^[2] , donde las teorías clásicas anteriores resultan inadecuadas.

Como característica fundamental, la mecánica cuántica describe la radiación^[3] y la materia ^[4] tanto como fenómenos ondulatorios como entidades de partículas, a diferencia de la mecánica clásica , que describe la luz sólo como onda y, por ejemplo, el electrón sólo como partícula . Esta propiedad inesperada y contradictoria de la realidad física, denominada dualismo onda-partícula ^[5] , es la principal razón del fracaso de las teorías desarrolladas hasta el siglo XIX en la descripción de átomos y moléculas. La relación entre la naturaleza ondulatoria y corpuscular se establece en el principio de complementariedad y se formaliza en el principio de incertidumbre de Heisenberg ^[6] .

Existen numerosos formalismos matemáticos equivalentes de la teoría, como la mecánica ondulatoria y la mecánica matricial ; por el contrario, existen numerosas y discordantes interpretaciones sobre la esencia última del cosmos y la naturaleza, que han dado lugar a un debate aún abierto en el campo de la filosofía de la ciencia .

La mecánica cuántica representa, junto con la teoría de la relatividad , un hito con respecto a la física clásica que conduce al nacimiento de la física moderna , y a través de la teoría cuántica de campos , la generalización de la formulación original que incluye el principio de relatividad especial, es la base de muchos otras ramas de la física, como la física atómica , la física de la materia condensada , la física nuclear , la física de partículas , la química cuántica .

Historia

Un cuerpo negro , un objeto capaz de absorber toda la radiación incidente, se puede idealizar como una cavidad negra con un pequeño agujero. Según la predicción clásica, este cuerpo debería haber emitido una intensidad infinita de radiación electromagnética de alta frecuencia ( catástrofe ultravioleta ).

A finales del siglo XIX , la mecánica parecía incapaz de describir el comportamiento de la materia y la radiación electromagnética en la escala de longitud del orden del átomo o en la escala de energía de las interacciones interatómicas; en particular, la realidad experimental de la luz y el electrón era inexplicable. Esta limitación de las leyes clásicas fue la principal motivación que llevó en la primera mitad del siglo XX al desarrollo de una nueva física completamente diferente a la desarrollada hasta entonces ^[7] , a través de una teoría obtenida al combinar y elaborar un conjunto de las teorías formuladas a finales del siglo XIX y XX , a menudo empíricas , basadas en el hecho de que algunas cantidades a nivel microscópico, como la energía o el momento angular , pueden variar sólo por valores discretos llamados " cuantos " (de ahí el nombre " teoría cuántica " introducida por Max Planck a principios del siglo XX ^[1] .)

Crisis de la física clásica y búsqueda de una nueva teoría

Efecto fotoeléctrico : una placa de metal irradiada con ondas electromagnéticas de longitud de onda adecuada emite electrones.

Los átomos fueron reconocidos por John Dalton en 1803 como los constituyentes fundamentales de las moléculas y de toda la materia ^[8] . En 1869 la tabla periódica de los elementos permitió agrupar los átomos según sus propiedades químicas y esto permitió descubrir leyes periódicas, como la regla del octeto , cuyo origen se desconocía. ^[9] Los estudios de Avogadro , Dumas y Gauden mostraron que los átomos se componen para formar moléculas, estructurando y combinándose según leyes de naturaleza geométrica. Todos estos nuevos descubrimientos no aclararon las razones por las que los elementos y moléculas se formaron de acuerdo con estas leyes regulares y periódicas.

Espectro del átomo de hidrógeno , tipo discreto o lineal, una clara señal de cuantificación de energía

En cambio, la base de la estructura interna del átomo se estableció con los descubrimientos del electrón en 1874 por George Stoney , y del núcleo por Rutherford . Según el modelo de Rutherford, un núcleo central cargado positivamente en un átomo actúa sobre los electrones negativos de la misma manera que el Sol actúa sobre los planetas del sistema solar . Sin embargo, las emisiones electromagnéticas predichas por la teoría de Maxwell para cargas eléctricas en movimiento acelerado, deberían haber tenido una gran intensidad haciendo que el átomo colapsara en unos momentos, contrariamente a la estabilidad de toda la materia observada ^[10] .

La radiación electromagnética fue teóricamente predicha por James Clerk Maxwell en 1850 y detectada experimentalmente por Heinrich Hertz en 1886. ^[11] Sin embargo, Wien descubrió que, según la teoría clásica de la época, un cuerpo negro capaz de absorber toda la radiación incidente debería Emiten ondas electromagnéticas con una intensidad de longitud de onda corta infinita. Esta devastadora paradoja, aunque no se consideró inmediatamente de gran importancia, se denominó la " catástrofe ultravioleta " en 1911.

En 1887, Heinrich Hertz descubrió que las descargas eléctricas entre dos cuerpos conductores cargados eran mucho más intensas si los cuerpos estaban expuestos a radiación ultravioleta . ^[12] El fenómeno, debido a la interacción entre la radiación electromagnética y la materia , se denominó efecto fotoeléctrico , y se encontró que inexplicablemente desaparecía por completo para frecuencias de la radiación incidente inferiores a un valor umbral, independientemente de la intensidad total de esta. Además, si se producía el efecto fotoeléctrico , la energía de los electrones emitidos por las placas conductoras era directamente proporcional a la frecuencia de la radiación electromagnética . Tal evidencia experimental no podría ser explicada por la teoría de ondas clásica de Maxwell . Por la explicación teórica de estas propiedades contraintuitivas de la luz , Einstein recibió el Premio Nobel de Física en 1921. ^[13]

La mecánica cuántica, desarrollada con las contribuciones de numerosos físicos durante más de medio siglo, pudo proporcionar una explicación satisfactoria de todas estas reglas empíricas y contradicciones.

Nacimiento de la teoría cuántica

El mismo tema en detalle: teoría cuántica .

Niels Bohr , creador del modelo atómico del mismo nombre

En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno , un electrón solo puede seguir ciertas trayectorias clásicas. Estas trayectorias son estables y discretas, indicadas con un entero progresivo

n=1,2,3,\dots

{\ Displaystyle n = 1,2,3, \ dots}

n = 1,2,3, \ puntos

. Siempre que el electrón desciende a una órbita inferior emite radiación electromagnética, en forma de fotón , de energía correspondiente a la energía perdida (ver espectro del átomo de hidrógeno )

Arnold Sommerfeld

En 1913, el físico danés Niels Bohr propuso un modelo empírico para intentar reunir la evidencia en torno a la estabilidad del átomo de hidrógeno y su espectro de emisión, como la ecuación de Rydberg . Max Planck , Albert Einstein , Peter Debye y Arnold Sommerfeld contribuyeron al desarrollo y generalización del conjunto de reglas formales propuestas por Bohr, indicadas por la expresión antigua teoría cuántica ^[14] . En este modelo, el movimiento del electrón en el átomo de hidrógeno se permite solo a lo largo de un conjunto discreto de órbitas circulares o elípticas estacionarias y cerradas. ^[15] ^[16] La radiación electromagnética se absorbe o emite solo cuando un electrón pasa respectivamente de una órbita más pequeña a una más grande o viceversa. De esta manera, Bohr pudo calcular los niveles de energía del átomo de hidrógeno, demostrando que en este sistema un electrón no puede tomar ningún valor energético, sino solo algunos valores precisos y discretos. $E_{n}$ ${\ Displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ determinado por el entero $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ según el informe:

E_{n}=-{\frac {13{,}36~{\textrm {eV}}}{n^{2}}}

{\ Displaystyle E_ {n} = - {\ frac {13 {,} 36 ~ {\ textrm {eV}}} {n ^ {2}}}}

{\ Displaystyle E_ {n} = - {\ frac {13 {,} 36 ~ {\ textrm {eV}}} {n ^ {2}}}}

,

de acuerdo con los experimentos y con una energía mínima distinta de cero $E_{min}=-13{,}36$ ${\ displaystyle E_ {min} = - 13 {,} 36}$ ${\ Displaystyle E_ {min} = - 13 {,} 36}$ eV cuando $n=1$ ${\ Displaystyle n = 1}$ $n = 1$ . Sin embargo, quedaba por aclarar por qué el electrón solo podía viajar por algunas trayectorias cerradas específicas.

En 1924 el físico francés Louis de Broglie planteó la hipótesis de que el electrón, además del corpuscular, también tiene un comportamiento ondulatorio , que se manifiesta por ejemplo en fenómenos de interferencia . La longitud de onda $\lambda$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ del electrón contiene:

\lambda ={\frac {h}{p}}

{\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}}}

\ lambda = {\ frac {h} {p}}

Dónde está $h$ ${\ Displaystyle h}$ $h$ es la constante de Planck e $pag$ ${\ Displaystyle p}$ $pag$ el momento. De esta manera, la ley de cuantificación impuesta por Bohr podría interpretarse simplemente como la condición de ondas estacionarias, equivalente a las ondas que se desarrollan en la cuerda vibrante de un violín.

Desarrollo de la mecánica cuántica

Sobre la base de estos resultados, en 1925-1926 Werner Heisenberg y Erwin Schrödinger desarrollaron respectivamente la mecánica matricial y la mecánica ondulatoria , dos formulaciones diferentes de la mecánica cuántica que conducen a los mismos resultados. La ecuación de Schrödinger en particular es similar a la de las ondas y sus soluciones estacionarias representan los posibles estados de las partículas y por lo tanto también de los electrones en el átomo de hidrógeno. La naturaleza de estas ondas fue inmediatamente objeto de un gran debate, que continúa hasta el día de hoy. En la segunda mitad de la década de 1920 la teoría fue formalizada, con la adopción de postulados fundamentales, por Paul Adrien Maurice Dirac , John von Neumann y Hermann Weyl .

Una representación aún diferente, pero que conduce a los mismos resultados que las anteriores, llamada integral en los caminos , fue desarrollada en 1948 por Richard Feynman : una partícula cuántica atraviesa todas las trayectorias posibles durante su movimiento y las diversas contribuciones proporcionadas por todos los Los caminos interfieren entre sí para generar el comportamiento observado más probable.

Conceptos básicos

Cuantificación de energía

El mismo tema en detalle: Ley de Planck , Cuantización (física) y Escala de Planck .

Con la formulación de la mecánica cuántica, la cuantificación de la radiación electromagnética según la hipótesis del fotón de Einstein se extiende a todos los fenómenos energéticos, con la consiguiente extensión del concepto inicial de "cuanto de luz" al de cuanto de acción y abandono de la "continuidad" típica. de la mecánica clásica , en particular a las escalas de longitud y energía del mundo atómico y subatómico.

Dualismo onda-partícula

El mismo tema en detalle: dualismo onda-partícula .

El físico francés Louis de Broglie ganó el Premio Nobel de Física en 1929 por descubrir en 1924 que el electrón también tiene un comportamiento de onda dando lugar al concepto de onda de materia y la dualidad onda-partícula .

La física clásica hasta el siglo XIX se dividió en dos cuerpos de leyes: los de Newton, que describen los movimientos y la dinámica de los cuerpos mecánicos, y los de Maxwell, que describen la tendencia y las limitaciones a las que están sujetos los campos electromagnéticos como la luz y la radio. ondas. Durante mucho tiempo se había debatido la naturaleza de la luz y algunas pruebas experimentales, como el experimento de Young , llevaron a la conclusión de que la luz debería considerarse como una onda.

A principios del siglo XX, algunas inconsistencias teórico-experimentales socavaron la concepción puramente ondulatoria de la radiación electromagnética, lo que condujo a la teoría, adelantada por Einstein sobre la base de los primeros trabajos de Max Planck, en la que se reintroducía la naturaleza corpuscular de la luz. en cierta medida, se considera que está compuesto por fotones que transportan cantidades discretas de la energía total de la onda electromagnética.

Posteriormente De Broglie avanzó la hipótesis de que la naturaleza de la materia y la radiación no debe pensarse sólo en términos exclusivos de cualquiera de una onda o una partícula, sino que las dos entidades son a la vez una partícula y una onda al mismo tiempo. Cada cuerpo material está asociado con una nueva longitud de onda , que, si es de un valor muy pequeño y difícil de apreciar para los valores de masa del mundo macroscópico, asume una importancia fundamental para la interpretación de los fenómenos a escala atómica y subatómica. La teoría de De Broglie fue confirmada por el descubrimiento de la difracción de electrones observada en el experimento de Davisson y Germer de 1926. ^[17]

Principio de complementariedad

El mismo tema en detalle: Principio de complementariedad .

En 1928 Niels Bohr profundizó y generalizó el concepto de dualismo en la mecánica cuántica al enunciar el principio de complementariedad, que establece que el aspecto dual de algunas representaciones físicas de fenómenos a nivel atómico y subatómico no se puede observar simultáneamente durante el mismo experimento, haciendo así Este aspecto contraintuitivo de la teoría, en particular el dualismo entre naturaleza corpuscular y ondulatoria, es algo menos llamativo con la concepción de la física clásica y también de la lógica .

Werner Karl Heisenberg , a quien debemos la primera formulación completa de la mecánica cuántica, o mecánica matricial , y el principio de incertidumbre

El experimento mental de Heisenberg para la localización de un electrón . Para conocer la posición del electrón debe estar iluminado por un fotón, que sin embargo, cuanto mejor resuelve la posición, más perturba la velocidad. El haz incidente se indica en verde, el desviado en rojo, mientras que el electrón se representa en azul.

Concepto de medida

Uno de los elementos diferenciadores de la física clásica fue la revisión del concepto de medida . La novedad se refiere a la imposibilidad de conocer el estado de una partícula sin perturbarla irreversiblemente. A diferencia de la mecánica clásica, donde siempre es posible concebir un espectador pasivo capaz de conocer cada detalle de un sistema dado, según la mecánica cuántica no tiene sentido asignar un valor a cualquier propiedad de un sistema dado sin que haya sido medida activamente por un sistema. observador. ^[18] Las leyes cuánticas establecen que el proceso de medición no puede describirse como la simple evolución temporal del sistema, sino que concierne al observador y al aparato experimental considerados juntos. Esto tiene como consecuencia que, en general, una vez que se ha medido una cantidad de un sistema, no es posible de ninguna manera determinar cuál era su valor antes de la medición. Por ejemplo, según la mecánica clásica, el conocimiento de la posición y velocidad de una partícula en un instante dado nos permite determinar con certeza su trayectoria pasada y futura. Por el contrario, en mecánica cuántica, el conocimiento de la velocidad de una partícula en un instante dado generalmente no es suficiente para establecer cuál era su valor en el pasado. Además, adquirir el mismo conocimiento de la velocidad de la partícula destruye cualquier otra información sobre la posición, haciendo imposible calcular la trayectoria futura. ^[19]

Principio de incertidumbre de Heisenberg

El mismo tema en detalle: el principio de incertidumbre de Heisenberg .

Heisenberg en 1927 elaboró una formalización teórica del principio anterior, permitiendo cuantificar la indeterminación inherente al nuevo concepto de medida ^[20] . Afirmó que en la mecánica cuántica algunos pares de cantidades físicas, como la velocidad y la posición, no se pueden medir al mismo tiempo con precisión arbitraria. Cuanto mejor sea la precisión de medición de una de las dos cantidades, peor será la precisión de medición de la otra. ^[21] En otras palabras, medir la posición de una partícula provoca una perturbación imposible de predecir de su velocidad y viceversa. En fórmulas:

(\Delta p)(\Delta x)\geq {\frac {h}{4\pi }}

{\ Displaystyle (\ Delta p) (\ Delta x) \ geq {\ frac {h} {4 \ pi}}}

(\ Delta p) (\ Delta x) \ geq {\ frac {h} {4 \ pi}}

Dónde está $\Delta x$ ${\ Displaystyle \ Delta x}$ $\ Delta x$ es la incertidumbre en la medición de la posición e $\Delta p$ ${\ Displaystyle \ Delta p}$ $\ Delta p$ es el que está en impulso $p=mv$ ${\ Displaystyle p = mv}$ $p = mv$ . Por tanto, el límite inferior del producto de las incertidumbres es proporcional a la constante de Planck $h$ ${\ Displaystyle h}$ $h$ .

Heisenberg observó que para conocer la posición de un electrón, debe estar iluminado por un fotón. Cuanto más corta sea la longitud de onda del fotón, mayor será la precisión con la que se mide la posición del electrón. ^[22] Las olas comunes del mar no se ven perturbadas, en su propagación, por la presencia de pequeños objetos; por el contrario, objetos del tamaño de la longitud de onda perturban y rompen los frentes de onda y tales perturbaciones permiten identificar la presencia del obstáculo que las generó. En el campo cuántico, sin embargo, a bajas longitudes de onda, el fotón transportará una energía cada vez mayor, que absorbida por el electrón perturbará cada vez más su velocidad, haciendo imposible establecer su valor al mismo tiempo que su posición. Por el contrario, un fotón de longitud de onda larga perturbará ligeramente la velocidad del electrón, pero no podrá determinar con precisión su posición.

Límite clásico de la mecánica cuántica

Mismo tema en detalle: Teoría semiclásica .

Las leyes de Newton de la mecánica clásica y las leyes de Maxwell para los campos electromagnéticos pueden describir con buena aproximación los fenómenos que ocurren para los objetos macroscópicos que se mueven a velocidades no demasiado altas. Solo cuando consideramos los fenómenos que ocurren a escala atómica descubrimos una incompatibilidad irresoluble, por eso es interesante preguntarse si existe un límite adecuado en el que las leyes cuánticas se reduzcan a las clásicas.

La relatividad especial muestra discrepancias con la física clásica cuando las velocidades de los cuerpos macroscópicos se acercan a las de la luz. Sin embargo, para velocidades bajas, las ecuaciones se reducen a las leyes del movimiento de Newton. Razonando de otra manera, es posible afrontar una expansión en serie de las ecuaciones de Einstein con respecto a la velocidad de la luz. $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ , considerado como un parámetro variable. Cuando la velocidad de la luz es infinita, las ecuaciones de Einstein son formal y exactamente iguales a las clásicas.

En la mecánica cuántica, el papel de $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ se toma de la constante de Planck reducida $\hbar$ ${\ Displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ . Considerando esta última como variable, en la medida en que tiende a cero $\hbar \rightarrow 0$ ${\ Displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$ $\ hbar \ rightarrow 0$ , entre todos los caminos posibles que contribuyen al propagador de Feynman, solo sobreviven las soluciones clásicas de movimiento, mientras que las contribuciones de las otras trayectorias se anulan entre sí y se vuelven cada vez menos relevantes. Desde un punto de vista matemático, este enfoque se basa en un desarrollo asintótico con respecto a la variable $\hbar$ ${\ Displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ , método que sin embargo no permite identificar formalmente soluciones cuánticas con las de las ecuaciones diferenciales clásicas.

Wolfgang Pauli , conocido por su principio de exclusión

Sin embargo, desde un punto de vista sustancial, siguen existiendo profundas diferencias entre la mecánica clásica y la cuántica, incluso considerando la realidad cotidiana. Sin embargo, el estado de un objeto macroscópico según la interpretación de Copenhague permanece indeterminado hasta que se observa, independientemente de su tamaño. Este hecho pone al observador en el centro y cuestiona que son casi parte de un debate filosófico. Por estas razones, en el intento de resolver algunos puntos considerados paradójicos, han nacido otras interpretaciones de la mecánica cuántica, pero ninguna de ellas permite un reencuentro completo entre el mundo clásico y el cuántico.

principio de exclusión de Pauli

El mismo tema en detalle: principio de exclusión de Pauli , estadísticas de Fermi-Dirac y estadísticas de Bose-Einstein .

Formulado para electrones por Wolfgang Pauli en 1925, ^[23] el principio de exclusión establece que dos fermiones idénticos no pueden ocupar simultáneamente el mismo estado cuántico . La función de onda de los fermiones es, por tanto, antisimétrica con respecto al intercambio de dos partículas, mientras que los bosones forman estados cuánticos simétricos. Los fermiones incluyen protones , neutrones y electrones , las tres partículas que componen la materia ordinaria, y el principio subyace en la comprensión de muchas de las características definitorias de la materia, como los niveles de energía de los átomos y los núcleos.

Su formulación inició una revisión de la Estadística clásica de Maxwell-Boltzmann de acuerdo con los nuevos dictados de la teoría cuántica, lo que condujo a la Estadística de Fermi-Dirac para fermiones y la de Bose-Einstein para bosones.

Pascual Jordan , conocido por sus contribuciones a la mecánica matricial

Formulaciones de la mecánica cuántica

La mecánica cuántica admite numerosas formulaciones que utilizan a veces bases matemáticas muy diferentes. Aunque son diferentes, todas las descripciones no cambian sus predicciones con respecto al resultado de los experimentos. ^[24] Puede preferirse una formulación a otra si el problema a describir es más simple en esta. Cada formulación diferente también ha permitido un mayor conocimiento sobre los fundamentos mismos de la mecánica cuántica. Las formulaciones que se utilizan con mayor frecuencia son la lagrangiana y la hamiltoniana.

Mecánica matricial

El mismo tema en detalle: Mecánica de matrices .

La mecánica matricial es la formulación de la mecánica cuántica desarrollada por Werner Heisenberg , Max Born y Pascual Jordan en 1925. ^[25] Fue la primera versión completa y coherente de la mecánica cuántica, que, incluso sin considerar los principios de la relatividad especial, amplió la teoría de Bohr. modelo atómico que justifica la existencia de saltos cuánticos desde el punto de vista teórico. Esto se logró mediante la descripción de los observables físicos y su evolución temporal mediante el uso de matrices . Es la base de la notación bra-ket de Paul Dirac para la función de onda .

Mecánica ondulatoria

El mismo tema en detalle: Mecánica ondulatoria .

Erwin Schrödinger , a quien debemos la formulación de la mecánica cuántica conocida como mecánica ondulatoria

La mecánica ondulatoria es la definición que Erwin Schrödinger da a la teoría basada en su propia ecuación , considerada la formulación estándar de la mecánica cuántica, la más conocida y la más enseñada en el ámbito académico. Históricamente constituye la segunda formulación, publicada en 1926 unos seis meses después de la mecánica de matrices.

Schrödinger escribió en 1926 una serie de cuatro artículos titulados "La cuantificación como un problema de valores propios" en los que mostraba cómo la mecánica ondulatoria puede explicar la aparición de enteros y cuantos, y los conjuntos de valores discretos en lugar de continuos permitidos para algunas cantidades físicas de ciertos sistemas (como la energía de los electrones en el átomo de hidrógeno). En particular, basándose en los trabajos de De Broglie, observó que las ondas estacionarias satisfacen restricciones similares a las impuestas por las condiciones de cuantificación de Bohr:

( DE )

«[…] Die übliche Quantisierungsvorschrift sich durch eine andere Forderung ersetzen läßt, in der kein Wort von„ ganzen Zahlen “mehr vorkommt. Vielmehr ergibt sich die Ganzzahligkeit auf dieselbe natürliche Art, wie etwa die Ganzzahligkeit der Knotenzahl einer schwingenden Saite. Die neue Auffassung ist verallgemeinerungsfähig und rührt, wie ich glaube, sehr tief an das wahre Wesen der Quantenvorschriften ".

( ES )

«[…] Puede reemplazar la regla de cuantificación habitual con otro requisito en el que la palabra" enteros "ya no aparece. Más bien, los mismos números enteros resultan naturalmente del mismo tipo que los números enteros asociados con el número de nodos de una cuerda vibrante. El nuevo punto de vista es generalizable y toca, como creo, muy profundamente la verdadera naturaleza de las reglas cuánticas ".

( Erwin Schrödinger ^[26] )

El número de nodos en una cuerda vibrante estacionaria normal es un número entero, si estos están asociados con cantidades físicas como la energía y el momento angular , se deduce que estos también deben ser múltiplos enteros de una cantidad fundamental. Para que esta equivalencia sea posible, el estado físico debe estar asociado a una onda que vibre y evolucione según las condiciones de estacionariedad.

En una onda estacionaria , los nodos son puntos que no están involucrados en la oscilación, mostrados en rojo en la figura. Por tanto, el número de nodos es siempre un número entero.

Como observó el propio Schrödinger, ^{[27] las} condiciones del tipo de onda están presentes y ya se habían descubierto también para la mecánica newtoniana clásica. En óptica geométrica , límite de las leyes de la óptica en el que la longitud de onda de la luz tiende a cero, los rayos de luz se propagan siguiendo trayectorias que minimizan la trayectoria óptica, tal y como establece el principio de Fermat . Allo stesso modo, secondo il principio di Hamilton , le traiettorie classiche sono soluzioni stazionarie o di minimo dell' azione , che per una particella libera è semplicemente legata all'energia cinetica lungo la curva.

Tuttavia l'ottica geometrica non considera gli effetti che si hanno quando la lunghezza d'onda della luce non è trascurabile, come l' interferenza e la diffrazione .

Equazione di Schrödinger e Funzione d'onda

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Schrödinger .

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione d'onda e Collasso della funzione d'onda .

Guidato dalla analogia ottico-meccanica suddetta, Schrödinger suppose che le leggi della meccanica classica di Newton siano solamente una approssimazione delle leggi seguite dalle particelle. Una approssimazione valida per grandi energie e grandi scale, come per le leggi dell'ottica geometrica, ma non in grado di catturare tutta la realtà fisica, in particolare a piccole lunghezze, dove, come per la luce, fenomeni come l'interferenza e la diffrazione diventano dominanti. Egli postulò quindi una equazione di stazionarietà per un'onda $\Psi (x)$ $\Psi (x)$ $\Psi (x)$ del tipo:

In questa onda stazionaria circolare, la circonferenza ondeggia esattamente in otto lunghezze d'onda. Un'onda stazionaria come questa può avere 0, 1, 2 o qualsiasi numero intero di lunghezze d'onda attorno al cerchio, ma non un numero razionale come 4.7. Con un meccanismo simile, il momento angolare di un elettrone in un atomo di idrogeno , classicamente proporzionale alla velocità angolare, può assumere solo valori discreti quantizzati.

^[28]

\nabla ^{2}\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}E\Psi (x)=0

\nabla ^{2}\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}E\Psi (x)=0

\nabla ^{2}\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}E\Psi (x)=0

dove $V(x)$ ${\displaystyle V(x)}$ $V(x)$ è il potenziale classico ed $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ è un parametro reale corrispondente all'energia. Per alcuni sistemi fisici, questa equazione non ammette soluzioni per $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ arbitrario, ma solo per alcuni suoi valori discreti. In questo modo Schrödinger riuscì a spiegare la natura delle condizioni di quantizzazione di Bohr. Se si considera anche la dinamica delle soluzioni d'onda, cioè si considera la dipendenza temporale della funzione d'onda :

\Psi (x)\rightarrow \Psi (x,t)

\Psi (x)\rightarrow \Psi (x,t)

\Psi (x)\rightarrow \Psi (x,t)

si può ottenere l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

\nabla ^{2}\Psi (x,t)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x,t)-{\frac {4\pi i}{h}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=0

\nabla ^{2}\Psi (x,t)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x,t)-{\frac {4\pi i}{h}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=0

\nabla ^{2}\Psi (x,t)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x,t)-{\frac {4\pi i}{h}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=0

supponendo che l'energia sia proporzionale alla derivata temporale della funzione d'onda:

{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=-{\frac {2\pi i}{h}}E\Psi (x,t)

{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=-{\frac {2\pi i}{h}}E\Psi (x,t)

{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=-{\frac {2\pi i}{h}}E\Psi (x,t)

Questa equivalenza fra la derivata temporale e energia della funzione d'onda fu il primo esempio di come nella meccanica quantistica alle osservabili classiche possano corrispondere operatori differenziali. Mentre in meccanica classica lo stato di una particella viene definito attraverso il valore delle grandezze vettoriali posizione e velocità (o impulso, nelle variabili canoniche), nella formulazione di Schrödinger lo stato di una particella viene quindi descritto dalla funzione d'onda, che assume in generale valori complessi . Nell' interpretazione di Copenaghen la funzione d'onda non ha un proprio significato fisico, mentre lo ha il suo modulo al quadrato, che fornisce la distribuzione di probabilità dell'osservabile posizione. Per ogni volume dello spazio, l'integrale del modulo quadro della funzione d'onda

\int _{V}|\psi (x)|^{2}\operatorname {d} ^{3}x

\int _{V}|\psi (x)|^{2}\operatorname {d} ^{3}x

\int _{V}|\psi (x)|^{2}\operatorname {d} ^{3}x

assegna la probabilità di trovare la particella dentro quel volume, quando si misura la sua posizione. Il significato di questa probabilità può essere interpretato come segue: avendo a disposizione infiniti sistemi identici, effettuando la stessa misura su tutti i sistemi contemporaneamente, la distribuzione dei valori ottenuti è proprio il modulo quadro della funzione d'onda . Similmente, il modulo quadro della trasformata di Fourier della funzione d'onda fornisce la distribuzione di probabilità dell'impulso della particella stessa. Nell'interpretazione di Copenaghen, la teoria quantistica è in grado di fornire informazioni solo sulle probabilità di ottenere un dato valore quando si misura una grandezza osservabile. Tanto più la distribuzione di probabilità della posizione di una particella è concentrata attorno a un punto e quindi la particella quantistica è "ben localizzata", tanto più la distribuzione degli impulsi si allarga aumentandone l'incertezza, e viceversa. Si tratta del principio di indeterminazione di Heisenberg , che emerge naturalmente nella meccanica ondulatoria dalle proprietà della trasformata di Fourier : è impossibile costruire una funzione d'onda arbitrariamente ben localizzata sia in posizione che in impulso.

Diffrazione di Bragg

La funzione d'onda che descrive lo stato del sistema può cambiare al passare del tempo. Ad esempio, una particella che si muove in uno spazio vuoto è descritta da una funzione d'onda costituita da un pacchetto d'onda centrato in una posizione media. Al passare del tempo il centro del pacchetto d'onda cambia, in modo che la particella può successivamente essere localizzata in una posizione differente con maggiore probabilità. L'evoluzione temporale della funzione d'onda è dettata dall' equazione di Schrödinger . Alcune funzioni d'onda descrivono distribuzioni di probabilità che sono costanti nel tempo. Molti sistemi trattati in meccanica classica possono essere descritti da queste onde stazionarie . Ad esempio, un elettrone in un atomo è descritto classicamente come una particella che ruota attorno al nucleo atomico , mentre in meccanica quantistica esso può essere descritto da un'onda stazionaria che presenta una determinata funzione di distribuzione dotata di simmetria sferica rispetto al nucleo. Questa intuizione è alla base del modello atomico di Bohr .

Benché ogni singola misura ottenga un valore definito, e non, per esempio, un valore medio, la meccanica quantistica non permette di prevedere a priori il risultato di una misurazione. Questo problema, spesso chiamato "problema della misura", ha dato vita ad uno dei più profondi e complessi dibattiti intellettuali della storia della scienza . Secondo l'interpretazione di Copenaghen, quando viene effettuata una misura di un'osservabile l'evoluzione del sistema secondo l'equazione di Schrödinger viene interrotta e si determina il cosiddetto collasso della funzione d'onda , che porta il vettore di stato ad una autofunzione ( autostato ) dell'osservabile misurata, fornendo un valore che aveva una certa probabilità di essere effettivamente osservato. Il collasso della funzione d'onda all'atto della misura non è descritto dall'equazione di Schrödinger, che stabilisce solo l'evoluzione temporale del sistema ed è strettamente deterministica, in quanto è possibile prevedere la forma della funzione d'onda a un qualsiasi istante successivo. La natura probabilistica della meccanica quantistica si manifesta invece all'atto della misura.

Rappresentazione di orbitali atomici

Orbitale atomico

Lo stesso argomento in dettaglio: Orbitale atomico .

Con il concetto di "principio di indeterminazione", quello di "complementarità", con la funzione d'onda e relativo collasso, il modello quantizzato dell'atomo di Bohr si ridefinisce ancora: oltre alla quantizzazione dei livelli energetici, l' elettrone che ruota intorno al nucleo atomico è sostituito dall' orbitale atomico . L'elettrone non è più visto solo come una particella puntiforme localizzata nello spazio, ma anche in generale come onda intorno al nucleo, il cui valore assoluto al quadrato rappresenta la probabilità che un elettrone si "materializzi" in un punto se sottoposto ad osservazione fisica diretta.

Formulazione hamiltoniana

Paul Dirac , noto per la sua Equazione di Dirac nell'ambito della meccanica quantistica relativistica

Lo stesso argomento in dettaglio: Postulati della meccanica quantistica e Meccanica hamiltoniana .

John von Neumann , noto per i contributi alla formulazione hamiltoniana della meccanica quantistica

La formulazione hamiltoniana della meccanica quantistica si basa principalmente sui lavori di Paul Dirac, Hermann Weyl e John von Neumann . In questa formulazione l'evoluzione temporale degli stati viene espressa in funzione dell' Hamiltoniana del sistema, descritta con le variabili canoniche coniugate di posizione e impulso .

Questa formulazione, nel quadro dell' interpretazione di Copenaghen , si basa su quattro postulati, detti anche principi, la cui validità deve essere verificata direttamente in base al confronto delle previsioni con gli esperimenti: ^[29] ^[30] ^[31] ^[32]

Lo stato fisico di un sistema ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ è rappresentato da un raggio vettore unitario di uno spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ . Nella notazione di Dirac un vettore è indicato con un ket, ad esempio come $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$ , mentre il prodotto scalare fra due vettori $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$ e $|\Phi \rangle$ $|\Phi \rangle$ $|\Phi \rangle$ è indicato con $\langle \Phi |\Psi \rangle$ $\langle \Phi |\Psi \rangle$ $\langle \Phi |\Psi \rangle$ . In questo modo, uno stato $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$ è definito a meno di una fase complessa inosservabile in modo che:
$\langle \Psi |\Psi \rangle =1$ $\langle \Psi |\Psi \rangle =1$ $\langle \Psi |\Psi \rangle =1$
Per ogni osservabile fisica ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ riferita al sistema ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ esiste un operatore hermitiano lineare $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ che agisce sui vettori che rappresentano ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ .
Gli autovalori $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ associati all'autovettore $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ dell'operatore $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ , che soddisfano quindi:
$O|\Psi _{i}\rangle =\lambda _{i}|\Psi _{i}\rangle$ $O|\Psi _{i}\rangle =\lambda _{i}|\Psi _{i}\rangle$ $O|\Psi _{i}\rangle =\lambda _{i}|\Psi _{i}\rangle$ ,
corrispondono ai possibili risultati della misura dell'osservabile fisica ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ . La probabilità $P(\lambda _{i};{\mathcal {V}})$ $P(\lambda _{i};{\mathcal {V}})$ $P(\lambda _{i};{\mathcal {V}})$ che la misura di ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ sul sistema nello stato $|\Phi \rangle$ $|\Phi \rangle$ $|\Phi \rangle$ dia come risultato un qualsiasi autovalore $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ vale:
$P(\lambda _{i};V)=|\langle \Psi _{i}|\Phi \rangle |^{2}$ $P(\lambda _{i};V)=|\langle \Psi _{i}|\Phi \rangle |^{2}$ $P(\lambda _{i};V)=|\langle \Psi _{i}|\Phi \rangle |^{2}$
Questa legge sulla probabilità è nota come regola di Born . I vettori $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ sono scelti in modo tale da formare una base ortonormale dello spazio di Hilbert, cioè soddisfano:
$\langle \Psi _{i}|\Psi _{j}\rangle =\delta _{ij}$ $\langle \Psi _{i}|\Psi _{j}\rangle =\delta _{ij}$ $\langle \Psi _{i}|\Psi _{j}\rangle =\delta _{{ij}}$
Se non è effettuata alcuna misura sul sistema ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ rappresentato da $|\Phi (t_{0})\rangle$ $|\Phi (t_{0})\rangle$ $|\Phi (t_{0})\rangle$ ad un dato istante $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ , allora ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ evolve ad un altro istante $t\geq t_{0}$ $t\geq t_{0}$ $t\geq t_{0}$ in maniera deterministica in base all'equazione lineare di Schrödinger:
$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Phi (t)\rangle =H(t)|\Phi (t)\rangle$ $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Phi (t)\rangle =H(t)|\Phi (t)\rangle$ $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Phi (t)\rangle =H(t)|\Phi (t)\rangle$
dove $H(t)$ ${\displaystyle H(t)}$ $H(t)$ è l'operatore hamiltoniano che corrisponde all'osservabile energia . Se invece è effettuata una misura di una osservabile ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ sul sistema ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ , allora questo collassa in modo casuale nell'autovettore $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ corrispondente all'autovalore $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ osservato. La probabilità che a seguito di una misura lo stato $|\Phi \rangle$ $|\Phi \rangle$ $|\Phi \rangle$ collassi in $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ $|\Psi _{i}\rangle$ è data sempre dalla regola di Born.

L'interpretazione di Copenaghen descrive il processo di misura in termini probabilistici. Questo significa che il risultato di una misura in generale non può essere previsto con certezza nemmeno se si dispone di una completa conoscenza dello stato che viene misurato.

L'evoluzione degli stati nella meccanica quantistica obbedisce a leggi di tipo deterministico finché non sono effettuate misure. Al contrario in generale la misura di una qualsiasi proprietà di un sistema è descritta da un processo casuale. Il collasso della funzione d'onda non permette di stabilire in modo univoco lo stato del sistema antecedente alla misura. Questa differenza profonda di comportamenti dei sistemi, quando sono sotto osservazione rispetto a quando non lo sono, è stata spesso oggetto di ampi dibattiti anche di carattere filosofico ed è chiamata come "Problema della Misura". ^[33]

Il problema della quantizzazione

Lo stesso argomento in dettaglio: Quantizzazione (fisica) .

Richard Feynman , noto per la formulazione lagrangiana della meccanica quantistica attraverso l' integrale sui cammini

I postulati della meccanica quantistica stabiliscono che ogni stato è rappresentato da un vettore dello spazio di Hilbert ma, fra tutti i possibili spazi di Hilbert, i postulati non indicano quale scegliere. Inoltre non viene stabilita una precisa mappa che ad ogni osservabile associ un rispettivo operatore che agisca sullo spazio Hilbert degli stati; i postulati si limitano semplicemente ad affermare che questa mappa esiste. Fissare lo spazio di Hilbert degli stati e stabilire la corrispondenza osservabile-operatore determina il "problema della quantizzazione", che ammette diverse soluzioni. Alcune di queste sono equivalenti dal punto di vista fisico e sono legate fra loro solo attraverso trasformazioni dello spazio di Hilbert. Per scegliere una quantizzazione, oltre a considerare il sistema fisico da descrivere, si possono imporre condizioni di compatibilità aggiuntive fra le strutture algebriche della meccanica classica e quelle quantistiche. ^[34] Nella quantizzazione canonica ad esempio tutti gli stati sono funzioni a quadrato sommabile delle coordinate:

{\mathcal {H}}=L^{2}(-\infty ,\infty )

{\mathcal {H}}=L^{2}(-\infty ,\infty )

{\mathcal {H}}=L^{2}(-\infty ,\infty )

All'osservabile momento lineare (quantità di moto) può essere associato l'operatore:

{\hat {p}}_{i}=i\hbar {\frac {d}{dx_{i}}}

{\hat {p}}_{i}=i\hbar {\frac {d}{dx_{i}}}

{\hat {p}}_{i}=i\hbar {\frac {d}{dx_{i}}}

che a meno di costanti dimensionali deriva la funzione d'onda, mentre all'osservabile posizione:

{\hat {x}}_{i}=x_{i}

{\hat {x}}_{i}=x_{i}

{\hat {x}}_{i}=x_{i}

che moltiplica la funzione d'onda per la coordinata $x_{i}$ $x_{i}$ $x_i$ . Ogni altra osservabile delle coordinate e degli impulsi $f(x_{i},p_{i})$ $f(x_{i},p_{i})$ $f(x_{i},p_{i})$ sarà ottenuta mediante sostituzione $(x_{i},p_{i})\rightarrow ({\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i})$ $(x_{i},p_{i})\rightarrow ({\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i})$ $(x_{i},p_{i})\rightarrow ({\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i})$ e simmetrizzazione.

Formulazione lagrangiana

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale sui cammini .

Questi sono solamente tre degli infiniti cammini che contribuiscono all'ampiezza quantistica di una particella che si muove dal punto A al tempo t ₀ fino al punto B al tempo t ₁ . Nessuna particolare richiesta viene fatta in merito alle proprietà dei cammini fatta salvo la continuità: una curva possibile potrebbe anche essere non differenziabile.

La formulazione lagrangiana della meccanica quantistica è dovuta principalmente ai lavori di Feynman , che la introdusse negli anni quaranta e che ne dimostrò l'equivalenza con la formulazione Hamiltoniana. Le variabili posizione e velocità sono usate in questa formulazione per la descrizione dello stato, mentre l'evoluzione temporale è legata invece alla lagrangiana del sistema.

Feynman ebbe l'idea di interpretare la natura probabilistica della meccanica quantistica come la somma pesata dei contributi di tutte le evoluzioni possibili per un sistema, indipendentemente da quelle indicate dalla meccanica classica. In questo modo una particella quantistica puntiforme si propaga fra due punti A e B dello spazio seguendo tutti i cammini possibili. Ad ogni singolo cammino è associato un peso, proporzionale all'esponenziale immaginario dell'azione classica. La probabilità di raggiungere B è proporzionale quindi al modulo quadro della somma dei contributi dei singoli cammini.

L'intera formulazione è basata su tre postulati: ^[35]

Esiste un funzione complessa $K(x,t_{0};y,t_{1})$ $K(x,t_{0};y,t_{1})$ $K(x,t_{0};y,t_{1})$ , chiamata propagatore, il cui modulo quadro è proporzionale alla probabilità $P(x\rightarrow y)$ $P(x\rightarrow y)$ $P(x\rightarrow y)$ che una particella localizzata al punto x all'istante $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ si trovi localizzata al punto y all'istante $t_{1}$ $t_{1}$ $t_1$ :
$P(x\rightarrow y)\propto |K(x,t_{0};y,t_{1})|^{2}$ $P(x\rightarrow y)\propto |K(x,t_{0};y,t_{1})|^{2}$ $P(x\rightarrow y)\propto |K(x,t_{0};y,t_{1})|^{2}$
In questo modo, lo stato descritto dalla funzione d'onda $\Psi (x;t_{0})$ $\Psi (x;t_{0})$ $\Psi (x;t_{0})$ all'istante $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ si evolverà all'istante $t_{1}$ $t_{1}$ $t_1$ fino allo stato $\Psi (x;t_{1})$ $\Psi (x;t_{1})$ $\Psi (x;t_{1})$ definito da:
$\Psi (x,t_{1})=\int K(y,t_{0};x,t_{1})\Psi (y,t_{0})dy$ $\Psi (x,t_{1})=\int K(y,t_{0};x,t_{1})\Psi (y,t_{0})dy$ $\Psi (x,t_{1})=\int K(y,t_{0};x,t_{1})\Psi (y,t_{0})dy$
Il propagatore $K(x,t_{0};y,t_{1})$ $K(x,t_{0};y,t_{1})$ $K(x,t_{0};y,t_{1})$ può essere scritto come una somma di contributi $\phi$ $\phi$ $\phi$ definiti lungo tutti i percorsi continui $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ , detti cammini , che congiungono il punto x con il punto y:
$K(x,t_{0};y,t_{1})=\sum _{\gamma }\phi [\gamma ]$ $K(x,t_{0};y,t_{1})=\sum _{\gamma }\phi [\gamma ]$ $K(x,t_{0};y,t_{1})=\sum _{\gamma }\phi [\gamma ]$
Il contributo $\phi [\gamma ]$ $\phi [\gamma ]$ $\phi [\gamma ]$ di un singolo cammino vale:
$\phi [\gamma ]=C\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}S_{classica}[\gamma ]\right)}$ $\phi [\gamma ]=C\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}S_{classica}[\gamma ]\right)}$ $\phi [\gamma ]=C\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}S_{{classica}}[\gamma ]\right)}$
dove la costante C è definita in modo che la somma su tutti i cammini del propagatore converga nel limite $t_{1}\rightarrow t_{0}$ $t_{1}\rightarrow t_{0}$ $t_{1}\rightarrow t_{0}$ . ^[36] $S_{classica}[\gamma ]$ $S_{classica}[\gamma ]$ $S_{{classica}}[\gamma ]$ indica invece l'azione classica associata alla curva $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ .

Le curve $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ che contribuiscono al propagatore sono determinate unicamente dagli estremi $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ e $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ e dalla sola condizione di continuità; una possibile curva potrebbe anche essere non differenziabile. Questo tipo di formulazione rende particolarmente agevole uno sviluppo semiclassico della meccanica quantistica, uno sviluppo asintotico in serie rispetto alla variabile $\hbar$ $\hbar$ $\hbar$ . ^[37]

Con la formulazione lagrangiana introdotta da Feynman è stato possibile evidenziare un'equivalenza fra il moto browniano e la particella quantistica. ^[37]

Effetti quantistici

Per via dell' effetto tunnel , una particella lanciata contro una barriera di potenziale ha una probabilità non nulla di oltrepassare la barriera, come accade effettivamente per un fenomeno ondulatorio.

Esistono numerosi esperimenti che hanno confermato o che hanno permesso di intuire la natura della materia e dalla radiazione a scale microscopiche descritta dalla meccanica quantistica. Molti di questi esperimenti hanno portato alla scoperta di effetti quantistici, spesso controintuitivi rispetto alla meccanica classica. Dal punto di vista storico, l' effetto fotoelettrico e lo studio dello spettro del corpo nero sono stati fra i primi esperimenti a mostrare la natura quantistica del campo elettromagnetico, che ha portato alla scoperta e alla formulazione teorica del fotone e alla verifica della legge di Planck , secondo la quale l'energia dei fotoni è proporzionale alla loro frequenza. Lo spettro dell'atomo di idrogeno ha invece portato prima allo sviluppo del modello atomico di Bohr-Sommerfeld , poi ha permesso di formulare e verificare l'equazione di Schrödinger.

L' effetto tunnel consiste nella possibilità, negata dalla meccanica classica, di un elettrone di superare una barriera di potenziale anche se non ha l'energia per farlo. Gli esperimenti sull' entanglement quantistico sono stati fondamentali nel rigettare il paradosso EPR . In tempi più recenti, la superconduttività e la superfluidità hanno attirato sempre maggiore attenzione per i possibili sviluppi tecnologici, fenomeni che sono studiati dalla fisica della materia condensata . L' effetto Casimir è stato invece fondamentale per comprendere le fluttuazioni quantiche dei campi nel vuoto, ed è legato alla scoperta dell' energia del vuoto .

Cronologia essenziale

Lo stesso argomento in dettaglio: Cronologia della meccanica quantistica .

Esperimento della doppia fenditura : se un fascio di elettroni è sparato contemporaneamente attraverso due fenditure equidistanti origina su uno schermo rilevatore una figura d'interferenza, tipica dei fenomeni ondulatori.

1900 : Max Planck introduce l'idea che l'emissione di energia elettromagnetica sia quantizzata, riuscendo così a giustificare teoricamente la legge empirica che descrive la dipendenza dell'energia della radiazione emessa da un corpo nero dalla frequenza.
1905 : Albert Einstein spiega l' effetto fotoelettrico sulla base dell'ipotesi che l'energia del campo elettromagnetico sia trasportata da quanti di luce (che nel 1926 saranno chiamati fotoni ).
1913 : Niels Bohr interpreta le linee spettrali dell'atomo di idrogeno ricorrendo alla quantizzazione dei livelli energetici dell'elettrone.
1915 : Arnold Sommerfeld generalizza i precedenti metodi di quantizzazione, introducendo le cosiddette regole di Bohr-Sommerfeld.

I succitati risultati costituiscono la vecchia teoria dei quanti .

1924 : Louis de Broglie elabora una teoria delle onde materiali , secondo la quale ai corpuscoli materiali possono essere associate proprietà ondulatorie.
1925 : Werner Karl Heisenberg , Max Born e Pascual Jordan formulano la meccanica delle matrici .
1926 : Erwin Schrödinger elabora la meccanica ondulatoria , che dimostra equivalente, dal punto di vista matematico, alla meccanica delle matrici. Max Born formula l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda .
1927 : Heisenberg formula il principio di indeterminazione ; pochi mesi più tardi prende forma la cosiddetta interpretazione di Copenaghen .
1927 : Paul Dirac include nella meccanica quantistica la relatività ristretta ; fa un uso diffuso della teoria degli operatori nella quale introduce la notazione bra-ket .
1932 : John von Neumann assicura rigorose basi matematiche alla formulazione della teoria degli operatori.
1940 : Feynman , Dyson , Schwinger e Tomonaga formulano l' elettrodinamica quantistica (QED), che servirà come modello per le successive teorie di campo .
1956 : Everett propone l' interpretazione a molti mondi .
1960 : inizia l'elaborazione della cromodinamica quantistica (QCD).
1964 : John Stewart Bell formula l' omonimo teorema .
1975 : David Politzer , David Gross e Frank Wilczek formulano la QCD nella forma attualmente accettata.
1982 : un gruppo di ricercatori dell'Istituto Ottico di Orsay, diretto da Alain Aspect , conclude con successo una lunga serie di esperimenti che mostrano una violazione delle disuguaglianze di Bell , confermando le previsioni teoriche della meccanica quantistica.

Interpretazioni della meccanica quantistica

Lo stesso argomento in dettaglio: Interpretazione della meccanica quantistica .

Ilparadosso del gatto di Schrödinger illustrato con il gatto in sovrapposizione tra gli stati "vivo" e "morto". Secondo l' interpretazione di Copenaghen il gatto è allo stesso tempo sia vivo sia morto, la realtà di un gatto vivo o morto si determina solo nel momento in cui il gatto stesso viene osservato.

Esistono diverse "interpretazioni" della meccanica quantistica che cercano, in modi diversi, di costruire un ponte fra il formalismo della teoria che sembra descrivere bene il mondo fisico microscopico e il comportamento "classico" che la materia esibisce a livello macroscopico. Una interpretazione della meccanica quantistica è l'insieme degli enunciati volti a stabilire un ponte fra il formalismo matematico su cui è stata basata la teoria e la realtà fisica che questa astrazione matematica dovrebbe rappresentare. Inoltre, come caratteristica peculiare della meccanica quantistica, una interpretazione è focalizzata anche a determinare il comportamento di tutto ciò che non è osservato in un esperimento. ^[38] L'importanza di stabilire in che modo si comporta un dato sistema fisico anche quando non è osservato, dipende dal fatto che il processo di misura interagisce in maniera irreversibile con il sistema stesso, in modo tale che non è possibile ricostruirne completamente lo stato originario. Secondo alcuni fisici questo rappresenta una limitazione insuperabile della nostra conoscenza del mondo fisico, che sancisce una divisione fra quello che è possibile stabilire in merito al risultato di un esperimento e la realtà oggetto dell'osservazione. Come disse Bohr :

( EN ) «There is no quantum world. There is only an abstract physical description. It is wrong to think that the task of physics is to find out how nature is. Physics concerns what we can say about nature...»	( IT ) «Non esiste alcun mondo quantistico. C'è solo una astratta descrizione fisica. È sbagliato pensare che il compito della fisica sia di scoprire come è la natura. La fisica riguarda quello che noi possiamo dire a riguardo della natura...»
( Niels Bohr ^[39] )

Secondo l' interpretazione a molti mondi della meccanica quantistica, nel paradosso del gatto di Schrödinger quando si apre la scatola si creano due mondi paralleli, uno in cui il gatto è vivo e un altro in cui il gatto è morto.

Sulla base di questa posizione, Niels Bohr stesso in collaborazione con altri fisici, come Heisenberg, Max Born , Pascual Jordan e Wolfgang Pauli , formulò l'interpretazione di Copenaghen, una delle più conosciute e famose interpretazioni della meccanica quantistica, i cui enunciati sono inclusi anche in alcune versioni deipostulati della meccanica quantistica . ^[40] Il nome deriva dal fatto che molti dei fisici che vi hanno contribuito sono collegati, per diversi motivi, alla città di Copenaghen. L'interpretazione di Copenaghen non è stata mai enunciata, nella forma odierna, da nessuno di questi fisici, anche se le loro speculazioni hanno diversi tratti in comune con essa. In particolare, la visione di Bohr è molto più elaborata dell'interpretazione di Copenaghen, e potrebbe anche essere considerata separatamente come interpretazione della complementarità in meccanica quantistica .

Esistono tuttavia molte altre interpretazioni della meccanica quantistica. L' interpretazione a "molti mondi" è una fra le più note interpretazioni ^[41] alternative a quella di Copenaghen e sostiene che ad ogni misurazione la storia del nostro universo si separi in un insieme di universi paralleli, uno per ogni possibile risultato del processo di misurazione. Questa interpretazione nasce da un articolo del 1957 scritto da Hugh Everett III , ^[42] tuttavia le sue caratteristiche fondamentali non sono mai state delineate in maniera unitaria. La più nota versione di questa interpretazione si deve ai lavori di De Witt e Graham negli anni settanta.

Ciascuna interpretazione si differenzia in particolare per il significato dato alla funzione d'onda. Secondo alcune possibilità questa rappresenterebbe una entità reale che esiste sempre e indipendentemente dall'osservatore. Secondo altre interpretazioni, come quella di Bohr, la funzione d'onda rappresenta invece semplicemente una informazione soggettiva del sistema fisico rispetto e strettamente relativa ad un osservatore. Fra queste due alternative visioni è ancora presente un dibattito nella comunità fisica. ^[43]

Dibattito fisico e filosofico

Lo stesso argomento in dettaglio: Osservabile , Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen , Principio di località , Probabilismo e Indeterminismo .

Max Born , noto per l'interpretazione statistica della funzione d'onda

Sin dai primi sviluppi della meccanica quantistica, le leggi formulate in base alle evidenze sperimentali sul mondo atomico hanno dato vita a complessi dibattiti di carattere fisico e filosofico. Una delle maggiori difficoltà riscontrate dal mondo scientifico di allora, riguardava l'abbandono della descrizione dello stato fisico di un sistema in termini di tutte le sue variabili contemporaneamente note con precisione arbitraria. Secondo l'interpretazione di Copenaghen, la limitata conoscenza dello stato fisico di un sistema è una proprietà intrinseca della natura e non limite degli strumenti di analisi sperimentali utilizzati o in ultimo dei nostri stessi sensi. Questa posizione non fu accolta positivamente da tutto il mondo scientifico e ancora oggi è oggetto di dibattito. Già Einstein mosse le sue critiche a questi sviluppi della meccanica quantistica, sostenendo:

( EN ) «I incline to the opinion that the wave function does not (completely) describe what is real, but only a (to us) empirically accessible maximal knowledge regarding that which really exists […] This is what I mean when I advance the view that quantum mechanics gives an incomplete description of the real state of affairs.»	( IT ) «Io propendo per l'opinione che la funzione d'onda non descrive (completamente) cosa è reale, ma solo una massima conoscenza empiricamente accessibile (a noi) per quanto riguarda ciò che realmente esiste […] Questo è quello che intendo quando io sostengo il punto di vista secondo cui la meccanica quantistica fornisce una descrizione incompleta dello stato reale della situazione.»
( Albert Einstein , Lettera a PS Epstein, 10 novembre 1945 )

Le resistenze di Einstein nei confronti dell'interpretazione di Copenaghen e dei suoi paradossi, furono superate grazie al grande potere predittivo che le formulazioni della meccanica quantistica hanno dimostrato negli esperimenti condotti nel XX secolo. Queste conferme sperimentali spinsero ad accettare i principi ei postulati della meccanica quantistica, sebbene la questione di quale sia la realtà al di fuori degli esperimenti resti ancora aperta. In ultima analisi, la risposta alla domanda su quale possa essere la realtà dovrebbe essere fornita e rimandata ad una teoria del tutto, ovvero ad una teoria che sia capace di descrivere coerentemente tutti i fenomeni osservati in natura, che includa anche la forza di gravità e non solo le interazioni nucleari e subnucleari. L'impossibilità di conoscere simultaneamente ed esattamente il valore di due osservabili fisiche corrispondenti ad operatori che non commutano, ha rappresentato storicamente una difficoltà nell'interpretare le leggi della meccanica quantistica.

Hermann Weyl

Un altro punto particolarmente oggetto di aspre critiche riguarda il ruolo della funzione d'onda e l'interpretazione secondo cui un sistema fisico può trovarsi contemporaneamente in una sovrapposizione di stati differenti. Che quanto sopra enunciato sia, effettivamente, un problema concettuale e formale, venne messo in luce già nel 1935 quando Erwin Schrödinger ideò l'omonimoparadosso del gatto . ^[44] Molto si è discusso, inoltre, su una peculiarità molto affascinante della teoria: il collasso della funzione d'onda sembrerebbe violare il principio di località . Questa caratteristica è stata messa in luce a partire da un altro famoso "paradosso", quello ideato da Einstein, Podolsky e Rosen nel 1935, chiamato paradosso EPR e che avrebbe dovuto dimostrare come la descrizione fisica della realtà fornita dalla meccanica quantistica sia incompleta. ^[45]

Albert Einstein, pur avendo contribuito alla nascita della meccanica quantistica, criticò la teoria dal punto di vista concettuale. Per Einstein era inconcepibile che una teoria fisica potesse essere valida e completa , pur descrivendo una realtà in cui esistono delle mere probabilità di osservare alcuni eventi e in cui queste probabilità non sono statistiche ma ontologiche. Le critiche di Einstein si riferiscono alla meccanica quantistica nella "interpretazione" di Bohr e della scuola di Copenaghen (all'epoca non c'erano altre interpretazioni altrettanto apprezzate), ed è in questo contesto che va "letto" il "paradosso EPR".

Einstein non accettava inoltre l'assunto della teoria in base al quale qualcosa esiste solo se viene osservato. Einstein sosteneva che la realtà (fatta di materia, radiazione, ecc.) sia un elemento oggettivo, che esiste indipendentemente dalla presenza o meno di un osservatore e indipendentemente dalle interazioni che può avere con altra materia o radiazione. Bohr, al contrario, sosteneva che la realtà (dal punto di vista del fisico, chiaramente) esiste o si manifesta solo nel momento in cui viene osservata, anche perché, faceva notare, non esiste neanche in linea di principio un metodo atto a stabilire se qualcosa esiste mentre non viene osservato. È rimasta famosa, tra i lunghi e accesi dibattiti che videro protagonisti proprio Einstein e Bohr, la domanda di Einstein rivolta proprio a Bohr: "Allora lei sostiene che la Luna non esiste quando nessuno la osserva?". Bohr rispose che la domanda non poteva essere posta perché concettualmente priva di risposta.

"Realtà" della funzione d'onda

John Stewart Bell , noto per il suo Teorema di Bell

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorie delle variabili nascoste .

Un grande dibattito filosofico si è concentrato attorno a quale "realtà" abbia la funzione d'onda, e quindi l'intero formalismo della meccanica quantistica, rispetto alla natura che si vuole descrivere e all'osservatore che effettua la misurazione. ^[43] Un possibile punto di vista prevede che la funzione d'onda sia una realtà oggettiva, che esiste indipendentemente dall'osservatore, e che rappresenti o sia equivalente all'intero sistema fisico descritto. All'opposto, la funzione d'onda potrebbe rappresentare, secondo un altro punto di vista, solo la massima conoscenza che un preciso osservatore è in grado di avere di un dato sistema fisico. Bohr durante questo tipo di dibattiti sembrò propendere per questa seconda possibilità.

La risposta a questo tipo di interrogativi non è semplice per il fatto che una teoria dell'intero universo come la meccanica quantistica dovrebbe anche descrivere il comportamento degli osservatori che vi sono dentro, spostando quindi il problema della realtà della funzione d'onda al problema della realtà degli osservatori stessi. In termini generali, si può osservare che esiste una differenza fra le previsioni della meccanica quantistica fornite dalla funzione d'onda e le previsioni probabilistiche che è possibile avere ad esempio per il meteo. Nel secondo caso, due previsioni del tempo indipendenti potrebbero dare risultati differenti, in base al fatto che potrebbero avere una diversa accuratezza nella conoscenza dello stato attuale della temperatura e della pressione dell'atmosfera. Nel caso della meccanica quantistica tuttavia, il carattere probabilistico è intrinseco ed è indipendente dal tipo di misurazioni che vengono effettuate. In questo senso, la funzione d'onda assume un significato oggettivo di realtà e non semplicemente uno soggettivo di ciò che è probabile che la natura manifesti.

Estensioni della meccanica quantistica

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria quantistica dei campi .

La meccanica quantistica è stata in grado di spiegare la struttura atomica , (3) e (4), come pure di descrivere qualitativamente le proprietà macroscopiche della materia, (1) e (2). Le estensioni con la relatività ristretta hanno permesso infine di avere un modello coerente della struttura nucleare e subatomica (5). Alcune teorie, come quella delle stringhe , dovrebbero essere in grado di includere la gravità e descrivere il mondo fino alla scala di Planck , (6).

Nonostante i suoi numerosi successi, la meccanica quantistica sviluppata agli inizi del XX secolo non può essere considerata una teoria definitiva capace di descrivere tutti i fenomeni fisici. Un primo limite fondamentale della teoria, già ben presente agli stessi scienziati che la formularono, è la sua incompatibilità con i postulati della relatività ristretta e generale . Inoltre la formulazione originaria è inadatta a rappresentare sistemi dove il numero di particelle presenti vari nel tempo.

L'equazione di Schrödinger è simmetrica rispetto al gruppo di trasformazioni di Galileo e ha come corrispettivo classico le leggi della meccanica di Newton . ^[46] L'evoluzione temporale degli stati fisici non è quindi compatibile con la relatività ristretta. Tuttavia i principi della meccanica quantistica possono essere generalizzati in modo da essere in accordo con il quadro della relatività ristretta, ottenendo la teoria quantistica dei campi . Gli effetti associati all'invarianza per trasformazioni di Lorentz richiesta dalla relatività ristretta hanno come conseguenza la non conservazione del numero di particelle. Infatti, in base alla relazione fra massa ed energia, un quanto energetico può essere assorbito o emesso da una particella. ^[47] La descrizione completa dell'interazione elettromagnetica fra i fotoni e le particelle cariche è fornita dall' elettrodinamica quantistica , teoria quantistica di campo capace di spiegare l'interazione tra radiazione e materia e, in linea di principio, anche le interazioni chimiche interatomiche. ^[48]

La cromodinamica quantistica è una teoria che descrive la struttura nucleare in termini di interazioni fra quark e gluoni . Il neutrone ad esempio è costituito da due quark di valenza down e uno up che interagiscono scambiando gluoni.

Nella seconda metà del XX secolo la teoria di campo quantistica è stata estesa alla descrizione delle interazioni forti che avvengono all'interno del nucleo fra i quark e gluoni , con la cromodinamica quantistica . ^[49] Ulteriori sviluppi hanno permesso di unificare la forza elettrica con la forza debole , responsabile dei decadimenti nucleari .

Anche la formulazione quantistica delle teorie di campo resta in disaccordo con i principi della teoria della relatività generale , questo rende perciò estremamente complesso formulare una teoria in cui la gravità obbedisce anche ai principi della meccanica quantistica. ^[50] La cosiddetta teoria quantistica della gravitazione è uno degli obiettivi più importanti per la fisica del XXI secolo. Ovviamente, viste le numerose conferme sperimentali delle due teorie, la teoria unificata dovrà includere le altre due come approssimazioni, quando le condizioni ricadono nell'uno o nell'altro caso.

Numerose proposte sono state avanzate in questa direzione, come ad esempio la gravitazione quantistica a loop , in inglese Loop Quantum Gravity (LQG), o la teoria delle stringhe . La teoria delle stringhe per esempio estende la formulazione della meccanica quantistica considerando, al posto di particelle puntiformi, oggetti monodimensionali (le stringhe) come gradi di libertà fondamentali dei costituenti materia. ^[51]

Applicazioni

Una buona parte delle tecnologie moderne sono basate, per il loro funzionamento, sulla meccanica quantistica. Ad esempio il laser , il microscopio elettronico e la risonanza magnetica nucleare . Inoltre, molti calcoli di chimica computazionale si basano su questa teoria.

Elettronica

Lo stesso argomento in dettaglio: Semiconduttore , Ottica quantistica e Optoelettronica .

Una CPU Intel core I7 contiene oltre 700 milioni di transistor .

Livelli energetici consentiti ad un elettrone in un semiconduttore . La zona blu, chiamata banda di valenza , è occupata interamente dagli elettroni, mentre la zona gialla, chiamata banda di conduzione , è libera e può essere percorsa da elettroni liberi (i punti neri)

Molti dei fenomeni studiati in fisica dello stato solido sono di natura quanto-meccanica. Lo studio dei livelli energetici degli elettroni nelle molecole ha permesso lo sviluppo di numerose tecnologie di centrale importanza nel XX secolo. I semiconduttori, come il silicio, presentano alternanza di bande di energia permessa e proibita, cioè insiemi continui di valori energetici permessi o proibiti agli elettroni. L'ultima banda di un semiconduttore, detta banda di conduzione, è parzialmente occupata da elettroni. Per questo motivo, se ad un semiconduttore si aggiungono impurità costituite da atomi in grado di cedere o accettare elettroni, si potranno avere cariche negative o positive libere in grado di ricombinarsi. ^[52]

Componendo fra loro strati di semiconduttori con queste opposte impurità si può ottenere un dispositivo in grado di far passare la corrente solo in una direzione, come il diodo , oppure un amplificatore di un segnale, come il transistor . ^[53] Entrambi sono elementi indispensabili per l' elettronica moderna; grazie a questo tipo di tecnologie possono essere realizzati in dimensioni estremamente compatte: una moderna CPU può contenere miliardi di transistor in pochi millimetri. ^[54] L'uso di questi tipi di semiconduttori è alla base del funzionamento anche dei pannelli fotovoltaici .

Informatica

Lo stesso argomento in dettaglio: Crittografia quantistica , Computer quantistico e Informatica quantistica .

Le ricerche più innovative sono, attualmente, quelle che studiano metodi per manipolare direttamente gli stati quantistici. Molti sforzi sono stati fatti per sviluppare una crittografia quantistica , che garantirebbe una trasmissione sicurissima dell' informazione in quanto l'informazione non potrebbe essere intercettata senza essere modificata. Un'altra meta che si cerca di raggiungere, anche se con più difficoltà, è lo sviluppo di computer quantistici , basati sul calcolo quantistico che li porterebbe ad eseguire operazioni computazionali con molta più efficienza dei computer classici. Inoltre, nel 2001 è stato realizzato un nottolino quantistico funzionante, versione quantistica del nottolino browniano .

Note

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$\oint _{\gamma }p(q)dq=nh$ $\oint _{\gamma }p(q)dq=nh$ $\oint _{\gamma }p(q)dq=nh$
dove $n>0$ ${\displaystyle n>0}$ $n>0$ è un numero intero e $h$ ${\displaystyle h}$ $h$ è la costante di Planck. Le variabili $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ , la quantità di moto , e $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ , la posizione, sono le coordinate dello spazio delle fasi . Si postula infine che la traiettoria $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ che soddisfa la condizione di quantizzazione sia stabile.
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^ " Questa interpretazione non discende direttamente dall'equazione di Schrödinger [l'equazione fondamentale della meccanica ondulatoria, Ndt]. Come trattare con queste asserzioni [l'interpretazione probabilistica della meccanica quantistica, NdT] è un problema che riguarda la fondazione della meccanica quantistica. Voglio insistere ancora una volta che, comunque si interpreti l'origine delle regole della meccanica quantistica, funzionano e, in ultima analisi, questo è tutto ciò che conta», S. Gasiorowicz - Quantum Physics - 3 ed. - Wiley and Sons
^ In un sondaggio condotto nel luglio del 1999 durante un congresso sulla fisica quantistica tenuto all' università di Cambridge è stato chiesto agli scienziati riuniti in quale interpretazione si riconoscevano. Su novanta fisici, solo quattro indicarono l' interpretazione di Copenaghen , trenta per l' interpretazione moderna a molti mondi di Everett , mentre la maggioranza (cinquanta scienziati) risposero “nessuna delle risposte elencate o indeciso”. Manjit Kumar, Quantum , Mondadori, 2017, pp. 346-347, ISBN 978-88-04-60893-6 .
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Voci correlate

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Collegamenti esterni

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[einsteineuristico-3] A. Einstein, "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" (Su un punto di vista euristico riguardo alla produzione e alla trasformazione della luce) ( PDF ), in Annalen der Physik , vol. 17, 1905, pp. 132-148.

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[6] W. Heisenberg, "Physikalische Prinzipien der Quantentheorie" , Hirzel, 1930.

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[postulati-14] A proposito della legge di combinazione di Ritz che caratterizzava gli spettri atomici, PAM Dirac commenta: «Questa legge è del tutto incomprensibile dal punto di vista classico». - The principles of quantum mechanics - 4ª ed. Oxford Clarendon Press 1958 - Cap. 1 pag. 2

[15] Tomas Alberto Arias, Notes on Bohr-Sommerfeld Quantization and the Classical Limit , su people.ccmr.cornell.edu . URL consultato il 27 dicembre 2012 .

[16] Le traiettorie stazionarie $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ del modello di Bohr sono calcolate imponendo la condizione di quantizzazione:
$\oint _{\gamma }p(q)dq=nh$ $\oint _{\gamma }p(q)dq=nh$ $\oint _{\gamma }p(q)dq=nh$
dove $n>0$ ${\displaystyle n>0}$ $n>0$ è un numero intero e $h$ ${\displaystyle h}$ $h$ è la costante di Planck. Le variabili $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ , la quantità di moto , e $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ , la posizione, sono le coordinate dello spazio delle fasi . Si postula infine che la traiettoria $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ che soddisfa la condizione di quantizzazione sia stabile.

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[hidden-19] ( EN ) Decoherence and Hidden Variables , su scottaaronson.com . URL consultato il 3 novembre 2012 .

[20] Il primo lavoro pubblicato di Heisenberg sui suoi lavori sul principio di indeterminazione sulla rivista Zeitschrift für Physik fu: W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik , in Z. Phys. , vol. 43, 3–4, 1927, pp. 172–198, Bibcode : 1927ZPhy...43..172H , DOI : 10.1007/BF01397280 .

[osservazione-21] «Dobbiamo assumere che c'è un limite alla precisione dei nostri poteri di osservazione e alla piccolezza del disturbo [che accompagna l'osservazione, NdT] - un limite che è inerente alla natura delle cose e non può essere superato da tecniche migliorate o dall'aumento dell'abilità da parte dell'osservatore» - PAM Dirac - op. cit.

[22] Hilgevoord, Jan and Uffink, Jos, The Uncertainty Principle , in The Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta, 2012.

[23] ( DE ) W. Pauli, Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren , in Zeitschrift für Physik , vol. 31, 1925, pp. 765–783, DOI : 10.1007/BF02980631 .

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[origine-40] " Questa interpretazione non discende direttamente dall'equazione di Schrödinger [l'equazione fondamentale della meccanica ondulatoria, Ndt]. Come trattare con queste asserzioni [l'interpretazione probabilistica della meccanica quantistica, NdT] è un problema che riguarda la fondazione della meccanica quantistica. Voglio insistere ancora una volta che, comunque si interpreti l'origine delle regole della meccanica quantistica, funzionano e, in ultima analisi, questo è tutto ciò che conta», S. Gasiorowicz - Quantum Physics - 3 ed. - Wiley and Sons

[41] In un sondaggio condotto nel luglio del 1999 durante un congresso sulla fisica quantistica tenuto all' università di Cambridge è stato chiesto agli scienziati riuniti in quale interpretazione si riconoscevano. Su novanta fisici, solo quattro indicarono l' interpretazione di Copenaghen , trenta per l' interpretazione moderna a molti mondi di Everett , mentre la maggioranza (cinquanta scienziati) risposero “nessuna delle risposte elencate o indeciso”. Manjit Kumar, Quantum , Mondadori, 2017, pp. 346-347, ISBN 978-88-04-60893-6 .

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