Momento de inercia

En la mecánica clásica , el momento de inercia (también llamado momento polar o segundo momento de pedido o menos correctamente segundo momento de inercia) es un geométrico propiedad de un cuerpo, que mide la inercia del cuerpo como su velocidad angular varía, un físico cantidad utilizada en la descripción del movimiento de los cuerpos en rotación alrededor de un eje. En los movimientos de rotación, el momento de inercia juega el papel que desempeña en la masa movimientos lineales. Tiene dos formas: a escalar de forma (a menudo llamado simplemente momento de inercia), que se utiliza cuando el eje de rotación se conoce con exactitud, y una más general tensor de forma (llamado tensor de inercia), que no requiere el conocimiento del eje de rotación.

Introducción

El concepto fue introducido por Euler en su libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum en 1765 . El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje dado describe lo difícil que es cambiar su movimiento angular alrededor de su propio eje. Hay dos definiciones distintas de momento de inercia: el momento de inercia de masa, a menudo usados en la dinámica y generalmente denotados por $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ , Y el momento de inercia de superficie, que se utiliza, por ejemplo, en ciencias de la construcción y más a menudo referido como $J$ ${\ Displaystyle J}$ $J$ .

En el Sistema Internacional, la unidad del momento de inercia es la ${\textstyle \mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}$ ${\ Estilo de texto \ mathrm {kg} \ cdot \ mathrm {m} ^ {2}}$ ${\ Estilo de texto \ mathrm {kg} \ cdot \ mathrm {m} ^ {2}}$ mientras que para el momento de inercia de superficie es el ${\textstyle \mathrm {m} ^{4}}$ ${\ Estilo de texto \ mathrm {m} ^ {4}}$ ${\ Estilo de texto \ mathrm {m} ^ {4}}$ .

Momento de inercia

Momento de inercia másico se define como el segundo momento de masa con respecto a la posición. Es una función de la geometría del objeto bajo examen, en particular de cómo se distribuye la masa dentro de él. Como ejemplo, consideremos dos discos (A y B) de la misma masa. Disco A tiene un radio mayor que el disco B. Suponiendo que han distribuido uniformemente espesor y masa, es más difícil para acelerar disco A (cambiar su velocidad angular ) desde su masa se distribuye en tal una manera que está más lejos que su eje de rotación: la masa que está más lejos del eje debe tener, habiendo fijado la velocidad angular, la velocidad más tangencial, y por lo tanto más energía que la masa que está más cerca del centro de rotación. En este caso, el disco A tiene un momento de inercia mayor que el disco B.

Los buzos que minimicen su momento de inercia para aumentar su velocidad de rotación

El momento de inercia en su forma escalar es útil para resolver numerosos problemas, por ejemplo que explica por qué diferentes objetos que rollo (tales como esferas, cilindros o anillos) en un plano inclinado con fricción hacerlo con diferentes aceleraciones. Por ejemplo, un anillo rodará más lento que un disco de la misma masa y el radio. De hecho, la masa del anillo se encuentra lejos del centro de rotación y por lo tanto, a la misma velocidad, la energía cinética acumulada por el cuerpo es mayor. Sin embargo, para problemas más complicados donde el eje de rotación cambia, el tratamiento escalar es inadecuada, por ejemplo, en los giroscopios , satélites y todos los objetos cuyos cambios de alineación.

Momento de inercia de superficie

El momento de inercia de superficie de figuras planas con respecto a un eje se utiliza con frecuencia en la ingeniería civil y la ingeniería mecánica . De hecho, está directamente correlacionada con la resistencia de la sección de un elemento sometido a flexión con respecto a las cargas ortogonal al eje de referencia. En la práctica, el momento de inercia es una cantidad que indica la resistencia de una figura plana para girar con respecto a un eje de referencia: cuanto mayor es el momento de inercia, menor es la capacidad de rotar que la sección se mostrará.

El caso típico es el de la viga . Si las fuerzas en la viga tienen una dirección y, el momento de inercia de la sección se calcula según el eje x (ortogonal a y) pasa por el centro de gravedad de la sección de la viga. En la práctica, con el mismo material de , mayor es el momento de inercia, más resistente es el haz es. Además, cuanto más lejos el material es del eje que pasa por su centro de gravedad, más el momento de los aumentos de inercia. Para darse cuenta de esto, es suficiente observar que en las siguientes fórmulas para el cálculo del momento de inercia de la altura h de las distintas figuras es con exponente 3. Acero vigas a menudo tienen un I sección (IPE, o NP), o H (HE perfiles), precisamente para explotar el material tanto como sea posible mediante la colocación de ella fuera de la centro de gravedad de la sección.

Escalar momento de inercia

La forma escalar $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ puede ser calculada para cualquier eje en forma de tensor- ${\underline {\underline {\mathbf {I} }}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}}$ usando el producto escalar :

I={\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}n_{i}I_{ij}n_{j}

{\ Displaystyle I = {\ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} n_ {i} I_ {ij} n_ {j}}

{\ Displaystyle I = {\ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} n_ {i} I_ {ij} n_ {j}}

donde la suma es sobre los tres ejes de las coordenadas cartesianas .

Sistema de puntos materiales

Es ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ Hat z}$ la rotación del eje fijo de un sistema de puntos de n materiales . Indicamos con $(r_{i})_{i=1,\dots ,n}$ ${\ Displaystyle (r_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ ${\ Displaystyle (r_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ las distancias de estos puntos desde el eje de rotación y con $m_{i}$ ${\ Displaystyle m_ {i}}$ $me$ sus masas. En este caso, el momento de inercia con respecto al eje ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ Hat z}$ Se define como:

I_{\hat {z}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}

{\ Displaystyle I _ {\ hat {z}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} ^ {2}}

{\ Displaystyle I _ {\ hat {z}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} ^ {2}}

Se puede observar que los puntos materiales que son más lejos del eje de rotación dan una contribución mayor. Utilizando el momento de inercia es posible expresar de una manera sencilla el momento angular de un sistema de $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ partículas que se comportan como un cuerpo rígido , es decir, en el que las distancias mutuas entre los puntos materiales no varían. Indicando con $v_{i}$ ${\ Displaystyle v_ {i}}$ $usted}$ las velocidades tangenciales de las partículas y con ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ su velocidad angular , que es el mismo para todos los puntos si el cuerpo es rígido:

\mathbf {L} _{\hat {z}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}{\boldsymbol {\omega }}=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=I_{\hat {z}}{\boldsymbol {\omega }}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} v_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} ^ { 2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} = I _ {\ hat {z}} {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} v_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} ^ { 2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} = I _ {\ hat {z}} {\ boldsymbol {\ omega}}}

Del mismo modo, la energía cinética del cuerpo rotativo es:

E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}v_{i}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I_{z}\omega ^{2}

{\ Displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} v_ {i} ^ {2} = {\ frac {1} { 2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ right) \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} I_ {z} \ omega ^ {2 }}

{\ Displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} v_ {i} ^ {2} = {\ frac {1} { 2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ right) \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} I_ {z} \ omega ^ {2 }}

Cuerpo rígido

Es posible ampliar la definición de momento de inercia de masa a un cuerpo de volumen rígido, así $V.$ ${\ Displaystyle V}$ $V.$ , Si tenemos en cuenta este cuerpo como un sistema de puntos materiales, cada uno caracterizado por un volumen $\Delta V$ ${\ Displaystyle \ Delta V}$ $\ Delta V$ y una masa $\Delta m=\rho \Delta V$ ${\ Displaystyle \ Delta m = \ rho \ Delta V}$ $\ Delta m = \ rho \ Delta V$ (Dónde está $\rho$ ${\ Displaystyle \ rho}$ $\ rho$ es la densidad ); en este caso, la contribución momento de este elemento de volumen para el momento de inercia total está dada por $\Delta I_{z}=\rho \Delta Vr^{2}$ ${\ Displaystyle \ Delta I_ {z} = \ rho \ Delta Vr ^ {2}}$ $\ Delta I_ {z} = \ rho \ Delta Vr ^ {2}$ (ser $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ la distancia del elemento desde el eje de rotación). El momento de inercia se obtiene entonces mediante la adición de todas las contribuciones y pasando a la continua, es decir, para $\Delta V\to 0$ ${\ Displaystyle \ Delta V \ a 0}$ $\ Delta V \ a 0$ :

I_{\hat {z}}=\int _{V}\rho r^{2}\mathrm {d} V

{\ Displaystyle I _ {\ hat {z}} = \ int _ {V} \ rho R ^ {2} \ mathrm {d} V}

{\ Displaystyle I _ {\ hat {z}} = \ int _ {V} \ rho R ^ {2} \ mathrm {d} V}

Si el cuerpo es homogénea (su densidad, por tanto, una función constante es) y se caracteriza por simetrías particulares, entonces el cálculo de la integral es particularmente simple.

Tensor de inercia

La energía cinética de un cuerpo giratorio resulta ser una forma cuadrática homogénea de los componentes de la velocidad angular del vector. En general, será entonces posible escribir:

T={\frac {1}{2}}I_{ij}\omega ^{i}\omega ^{j}

{\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} I_ {ij} \ omega ^ {i} \ omega ^ {j}}

T = {\ frac {1} {2}} I _ {{ij}} \ omega ^ {i} \ omega ^ {j}

en la que nos referimos a la suma con respecto a los índices repetidos. Para mostrar que $I_{ij}$ ${\ Displaystyle I_ {ij}}$ $I _ {ij}} {$ es una segunda orden covariante del tensor que es necesario demostrar que se transforma como un vector de este tipo. Sin embargo, esta verificación es trivial, ya que la energía cinética es un escalar, y por tanto es invariante ante un cambio de coordenadas:

{\frac {1}{2}}I_{ij}\omega ^{i}\omega ^{j}={\frac {1}{2}}{\overline {I}}_{kl}{\overline {\omega }}^{k}{\overline {\omega }}^{l}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} I_ {ij} \ omega ^ {i} \ omega ^ {j} = {\ frac {1} {2}} {\ overline {I}} _ {kl } {\ overline {\ omega}} ^ {k} {\ overline {\ omega}} ^ {l}}

{\ Frac {1} {2}} I _ {{ij}} \ omega ^ {i} \ omega ^ {j} = {\ frac {1} {2}} \ overline I _ {{kl}} \ overline \ omega ^ {k} \ overline \ omega ^ {l}

Por las leyes de transformación del vector $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ el anterior se convierte en:

I_{ij}\omega ^{i}\omega ^{j}={\overline {I}}_{kl}{\frac {\partial {\overline {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}\omega ^{i}{\frac {\partial {\overline {x}}^{l}}{\partial x^{j}}}\omega ^{j}

{\ Displaystyle I_ {ij} \ omega ^ {i} \ omega ^ {j} = {\ overline {I}} _ {kl} {\ frac {\ partial {\ overline {x}} ^ {k}} { \ partial x ^ {i}}} \ omega ^ {i} {\ frac {\ partial {\ overline {x}} ^ {l}} {\ partial x ^ {j}}} \ omega ^ {j}}

I _ {{ij}} \ omega ^ {i} \ omega ^ {j} = \ overline I _ {{kl}} {\ frac {\ partial \ overline x ^ {k}} {\ partial x ^ {i }}} \ omega ^ {i} {\ frac {\ partial \ overline x ^ {l}} {\ partial x ^ {j}}} \ omega ^ {j}

A partir de este momento es fácil inferir que:

{\overline {I}}_{kl}=I_{ij}{\frac {\partial x^{i}}{\partial {\overline {x}}^{k}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\overline {x}}^{l}}}

{\ Displaystyle {\ overline {I}} _ {kl} = I_ {ij} {\ frac {\ partial x ^ {i}} {\ partial {\ overline {x}} ^ {k}}} {\ frac {\ partial x ^ {j}} {\ partial {\ overline {x}} ^ {l}}}}

\ Overline I _ {{kl}} = I _ {{ij}} {\ frac {\ partial x ^ {i}} {\ partial \ overline x ^ {k}}} {\ frac {\ partial x ^ { j}} {\ partial \ overline x ^ {l}}}

o eso $I_{ij}$ ${\ Displaystyle I_ {ij}}$ $I _ {ij}} {$ es un segundo tensor de orden covariante.

El mismo objeto puede tener diferentes momentos de inercia en función del eje de rotación. Por ejemplo, tres momentos de inercia asociadas con los tres ejes cartesianos $(x,y,z)$ ${\ Displaystyle (x, y, z)}$ $(X, y, z)$ que no son necesariamente los mismos debido a la no simetría del objeto:

I_{xx}=\;

{\ Displaystyle I_ {xx} = \;}

I _ {{xx}} = \;

momento de inercia a lo largo de la línea a través del centro de masa y paralelo al eje x

I_{yy}=\;

{\ Displaystyle I_ {aa} = \;}

I _ {{yy}} = \;

momento de inercia a lo largo de la línea a través del centro de masa y paralelo al eje y

I_{zz}=\;

{\ Displaystyle I_ {zz} = \;}

I _ {{zz}} = \;

momento de inercia a lo largo de la línea a través del centro de masa y paralelo al eje z

Una esfera de densidad constante tendrá momentos iguales cualquier eje de paso rotación a través del centro de la esfera se considera. Para un cubo $I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}$ ${\ Displaystyle I_ {xx} = I_ {aa} = I_ {zz}}$ $I _ {{xx}} = I _ {{yy}} = I _ {{zz}}$ si está alineado con los ejes.

Cantidades $I_{xx}$ ${\ Displaystyle I_ {xx}}$ $I _ {{xx}}$ , $I_{yy}$ ${\ Displaystyle I_ {yy}}$ $I _ {{yy}}$ , $I_{zz}$ ${\ Displaystyle I_ {zz}}$ $I _ {{zz}}$ que son parte del momento del tensor de inercia $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ cuyos componentes se definen como:

I_{ij}=\sum _{l}m_{l}((x_{l})_{k}(x_{l})_{k}\delta _{ij}-(x_{l})_{i}(x_{l})_{j})

{\ I_ displaystyle {ij} = \ sum _ {l} m_ {l} ((x_ {l}) _ {k} (x_ {l}) _ {k} \ delta _ {ij} - (x_ {l }) _ {i} (x_ {l}) _ {j})}

I _ {{ij}} = \ sum _ {l} m_ {l} ((x_ {l}) _ {k} (x_ {l}) _ {k} \ delta _ {{ij}} - (x_ {l}) _ {i} (x_ {l}) _ {j})

donde el índice $L$ ${\ Displaystyle l}$ $L$ denota el componente ° l- de la distribución masiva de correo $\delta _{ij}$ ${\ Displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta_ {ij}$ es el delta de Kronecker .

Si la masa $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ es única y homogénea los componentes del momento de inercia se expresan como:

I_{ij}=m\left(x_{k}x_{k}\delta _{ij}-x_{i}x_{j}\right)

{\ Displaystyle I_ {ij} = m \ left (x_ {k} x_ {k} \ delta _ {ij} -x_ {i} x_ {j} \ right)}

I _ {{ij}} = m \ left (x_ {k} x_ {k} \ delta _ {{ij}} - x_ {i} x_ {j} \ right)

En términos de la matriz también es:

{\bar {\bar {I}}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\begin{bmatrix}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})&-x_{i}y_{i}&-x_{i}z_{i}\\-x_{i}y_{i}&(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})&-y_{i}z_{i}\\-x_{i}z_{i}&-y_{i}z_{i}&(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle {\ bar {\ bar {I}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} {\ begin {bmatrix} (y_ {i} ^ {2} + z_ {i } ^ {2}) y - x_ {i} y_ {i} & - x_ {i} Z_ {i} \\ - x_ {i} y_ {i} & (x_ {i} ^ {2} + z_ { i} ^ {2}) y - y_ {i} Z_ {i} \\ - x_ {i} Z_ {i} & - y_ {i} Z_ {i} & (x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2}) \ end {bmatrix}}}

{\ Bar {{\ bar I}}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{N}} m _ {{i}} {\ begin {bmatrix} (y _ {{i}} ^ {{2}} + z _ {{i}} ^ {{2}}) y - x _ {{i}} y _ {{i}} y - x _ {{i}} z _ {{i }} \\ - x_ {{i}} y _ {{i}} y (x _ {i} {} ^ {{2}} + z _ {i} {} ^ {{2}}) y - y _ {i} {} z _ {i} {} \\ - x _ {i} {} z _ {i} {} & - y _ {i} {} z _ {i} {} y (x _ {{i}} ^ {{2}} + y _ {i} {} ^ {{2}}) \ end {bmatrix}}

para un sistema de $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ puntos con masa $m_{i}$ ${\ Displaystyle m_ {i}}$ $me}}$ identificado por coordenadas cartesianas $(x_{i},y_{i},z_{i})$ ${\ Displaystyle (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$ $(X _ {{i}}, y_ {i}, z_ {i})$ . Desde este tensor es una matriz simétrica real, por el teorema espectral que es posible encontrar un sistema de coordenadas cartesianas (una base ortonormal ) con respecto al cual la matriz es diagonal:

{\bar {\bar {I}}}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle {\ bar {\ bar {I}}} = {\ begin {bmatrix} I_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {2} y 0 \\ 0 & 0 & I_ {3} \ end {bmatrix}}}

{\ Bar {{\ bar I}}} = {\ begin {bmatrix} I _ {{1}} y 0 & 0 \\ 0 + I _ {{2}} y 0 \\ 0 & 0 + I _ {{3}} \ end {bmatrix}}

donde los ejes (los vectores propios de la matriz) son llamados ejes principales y constantes $I_{1}$ ${\ Displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ , $I_{2}$ ${\ Displaystyle I_ {2}}$ $Yo _ {{2}}$ Y $I_{3}$ ${\ Displaystyle I_ {3}}$ $I _ {{3}}$ (los valores propios) se llaman momentos principales de inercia y por lo general se clasifican en orden ascendente:

I_{1}\leq I_{2}\leq I_{3}

{\ Displaystyle I_ {1} \ leq I_ {2} \ leq I_ {3}}

I _ {{1}} \ leq I _ {{2}} \ leq I _ {{3}}

Llamar a los vectores unitarios a lo largo de los ejes principales $({\bar {1}}_{1},{\bar {1}}_{2},{\bar {1}}_{3})$ ${\ Displaystyle ({\ bar {1}} _ {1}, {\ bar {1}} _ {2}, {\ bar {1}} _ {3})}$ $({\ Bar 1} _ {{1}}, {\ bar 1} _ {{2}}, {\ bar 1} _ {{3}})$ como filas de la tridimensional matriz de identidad , la rotación alrededor de la de los ejes principales de inercia para el que el momento de inercia es ni máximo ni mínimo, no es estable. Para una homogénea sólida de rotación del eje de rotación es un eje principal de inercia.

El momento de inercia con respecto a cualquier eje que pasa por el centro de masa también se puede expresar como la distancia desde el centro en el que este eje intersecta la superficie de un elipsoide cuyos semiejes, orientado a lo largo de los ejes principales, son largas $1/{\sqrt {I_{1}}}$ ${\ Displaystyle 1 / {\ sqrt {I_ {1}}}}$ $1 / {\ sqrt {I _ {{1}}}}$ , $1/{\sqrt {I_{2}}}$ ${\ Displaystyle 1 / {\ sqrt {I_ {2}}}}$ $1 / {\ sqrt {I _ {{2}}}}$ , $1/{\sqrt {I_{3}}}$ ${\ Displaystyle 1 / {\ sqrt {I_ {3}}}}$ $1 / {\ sqrt {I _ {{3}}}}$ . Esto se llama elipsoide un elipsoide de inercia.

Uso en mecánica

Usando el tensor ${\underline {\underline {\mathbf {I} }}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}}$ , Se puede expresar:

El momento angular : $\mathbf {L} ={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}$

El momento mecánica : $\mathbf {M} ={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)}$

La rotación de la energía cinética : $T={\frac {1}{2}}I_{ij}\omega _{i}\omega _{j}$ ${\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} I_ {ij} \ omega _ {i} \ omega _ {j}}$ ${\ Displaystyle T = {\ frac {1} {2}} I_ {ij} \ omega _ {i} \ omega _ {j}}$

Para probar estas ecuaciones se utiliza el producto de tensor y la identidad de Lagrange .

Por último, existe la energía potencial de rotación si y sólo si:

(\nabla _{\theta }\times {\underline {\underline {\mathbf {I} }}})\cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot (\nabla _{\theta }\times {\boldsymbol {\alpha }})+(\nabla _{\theta }\times {\underline {\underline {\boldsymbol {\Omega }}}})\cdot {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}+{\underline {\underline {\boldsymbol {\Omega }}}}\cdot (\nabla _{\theta }\times {\underline {\underline {\mathbf {I} }}})\cdot {\boldsymbol {\omega }}+{\underline {\underline {\boldsymbol {\Omega }}}}\cdot {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot (\nabla _{\theta }\times {\boldsymbol {\omega }})=0

{\ Displaystyle (\ nabla _ {\ theta} \ veces {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ underline {\ underline {\ mathbf { I}}}} \ cdot (\ nabla _ {\ theta} \ veces {\ boldsymbol {\ alpha}}) + (\ nabla _ {\ theta} \ veces {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega} }}}) \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}}} \ cdot (\ nabla _ {\ theta} \ veces {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega} }}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot (\ nabla _ {\ theta} \ veces {\ boldsymbol {\ omega}}) = 0}

{\ Displaystyle (\ nabla _ {\ theta} \ veces {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ underline {\ underline {\ mathbf { I}}}} \ cdot (\ nabla _ {\ theta} \ veces {\ boldsymbol {\ alpha}}) + (\ nabla _ {\ theta} \ veces {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega} }}}) \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}}} \ cdot (\ nabla _ {\ theta} \ veces {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega} }}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot (\ nabla _ {\ theta} \ veces {\ boldsymbol {\ omega}}) = 0}

Teorema de Huygens-Steiner

El mismo tema en detalle: Huygens-Steiner teorema .

En el momento con respecto a un eje $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ , Paralelo a otro $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ pasa a través del centro de masa, se obtiene añadiendo el momento de inercia con respecto a $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ el producto de la masa del cuerpo y el cuadrado distancia entre los ejes $C$ ${\ Displaystyle c}$ $C$ Y $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ .

I_{z}=I_{\text{cm}}+Md^{2}

{\ Displaystyle I_ {z} = I _ {\ text {cm}} + Md ^ {2}}

{\ Displaystyle I_ {z} = I _ {\ text {cm}} + Md ^ {2}}

Perpendicular eje teorema

Considerado una figura plana con distribución de masas bidimensional, a continuación, el momento de inercia alrededor del eje perpendicular al plano sobre el que la figura mentiras es igual a la suma de los momentos de inercia alrededor de los ejes que definen el plano. ^[1] Por ejemplo, si la figura se encuentra en el plano xy:

I_{z}=I_{x}+I_{y}

{\ Displaystyle I_ {z} = I_ {x} + I_ {y}}

{\ Displaystyle I_ {z} = I_ {x} + I_ {y}}

Cálculo del momento de inercia

El mismo tema en detalle: Lista de los momentos de inercia .

Varios momentos de inercia

{\tfrac {1}{2}}Mr^{2}

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} Sr ^ {2}}

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} Sr ^ {2}}

{\tfrac {1}{12}}Ml^{2}

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {12}} Ml ^ {2}}

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {12}} Ml ^ {2}}

{\tfrac {1}{2}}M({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2})

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} M ({r_ {2}} ^ {2} + {r_ {1}} ^ {2})}

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} M ({r_ {2}} ^ {2} + {r_ {1}} ^ {2})}

{\tfrac {2}{5}}Mr^{2}

{\ Displaystyle {\ tfrac {2} {5}} Sr ^ {2}}

{\ Displaystyle {\ tfrac {2} {5}} Sr ^ {2}}

{\tfrac {3}{10}}MR^{2}

{\ Displaystyle {\ tfrac {3} {10}} MR ^ {2}}

{\ Displaystyle {\ tfrac {3} {10}} MR ^ {2}}

{\tfrac {1}{12}}M(a^{2}+b^{2})

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {12}} M (a ^ {2} + b ^ {2})}

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {12}} M (a ^ {2} + b ^ {2})}

Momento de inercia másico para sólidos homogéneos

Los momentos de inercia, con respecto al eje de simetría que pasa por el centro de masa, de algunos sólidos homogéneos notables con densidad volumétrica iguales a $\rho$ ${\ Displaystyle \ rho}$ $\ rho$ .

Momento de inercia del cilindro

Considere un cilindro de masa $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ , radio $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ y altura $H.$ ${\ Displaystyle H}$ $H.$ , asi que $M=\rho \pi R^{2}H$ ${\ Displaystyle M = \ rho \ pi R ^ {2} H}$ $M = \ rho \ pi R ^ {2} H$ . La medida del elemento de volumen genérico está dada por $Hr\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r$ ${\ Displaystyle Hr \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} r}$ ${\ Displaystyle Hr \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} r}$ y el momento de inercia con respecto al eje del cilindro está dada por:

{\begin{aligned}I_{\hat {z}}&=\int _{0}^{R}\rho r^{2}Hr2\pi \;\mathrm {d} r\\&=2\pi \rho H\int _{0}^{R}r^{3}\;\mathrm {d} r\\&={\frac {\pi \rho HR^{4}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}MR^{2}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} I _ {\ hat {z}} y = \ int _ {0} ^ {R} \ rho R ^ {2} Hr2 \ pi \; \ mathrm {d} r \\ & = 2 \ pi \ rho H \ int _ {0} ^ {R} r ^ {3} \; \ mathrm {d} r \\ & = {\ frac {\ pi \ rho HR ^ {4}} { 2}} \\ & = {\ frac {1} {2}} MR ^ {2} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} I _ {\ hat {z}} y = \ int _ {0} ^ {R} \ rho R ^ {2} Hr2 \ pi \; \ mathrm {d} r \\ & = 2 \ pi \ rho H \ int _ {0} ^ {R} r ^ {3} \; \ mathrm {d} r \\ & = {\ frac {\ pi \ rho HR ^ {4}} { 2}} \\ & = {\ frac {1} {2}} MR ^ {2} \ end {alineado}}}

Momento de inercia del cono

Para calcular el momento de inercia de un cono, tenga en cuenta el momento final como la suma de los momentos de inercia de los discos con infinitesimal altura $\mathrm {d} z$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} z}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} z}$ , Se fija el origen del sistema de referencia a la punta de las hacia abajo orientada cono. El radio del disco de solo varía linealmente con la variación de $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ de acuerdo con el informe $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ , Radio de la base, dividido $h$ ${\ Displaystyle h}$ $h$ , Altura del cono. El elemento infinitesimal de masa se calcula utilizando $\rho$ ${\ Displaystyle \ rho}$ $\ rho$ multiplicado por el volumen de la altura del cilindro $\mathrm {d} z$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} z}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} z}$ . Al integrar el momento de inercia del disco de 0 a $h$ ${\ Displaystyle h}$ $h$ se obtiene el resultado final.

\mathrm {d} I={\frac {r^{2}}{2}}\;\mathrm {d} m\qquad \mathrm {d} m=\rho \pi r^{2}\;\mathrm {d} z\qquad r={\frac {R}{h}}z

{\ Displaystyle \ mathrm {d} I = {\ frac {r ^ {2}} {2}} \; \ mathrm {d} m \ qquad \ mathrm {d} m = \ rho \ pi r ^ {2} \; \ mathrm {d} z \ qquad r = {\ frac {R} {h}} z}

{\ Displaystyle \ mathrm {d} I = {\ frac {r ^ {2}} {2}} \; \ mathrm {d} m \ qquad \ mathrm {d} m = \ rho \ pi r ^ {2} \; \ mathrm {d} z \ qquad r = {\ frac {R} {h}} z}

{\begin{aligned}I&={\frac {\rho \pi }{2}}\int _{0}^{h}{\frac {R^{4}}{h^{4}}}z^{4}\;\mathrm {d} z\\&={\frac {\rho \pi R^{4}}{2h^{4}}}{\frac {h^{5}}{5}}\\&={\frac {3M}{\pi R^{2}h}}{\frac {\pi R^{4}}{2h^{4}}}{\frac {h^{5}}{5}}\\&={\frac {3}{10}}MR^{2}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineadas} I & = {\ frac {\ rho \ pi} {2}} \ int _ {0} ^ {h} {\ frac {R ^ {4}} {h ^ {4 }}} z ^ {4} \; \ mathrm {d} z \\ & = {\ frac {\ rho \ pi R ^ {4}} {2h ^ {4}}} {\ frac {h ^ {5 }} {5}} \\ & = {\ frac {3M} {\ pi R ^ {2} h}} {\ frac {\ pi R ^ {4}} {2h ^ {4}}} {\ frac {h ^ {5}} {5}} \\ & = {\ frac {3} {10}} MR ^ {2} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineadas} I & = {\ frac {\ rho \ pi} {2}} \ int _ {0} ^ {h} {\ frac {R ^ {4}} {h ^ {4 }}} z ^ {4} \; \ mathrm {d} z \\ & = {\ frac {\ rho \ pi R ^ {4}} {2h ^ {4}}} {\ frac {h ^ {5 }} {5}} \\ & = {\ frac {3M} {\ pi R ^ {2} h}} {\ frac {\ pi R ^ {4}} {2h ^ {4}}} {\ frac {h ^ {5}} {5}} \\ & = {\ frac {3} {10}} MR ^ {2} \ end {alineado}}}

Momento de inercia de la esfera

El momento de inercia de una esfera se obtiene sumando los momentos de inercia de los discos de espesor infinitesimal $\mathrm {d} x$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} x}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} x}$ , Se fija el origen del sistema de referencia en el centro de la esfera orientado hacia arriba. El radio del disco de solo varía de acuerdo con la función que describe un arco de circunferencia en el primer cuadrante , desde un mínimo de 0, con $x=R$ ${\ Displaystyle x = R}$ $x = R$ , El radio de la esfera, a un máximo de $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ mismo. El elemento infinitesimal de masa se obtiene usando $\rho$ ${\ Displaystyle \ rho}$ $\ rho$ multiplicado por el volumen de la altura del cilindro $D X$ ${\ displaystyle dx}$ $Derecha$ . Al integrar el momento de inercia del disco de $-R$ ${\ Displaystyle -R}$ $-R$ para $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ se obtiene el resultado final.

{\begin{aligned}&\mathrm {d} I={\frac {r^{2}}{2}}\;\mathrm {d} m\qquad &\mathrm {d} m=\rho \pi r^{2}\;\mathrm {d} x\\&r={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}&\rho ={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathrm {d} I = {\ frac {r ^ {2}} {2}} \; \ mathrm {d} m \ qquad & \ mathrm {d} m = \ rho \ pi r ^ {2} \; \ mathrm {d} x \\ & r = {\ sqrt {R ^ {2} -X ^ {2}}} y \ rho = {\ frac {M} {{ \ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3}}} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathrm {d} I = {\ frac {r ^ {2}} {2}} \; \ mathrm {d} m \ qquad & \ mathrm {d} m = \ rho \ pi r ^ {2} \; \ mathrm {d} x \\ & r = {\ sqrt {R ^ {2} -X ^ {2}}} y \ rho = {\ frac {M} {{ \ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3}}} \ end {alineado}}}

{\begin{aligned}I&=\int _{-R}^{R}{\frac {\rho \pi }{2}}\left(R^{2}-x^{2}\right)^{2}\mathop {\mathrm {d} x} \\&={\frac {\rho \pi }{2}}\int _{-R}^{R}\left(R^{4}-2R^{2}x^{2}+x^{4}\right)\mathop {\mathrm {d} x} \\&={\frac {\rho \pi }{2}}\left[{\bigg [}R^{4}x{\bigg ]}_{-R}^{R}-{\bigg [}{\frac {2R^{2}x^{3}}{3}}{\bigg ]}_{-R}^{R}+{\bigg [}{\frac {x^{5}}{5}}{\bigg ]}_{-R}^{R}\right]\\&={\frac {3M}{4\pi R^{3}}}{\frac {\pi }{2}}\left[2R^{5}-{\frac {4}{3}}R^{5}+{\frac {2}{5}}R^{5}\right]\\&={\frac {3M}{8R^{3}}}\left[{\frac {30R^{5}-20R^{5}+6R^{5}}{15}}\right]\\&={\frac {3M}{8R^{3}}}{\frac {16R^{5}}{15}}\\&={\frac {2}{5}}MR^{2}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} I & = \ int _ {- R} ^ {R} {\ frac {\ rho \ pi} {2}} \ left (R ^ {2} -X ^ {2} \ right) ^ {2} \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = {\ frac {\ rho \ pi} {2}} \ int _ {- R} ^ {R} \ left (R ^ {4} 2R ^ {2} x ^ {2} + x ^ {4} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = {\ frac {\ rho \ pi} {2}} \ left [{\ bigg [} R ^ {4} x {\ bigg]} _ {- R} ^ {R} - {\ bigg [} {\ frac {2R ^ {2} x ^ {3}} { 3}} {\ bigg]} _ {- R} ^ {R} + {\ bigg [} {\ frac {x ^ {5}} {5}} {\ bigg]} _ {- R} ^ {R } \ right] \\ & = {\ frac {3M} {4 \ pi R ^ {3}}} {\ frac {\ pi} {2}} \ left [2R ^ {5} - {\ frac {4 } {3}} R ^ {5} + {\ frac {2} {5}} R ^ {5} \ right] \\ & = {\ frac {3M} {8R ^ {3}}} \ left [ {\ frac {30R ^ {5} -20R ^ {5} + 6R ^ {5}} {15}} \ right] \\ & = {\ frac {3M} {8R ^ {3}}} {\ frac {16R ^ {5}} {15}} \\ & = {\ frac {2} {5}} MR ^ {2} \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} I & = \ int _ {- R} ^ {R} {\ frac {\ rho \ pi} {2}} \ left (R ^ {2} -X ^ {2} \ right) ^ {2} \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = {\ frac {\ rho \ pi} {2}} \ int _ {- R} ^ {R} \ left (R ^ {4} 2R ^ {2} x ^ {2} + x ^ {4} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = {\ frac {\ rho \ pi} {2}} \ left [{\ bigg [} R ^ {4} x {\ bigg]} _ {- R} ^ {R} - {\ bigg [} {\ frac {2R ^ {2} x ^ {3}} { 3}} {\ bigg]} _ {- R} ^ {R} + {\ bigg [} {\ frac {x ^ {5}} {5}} {\ bigg]} _ {- R} ^ {R } \ right] \\ & = {\ frac {3M} {4 \ pi R ^ {3}}} {\ frac {\ pi} {2}} \ left [2R ^ {5} - {\ frac {4 } {3}} R ^ {5} + {\ frac {2} {5}} R ^ {5} \ right] \\ & = {\ frac {3M} {8R ^ {3}}} \ left [ {\ frac {30R ^ {5} -20R ^ {5} + 6R ^ {5}} {15}} \ right] \\ & = {\ frac {3M} {8R ^ {3}}} {\ frac {16R ^ {5}} {15}} \\ & = {\ frac {2} {5}} MR ^ {2} \ end {alineado}}}

Momento de inercia del paralelepípedo

Teniendo en cuenta sólo la definición del momento de inercia y la densidad $\rho$ ${\ Displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , El momento de inercia de un paralelepípedo, calculado con respecto al eje ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ Hat z}$ pasa por el centro de gravedad del paralelepípedo, es igual a:

{\begin{aligned}I&=\int _{V}\rho r^{2}\operatorname {\mathop {\mathrm {d} r} } ^{3}\\&=\rho \int _{-a/2}^{a/2}\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-{\frac {c}{2}}}^{\frac {c}{2}}(x^{2}+y^{2})\mathop {\mathrm {d} x} \mathop {\mathrm {d} y} \mathop {\mathrm {d} z} \\&=c\rho \int _{-a/2}^{a/2}\left[x^{2}y+{\frac {y^{3}}{3}}\right]_{-b/2}^{b/2}\mathop {\mathrm {d} x} \\&=c\rho \int _{-a/2}^{a/2}\left(x^{2}b+{\frac {b^{3}}{12}}\right)\mathop {\mathrm {d} x} \\&=c\rho \left[{\frac {x^{3}}{3}}b+x{\frac {b^{3}}{12}}\right]_{-a/2}^{a/2}\\&=abc\rho \left({\frac {a^{2}}{12}}+{\frac {b^{2}}{12}}\right)\\&=M\left({\frac {a^{2}}{12}}+{\frac {b^{2}}{12}}\right)\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} I & = \ int _ {V} \ rho R ^ {2} \ operatorname {\ mathop {\ mathrm {d} r}} ^ {3} \\ & = \ rho \ int _ {- a / 2} ^ {a / 2} int \ _ {- b / 2} ^ {b / 2} \ int _ {- {\ frac {c} {2}}} ^ {\ frac { c} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) \ mathop {\ mathrm {d} x} \ mathop {\ mathrm {d} y} \ mathop {\ mathrm {d} z} \ \ & = c \ rho \ int _ {- a / 2} ^ {a / 2} \ left [x ^ {2} y + {\ frac {y ^ {3}} {3}} \ right] _ { - b / 2} ^ {b / 2} \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = c \ rho \ int _ {- a / 2} ^ {a / 2} \ left (x ^ {2 } b + {\ frac {b ^ {3}} {12}} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = c \ rho \ left [{\ frac {x ^ {3}} {3}} b + x {\ frac {b ^ {3}} {12}} \ right] _ {- a / 2} ^ {a / 2} \\ & = abc \ rho \ left ({\ frac {a ^ {2}} {12}} + {\ frac {b ^ {2}} {12}} \ right) \\ & = M \ left ({\ frac {a ^ {2}} {12} } + {\ frac {b ^ {2}} {12}} \ right) \ end {alineado}}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} I & = \ int _ {V} \ rho R ^ {2} \ operatorname {\ mathop {\ mathrm {d} r}} ^ {3} \\ & = \ rho \ int _ {- a / 2} ^ {a / 2} \ int _ {- b / 2} ^ {b / 2} \ int _ {- {\ frac {c} {2}}} ^ {\ frac { c} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) \ mathop {\ mathrm {d} x} \ mathop {\ mathrm {d} y} \ mathop {\ mathrm {d} z} \ \ & = c \ rho \ int _ {- a / 2} ^ {a / 2} \ left [x ^ {2} y + {\ frac {y ^ {3}} {3}} \ right] _ { - b / 2} ^ {b / 2} \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = c \ rho \ int _ {- a / 2} ^ {a / 2} \ left (x ^ {2 } b + {\ frac {b ^ {3}} {12}} \ right) \ mathop {\ mathrm {d} x} \\ & = c \ rho \ left [{\ frac {x ^ {3}} {3}} b + x {\ frac {b ^ {3}} {12}} \ right] _ {- a / 2} ^ {a / 2} \\ & = abc \ rho \ left ({\ frac {a ^ {2}} {12}} + {\ frac {b ^ {2}} {12}} \ right) \\ & = M \ left ({\ frac {a ^ {2}} {12} } + {\ frac {b ^ {2}} {12}} \ right) \ end {alineado}}}

Momento de superficie de inercia de figuras geométricas planas

Momentos de inercia de la superficie de las secciones más comunes

Los momentos de inercia se calculan con respecto al eje barycentral horizontal, que es el eje $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ , Y, en particular, las del rectángulo y el triángulo también con respecto a un eje paralelo a la barycentral a través del teorema de Huygens-Steiner . La densidad de los objetos se ha de considerar unitario.

Rectángulo:
$J_{11}={\frac {bh^{3}}{12}}$ ${\ J_ displaystyle {11} = {\ frac {bh ^ {3}} {12}}}$ $J _ {{11}} = {\ frac {bh ^ {3}} {12}}$
$J_{11}={\frac {bh^{3}}{3}}$ ${\ J_ displaystyle {11} = {\ frac {bh ^ {3}} {3}}}$ $J _ {{11}} = {\ frac {bh ^ {3}} {3}}$
Triángulo:
$J_{11}={\frac {bh^{3}}{36}}$ ${\ J_ displaystyle {11} = {\ frac {bh ^ {3}} {36}}}$ $J _ {{11}} = {\ frac {bh ^ {3}} {36}}$
$J_{11}={\frac {bh^{3}}{12}}$ ${\ J_ displaystyle {11} = {\ frac {bh ^ {3}} {12}}}$ $J _ {{11}} = {\ frac {bh ^ {3}} {12}}$
Circulo:
$J_{11}={\frac {\pi r^{4}}{4}}$ ${\ Displaystyle J_ {11} = {\ frac {\ pi r ^ {4}} {4}}}$ $J _ {{11}} = {\ frac {\ pi r ^ {4}} {4}}$
Elipse:
$J_{11}={\frac {\pi ab^{3}}{4}}$ ${\ Displaystyle J_ {11} = {\ frac {\ pi ab ^ {3}} {4}}}$ $J _ {{11}} = {\ frac {\ pi ab ^ {3}} {4}}$

Momento de inercia de un polígono

Considere un polígono ${\vec {P}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {P}}}$ $\ P vec$ contenida en el plano xy, que tiene n vértices de coordenadas $(x_{i}\;,y_{i})$ ${\ Displaystyle (x_ {i} \;, y_ {i})}$ $(X_ {i} \;, y_ {i})$ , También consideramos los vectores $P_{i}\equiv (x_{i}\;,y_{i})$ ${\ Displaystyle P_ {i} \ equiv (x_ {i} \;, y_ {i})}$ $P_ {i} \ equiv (x_ {i} \;, y_ {i})$ , A través de la fórmula del área de Gauss , se muestra que por numeración de los vértices de modo que el vértice genérico i es adyacente al vértice i + 1, el área viene dada por:

A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i})

{\ Displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} | {\ vec {P}} _ {i} \ times {\ vec {P}} _ { i + 1} | = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} \ cdot y_ {i + 1} -x_ {i + 1} \ cdot y_ {i})}

A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i})

dove con l'operazione $|{\vec {P_{i}}}\times {\vec {P_{i+1}}}|$ $|{\vec {P_{i}}}\times {\vec {P_{i+1}}}|$ $|{\vec {P_{i}}}\times {\vec {P_{{i+1}}}}|$ si intende la norma con il segno del vettore risultante dal prodotto vettoriale tra ${\vec {P_{i}}}$ ${\vec {P_{i}}}$ ${\vec {P_{i}}}$ e ${\vec {P_{i+1}}}$ ${\vec {P_{i+1}}}$ ${\vec {P_{{i+1}}}}$ e inoltre per convenzione si assume che:

(x_{n+1}\;,y_{n+1})=(x_{1}\;,y_{1})

(x_{n+1}\;,y_{n+1})=(x_{1}\;,y_{1})

(x_{{n+1}}\;,y_{{n+1}})=(x_{1}\;,y_{1})

I momenti di inerzia di un generico poligono di n vertici rispetto agli assi x e y saranno rispettivamente:

{\begin{aligned}J_{x}&=\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {y_{i}^{2}+y_{i}\cdot y_{i+1}+y_{i+1}^{2}}{12}}\\&=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {y_{i}^{2}+y_{i}\cdot y_{i+1}+y_{i+1}^{2}}{12}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{x}&=\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {y_{i}^{2}+y_{i}\cdot y_{i+1}+y_{i+1}^{2}}{12}}\\&=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {y_{i}^{2}+y_{i}\cdot y_{i+1}+y_{i+1}^{2}}{12}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{x}&=\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {y_{i}^{2}+y_{i}\cdot y_{i+1}+y_{i+1}^{2}}{12}}\\&=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {y_{i}^{2}+y_{i}\cdot y_{i+1}+y_{i+1}^{2}}{12}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{y}&=\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {x_{i}^{2}+x_{i}\cdot x_{i+1}+x_{i+1}^{2}}{12}}\\&=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {x_{i}^{2}+x_{i}\cdot x_{i+1}+x_{i+1}^{2}}{12}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{y}&=\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {x_{i}^{2}+x_{i}\cdot x_{i+1}+x_{i+1}^{2}}{12}}\\&=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {x_{i}^{2}+x_{i}\cdot x_{i+1}+x_{i+1}^{2}}{12}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{y}&=\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {x_{i}^{2}+x_{i}\cdot x_{i+1}+x_{i+1}^{2}}{12}}\\&=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {x_{i}^{2}+x_{i}\cdot x_{i+1}+x_{i+1}^{2}}{12}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{xy}&=\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {x_{i}\cdot y_{i+1}+2x_{i}\cdot y_{i}+2x_{i+1}\cdot y_{i+1}+x_{i+1}\cdot y_{i}}{24}}\\&=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {x_{i}\cdot y_{i+1}+2x_{i}\cdot y_{i}+2x_{i+1}\cdot y_{i+1}+x_{i+1}\cdot y_{i}}{24}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{xy}&=\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {x_{i}\cdot y_{i+1}+2x_{i}\cdot y_{i}+2x_{i+1}\cdot y_{i+1}+x_{i+1}\cdot y_{i}}{24}}\\&=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {x_{i}\cdot y_{i+1}+2x_{i}\cdot y_{i}+2x_{i+1}\cdot y_{i+1}+x_{i+1}\cdot y_{i}}{24}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{xy}&=\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {x_{i}\cdot y_{i+1}+2x_{i}\cdot y_{i}+2x_{i+1}\cdot y_{i+1}+x_{i+1}\cdot y_{i}}{24}}\\&=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {x_{i}\cdot y_{i+1}+2x_{i}\cdot y_{i}+2x_{i+1}\cdot y_{i+1}+x_{i+1}\cdot y_{i}}{24}}\end{aligned}}

Analogamente per un prisma retto di altezza $h$ ${\displaystyle h}$ $h$ avente come base un poligono contenuto nel piano xy avremo che i rispettivi momenti di inerzia sono:

{\begin{aligned}J_{x}&=h\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {h+2y_{i}^{2}+2y_{i}\cdot y_{i+1}+2y_{i+1}^{2}}{24}}\\&=h\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {h+2y_{i}^{2}+2y_{i}\cdot y_{i+1}+2y_{i+1}^{2}}{24}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{x}&=h\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {h+2y_{i}^{2}+2y_{i}\cdot y_{i+1}+2y_{i+1}^{2}}{24}}\\&=h\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {h+2y_{i}^{2}+2y_{i}\cdot y_{i+1}+2y_{i+1}^{2}}{24}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{x}&=h\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {h+2y_{i}^{2}+2y_{i}\cdot y_{i+1}+2y_{i+1}^{2}}{24}}\\&=h\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {h+2y_{i}^{2}+2y_{i}\cdot y_{i+1}+2y_{i+1}^{2}}{24}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{y}&=h\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {h+2x_{i}^{2}+2x_{i}\cdot x_{i+1}+2x_{i+1}^{2}}{24}}\\&=h\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {h+2x_{i}^{2}+2x_{i}\cdot x_{i+1}+2x_{i+1}^{2}}{24}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{y}&=h\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {h+2x_{i}^{2}+2x_{i}\cdot x_{i+1}+2x_{i+1}^{2}}{24}}\\&=h\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {h+2x_{i}^{2}+2x_{i}\cdot x_{i+1}+2x_{i+1}^{2}}{24}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}J_{y}&=h\sum _{i=1}^{n}|{\vec {P}}_{i}\times {\vec {P}}_{i+1}|{\frac {h+2x_{i}^{2}+2x_{i}\cdot x_{i+1}+2x_{i+1}^{2}}{24}}\\&=h\sum _{i=1}^{n}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i}){\frac {h+2x_{i}^{2}+2x_{i}\cdot x_{i+1}+2x_{i+1}^{2}}{24}}\end{aligned}}

Variazione dell'orientamento e delle dimensioni di una figura geometrica piana

Si vogliono presentare alcuni esempi per capire meglio come l'orientamento delle figure geometriche, e le loro dimensioni, entrano in gioco nel calcolo del momento di inerzia. Si prenda come esempio una delle figure geometriche più semplici, il rettangolo, assumendo un'area di 8 cm², con un lato di 2 cm e l'altro di 4 cm. Dapprima si prenda l'asse per il quale si vuole calcolare il momento di inerzia parallelo al lato di 4 cm e passante per il baricentro, poi si prenda un altro asse parallelo al lato di 2 cm, sempre passante per il baricentro.

Nel primo caso si ha $b=4$ ${\displaystyle b=4}$ $b=4$ e $h=2$ ${\displaystyle h=2}$ $h=2$ , per cui:

J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {4\cdot 2^{3}}{12}}=2,67

J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {4\cdot 2^{3}}{12}}=2,67

J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {4\cdot 2^{3}}{12}}=2,67

Nel secondo caso si ha $b=2$ ${\displaystyle b=2}$ $b=2$ e $h=4$ ${\displaystyle h=4}$ $h=4$ , per cui:

J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {2\cdot 4^{3}}{12}}=10,67

J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {2\cdot 4^{3}}{12}}=10,67

J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {2\cdot 4^{3}}{12}}=10,67

cioè un valore 4 volte maggiore rispetto al primo caso. Inoltre, mantenendo l'area del rettangolo sempre uguale a 8 centimetri quadrati e il lato più lungo ortogonale all'asse, si consideri ora un rettangolo di lati $b=1$ ${\displaystyle b=1}$ $b=1$ e $h=8$ ${\displaystyle h=8}$ $h=8$ (in pratica si è "stirato" il rettangolo di partenza mantenendo invariata l'area). Si ha:

J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1\cdot 8^{3}}{12}}=42,67

J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1\cdot 8^{3}}{12}}=42,67

J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1\cdot 8^{3}}{12}}=42,67

cioè un valore 4 volte maggiore del secondo caso e 16 volte maggiore del primo, ottenuto sempre con un rettangolo di uguale area. Quanto appena detto si estende ovviamente anche ai corpi solidi.

Note

^ Dinamica del corpo rigido , su edutecnica.it . URL consultato il 22 novembre 2019 .

Bibliografia

( LA ) Leonhard Euler, Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata , Cornell University Library, 1º gennaio 1765, ISBN 978-1-4297-4281-8 .
( EN ) JB Marion e ST Thornton,Classical dynamics of particles & systems , 4ª ed., Thomson, 1995, ISBN 0-03-097302-3 .
( EN ) KR Symon, Mechanics , 3ª ed., Addison-Wesley, 1971, ISBN 0-201-07392-7 .
( EN ) Kane TR e Levinson DA, Dynamics, Theory and Applications , New York, McGraw-Hill, 1985.
( EN ) Beer Ferdinand P., E. Russell Johnston e Jr., Phillip J. Cornwell, Vector mechanics for engineers: Dynamics , 9th ed., Boston, McGraw-Hill, 2010, ISBN 978-0-07-729549-3 .

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Collegamenti esterni

( EN ) IUPAC Gold Book, "moment of inertia" , su goldbook.iupac.org .

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[1] Dinamica del corpo rigido , su edutecnica.it . URL consultato il 22 novembre 2019 .

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