Movimiento circular

Representación bidimensional de un movimiento circular. Estamos representados con s la abscisa curvilínea, con R el radio del círculo y con v la rapidez instantánea del punto.

El movimiento circular es uno de los movimientos simples estudiados por la física y la cinemática , y consiste en un movimiento de un punto material a lo largo de una circunferencia .

El movimiento circular adquiere importancia debido al hecho de que la velocidad y la aceleración varían en función del cambio en la dirección del movimiento. Este cambio se puede medir fácilmente utilizando medidas angulares para las cuales las ecuaciones de movimiento, introducidas con movimiento rectilíneo , deben ser revisadas y reelaboradas con medidas angulares. La línea que pasa por el centro de la circunferencia y es perpendicular a ella se llama eje de rotación . Para simplificar el análisis de este tipo de movimiento, de hecho, consideramos que el observador se coloca en el eje de rotación. Esto es posible debido a la isotropía y homogeneidad del espacio .

Movimiento en coordenadas cartesianas, polares y polares dobles

La forma más conveniente de analizar el movimiento circular hace uso de coordenadas polares . De hecho, en el caso particular de movimiento que ocurre en una circunferencia de radio R , el movimiento en coordenadas polares está determinado por las coordenadas:

\rho (t)=R\quad {\mbox{e}}\quad \theta (t),

{\ Displaystyle \ rho (t) = R \ quad {\ mbox {e}} \ quad \ theta (t),}

\ rho (t) = R \ quad \ mbox {e} \ quad \ theta (t),

mientras que en coordenadas cartesianas tenemos:

{\begin{cases}x(t)=R\cdot \cos \theta (t)\\y(t)=R\cdot \operatorname {sen} \theta (t)\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cases} x (t) = R \ cdot \ cos \ theta (t) \\ y (t) = R \ cdot \ operatorname {sen} \ theta (t) \ end {cases}} }

{\ Displaystyle {\ begin {cases} x (t) = R \ cdot \ cos \ theta (t) \\ y (t) = R \ cdot \ operatorname {sen} \ theta (t) \ end {cases}} }

que satisfagan la siguiente identidad (en cualquier momento):

x^{2}+y^{2}=R^{2}

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2}}

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2}}

Representación tridimensional de un movimiento circular.

En el movimiento circular, se pueden definir dos tipos diferentes de velocidad: velocidad angular y velocidad tangencial .

Para describirlos, consideramos el vector de desplazamiento angular infinitesimal en el espacio tridimensional.

\mathrm {d} {\vec {\theta }}={\hat {\mathbf {z} }}\cdot \mathrm {d} \theta

{\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} = {\ hat {\ mathbf {z}}} \ cdot \ mathrm {d} \ theta}

{\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} = {\ hat {\ mathbf {z}}} \ cdot \ mathrm {d} \ theta}

Dónde está ${\hat {\mathbf {z} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ es un vector unitario dispuesto a lo largo del eje de rotación e $d\theta$ ${\ Displaystyle d \ theta}$ $d \ theta$ la variación infinitesimal de la variable angular $\theta$ ${\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ .

Déjalo ser ahora ${\vec {R}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {R}} (t)}$ $\ vec {R} (t)$ el vector de posición del punto P en cualquier instante $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ , luego el desplazamiento lineal $d{\vec {R}}(t)$ ${\ Displaystyle d {\ vec {R}} (t)}$ $d \ vec {R} (t)$ (es decir, la variación infinitesimal de ${\vec {R}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {R}} (t)}$ $\ vec {R} (t)$ ) del punto P en el arco de la circunferencia en el intervalo de tiempo (infinitesimal) $D t$ ${\ displaystyle dt}$ $dt$ estará relacionado con el desplazamiento angular $d{\vec {\theta }}$ ${\ Displaystyle d {\ vec {\ theta}}}$ $d \ vec {\ theta}$ del producto vectorial :

\mathrm {d} {\vec {R}}(t)=\mathrm {d} {\vec {\theta }}\times {\vec {R}}(t)

{\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {R}} (t) = \ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} \ times {\ vec {R}} (t)}

{\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {R}} (t) = \ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} \ times {\ vec {R}} (t)}

.

La dirección y la dirección son correctas para la regla de la mano derecha, como se ve en la figura al lado. El módulo viene dado por (recuerda que el ángulo es infinitesimal):

|\mathrm {d} {\vec {R}}(t)|=|\mathrm {d} {\vec {\theta }}|\cdot |{\vec {R}}(t)|\cdot \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {d} \theta \cdot R

{\ Displaystyle | \ mathrm {d} {\ vec {R}} (t) | = | \ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} | \ cdot | {\ vec {R}} (t) | \ cdot \ operatorname {sen} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) = \ mathrm {d} \ theta \ cdot R}

{\ Displaystyle | \ mathrm {d} {\ vec {R}} (t) | = | \ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} | \ cdot | {\ vec {R}} (t) | \ cdot \ operatorname {sen} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) = \ mathrm {d} \ theta \ cdot R}

que corresponde, por definición, a $d\theta$ ${\ Displaystyle d \ theta}$ $d \ theta$ expresado en radianes , al arco de circunferencia subtendido por el ángulo $d\theta$ ${\ Displaystyle d \ theta}$ $d \ theta$ .

La velocidad angular se define como la derivada, con respecto al tiempo, del vector de desplazamiento angular y se denota comúnmente con la letra griega $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ (omega):

{\vec {\omega }}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {\theta }}}{\mathrm {d} t}}={\hat {\mathbf {z} }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle {\ vec {\ omega}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ hat {\ mathbf { z}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle {\ vec {\ omega}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ hat {\ mathbf { z}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}

(recordando eso ${\hat {\mathbf {z} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ es constante) y es una medida de la tasa de cambio del ángulo formado por el vector de posición , se mide en radianes por segundo $\left[{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}\right]$ ${\ Displaystyle \ left [{\ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s}}} \ right]}$ $\ left [\ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s}} \ right]$ y tiene la misma dirección que el vector de desplazamiento angular.

La velocidad lineal (o tangencial) se obtiene derivando el vector de posición con respecto al tiempo. ${\vec {R}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {R}}}$ $\ vec R$ :

{\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {R}}(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {R}} (t)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {R}} (t)} {\ mathrm {d} t}}}

y está vinculado a la velocidad angular por la siguiente relación (para obtener más información, consulte también la derivada de un vector ):

{\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {\theta }}\times {\vec {R}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {\theta }}}{\mathrm {d} t}}\times {\vec {R}}(t)={\vec {\omega }}\times {\vec {R}}(t)\,.

{\ Displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} \ times {\ vec {R}} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} \ times {\ vec {R}} (t) = {\ vec {\ omega }} \ veces {\ vec {R}} (t) \,.}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} \ times {\ vec {R}} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} \ times {\ vec {R}} (t) = {\ vec {\ omega }} \ veces {\ vec {R}} (t) \,.}

Tenga en cuenta que la constancia de la velocidad angular implica la constancia del módulo de la velocidad.

Si realizamos el producto escalar de los dos vectores ${\vec {R}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {R}} (t)}$ $\ vec R (t)$ Y ${\vec {v}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {v}} (t)}$ $\ vec v (t)$ se obtiene cero para cada instante de tiempo t , y esto muestra que la velocidad tangencial es siempre ortogonal al radio del vector ${\vec {R}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {R}} (t)}$ $\ vec R (t)$ .

Además de estos, se puede introducir la velocidad areolar , definida como la derivada, con respecto al tiempo, del área barrida por el rayo vectorial. ${\vec {R}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {R}}}$ $\ vec {R}$ :

${\dot {\mathbf {A} }}={\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}\,{\vec {v}}\times {\vec {R}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {dA} {dt}} = {\ frac {1} {2}} \, {\ vec {v}} \ times {\ vec {R}}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {dA} {dt}} = {\ frac {1} {2}} \, {\ vec {v}} \ times {\ vec {R}}}$

se mide en metros cuadrados por segundo $\left[{\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} }}\right]$ ${\ Displaystyle \ left [{\ frac {\ mathrm {m} ^ {2}} {\ mathrm {s}}} \ right]}$ ${\ Displaystyle \ left [{\ frac {\ mathrm {m} ^ {2}} {\ mathrm {s}}} \ right]}$ y tiene la misma dirección y la misma dirección que la velocidad angular.

Aceleración

Esquema de aceleración

Derivando la expresión del vector de velocidad tangencial con respecto al tiempo, obtenemos la aceleración; que tiene una componente paralela a la velocidad (responsable de la variación de su módulo) y una componente normal (o radial): estas son respectivamente la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta :

{\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}(t)\right]={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\vec {R}}(t)+{\vec {\omega }}\times {\frac {\mathrm {d} {\vec {R}}(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle {\ vec {a}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left [{\ vec {\ omega}} \ times {\ vec { R}} (t) \ right] = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}} \ times {\ vec {R}} (t) + {\ vec {\ omega}} \ times {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {R}} (t)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle {\ vec {a}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left [{\ vec {\ omega}} \ times {\ vec { R}} (t) \ right] = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}} \ times {\ vec {R}} (t) + {\ vec {\ omega}} \ times {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {R}} (t)} {\ mathrm {d} t}}}

La primera fracción se llama aceleración angular generalmente denotada por ${\vec {\dot {\omega }}}_{(t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ dot {\ omega}}} _ {(t)}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ dot {\ omega}}} _ {(t)}}$ , ${\vec {\alpha }}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ alpha}}}$ $\ vec {\ alpha}$ o ${\vec {\varpi }}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ varpi}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ varpi}}}$ .

Se mide en radianes sobre segundos cuadrados. $\left[{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} ^{2}}}\right]$ ${\ Displaystyle \ left [{\ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s} ^ {2}}} \ right]}$ $\ left [\ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s} ^ {2}} \ right]$ , proporciona la variación de la velocidad angular y tiene la misma dirección que esta.

Al desarrollar la relación anterior conseguimos (dejando de lado las adicciones al tiempo):

{\vec {a}}(t)={\vec {\varpi }}\times {\vec {R}}+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {R}}\right)={\vec {\varpi }}\times {\vec {R}}-\omega ^{2}{\vec {R}}={\vec {a}}_{\tau }+{\vec {a}}_{n}

{\ Displaystyle {\ vec {a}} (t) = {\ vec {\ varpi}} \ times {\ vec {R}} + {\ vec {\ omega}} \ times \ left ({\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}} \ right) = {\ vec {\ varpi}} \ times {\ vec {R}} - \ omega ^ {2} {\ vec {R}} = {\ vec {a}} _ {\ tau} + {\ vec {a}} _ {n}}

{\ Displaystyle {\ vec {a}} (t) = {\ vec {\ varpi}} \ times {\ vec {R}} + {\ vec {\ omega}} \ times \ left ({\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}} \ right) = {\ vec {\ varpi}} \ times {\ vec {R}} - \ omega ^ {2} {\ vec {R}} = {\ vec {a}} _ {\ tau} + {\ vec {a}} _ {n}}

donde se puede ver claramente la componente tangencial que representa la variación del módulo de velocidad lineal y la componente normal o centrípeta que representa la variación de la dirección de la velocidad lineal, siempre dirigida hacia el centro de la circunferencia.

Por tanto, podemos concluir que la aceleración tiene una componente radial de módulo:

|{\vec {a_{n}}}|=\omega ^{2}R={v^{2} \over R}

{\ Displaystyle | {\ vec {a_ {n}}} | = \ omega ^ {2} R = {v ^ {2} \ over R}}

| \ vec {a_n} | = \ omega ^ 2 R = {v ^ 2 \ over R}

y una carretera de circunvalación modular:

|{\vec {a_{\tau }}}|=R\,{\ddot {\theta }}\,.

{\ Displaystyle | {\ vec {a _ {\ tau}}} | = R \, {\ ddot {\ theta}} \,.}

| \ vec {a_ \ tau} | = R \, \ ddot \ theta \,.

Puede resultar útil en este punto introducir la curvatura definida como $k={\frac {1}{R}}$ ${\ Displaystyle k = {\ frac {1} {R}}}$ ${\ Displaystyle k = {\ frac {1} {R}}}$ , medido en $m^{-1}$ ${\ displaystyle m ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle m ^ {- 1}}$ . Insertándolo en las fórmulas de aceleración tenemos:

|{\vec {a_{n}}}|=v^{2}k={\omega ^{2} \over k}\qquad

{\ Displaystyle | {\ vec {a_ {n}}} | = v ^ {2} k = {\ omega ^ {2} \ over k} \ qquad}

{\ Displaystyle | {\ vec {a_ {n}}} | = v ^ {2} k = {\ omega ^ {2} \ over k} \ qquad}

Y

\qquad |{\vec {a_{\tau }}}|={\frac {\ddot {\theta }}{k}}.

{\ Displaystyle \ qquad | {\ vec {a _ {\ tau}}} | = {\ frac {\ ddot {\ theta}} {k}}.}

{\ Displaystyle \ qquad | {\ vec {a _ {\ tau}}} | = {\ frac {\ ddot {\ theta}} {k}}.}

De esto se puede deducir que a medida que aumenta la curvatura y, en consecuencia, el radio disminuye, prevalece la componente normal de la aceleración, restringiendo la trayectoria. Viceversa, a medida que aumenta el radio, con la consiguiente reducción de la curvatura, prevalece la componente tangencial que conduce a un ensanchamiento de la trayectoria.

Por esta razón, el movimiento rectilíneo se puede leer como un movimiento circular con aceleración normal cero.

De manera similar, derivando la velocidad areolar, se obtiene la aceleración areolar , medida en metros cuadrados sobre segundos cuadrados. $\left[{\frac {m^{2}}{s^{2}}}\right]$ ${\ Displaystyle \ left [{\ frac {m ^ {2}} {s ^ {2}}} \ right]}$ ${\ Displaystyle \ left [{\ frac {m ^ {2}} {s ^ {2}}} \ right]}$ :

${\ddot {\mathbf {A} }}={\frac {\mathrm {d} {\dot {\mathbf {A} }}}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{\tau }\times {\vec {R}}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ dot {\ mathbf {A}}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac { 1} {2}} {\ vec {a}} _ {\ tau} \ times {\ vec {R}}}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ dot {\ mathbf {A}}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac { 1} {2}} {\ vec {a}} _ {\ tau} \ times {\ vec {R}}}$

Movimiento circular uniforme

Si el movimiento circular es uniforme, significa que el vector de velocidad angular es constante, es decir, hay una velocidad lineal constante en el módulo.

Integrando el ${\vec {\omega }}(t)\cdot dt=d{\vec {\theta }}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ omega}} (t) \ cdot dt = d {\ vec {\ theta}}}$ $\ vec {\ omega} (t) \ cdot dt = d \ vec {\ theta}$ entre los dos instantes, la inicial $t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , Y $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ correspondiente a un ángulo inicial $\theta _{0}$ ${\ Displaystyle \ theta _ {0}}$ $\ theta_0$ y otra esquina $\theta$ ${\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ :

\theta (t)=\theta _{0}+\omega t

{\ Displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {0} + \ omega t}

\ theta (t) = \ theta_0 + \ omega t

ser $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ la velocidad angular constante.

Se deduce (de las ecuaciones vistas en la sección anterior) que la velocidad tangencial tiene un módulo constante igual a:

v(t)={\mathrm {d} R(t) \over \mathrm {d} t}=R\omega

{\ Displaystyle v (t) = {\ mathrm {d} R (t) \ over \ mathrm {d} t} = R \ omega}

{\ Displaystyle v (t) = {\ mathrm {d} R (t) \ over \ mathrm {d} t} = R \ omega}

y dado que varía vectorialmente sólo en dirección, se sigue que $|{\vec {a_{\tau }}}|=0$ ${\ Displaystyle | {\ vec {a _ {\ tau}}} | = 0}$ ${\ Displaystyle | {\ vec {a _ {\ tau}}} | = 0}$ , por lo tanto, la aceleración tiene solo un componente radial, llamado aceleración centrípeta :

{\vec {a}}_{n}=-\omega ^{2}R\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=-{\frac {v^{2}}{R}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}

{\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {n} = - \ omega ^ {2} R \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} = - {\ frac {v ^ {2}} {R }} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}}}

{\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {n} = - \ omega ^ {2} R \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} = - {\ frac {v ^ {2}} {R }} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}}}

La velocidad areolar también es constante:

{\dot {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}R^{2}{\vec {\omega }}

{\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} {\ vec {\ omega}}}

{\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} {\ vec {\ omega}}}

Movimiento circular uniformemente acelerado

El movimiento circular uniformemente acelerado es el movimiento más general con aceleración constante en magnitud e inclinación con respecto a la velocidad. En particular, esto significa que la aceleración angular es constante. Integrando aceleración angular $\varpi \cdot dt=d\omega$ ${\ Displaystyle \ varpi \ cdot dt = d \ omega}$ ${\ Displaystyle \ varpi \ cdot dt = d \ omega}$ entre dos momentos de tiempo $t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ Y $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ correspondiente a las dos velocidades angulares inicial y final $\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ Y $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ :

$\int _{t_{0}}^{t}\varpi \cdot \mathrm {d} t=\int _{\omega _{0}}^{\omega }\mathrm {d} \omega _{(t)}\,\Rightarrow \,\omega _{(t)}=\omega _{0}+\varpi t$ ${\ Displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ varpi \ cdot \ mathrm {d} t = \ int _ {\ omega _ {0}} ^ {\ omega} \ mathrm {d} \ omega _ {(t)} \, \ Flecha derecha \, \ omega _ {(t)} = \ omega _ {0} + \ varpi t}$ ${\ Displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ varpi \ cdot \ mathrm {d} t = \ int _ {\ omega _ {0}} ^ {\ omega} \ mathrm {d} \ omega _ {(t)} \, \ Flecha derecha \, \ omega _ {(t)} = \ omega _ {0} + \ varpi t}$

Integrando la relación $d\theta =\omega \cdot dt$ ${\ Displaystyle d \ theta = \ omega \ cdot dt}$ $d \ theta = \ omega \ cdot dt$ entre dos instantes de tiempo inicial y final $t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ Y $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ y reemplazando un $\omega _{(t)}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {(t)}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {(t)}}$ el valor encontrado arriba, podemos derivar el desplazamiento angular $\theta (t)$ ${\ Displaystyle \ theta (t)}$ $\ theta (t)$ :

${\begin{aligned}\int _{\theta _{0}}^{\theta }\mathrm {d} \theta &=\int _{t_{0}}^{t}\omega _{(t)}\cdot \mathrm {d} t\\&=\int _{t_{0}}^{t}(\omega _{0}+\varpi \cdot t)\cdot \mathrm {d} t\\&=\int _{t_{0}}^{t}\omega _{0}\cdot \mathrm {d} t+\int _{t_{0}}^{t}\varpi \cdot t\cdot \mathrm {d} t\\&\Rightarrow \theta _{(t)}=\theta _{0}+\omega _{0}\cdot t+{\frac {1}{2}}\varpi \cdot t^{2}\end{aligned}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta} \ mathrm {d} \ theta & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ omega _ {(t)} \ cdot \ mathrm {d} t \\ & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} (\ omega _ {0} + \ varpi \ cdot t) \ cdot \ mathrm {d } t \\ & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ omega _ {0} \ cdot \ mathrm {d} t + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ varpi \ cdot t \ cdot \ mathrm {d} t \\ & \ Rightarrow \ theta _ {(t)} = \ theta _ {0} + \ omega _ {0} \ cdot t + {\ frac {1} {2} } \ varpi \ cdot t ^ {2} \ end {alineado}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta} \ mathrm {d} \ theta & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ omega _ {(t)} \ cdot \ mathrm {d} t \\ & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} (\ omega _ {0} + \ varpi \ cdot t) \ cdot \ mathrm {d } t \\ & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ omega _ {0} \ cdot \ mathrm {d} t + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ varpi \ cdot t \ cdot \ mathrm {d} t \\ & \ Rightarrow \ theta _ {(t)} = \ theta _ {0} + \ omega _ {0} \ cdot t + {\ frac {1} {2} } \ varpi \ cdot t ^ {2} \ end {alineado}}}$

La aceleración areolar también es constante:

${\ddot {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}R^{2}{\vec {\varpi }}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} {\ vec {\ varpi}}}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} {\ vec {\ varpi}}}$

Representación de los vectores de posición, velocidad y aceleración

Para una representación vectorial de las magnitudes cinemáticas relativas al movimiento circular, conviene introducir los versores tangente y normal a la trayectoria, que se definen de la siguiente manera (el versor normal apunta hacia adentro):

{\hat {\tau }}={\begin{pmatrix}-\operatorname {sen} \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {\ tau}} = {\ begin {pmatrix} - \ operatorname {sen} \ theta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ tau}} = {\ begin {pmatrix} - \ operatorname {sen} \ theta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}}}

{\hat {n}}={\begin{pmatrix}-\cos \theta \\-\operatorname {sen} \theta \end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ hat {n}} = {\ begin {pmatrix} - \ cos \ theta \\ - \ operatorname {sen} \ theta \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {n}} = {\ begin {pmatrix} - \ cos \ theta \\ - \ operatorname {sen} \ theta \ end {pmatrix}}}

Teniendo en cuenta las reglas de derivación , las derivadas de estos versores con respecto al tiempo están dadas por

{\frac {\operatorname {d} {\hat {\tau }}}{\operatorname {d} t}}={\begin{pmatrix}-\cos \theta \\-\operatorname {sen} \theta \end{pmatrix}}={\dot {\theta }}{\hat {n}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ hat {\ tau}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ begin {pmatrix} - \ cos \ theta \\ - \ operatorname {sen} \ theta \ end {pmatrix}} = {\ dot {\ theta}} {\ hat {n}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ hat {\ tau}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ begin {pmatrix} - \ cos \ theta \\ - \ operatorname {sen} \ theta \ end {pmatrix}} = {\ dot {\ theta}} {\ hat {n}}}

{\frac {\operatorname {d} {\hat {n}}}{\operatorname {d} t}}={\begin{pmatrix}\operatorname {sen} \theta \\-\cos \theta \end{pmatrix}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\tau }}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ hat {n}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ begin {pmatrix} \ operatorname {sen} \ theta \\ - \ cos \ theta \ end {pmatrix}} = - {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ tau}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ hat {n}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ begin {pmatrix} \ operatorname {sen} \ theta \\ - \ cos \ theta \ end {pmatrix}} = - {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ tau}}}

Entonces podemos expresar los vectores de posición, velocidad y aceleración usando los versores ${\hat {\tau }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ tau}}}$ $\ hat \ tau$ Y ${\hat {n}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ :

Ubicacion El vector de posición siempre está dirigido radialmente :

{\vec {r}}=-R{\hat {n}}

{\ Displaystyle {\ vec {r}} = - R {\ hat {n}}}

\ vec r = -R \ hat n

Velocidad . El vector de velocidad siempre está dirigido tangencialmente (la derivada de R con respecto al tiempo es cero)

{\vec {v}}={\frac {\operatorname {d} {\vec {r}}}{\operatorname {d} t}}=R{\dot {\theta }}{\hat {\tau }}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {\ operatorname {d} {\ vec {r}}} {\ operatorname {d} t}} = R {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ tau}}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {\ operatorname {d} {\ vec {r}}} {\ operatorname {d} t}} = R {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ tau}}}

Por tanto, la velocidad radial es cero.

\Rightarrow v_{\rho }={\dot {\rho }}=0

{\ Displaystyle \ Rightarrow v _ {\ rho} = {\ dot {\ rho}} = 0}

{\ Displaystyle \ Rightarrow v _ {\ rho} = {\ dot {\ rho}} = 0}

La velocidad tangencial es:

v_{\theta }=R{\dot {\theta }}

{\ Displaystyle v _ {\ theta} = R {\ dot {\ theta}}}

{\ Displaystyle v _ {\ theta} = R {\ dot {\ theta}}}

La velocidad angular es:

{\dot {\theta }}=\omega

{\ Displaystyle {\ dot {\ theta}} = \ omega}

\ dot \ theta = \ omega

La velocidad areolar es:

{\dot {A}}={\frac {1}{2}}R^{2}\omega

{\ Displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} \ omega}

{\ Displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} \ omega}

Aceleración . El vector de aceleración tiene una tangente y una componente normal:

{\vec {a}}={\frac {\operatorname {d} {\vec {v}}}{\operatorname {d} t}}=R\,{\ddot {\theta }}\,{\hat {\tau }}+R\,{\dot {\theta }}^{2}\,{\hat {n}}

{\ Displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {\ operatorname {d} {\ vec {v}}} {\ operatorname {d} t}} = R \, {\ ddot {\ theta}} \ , {\ hat {\ tau}} + R \, {\ dot {\ theta}} ^ {2} \, {\ hat {n}}}

\ vec a = \ frac {\ operatorname d \ vec v} {\ operatorname d t} = R \, \ ddot \ theta \, \ hat \ tau + R \, \ dot \ theta ^ 2 \, \ hat n

La aceleración radial, llamada aceleración centrípeta es:

a_{\rho }=R\,{\dot {\theta }}^{2}

{\ Displaystyle a _ {\ rho} = R \, {\ dot {\ theta}} ^ {2}}

a_ \ rho = R \, \ dot \ theta ^ 2

La aceleración transversal, llamada aceleración tangencial es:

a_{\theta }=R\,{\ddot {\theta }}

{\ Displaystyle a _ {\ theta} = R \, {\ ddot {\ theta}}}

a_ \ theta = R \, \ ddot \ theta

La aceleración angular es:

{\ddot {\theta }}=\varpi

{\ Displaystyle {\ ddot {\ theta}} = \ varpi}

{\ Displaystyle {\ ddot {\ theta}} = \ varpi}

La aceleración areolar o areal es:

{\ddot {A}}={\frac {1}{2}}R^{2}\varpi

{\ Displaystyle {\ ddot {A}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} \ varpi}

{\ Displaystyle {\ ddot {A}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} \ varpi}

En movimiento circular uniforme, la aceleración tangencial es cero.

Finalmente, las componentes del vector velocidad se pueden escribir en coordenadas cartesianas:

{\begin{cases}{\dot {x}}=-R{\dot {\theta }}\operatorname {sen} \theta =-{\dot {\theta }}y\\{\dot {y}}=R{\dot {\theta }}\cos \theta ={\dot {\theta }}x\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} = - R {\ dot {\ theta}} \ operatorname {sen} \ theta = - {\ dot {\ theta}} y \\ {\ dot {y}} = R {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta = {\ dot {\ theta}} x \ end {cases}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} = - R {\ dot {\ theta}} \ operatorname {sen} \ theta = - {\ dot {\ theta}} y \\ {\ dot {y}} = R {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta = {\ dot {\ theta}} x \ end {cases}}}

Introdujo el vector de velocidad angular , módulo ${\dot {\theta }}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ theta}}}$ ${\ dot \ theta}$ , con una dirección perpendicular al plano de movimiento y con una dirección como para ver el cuerpo girar en sentido antihorario,

{\vec {\omega }}={\begin{pmatrix}0\\0\\{\dot {\theta }}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ {\ dot {\ theta}} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ {\ dot {\ theta}} \ end {pmatrix}}}

el vector de velocidad se puede escribir simplemente como:

{\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {r}}}

\ vec v = \ vec \ omega \ times \ vec r

enlaces externos

( EN ) Movimiento circular , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Mecánica Portal : acceso a las entradas de Wikipedia que se ocupan de la mecánica