Momento angular

Ejemplo de cómo funciona el momento angular

El momento angular (del latín impulso, movimiento), o el momento del impulso, es un físico cantidad de vector tipo que representa la cantidad que se conserva si un sistema físico es invariante bajo rotaciones espaciales . Es el equivalente de rotaciones del impulso a las traducciones. ^[1]

Más en general, en las formulaciones de la mecánica descendente desde un principio variacional se define el momento angular, en términos de teorema de Noether , como la cantidad conservada resultante de la invariancia de la acción con respecto a las rotaciones tridimensionales. Esta formulación es más adecuada para extender el concepto de momento angular a otras entidades, tales como el campo electromagnético .

El momento angular es un pseudovector , no como un escalar acción . ^[2] Por esta razón su unidad de medida en el Sistema Internacional (SI) se expresa en $kg\cdot m^{2}\cdot s^{-1}$ ${\ Displaystyle kg \ cdot m ^ {2} \ cdot s ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle kg \ cdot m ^ {2} \ cdot s ^ {- 1}}$ (kilogramo por metro cuadrado por segundo), no en joules por segundo , incluso si las dos unidades tienen los mismos físicas dimensiones . ^[3] Una cantidad relacionada con el momento angular es el momento angular específica $\mathbf {h}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {h}}$ ${\ mathbf h}$ , Que representa el momento angular por unidad de masa , o el momento de la velocidad .

Definición

Momento angular (

{\vec {L}}

{\ Displaystyle {\ vec {L}}}

{\ Displaystyle {\ vec {L}}}

) de un punto material de masa

metro

{\ Displaystyle m}

metro

. La imagen muestra el vector de posición (

{\vec {r}}

{\ Displaystyle {\ vec {r}}}

{\ vec r}

) y velocidad (

{\vec {v}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}}}

\ vec v

)

En la mecánica newtoniana el momento angular $\mathbf {L}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ mathbf L}$ comparado con un poste $O$ ${\ Displaystyle O}$ $O$ de un punto material se define como el producto vectorial del vector que expresa la posición $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ del punto con respecto a $O$ ${\ Displaystyle O}$ $O$ y el vector de impulso $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ : ^[4]

\mathbf {L} _{O}=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {O} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times m \ mathbf {v}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {O} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times m \ mathbf {v}}

La forma de $\mathbf {L} _{O}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ por lo tanto, se define por: ^[5]

\|\mathbf {L} _{O}\|=\|\mathbf {r} \|\cdot \|\mathbf {p} \|\sin {\theta }=\mathbf {p} \cdot \mathbf {b} =m\mathbf {v} \cdot \mathbf {b}

{\ Displaystyle \ | \ mathbf {L} _ {O} \ | = \ | \ mathbf {r} \ | \ cdot \ | \ mathbf {p} \ | \ sin {\ theta} = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {b} = m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b}}

{\ Displaystyle \ | \ mathbf {L} _ {O} \ | = \ | \ mathbf {r} \ | \ cdot \ | \ mathbf {p} \ | \ sin {\ theta} = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {b} = m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b}}

La dirección de $\mathbf {L} _{O}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ es perpendicular al plano definido por $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ y de $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ y el verso es la de un observador que ve girando $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ en sentido anti-horario. El vector $\mathbf {b} =\mathbf {r} \sin {\theta }$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b} = \ mathbf {r} \ sin {\ theta}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b} = \ mathbf {r} \ sin {\ theta}}$ , que representa la distancia del eje de rotación desde la línea recta en la que se encuentra $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ , Está dicho brazo de $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ .

Uno mismo $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ Y $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ son perpendiculares entre sí, tenemos que $\sin \theta =1$ ${\ Displaystyle \ sin \ theta = 1}$ $\ sin \ theta = 1$ , por tanto, el momento angular es máximo. El momento angular es cero en lugar si el impulso o el brazo son cero , o si $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ es paralelo a $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ , en este caso de hecho $\sin \theta =0$ ${\ Displaystyle \ sin \ theta = 0}$ $\ sin \ theta = 0$ .

Dado que el producto de dos variables conjugadas, por ejemplo la posición y el momento, debe ser una acción, esto nos dice que la variable conjugada con el momento angular debe ser adimensional: de hecho, es el ángulo de rotación alrededor del polo.

Momento angular axial

Se llama axial de movimiento angular con respecto a un eje ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ pasando por un punto $O$ ${\ Displaystyle O}$ $O$ la componente ortogonal del momento angular en un eje particular ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ , llamado eje central:

\mathbf {L} _{\hat {z}}:=[(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\cdot {\hat {\mathbf {z} }}]{\hat {\mathbf {n} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}}: = [(\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}) \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}] {\ hat {\ mathbf {n}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}}: = [(\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}) \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}] {\ hat {\ mathbf {n}}}}

Dónde está ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ es un vector unitario , vector de unidad de longitud, que identifica el eje. El módulo será:

L_{\hat {n}}=|\mathbf {L} _{O}|\cdot \cos \varphi =|\mathbf {r} |\cdot |\mathbf {p} |\sin \vartheta \cos \varphi =(\mathbf {p} \cdot \mathbf {b} )\cos \varphi

{\ Displaystyle L _ {\ hat {n}} = | \ mathbf {L} _ {O} | \ cdot \ cos \ varphi = | \ mathbf {r} | \ cdot | \ mathbf {p} | \ sin \ vartheta \ cos \ varphi = (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {b}) \ cos \ varphi}

{\ Displaystyle L _ {\ hat {n}} = | \ mathbf {L} _ {O} | \ cdot \ cos \ varphi = | \ mathbf {r} | \ cdot | \ mathbf {p} | \ sin \ vartheta \ cos \ varphi = (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {b}) \ cos \ varphi}

Dónde está $\varphi$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ es el ángulo formado por el vector de momento angular $\mathbf {L} _{O}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ con el eje ${\hat {n}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ . En la práctica, es la proyección ortogonal del momento angular sobre el eje. ${\hat {n}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ . Por lo tanto, el momento angular axial es cero si el ángulo $\varphi =\pi /2$ ${\ Displaystyle \ varphi = \ pi / 2}$ ${\ Displaystyle \ varphi = \ pi / 2}$ y máximo cuando el eje ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ coincide con el eje de $\mathbf {L} _{O}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {O}}$ , en este caso de hecho: $\varphi =0$ ${\ Displaystyle \ varphi = 0}$ ${\ Displaystyle \ varphi = 0}$ .

Momento angular para sistemas de puntos materiales

Mismo tema en detalle: König Primer Teorema .

Para sistemas discretos el momento cinético total se define por la suma de los momentos angulares individuales: ^[6]

\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {L} _{i}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i} \ mathbf {L} _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {v } _ {I}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i} \ mathbf {L} _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {v } _ {I}}

Dónde está $\mathbf {r} _{i}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ $\ mathbf r_i$ es el vector de posición del i-ésimo punto con respecto al origen, $m_{i}$ ${\ Displaystyle m_ {i}}$ $me$ es su masa, y $\mathbf {v} _{i}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ ${\ mathbf v} _ {i}$ es su velocidad. Sabiendo que la masa total de todas las partículas viene dada por:

m=\sum _{i}m_{i}

{\ Displaystyle m = \ sum _ {i} m_ {i}}

{\ Displaystyle m = \ sum _ {i} m_ {i}}

tenemos que el centro de masa está definido por:

\mathbf {r} _{\text{CM}}={\frac {1}{m}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}

{\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {\ text {CM}} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i}}

{\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {\ text {CM}} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i}}

se deduce que la velocidad lineal del centro de masa es:

\mathbf {v} _{\text{CM}}={\frac {1}{m}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}.\,

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i}. \,}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i}. \,}

Si se definen a si mismos $\mathbf {r} '_{i}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} '_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} '_ {i}}$ el vector de posición de la partícula, e $\mathbf {v} '_{i}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} '_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} '_ {i}}$ su velocidad con respecto al centro de masa, tenemos:

\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{\text{CM}}+\mathbf {r} '_{i}

{\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {\ text {CM}} + \ mathbf {r} '_ {i}}

{\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {\ text {CM}} + \ mathbf {r} '_ {i}}

Y

\mathbf {v} _{i}=\mathbf {v} _{\text{CM}}+\mathbf {v} '_{i}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} + \ mathbf {v} '_ {i}}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} + \ mathbf {v} '_ {i}}

Puede observarse que:

\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} '_{i}=0

{\ Displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} '_ {i} = 0}

{\ Displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} '_ {i} = 0}

Y

\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} '_{i}=0

{\ Displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} '_ {i} = 0}

{\ Displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} '_ {i} = 0}

de modo que el momento angular total con respecto al origen es:

\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\left(\mathbf {r} _{\text{CM}}\times m\mathbf {v} _{\text{CM}}\right)+\sum _{i}(\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {v} '_{i})=\mathbf {L} _{CM}+\mathbf {L} '_{i}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = \ left (\ mathbf {r} _ { \ text {CM}} \ times m \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} \ right) + \ sum _ {i} (\ mathbf {r} '_ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} '_ {i}) = \ mathbf {L} _ {CM} + \ mathbf {L}' _ {i}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = \ left (\ mathbf {r} _ { \ text {CM}} \ times m \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} \ right) + \ sum _ {i} (\ mathbf {r} '_ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v} '_ {i}) = \ mathbf {L} _ {CM} + \ mathbf {L}' _ {i}}

El primer término es simplemente el momento angular del centro de masa. Es el mismo momento angular que se obtendría si solo hubiera una partícula de masa $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ , colocado en el centro de masa, que se mueve con rapidez $\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ . El segundo término es el momento angular de las partículas en relación con su centro de masa. ^[7] En sistemas continuos la definición es naturalmente extenderse mediante la introducción de densidad $\rho$ ${\ Displaystyle \ rho}$ $\ rho$ y el rango de velocidad $\mathbf {v} (\mathbf {r} )$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {r})}$ $\ mathbf v (\ mathbf r)$ :

\mathbf {L} =\int _{V}\rho \,\mathbf {r} \times \mathbf {v} \ \mathrm {d} V

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ int _ {V} \ rho \, \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} \ \ mathrm {d} V}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ int _ {V} \ rho \, \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} \ \ mathrm {d} V}

Enlace con movimiento giratorio

Si las partículas forman un cuerpo rígido , el término que describe su momento angular con respecto al centro de masa se puede simplificar aún más. En este caso, de hecho, es posible vincular su expresión a la descripción del movimiento giratorio, que está a la velocidad angular ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ y la velocidad areolar ${\dot {\mathbf {A} }}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ . Si el componente giratorio es el único presente, o en el caso en el que el cuerpo se mueve rígidos con movimiento circular , es igual al producto del tensor de inercia ${\underline {\underline {\mathbf {I} }}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}}$ y velocidad angular:

\mathbf {L} ={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}{\boldsymbol {\omega }}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} {\ boldsymbol {\ omega}}}

o, de manera similar, como el doble del producto entre la masa total y la velocidad areolar:

\mathbf {L} =2m{\dot {\mathbf {A} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = 2m {\ dot {\ mathbf {A}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = 2m {\ dot {\ mathbf {A}}}}

Se obtiene el mismo resultado si se sustituye una distribución de masa continua por el sistema de puntos materiales discretos examinado anteriormente.

Enlace con el momento mecánico

El mismo tema en detalle: las ecuaciones de la dinámica cardinales § segunda ecuación cardenal .

Relación entre fuerza (

\mathbf {F}

{\ Displaystyle \ mathbf {F}}

\ mathbf F

), Momento mecánico (

{\boldsymbol {\tau }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}

), impulso (

\mathbf {p}

{\ Displaystyle \ mathbf {p}}

{\ mathbf p}

) y momento angular (

\mathbf {L}

{\ Displaystyle \ mathbf {L}}

{\ mathbf L}

) en un sistema rotatorio.

En cuanto a la dinámica de los sistemas de puntos materiales, el momento angular es una característica fundamental del movimiento. ^[8] En efecto, si un punto material $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ se mueve con impulso: $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}$ , el momento angular del punto con respecto a un polo $O$ ${\ Displaystyle O}$ $O$ está dado por:

\mathbf {L} =\mathbf {r} (t)\times \mathbf {p} (t)

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} (t) \ times \ mathbf {p} (t)}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} (t) \ times \ mathbf {p} (t)}

si el poste $O$ ${\ Displaystyle O}$ $O$ está en movimiento con velocidad $\mathbf {v} _{O}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ , entonces el momento angular varía con el tiempo:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ( \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} \ right) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} + \ mathbf {r} \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ( \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} \ right) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} + \ mathbf {r} \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}

Dónde está:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}}}$ representa la velocidad relativa del punto $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ en comparación con la velocidad de $O$ ${\ Displaystyle O}$ $O$
${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}$ para la segunda ley de la dinámica que representa la fuerza total resultante.

A continuación, a partir de esta relación se obtiene la segunda ecuación cardinal de la dinámica :

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{O})\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {v} \times \mathbf {p} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p} +\mathbf {M} _{O}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {O}) \ times \ mathbf { p} + \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {v} \ times \ mathbf {p} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p} + \ mathbf {M } _{O}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = (\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {O}) \ times \ mathbf { p} + \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {v} \ times \ mathbf {p} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p} + \ mathbf {M } _{O}}

ser $\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ Y $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ paralelo, su producto vectorial es cero, por lo que obtenemos:

\mathbf {M} _{O}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {O} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} + \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {O} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} + \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p}}

Dónde está $\mathbf {M} _{O}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {O} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {O} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}$ que es el momento mecánica . En el caso de una rotación de cuerpo rígido , se puede observar que $\mathbf {v} _{O}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ representa la velocidad tangencial del cuerpo giratorio, por lo tanto, tenemos que:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p} =\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L }}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L }}

En los casos en que:

el poste está estacionario
el polo coincide con el centro de masa
el polo se mueve paralelo a la trayectoria del centro de masa

a continuación, volvemos a la más familiar: ^[9]

\mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}}}

El momento de una fuerza se define como el producto vectorial entre el vector de posición del punto de aplicación de la fuerza y la fuerza misma. Por tanto, su módulo es igual al módulo de la fuerza del brazo. Se puede demostrar que si el polo está inmóvil, la derivada con respecto al tiempo del momento angular es igual al momento de las fuerzas aplicadas, de modo que si este último momento es cero entonces se conserva el momento angular. ^[10]

Conservación del momento angular y ejemplos.

El momento angular es importante en todos los movimientos que dependen de las variaciones relativas a las variables angulares, por otra parte sigue siendo fundamental, porque en los sistemas aislados , es decir, que no están sujetos a los momentos de las fuerzas externas, la ley de conservación del momento angular es válido. ^[11]

Pulso angular

El mismo tema en detalle: Colisión entre los cuerpos rígidos .

Impulso angular se define como la variación de la cantidad de movimiento angular de un cuerpo que se somete a un impacto con otro cuerpo. En otras palabras, es el momento angular realmente transmitido en el momento del impacto. El momento angular inicial y final, útiles para calcular el momento angular, consisten en los momentos del momento final y el momento inicial. ^[12] Por lo tanto, para calcular el impulso angular, que se utiliza generalmente para medir la masa y velocidad del cuerpo para contactar y para obtener los datos iniciales y repetir la operación después del contacto. Al explotar la segunda ecuación cardinal de la dinámica de Euler y la ley de la cinemática de un movimiento circular uniforme, tenemos que:

\mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}}}

Integrando ambos miembros con respecto al tiempo, se obtiene el impulso angular:

\Delta \mathbf {L} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {M} \,\mathrm {d} t

{\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {L} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {M} \, \ mathrm {d} t}

{\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {L} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {M} \, \ mathrm {d} t}

Fuerzas centrales

En el estudio de los movimientos en los campos de fuerzas centrales, la conservación del momento angular es fundamental, ya que está vinculada a la constancia de la velocidad areolar . Ejemplos de este tipo se encuentran en la mecánica de Newton, por ejemplo, en el estudio del movimiento de la péndulo , y en la mecánica celeste , donde el momento angular orbital, definida como el producto vectorial entre la posición y el impulso del cuerpo en órbita a la tiempo de referencia, juega un papel clave para las leyes de Kepler y el estudio de los movimientos de los planetas, de hecho, el momento angular orbital específico representa una constante de vectores de movimiento de una órbita, es decir, que se conserva en el tiempo. ^[13]

Nota

^ Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, la evolución de la física - Vol. 1, Paravia, 2007, ISBN 978-88-395-1609-1 . p.359
^ Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, la evolución de la física - Vol. 1, Paravia, 2007, ISBN 978-88-395-1609-1 . p.359
^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.85
^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.83
^ Sergio Rosati, Física general , Editorial Ambrosiana - Milán, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . pág.207
^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . pág.141
^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.142
^ Sergio Rosati, Física general , Editorial Ambrosiana - Milán, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.222
^ Sergio Rosati, Física general , Editorial Ambrosiana - Milán, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.205
^ Sergio Rosati, Física general , Editorial Ambrosiana - Milán, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.222
^ Sergio Rosati, Física general , Editorial Ambrosiana - Milán, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p223
^ Bruno Finzi , Mecánica Racional - Volumen 2 - Dinámica (tercera edición), Zanichelli - Bolonia, 1995. p.390
^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p. 362

Bibliografía

Sergio Rosati, Física general , Editorial Ambrosiana - Milán, 1990, ISBN 88-408-0368-8 .
Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 .
Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Honors, The Evolution of Physics-Volume 1 , Paravia, 2006, ISBN 978-88-395-1609-1 .
David Halliday, Robert Resnick,Fundamentos de la Física , John Wiley & Sons, 1960-2007, Capítulo 10.

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[1] Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, la evolución de la física - Vol. 1, Paravia, 2007, ISBN 978-88-395-1609-1 . p.359

[2] Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, la evolución de la física - Vol. 1, Paravia, 2007, ISBN 978-88-395-1609-1 . p.359

[3] Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.85

[4] Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.83

[5] Sergio Rosati, Física general , Editorial Ambrosiana - Milán, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . pág.207

[6] Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . pág.141

[7] Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p.142

[8] Sergio Rosati, Física general , Editorial Ambrosiana - Milán, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.222

[9] Sergio Rosati, Física general , Editorial Ambrosiana - Milán, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.205

[10] Sergio Rosati, Física general , Editorial Ambrosiana - Milán, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p.222

[11] Sergio Rosati, Física general , Editorial Ambrosiana - Milán, 1990, ISBN 88-408-0368-8 . p223

[12] Bruno Finzi , Mecánica Racional - Volumen 2 - Dinámica (tercera edición), Zanichelli - Bolonia, 1995. p.390

[13] Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics - Volume I (segunda edición) , Nápoles, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 . p. 362

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