Momento mecánico

El momento mecánico , indicado con $\mathbf {M}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M}}$ ${\ mathbf {M}}$ o, en el contexto anglosajón, con ${\boldsymbol {\tau }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$ $\ boldsymbol {\ tau}$ (del inglés torque ), expresa la actitud de una fuerza para impartir una rotación a un cuerpo rígido alrededor de un eje cuando este no se aplica a su centro de masa , de lo contrario habría movimiento de traslación . Por tanto, constituye el momento de la fuerza .

El momento mecánico es un pseudovector , no un escalar como la energía o el trabajo . Por esta razón, la unidad SI de momento mecánico es N · m ( newton por metro ), no el joule , aunque las dos unidades tienen las mismas dimensiones físicas. ^[1]

El análisis de los momentos mecánicos determina la condición de equilibrio de los cuerpos extendidos y sirve para el estudio de los movimientos rotacionales, de hecho aparecen en la segunda ecuación de Euler .

Definición

El momento mecánico M con respecto al polo O

El momento mecánico ^[2] con respecto a un punto dado. $O$ ${\ Displaystyle O}$ $O$ , llamado polo o centro de rotación , se define en la mecánica newtoniana como el producto vectorial entre la posición del vector , con respecto al polo mismo, y la fuerza: ^[3] ^[4]

\mathbf {\vec {M_{O}}} :=\mathbf {\vec {r}} \times \mathbf {\vec {F}}

{\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {M_ {O}}}: = \ mathbf {\ vec {r}} \ times \ mathbf {\ vec {F}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {M_ {O}}}: = \ mathbf {\ vec {r}} \ times \ mathbf {\ vec {F}}}

La forma de $\mathbf {M}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ por lo tanto, se define por

|\mathbf {M} _{O}|=|\mathbf {r} |\cdot |\mathbf {F} |\sin \vartheta =\mathbf {F} \cdot \mathbf {b}

{\ Displaystyle | \ mathbf {M} _ {O} | = | \ mathbf {r} | \ cdot | \ mathbf {F} | \ sin \ vartheta = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {b}}

{\ Displaystyle | \ mathbf {M} _ {O} | = | \ mathbf {r} | \ cdot | \ mathbf {F} | \ sin \ vartheta = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {b}}

El vector $\mathbf {\vec {M_{O}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {M_ {O}}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {M_ {O}}}}$ es perpendicular al plano definido por $\mathbf {\vec {F}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ y de $\mathbf {\vec {r}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {r}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {r}}}$ y el verso, como lo expresa la regla de la mano derecha , es el de un observador que ve girar $\mathbf {\vec {F}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ en sentido anti-horario. La grandeza $\mathbf {r} \sin \vartheta$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ sin \ vartheta}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ sin \ vartheta}$ , distancia del eje de rotación desde la línea recta en la que se encuentra $\mathbf {\vec {F}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ , se llama brazo $\mathbf {b}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ de fuerza $\mathbf {\vec {F}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ vec {F}}}$ .

Uno mismo $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ Y $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ son ortogonales entre sí, el brazo es exactamente igual al módulo de $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ y el módulo del momento es máximo (ver apalancamiento ). El momento puede ser nulo si la fuerza o el brazo son nulos , o si $\mathbf {F}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ es paralelo a $\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ .

Si el sistema está compuesto por varios componentes puntuales, el momento mecánico total es la suma de los momentos mecánicos individuales, cada uno debido a la fuerza sobre el componente individual y su brazo:

\mathbf {M} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times {\hat {\mathbf {n} }}_{i}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ hat {\ mathbf {n}}} _ {i} = \ sum _ { i} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {F} _ {i}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ hat {\ mathbf {n}}} _ {i} = \ sum _ { i} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {F} _ {i}}

En los sistemas continuos, la definición se amplía naturalmente mediante la introducción de densidad $\rho$ ${\ Displaystyle \ rho}$ $\ rho$ y el campo de aceleración $\mathbf {a} (\mathbf {r} )$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} (\ mathbf {r})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} (\ mathbf {r})}$ :

\mathbf {M} =\int \rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \times \mathbf {a} (\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ int \ rho (\ mathbf {r}) \ mathbf {r} \ times \ mathbf {a} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} V}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ int \ rho (\ mathbf {r}) \ mathbf {r} \ times \ mathbf {a} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} V}

Momento mecánico axial

Se define el momento mecánico axial de una fuerza con respecto a un eje ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ pasando por un punto $O$ ${\ Displaystyle O}$ $O$ la componente ortogonal del momento polar en un eje particular ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ , llamado eje central:

\mathbf {M} _{\hat {z}}:=[(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )\cdot {\hat {\mathbf {z} }}]{\hat {\mathbf {n} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}}: = [(\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}) \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}] {\ hat {\ mathbf {n}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}}: = [(\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}) \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}] {\ hat {\ mathbf {n}}}}

Dónde está ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ es un vector unitario , vector de longitud unitaria, que identifica el eje. El módulo será:

M_{\hat {n}}=|\mathbf {M} _{O}|\cdot \cos \varphi =|\mathbf {r} |\cdot |\mathbf {F} |\sin \vartheta \cos \varphi =(\mathbf {F} \cdot \mathbf {b} )\cos \varphi

{\ Displaystyle M _ {\ hat {n}} = | \ mathbf {M} _ {O} | \ cdot \ cos \ varphi = | \ mathbf {r} | \ cdot | \ mathbf {F} | \ sin \ vartheta \ cos \ varphi = (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {b}) \ cos \ varphi}

{\ Displaystyle M _ {\ hat {n}} = | \ mathbf {M} _ {O} | \ cdot \ cos \ varphi = | \ mathbf {r} | \ cdot | \ mathbf {F} | \ sin \ vartheta \ cos \ varphi = (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {b}) \ cos \ varphi}

Dónde está $\varphi$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ es el ángulo formado por el vector de momento polar $\mathbf {M} _{O}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {O}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {O}}$ con el eje ${\hat {n}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ . En la práctica es la proyección ortogonal del momento polar sobre el eje ${\hat {n}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ . Para esto, el momento axial es cero si el ángulo $\varphi =\pi /2$ ${\ Displaystyle \ varphi = \ pi / 2}$ ${\ Displaystyle \ varphi = \ pi / 2}$ y máximo cuando el eje ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ coincide con el eje de $\mathbf {M} _{O}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {O}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {O}}$ ; en este caso de hecho: $\varphi =0$ ${\ Displaystyle \ varphi = 0}$ ${\ Displaystyle \ varphi = 0}$ .

Teorema de varignon

El mismo tema en detalle: el teorema de Varignon .

El teorema de Varignon establece que el momento resultante de la suma de los momentos mecánicos aplicados en un mismo punto, o equivalentemente la suma de los momentos axiales colocados a la misma distancia de un eje de referencia, corresponde al momento mecánico de la resultante :

\mathbf {M} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {M} _{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{i})=\mathbf {r} \times \sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {M} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r} \ veces \ mathbf {F} _ {i}) = \ mathbf {r} \ veces \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} = \ mathbf {r} \ veces \ mathbf {F}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {M} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r} \ veces \ mathbf {F} _ {i}) = \ mathbf {r} \ veces \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} = \ mathbf {r} \ veces \ mathbf {F}}

Esto es particularmente útil en las ecuaciones de Euler .

Enlace con momento angular

El mismo tema en detalle: Ecuaciones cardinales de la dinámica § Segunda ecuación cardinal .

Derivando el momento angular con respecto al tiempo $\mathbf {L}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L}}$ comparado con un poste $O$ ${\ Displaystyle O}$ $O$ de un sistema de $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ se obtienen puntos materiales:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} _{i}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{O}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} _{i}+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{O})\times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {O}} { \ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} + (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {O}) \ times {\ frac {\ mathrm { d} \ mathbf {p} _ {i}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {O}} { \ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} + (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {O}) \ times {\ frac {\ mathrm { d} \ mathbf {p} _ {i}} {\ mathrm {d} t}}}

Dónde está $\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ es el impulso , y $\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ es la velocidad del punto de aplicación, pero porque:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} _{i}=\mathbf {v} _{i}\times m\mathbf {v} _{i}=0\quad \forall i

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} = \ mathbf {v} _ { i} \ times m \ mathbf {v} _ {i} = 0 \ quad \ forall i}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} = \ mathbf {v} _ { i} \ times m \ mathbf {v} _ {i} = 0 \ quad \ forall i}

resulta que:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{O})\times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{O}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} _{i}=\mathbf {M} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {O}) \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} - {\ frac {\ mathrm {d } \ mathbf {r} _ {O}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {O}) \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} - {\ frac {\ mathrm {d } \ mathbf {r} _ {O}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p}}

En caso de que el polo $O$ ${\ Displaystyle O}$ $O$ está inmóvil el momento mecánico es igual a la variación del momento angular alrededor del mismo centro o eje del primero:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M}}

Enlace con movimiento giratorio

El mismo tema en detalle: tensor de inercia .

Tomando la relación demostrada en el párrafo anterior, en el caso de un cuerpo rígido giratorio, se puede observar que $\mathbf {v} _{O}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ representa la velocidad tangencial del cuerpo giratorio, por lo tanto tenemos que:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p} =\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L }}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L }}

en este caso, el momento angular se correlaciona con el movimiento giratorio. De hecho, el momento angular es proporcional a la velocidad angular ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ a través del tensor de inercia ${\underline {\underline {\mathbf {I} }}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}}$ :

\mathbf {L} ={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

Sustituyendo obtenemos:

{\frac {\mathrm {d} \left({\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\iff \mathbf {M} ={\cancel {\frac {\mathrm {d} {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}}{\mathrm {d} t}}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}+{\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right ) \ iff \ mathbf {M} = {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d} {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}} {\ mathrm {d} t}}} \ cdot { \ boldsymbol {\ omega}} + {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t }} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = {\ underline {\ subrayado {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right ) \ iff \ mathbf {M} = {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d} {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}}} {\ mathrm {d} t}}} \ cdot { \ boldsymbol {\ omega}} + {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t }} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = {\ underline {\ subrayado {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)}

Dónde está ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ es la aceleración angular . El momento angular también es proporcional a la velocidad areolar ${\dot {\mathbf {A} }}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ a través de la masa $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ :

\mathbf {L} =2m{\dot {\mathbf {A} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = 2m {\ dot {\ mathbf {A}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = 2m {\ dot {\ mathbf {A}}}}

Sustituyendo obtenemos:

{\frac {\mathrm {d} \left(2m{\dot {\mathbf {A} }}\right)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \left(2m{\dot {\mathbf {A} }}\right)\iff \mathbf {M} =2{\cancel {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}{\dot {\mathbf {A} }}+2m{\ddot {\mathbf {A} }}+{\boldsymbol {\omega }}\times 2m{\dot {\mathbf {A} }}=2m({\ddot {\mathbf {A} }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\dot {\mathbf {A} }})

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ left (2m {\ dot {\ mathbf {A}}} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (2m {\ dot {\ mathbf {A}}} \ right) \ iff \ mathbf {M} = 2 {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}}} {\ dot {\ mathbf {A}}} + 2m {\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times 2m {\ dot {\ mathbf {A}}} = 2m ({\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ dot {\ mathbf {A}}})}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ left (2m {\ dot {\ mathbf {A}}} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (2m {\ dot {\ mathbf {A}}} \ right) \ iff \ mathbf {M} = 2 {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}}} {\ dot {\ mathbf {A}}} + 2m {\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times 2m {\ dot {\ mathbf {A}}} = 2m ({\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ dot {\ mathbf {A}}})}

Dónde está ${\ddot {\mathbf {A} }}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}}}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}}}$ es la aceleración areolar .

La ecuación que vincula el momento mecánico con la velocidad angular se puede reescribir mediante la relación de Poisson ; de hecho, el vector del producto triple se puede convertir en un producto ordinario utilizando la matriz antisimétrica de la velocidad angular, en analogía por ejemplo con la definición del tensor de Kong , definido por ejemplo en un espacio tridimensional como:

{\underline {\underline {\boldsymbol {\Omega }}}}={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}}} = {\ begin {bmatrix} 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y} & \ omega _ {x} & 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}}} = {\ begin {bmatrix} 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y} & \ omega _ {x} & 0 \ end {bmatrix}}}

Por tanto, parece que:

\mathbf {M} ={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\underline {\underline {\boldsymbol {\Omega }}}}\cdot {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}} } \ cdot {\ subrayado {\ subrayado {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}} } \ cdot {\ subrayado {\ subrayado {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

Luego notamos que el momento mecánico generalmente tiene dos componentes, uno con velocidad angular cero y el otro con aceleración angular cero:

\left.{\begin{aligned}&\mathbf {M} |_{\omega =0}={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\alpha }}\\&\mathbf {M} |_{\alpha =0}={\underline {\underline {\boldsymbol {\Omega }}}}\cdot {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\\\end{aligned}}\right\}\implies \mathbf {M} =\mathbf {M} |_{\omega =0}+\mathbf {M} |_{\alpha =0}

{\ Displaystyle \ left. {\ begin {alineado} & \ mathbf {M} | _ {\ omega = 0} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha }} \\ & \ mathbf {M} | _ {\ alpha = 0} = {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}} }} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \\\ end {alineado}} \ derecha \} \ implica \ mathbf {M} = \ mathbf {M} | _ {\ omega = 0} + \ mathbf {M } | _ {\ alpha = 0}}

{\ Displaystyle \ left. {\ begin {alineado} & \ mathbf {M} | _ {\ omega = 0} = {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha }} \\ & \ mathbf {M} | _ {\ alpha = 0} = {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ Omega}}}} \ cdot {\ underline {\ underline {\ mathbf {I}} }} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \\\ end {alineado}} \ derecha \} \ implica \ mathbf {M} = \ mathbf {M} | _ {\ omega = 0} + \ mathbf {M } | _ {\ alpha = 0}}

Como ejemplo notable, considere que un cuerpo está restringido a un eje fijo baricéntrico en una referencia donde está inclinado como eje ${\hat {z}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ , como una manivela :

{\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}0\\0\\\omega \end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ omega \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ omega \ end {bmatrix}}}

$\mathbf {M}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ resulta en general:

\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&I_{yy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&I_{zz}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0\\0\\{\dot {\omega }}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&-\omega &0\\\omega &0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&I_{yy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&I_{zz}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0\\0\\\omega \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-I_{xz}{\dot {\omega }}+I_{yz}\omega ^{2}\\-I_{yz}{\dot {\omega }}-I_{xz}\omega ^{2}\\I_{zz}{\dot {\omega }}\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \\ - I_ {xy} & I_ {yy} & - I_ {yz} \ \ -I_ {xz} & - I_ {yz} & I_ {zz} \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ {\ dot {\ omega}} \ end {bmatrix} } + {\ begin {bmatrix} 0 & - \ omega & 0 \\\ omega & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \ \ -I_ {xy} & I_ {yy} & - I_ {yz} \\ - I_ {xz} & - I_ {yz} & I_ {zz} \ end {bmatrix }} \ cdot {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ omega \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -I_ {xz} {\ dot {\ omega}} + I_ {yz} \ omega ^ {2} \\ - I_ {yz} {\ dot {\ omega}} - I_ {xz} \ omega ^ {2} \\ I_ {zz} {\ dot {\ omega}} \ end {bmatrix} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \\ - I_ {xy} & I_ {yy} & - I_ {yz} \ \ -I_ {xz} & - I_ {yz} & I_ {zz} \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ {\ dot {\ omega}} \ end {bmatrix} } + {\ begin {bmatrix} 0 & - \ omega & 0 \\\ omega & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \ \ -I_ {xy} & I_ {yy} & - I_ {yz} \\ - I_ {xz} & - I_ {yz} & I_ {zz} \ end {bmatrix }} \ cdot {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ omega \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -I_ {xz} {\ dot {\ omega}} + I_ {yz} \ omega ^ {2} \\ - I_ {yz} {\ dot {\ omega}} - I_ {xz} \ omega ^ {2} \\ I_ {zz} {\ dot {\ omega}} \ end {bmatrix} }}

Momento de tensión

En mecánica de sólidos, un momento mecánico se traduce en una tensión en función de si se dobla , es decir, se orienta paralelamente a la sección, o se tuerce , si se orienta perpendicular a la sección.

En una estructura plana sobre la que solo actúan fuerzas coplanares, solo hay momentos flectores .

Trabajo y energía potencial rotacional

Trabajo rotacional

El trabajo de rotación realizado por el momento mecánico resulta ser:

W=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{r_{1}}^{r_{2}}\mathbf {F} \cdot (\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {r} )=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\mathbf {M} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }},

{\ Displaystyle W = \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ int _ {r_ {1}} ^ { r_ {2}} \ mathbf {F} \ cdot (\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {r}) = \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} = \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} \ mathbf {M} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}},}

{\ Displaystyle W = \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ int _ {r_ {1}} ^ { r_ {2}} \ mathbf {F} \ cdot (\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {r}) = \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}} = \ int _ {\ theta _ {1}} ^ {\ theta _ {2}} \ mathbf {M} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}},}

Como en el caso de traslación, por lo tanto, es posible por un momento realizar también trabajo negativo, si se opone al desplazamiento angular real, o cero, si es normal al desplazamiento angular real. Aquí notamos las analogías con el trabajo traslacional, que permiten la unificación lagrangiana de la fuerza generalizada . ^{[ poco claro ]}

Energía potencial rotacional

Un momento mecánico, al igual que una fuerza, puede ser conservador y por tanto admitir una energía potencial según el lema de Poincaré :

\nabla _{\theta }\times \mathbf {M} =0\implies \mathbf {M} =\nabla _{\theta }U,

{\ Displaystyle \ nabla _ {\ theta} \ times \ mathbf {M} = 0 \ implica \ mathbf {M} = \ nabla _ {\ theta} U,}

{\ Displaystyle \ nabla _ {\ theta} \ times \ mathbf {M} = 0 \ implica \ mathbf {M} = \ nabla _ {\ theta} U,}

Dónde está

\nabla _{\theta }=\left({\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {\partial }{\partial \phi }},{\frac {\partial }{\partial \psi }}\right)

{\ Displaystyle \ nabla _ {\ theta} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}}, {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ phi}}, {\ frac {\ parcial } {\ parcial \ psi}} \ derecha)}

{\ Displaystyle \ nabla _ {\ theta} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}}, {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ phi}}, {\ frac {\ parcial } {\ parcial \ psi}} \ derecha)}

En este caso resulta para un sistema con un grado de libertad angular:

U(\theta )=-\int _{\theta _{0}}^{\theta }M(\alpha )\,\mathrm {d} \alpha +U(\theta _{0}),

{\ Displaystyle U (\ theta) = - \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta} M (\ alpha) \, \ mathrm {d} \ alpha + U (\ theta _ {0}) ,}

{\ Displaystyle U (\ theta) = - \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta} M (\ alpha) \, \ mathrm {d} \ alpha + U (\ theta _ {0}) ,}

El valor de la energía potencial en $\theta _{0}$ ${\ Displaystyle \ theta _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ theta _ {0}}$ se define arbitrariamente desde un punto de vista matemático; Suele imponerse una condición de frontera de Dirichlet , a la cual la condición de ubicación no es aplicable ya que en general la energía potencial rotacional es siempre periódica en sus variables angulares con período máximo $2\pi$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ .

Finalmente en el caso más general con los tres grados de libertad de rotación:

U(\theta ,\phi ,\psi )=-\int _{0}^{\theta }\mathbf {M} (\tau ,0,0)\cdot \mathbf {e} _{1}\,\mathrm {d} \tau -\int _{0}^{\phi }\mathbf {M} (\theta ,\tau ,0)\cdot \mathbf {e} _{2}\,\mathrm {d} \tau -\int _{0}^{\psi }\mathbf {M} (\theta ,\phi ,\tau )\cdot \mathbf {e} _{3}\,\mathrm {d} \tau +C

{\ Displaystyle U (\ theta, \ phi, \ psi) = - \ int _ {0} ^ {\ theta} \ mathbf {M} (\ tau, 0,0) \ cdot \ mathbf {e} _ {1 } \, \ mathrm {d} \ tau - \ int _ {0} ^ {\ phi} \ mathbf {M} (\ theta, \ tau, 0) \ cdot \ mathbf {e} _ {2} \, \ mathrm {d} \ tau - \ int _ {0} ^ {\ psi} \ mathbf {M} (\ theta, \ phi, \ tau) \ cdot \ mathbf {e} _ {3} \, \ mathrm {d } \ tau + C}

{\ Displaystyle U (\ theta, \ phi, \ psi) = - \ int _ {0} ^ {\ theta} \ mathbf {M} (\ tau, 0,0) \ cdot \ mathbf {e} _ {1 } \, \ mathrm {d} \ tau - \ int _ {0} ^ {\ phi} \ mathbf {M} (\ theta, \ tau, 0) \ cdot \ mathbf {e} _ {2} \, \ mathrm {d} \ tau - \ int _ {0} ^ {\ psi} \ mathbf {M} (\ theta, \ phi, \ tau) \ cdot \ mathbf {e} _ {3} \, \ mathrm {d } \ tau + C}

Poder rotacional

En caso de que el polo $O$ ${\ Displaystyle O}$ $O$ el poder de rotación que posee el momento mecánico es inmóvil resulta ser:

P={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {dt} }}=\mathbf {M} \cdot {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}{\mathrm {dt} }}=\mathbf {M} \cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ Displaystyle P = {\ frac {\ mathrm {d} W} {\ mathrm {dt}}} = \ mathbf {M} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {dt}}} = \ mathbf {M} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ Displaystyle P = {\ frac {\ mathrm {d} W} {\ mathrm {dt}}} = \ mathbf {M} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {dt}}} = \ mathbf {M} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

Dónde está ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ es la velocidad angular del punto.

Par de fuerzas

El momento mecánico puro causado por el par de fuerzas.

\mathbf {F} _{g}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {g}}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {g}}

Y

-\mathbf {F} _{g}

{\ Displaystyle - \ mathbf {F} _ {g}}

{\ Displaystyle - \ mathbf {F} _ {g}}

provoca un cambio en el momento angular

\mathbf {L}

{\ Displaystyle \ mathbf {L}}

{\ mathbf L}

en dirección 55. Esto induce una precesión en la cima.

Un problema muy común es medir la fuerza que ejerce algo que gira. La forma más natural es fijar una barra al rotor y medir la fuerza que ejerce de forma ortogonal a una cierta distancia del fulcro. En este punto, por convención, la "fuerza de un rotor" podría definirse como la medida a la distancia, por ejemplo, de un metro del fulcro. De esta forma sería posible comparar las fuerzas de diferentes rotores.

De acuerdo con las leyes que gobiernan las palancas, el módulo del vector producto entre la fuerza y la distancia desde el fulcro, llamado brazo de la fuerza , es una constante. Si la fuerza ejercida ortogonalmente a la barra se mide a una distancia de medio metro, se encuentra que es el doble de la medida a un metro; a 10 cm es diez veces más grande; dos metros es la mitad y así sucesivamente. Por lo tanto, en resumen, solo el producto: brazo × fuerza es relevante para un cuerpo rígido , y no los valores individuales de los dos componentes.

El par se utiliza a menudo en la industria mecánica para cuantificar la potencia generada por un motor de acuerdo con la fórmula:

P=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ Displaystyle P = \ mathbf {T} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ Displaystyle P = \ mathbf {T} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

Dónde está:

$pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ es la potencia del motor expresada en W (vatios) al número deseado de revoluciones
$\mathbf {T}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$ es el par generado expresado en N m (newton × metros)
${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ es la velocidad angular expresada en radianes por segundo a la que se refiere la potencia $pag.$ ${\ Displaystyle P}$ $pag.$ , Dónde está $\omega =2\pi f$ ${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ $\ omega = 2 \ pi f$ , con $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ frecuencia de rotación , medida en revoluciones por segundo

Se utiliza una galga extensométrica de puente completo para medir el par.

Nota

^ PAR Y POTENCIA , en spazioomotori.it . Consultado el 31 de enero de 2013 .
^ también llamado momento mecánico polar .
^ (ES) Libro de oro de la IUPAC, "momento de una fuerza"
^ Momento de una fuerza (torque) , en www.youmath.it . Consultado el 22 de mayo de 2020 .

Otros proyectos

Wikimedia Commons contiene imágenes u otros archivos sobre momentos mecánicos

enlaces externos

( EN ) Momento mecánico , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Control de autoridad	LCCN (EN) sh85136134 · GND (DE) 4012932-9

Portal de mecánica : acceda a las entradas de Wikipedia relacionadas con la mecánica.

[1] PAR Y POTENCIA , en spazioomotori.it . Consultado el 31 de enero de 2013 .

[2] también llamado momento mecánico polar .

[3] (ES) Libro de oro de la IUPAC, "momento de una fuerza"

[4] Momento de una fuerza (torque) , en www.youmath.it . Consultado el 22 de mayo de 2020 .

[1]

[2]

[3]

[4]