Movimiento de balanceo puro

Ejemplo de movimiento de rodadura puro de una rueda. El punto de contacto instantáneo O tiene velocidad cero.

En la física clásica, el movimiento de balanceo puro es aquel en el que un cuerpo rígido rueda sin gatear. La rotación tiene lugar alrededor del punto de contacto instantáneo que tiene velocidad cero. La rueda que ha tenido una importancia fundamental en el desarrollo de la sociedad moderna en condiciones normales de trabajo está bien descrita por este tipo de motocicleta. Normalmente la fuerza de fricción estática es la que garantiza la inmovilidad del punto de contacto, notamos que luego de un tiempo infinitesimal el punto de contacto se convierte en un punto infinitesimal cercano y así sucesivamente.

La fuerza de fricción estática no realiza ningún trabajo, sin embargo, debido a la deformación del punto de contacto, se produce una disipación de energía, este efecto se cuantifica por la fricción de rodadura . Pero en cualquier caso, esta forma de disipación de energía suele ser mucho menor de lo que sería si el punto de contacto se arrastrara. En consecuencia, se requiere mucha menos energía para mantener el movimiento de balanceo puro de la que se requiere para hacer que los objetos se arrastren.

La cicloide (en rojo) es la trayectoria de cualquier punto de la superficie de un cuerpo durante su puro movimiento de balanceo.

Para tener un movimiento de balanceo puro, el objeto debe ser axialmente simétrico, incluso si no es necesario. La sección del cuerpo rígido es generalmente un círculo, por lo que típicamente tenemos que hacerlo con cilindros o esferas.

Cualquier punto de la superficie durante el movimiento de balanceo puro tiene una cicloide como trayectoria.

Aplicaciones

La mayoría de los medios de transporte modernos utilizan ruedas y, por lo tanto, aprovechan el movimiento de rodadura puro para el desplazamiento. Debe evitarse derrapar, de lo contrario perderá el control del vehículo con graves consecuencias prácticas. Ocurre que resbala si la carretera está cubierta de nieve, arena o aceite o cuando se hace una curva a gran velocidad o cuando se hace una frenada brusca o una aceleración brusca: es decir, cuando la fuerza de fricción estática no logra anclar el punto de contacto. al suelo.

Una de las principales aplicaciones del movimiento rodante es el uso de rodamientos de bolas . Normalmente son esferas metálicas encapsuladas entre dos anillos que pueden girar de forma independiente entre ellos. En muchos mecanismos, el anillo interior es integral con el eje fijo. Por lo tanto, el anillo interior está fijo y el exterior puede moverse libremente con poca fricción . Casi todos los motores (como los de ventiladores, taladros o herramientas eléctricas en general) tienen rodamientos de bolas. La fricción depende de la calidad de los rodamientos de bolas y de su lubricación.

En las sociedades primitivas se utilizaban plataformas planas apoyadas sobre cilindros de madera para transportar objetos pesados lo que permitía, con el continuo reposicionamiento de los troncos en la parte delantera, en esta era posible realizar transportes lineales a grandes distancias. Evidentemente, en la sociedad moderna se utilizan sistemas más simples y eficientes.

Dinámica

Indicamos con ${\vec {R}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {R}}}$ $\ vec R$ el vector que se origina en el centro de masa del cuerpo rígido C y el otro extremo en el punto instantáneo de contacto O con el plano de apoyo. La velocidad angular ${\vec {\omega }}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ es un vector normal al plano que contiene la sección del círculo, que se origina en el centro de masa. En el movimiento de cuerpos rígidos siempre es posible describir el movimiento de cualquier punto como la combinación del movimiento de traslación del centro de masa y la rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa. En particular, por lo tanto, la velocidad del punto de contacto se describe mediante la relación:

{\vec {v}}_{O}={\vec {v}}_{C}+{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {O} = {\ vec {v}} _ {C} + {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {O} = {\ vec {v}} _ {C} + {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}}}

Al imponer que esta velocidad es cero, tenemos que:

{\vec {v}}_{C}=-{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {C} = - {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {C} = - {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}}}

Entonces, si el cuerpo se mueve hacia la derecha, como en la figura, la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. En el módulo entonces

v_{C}=\omega R

{\ Displaystyle v_ {C} = \ omega R}

{\ Displaystyle v_ {C} = \ omega R}

es decir, en el movimiento de balanceo puro existe una relación muy precisa entre la velocidad del centro de masa y la velocidad angular (que no depende de la elección del polo). Por lo tanto, si la velocidad del centro de masa cambia con el tiempo, es decir, el movimiento se acelera, la velocidad angular debe hacer lo mismo, por lo tanto también:

|a_{C}|=|\alpha |\ R

{\ Displaystyle | a_ {C} | = | \ alpha | \ R}

{\ Displaystyle | a_ {C} | = | \ alpha | \ R}

habiendo indicado con $a_{C}$ ${\ Displaystyle a_ {C}}$ ${\ Displaystyle a_ {C}}$ la aceleración del centro de masa y con $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ la aceleración angular.

Poder

Dijo $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ la velocidad angular instantánea el movimiento en el punto de contacto es solo un movimiento de rotación y si el momento de inercia del cuerpo alrededor del punto de contacto es $I_{o}$ ${\ Displaystyle I_ {o}}$ ${\ Displaystyle I_ {o}}$ la energía cinética es rotacional:

E_{K}={\frac {1}{2}}I_{o}\omega ^{2}

{\ Displaystyle E_ {K} = {\ frac {1} {2}} I_ {o} \ omega ^ {2}}

{\ Displaystyle E_ {K} = {\ frac {1} {2}} I_ {o} \ omega ^ {2}}

Si el cuerpo rígido es axialmente simétrico, con masa $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ y distancia entre el punto de contacto y el centro de masa igual a $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ , para el teorema de Huygens-Steiner la relación que une $I_{o}$ ${\ Displaystyle I_ {o}}$ ${\ Displaystyle I_ {o}}$ y el momento paralelo de inercia que pasa por el centro de masa $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ Y:

I_{o}=I+MR^{2}

{\ Displaystyle I_ {o} = I + MR ^ {2}}

{\ Displaystyle I_ {o} = I + MR ^ {2}}

Entonces también puedo escribir:

E_{K}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\omega ^{2}R^{2}

{\ Displaystyle E_ {K} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} M \ omega ^ {2} R ^ {2}}

{\ Displaystyle E_ {K} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} M \ omega ^ {2} R ^ {2}}

Pero en puro movimiento rodante tenemos eso $\omega ^{2}R^{2}=v_{C}^{2}$ ${\ Displaystyle \ omega ^ {2} R ^ {2} = v_ {C} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ omega ^ {2} R ^ {2} = v_ {C} ^ {2}}$ , asi que

E_{K}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}=E_{KR}+E_{KT}

{\ Displaystyle E_ {K} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} Mv_ {C} ^ {2} = E_ {KR} + E_ {KT}}

{\ Displaystyle E_ {K} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} Mv_ {C} ^ {2} = E_ {KR} + E_ {KT}}

Es decir, el movimiento de rodadura puro es la combinación de un movimiento de rotación y traslación del centro de masa con una energía cinética de rotación. $E_{KR}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$ ${\ Displaystyle E_ {KR} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}}$ ${\ Displaystyle E_ {KR} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}}$ y uno traslacional $E_{KT}={\frac {1}{2}}Mv_{C}^{2}$ ${\ Displaystyle E_ {KT} = {\ frac {1} {2}} Mv_ {C} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle E_ {KT} = {\ frac {1} {2}} Mv_ {C} ^ {2}}$ .

Algunos casos especiales

Movimiento de balanceo puro con solo fuerza aplicada al centro de masa

Rueda sujeta a la acción de una fuerza F aplicada al centro de masa.

Imaginemos que tenemos un cuerpo rígido con una sección circular de radio $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ y misa $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ como se muestra en la figura en el que una fuerza motriz actúa sobre el centro de masa paralelo al plano de apoyo horizontal (este es el caso de las ruedas no motrices de un automóvil). La figura destaca las diversas fuerzas que actúan sobre el cuerpo: el $F.$ ${\ Displaystyle F}$ $F.$ paralelo al plano aplicado en el centro de masa; $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ la fuerza de fricción estática; fuerza de peso $METRO. gramo$ ${\ Displaystyle Mg}$ ${\ Displaystyle Mg}$ , la reacción de unión $No.$ ${\ Displaystyle N}$ $No.$ . La reacción de restricción equilibra exactamente la fuerza del peso (si la superficie fuera un plano inclinado, las ecuaciones serían diferentes):

N=Mg

{\ Displaystyle N = Mg}

{\ Displaystyle N = Mg}

Mientras que para la dirección horizontal, la ecuación horaria ( primera ecuación cardinal ) es:

F-f=Ma_{C}\rightarrow a_{C}={\frac {F-f}{M}}

{\ Displaystyle Ff = Ma_ {C} \ rightarrow a_ {C} = {\ frac {Ff} {M}}}

{\ Displaystyle F-f = Ma_ {C} \ rightarrow a_ {C} = {\ frac {F-f} {M}}}

En cuanto al momento angular ( segunda ecuación cardinal ), definir con $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ el momento de inercia con respecto al eje de rotación del cuerpo y el centro de masa elegido como polo:

Rf=I\alpha \rightarrow \alpha R={\frac {R^{2}f}{I}}

{\ Displaystyle Rf = I \ alpha \ rightarrow \ alpha R = {\ frac {R ^ {2} f} {I}}}

{\ Displaystyle Rf = I \ alpha \ rightarrow \ alpha R = {\ frac {R ^ {2} f} {I}}}

Al equiparar las dos expresiones, es decir, al imponer que el movimiento es puro rodar:

{\frac {F-f}{M}}={\frac {R^{2}f}{I}}

{\ Displaystyle {\ frac {Ff} {M}} = {\ frac {R ^ {2} f} {I}}}

{\ Displaystyle {\ frac {F-f} {M}} = {\ frac {R ^ {2} f} {I}}}

Lo único desconocido se convierte en la fuerza de fricción. $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ eso vale:

f={\frac {F}{1+MR^{2}/I}}\

{\ Displaystyle f = {\ frac {F} {1 + MR ^ {2} / I}} \}

{\ Displaystyle f = {\ frac {F} {1 + MR ^ {2} / I}} \}

Por lo tanto, la fuerza de fricción en módulo es siempre menor que el valor de la fuerza motriz. Pero en cualquier caso, también debe aplicarse la condición de que:

f\leq \mu _{s}N=\mu _{s}Mg\

{\ Displaystyle f \ leq \ mu _ {s} N = \ mu _ {s} Mg \}

{\ Displaystyle f \ leq \ mu _ {s} N = \ mu _ {s} Mg \}

Esto requiere que para garantizar un movimiento de balanceo puro, la fuerza que se aplicará al centro de masa debe ser menor que un cierto valor máximo:

F_{max}\leq \mu _{s}Mg(1+MR^{2}/I)\

{\ Displaystyle F_ {max} \ leq \ mu _ {s} Mg (1 + MR ^ {2} / I) \}

{\ Displaystyle F_ {max} \ leq \ mu _ {s} Mg (1 + MR ^ {2} / I) \}

Tenga en cuenta que si una fuerza mayor que $F_{max}$ ${\ Displaystyle F_ {max}}$ ${\ Displaystyle F_ {max}}$ , el punto de contacto se arrastraría, ya que la fuerza de fricción estática ya no sería suficiente para bloquearlo en la superficie de apoyo, por lo que el movimiento no sería un rodar puro como:

|{\vec {v}}_{C}|>|{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}|

{\ Displaystyle | {\ vec {v}} _ {C} |> | {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}} |}

{\ Displaystyle | {\ vec {v}} _ {C} |> | {\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}} |}

A medida que aumenta la fuerza aplicada, el movimiento de traslación prevalecerá sobre el movimiento giratorio.

La función de la fricción estática es fundamental en el movimiento de rodadura puro, ya que provoca un momento de una fuerza (fR) que hace que el cuerpo gire, y por lo tanto el cuerpo se traslada (debido a la fuerza aplicada F) y al mismo tiempo gira debido a la 'fricción. Si no hubiera fricción, el cuerpo simplemente se trasladaría. Tenga en cuenta que si la sección del cuerpo giratorio no es perfectamente circular, el movimiento en esos puntos de contacto se volvería principalmente de traslación y la fuerza de fricción también realizaría una acción de frenado; el ejemplo más claro es el caso de las ruedas de automóvil planas sin tracción.

Si la fuerza hubiera estado frenando, por lo tanto con una dirección opuesta a la dirección del movimiento, también la fuerza de fricción habría tenido la dirección opuesta, matemáticamente todas las ecuaciones habrían permanecido igual, $F_{max}$ ${\ Displaystyle F_ {max}}$ ${\ Displaystyle F_ {max}}$ sería la fuerza de frenado máxima aplicable.

Movimiento de balanceo puro con solo momento aplicado al eje

Rueda de masa m (en el texto M) sujeta a un momento

\tau \

{\ Displaystyle \ tau \}

\ tau \

aplicado al eje de rotación.

Imaginemos que tenemos una rueda sobre la que se aplica un momento motor. $\tau \$ ${\ Displaystyle \ tau \}$ $\ tau \$ . Este es el caso de las ruedas motrices de un automóvil. Las fuerzas y el momento se muestran en la figura. Imaginemos que el movimiento tiene lugar en un plano horizontal. Tenga en cuenta que la dirección de la fuerza de fricción es opuesta al caso anterior.

La reacción de restricción equilibra la fuerza del peso exactamente como en el caso anterior. Pero en cuanto al componente horizontal tenemos:

f=Ma_{C}\rightarrow a_{C}={\frac {f}{M}}\

{\ Displaystyle f = Ma_ {C} \ rightarrow a_ {C} = {\ frac {f} {M}} \}

{\ Displaystyle f = Ma_ {C} \ rightarrow a_ {C} = {\ frac {f} {M}} \}

En cuanto al momento angular, teniendo en cuenta que si el momento hace que el cuerpo gire en el sentido de las agujas del reloj, la fuerza de fricción ejerce un momento en sentido contrario:

\tau -Rf=I\alpha \rightarrow \alpha R={\frac {\tau R-R^{2}f}{I}}

{\ Displaystyle \ tau -Rf = I \ alpha \ rightarrow \ alpha R = {\ frac {\ tau RR ^ {2} f} {I}}}

{\ Displaystyle \ tau -Rf = I \ alpha \ rightarrow \ alpha R = {\ frac {\ tau R-R ^ {2} f} {I}}}

Al equiparar las dos expresiones (una condición necesaria para tener un movimiento de balanceo puro):

{\frac {f}{M}}={\frac {\tau R-R^{2}f}{I}}

{\ Displaystyle {\ frac {f} {M}} = {\ frac {\ tau RR ^ {2} f} {I}}}

{\ Displaystyle {\ frac {f} {M}} = {\ frac {\ tau R-R ^ {2} f} {I}}}

De donde deducimos que $F$ ${\ Displaystyle f}$ $F$ es válida:

f={\frac {\tau }{R(1+I/MR^{2})}}\

{\ Displaystyle f = {\ frac {\ tau} {R (1 + I / MR ^ {2})}} \}

{\ Displaystyle f = {\ frac {\ tau} {R (1 + I / MR ^ {2})}} \}

la fuerza de fricción es la fuerza impulsora que causa el movimiento de traslación, pero también en este caso existe la condición de que:

f\leq \mu _{s}N=\mu _{s}Mg\

{\ Displaystyle f \ leq \ mu _ {s} N = \ mu _ {s} Mg \}

{\ Displaystyle f \ leq \ mu _ {s} N = \ mu _ {s} Mg \}

y por lo tanto:

\tau _{max}\leq \mu _{s}MgR(1+I/MR^{2})\

{\ Displaystyle \ tau _ {max} \ leq \ mu _ {s} MgR (1 + I / MR ^ {2}) \}

{\ Displaystyle \ tau _ {max} \ leq \ mu _ {s} MgR (1 + I / MR ^ {2}) \}

Si el momento aplicado es mayor que $\tau _{max}$ ${\ Displaystyle \ tau _ {max}}$ ${\ Displaystyle \ tau _ {max}}$ El movimiento rotatorio prevalece sobre el movimiento de traslación. Este es el caso de las ruedas motrices de un automóvil cuando se les aplica un momento mayor que la tracción permitida y las ruedas patinan. La fuerza de fricción es la fuerza que causa el movimiento de traslación, la razón por la que los neumáticos de los automóviles están hechos de caucho es por tener una alta fricción estática con la superficie de la carretera.

Observamos que si hubiera habido un momento de frenado, la fuerza de fricción habría tenido la dirección opuesta y, por lo tanto, tendría el efecto de ralentizar el movimiento. Pero la expresión del momento máximo aplicable habría sido la misma.

Movimiento de balanceo puro con un momento y una fuerza aplicados

Rueda de masa m (en el texto M) que se eleva sobre un plano inclinado empujada por un momento

\tau \

{\ Displaystyle \ tau \}

\ tau \

actuando sobre su eje.

Imaginemos que el movimiento tiene lugar en un plano inclinado cuesta arriba con inclinación $\theta$ ${\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , un momento motor actúa sobre el cuerpo $\tau \$ ${\ Displaystyle \ tau \}$ $\ tau \$ . La fuerza del peso tiene una componente tangencial al plano $Mg\sin \theta \$ ${\ Displaystyle Mg \ sin \ theta \}$ ${\ Displaystyle Mg \ sin \ theta \}$ y uno normal $Mg\cos \theta \$ ${\ Displaystyle Mg \ cos \ theta \}$ ${\ Displaystyle Mg \ cos \ theta \}$ . La reacción de restricción equilibra exactamente el componente de fuerza de peso perpendicular al plano:

N=Mg\cos \theta \

{\ Displaystyle N = Mg \ cos \ theta \}

{\ Displaystyle N = Mg \ cos \ theta \}

Mientras que la ley del movimiento en la dirección del plano de apoyo es:

Ma_{C}=f-Mg\sin \theta \rightarrow a_{C}={\frac {f}{M}}-g\sin \theta \

{\ Displaystyle Ma_ {C} = f-Mg \ sin \ theta \ rightarrow a_ {C} = {\ frac {f} {M}} - g \ sin \ theta \}

{\ Displaystyle Ma_ {C} = f-Mg \ sin \ theta \ rightarrow a_ {C} = {\ frac {f} {M}} - g \ sin \ theta \}

Respecto al momento angular teniendo en cuenta que, si el momento hace que el cuerpo gire en el sentido de las agujas del reloj, la fuerza de fricción ejerce un momento en sentido contrario:

\tau -Rf=I\alpha \rightarrow \alpha R={\frac {\tau R-R^{2}f}{I}}\

{\ Displaystyle \ tau -Rf = I \ alpha \ rightarrow \ alpha R = {\ frac {\ tau RR ^ {2} f} {I}} \}

{\ Displaystyle \ tau -Rf = I \ alpha \ rightarrow \ alpha R = {\ frac {\ tau R-R ^ {2} f} {I}} \}

De la condición de que el movimiento sea puro rodar se sigue que:

f={\frac {\tau /(R)+Ig\sin \theta /(R^{2})}{1+I/(MR^{2})}}\

{\ Displaystyle f = {\ frac {\ tau / (R) + Ig \ sin \ theta / (R ^ {2})} {1 + I / (MR ^ {2})}} \}

{\ Displaystyle f = {\ frac {\ tau / (R) + Ig \ sin \ theta / (R ^ {2})} {1 + I / (MR ^ {2})}} \}

Al imponer la condición de que:

f\leq \mu _{s}N=\mu _{s}Mg\cos \theta \

{\ Displaystyle f \ leq \ mu _ {s} N = \ mu _ {s} Mg \ cos \ theta \}

{\ Displaystyle f \ leq \ mu _ {s} N = \ mu _ {s} Mg \ cos \ theta \}

Para tener un movimiento de balanceo puro:

\tau _{max}\leq \mu _{s}MgR\cos \theta (1+I/MR^{2})-{\frac {Ig}{R}}\sin \theta \

{\ Displaystyle \ tau _ {max} \ leq \ mu _ {s} MgR \ cos \ theta (1 + I / MR ^ {2}) - {\ frac {Ig} {R}} \ sin \ theta \}

{\ Displaystyle \ tau _ {max} \ leq \ mu _ {s} MgR \ cos \ theta (1 + I / MR ^ {2}) - {\ frac {Ig} {R}} \ sin \ theta \}

También hay una inclinación máxima del plano inclinado por encima de la cual no es posible ningún movimiento de balanceo puro (cuando es cero $\tau _{max}$ ${\ Displaystyle \ tau _ {max}}$ ${\ Displaystyle \ tau _ {max}}$ ) es decir, si tenemos eso $\theta \geq arctg\left[\mu _{s}\left(MR^{2}/I+1\right)\right]\$ ${\ Displaystyle \ theta \ geq arctg \ left [\ mu _ {s} \ left (MR ^ {2} / I + 1 \ right) \ right] \}$ ${\ Displaystyle \ theta \ geq arctg \ left [\ mu _ {s} \ left (MR ^ {2} / I + 1 \ right) \ right] \}$ .

Cuesta abajo $\theta <0\$ ${\ Displaystyle \ theta <0 \}$ ${\ Displaystyle \ theta <0 \}$ El movimiento de balanceo puro es posible incluso en ausencia de fricción para un momento de motor adecuado. Si cuesta abajo $\tau /(MR)<-Ig\sin \theta /(R^{2})\$ ${\ Displaystyle \ tau / (MR) <- Ig \ sin \ theta / (R ^ {2}) \}$ ${\ Displaystyle \ tau / (MR) <- Ig \ sin \ theta / (R ^ {2}) \}$ la fuerza de fricción cambia de signo con respecto a lo indicado en la figura.

Bola de billar

Imaginemos que tenemos una enorme bola de billar. $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ , radio $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$ , momento de inercia $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ con respecto al centro golpeado por un impulso $J$ ${\ Displaystyle J}$ $J$ paralelo a la superficie de apoyo exactamente a la altura central. La variación en el impulso de la bola es igual al impulso recibido:

J=Mv_{0}\

{\ Displaystyle J = Mv_ {0} \}

{\ Displaystyle J = Mv_ {0} \}

Mientras que la velocidad angular inicial es cero. Si el coeficiente de fricción dinámica es par $\mu \$ ${\ Displaystyle \ mu \}$ ${\ Displaystyle \ mu \}$ . Usando la primera ecuación cardinal :

M{\frac {dv_{C}}{dt}}=-\mu Mg\

{\ Displaystyle M {\ frac {dv_ {C}} {dt}} = - \ mu Mg \}

{\ Displaystyle M {\ frac {dv_ {C}} {dt}} = - \ mu Mg \}

Entonces, inicialmente el movimiento es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado cuya ecuación horaria es:

v_{C}(t)=v_{0}-\mu Mgt={\frac {J}{M}}-\mu Mgt\

{\ Displaystyle v_ {C} (t) = v_ {0} - \ mu Mgt = {\ frac {J} {M}} - \ mu Mgt \}

{\ Displaystyle v_ {C} (t) = v_ {0} - \ mu Mgt = {\ frac {J} {M}} - \ mu Mgt \}

La fuerza de fricción que se aplica sobre el punto de contacto ejerce un momento y luego se usa la segunda ecuación cardinal :

I{\frac {d\omega }{dt}}=\mu MgR\

{\ Displaystyle I {\ frac {d \ omega} {dt}} = \ mu MgR \}

{\ Displaystyle I {\ frac {d \ omega} {dt}} = \ mu MgR \}

Entonces, inicialmente, la velocidad angular aumenta linealmente:

\omega (t)=\mu {\frac {MgR}{I}}t\

{\ Displaystyle \ omega (t) = \ mu {\ frac {MgR} {I}} t \}

{\ Displaystyle \ omega (t) = \ mu {\ frac {MgR} {I}} t \}

Cuando ocurre que:

\omega (t_{x})R=v_{c}(t_{x})\

{\ Displaystyle \ omega (t_ {x}) R = v_ {c} (t_ {x}) \}

{\ Displaystyle \ omega (t_ {x}) R = v_ {c} (t_ {x}) \}

Eso es cuando:

\mu {\frac {MgR^{2}}{I}}t_{x}={\frac {J}{M}}-\mu Mgt_{x}\

{\ Displaystyle \ mu {\ frac {MgR ^ {2}} {I}} t_ {x} = {\ frac {J} {M}} - \ mu Mgt_ {x} \}

{\ Displaystyle \ mu {\ frac {MgR ^ {2}} {I}} t_ {x} = {\ frac {J} {M}} - \ mu Mgt_ {x} \}

t_{x}={\frac {J}{M\mu g(1+MR^{2}/I)}}\

{\ Displaystyle t_ {x} = {\ frac {J} {M \ mu g (1 + MR ^ {2} / I)}} \}

{\ Displaystyle t_ {x} = {\ frac {J} {M \ mu g (1 + MR ^ {2} / I)}} \}

El movimiento se convierte en puro rodar y la velocidad del centro de masa y la velocidad angular ya no varían. En realidad, existe la fricción de rodadura que se ha descuidado en el razonamiento que ejerce una acción de frenado débil.

Bibliografía

P. Mazzoldi, N. Nigro y C. Voci, Physics Volume 1 , 2nd ed., Nápoles, EdiSes Wiley, 2003, ISBN 88-7959-137-1 .

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