Movimiento recto

En física , el movimiento rectilíneo es un tipo de movimiento en el que el cuerpo (aproximado por un punto material ) solo puede moverse a lo largo de una línea recta : un ejemplo intuitivo es el de un automóvil que viaja por una carretera recta, es decir, un movimiento cuya dirección coincide constantemente con la línea sobre la que se mueve el cuerpo. Hay dos tipos de movimiento rectilíneo: movimiento rectilíneo uniforme y movimiento rectilíneo uniformemente variado (o acelerado).

Generalidad

En general el conjunto de posiciones ${\vec {s}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {s}}}$ ${\ vec s}$ que el cuerpo puede asumir en el espacio ( tridimensional euclidiana ) si se mueve en movimiento rectilíneo viene dado, vectorialmente, por:

{\vec {s}}={\vec {c}}+\alpha {\hat {k}}\qquad \alpha \in \mathbb {R}

{\ Displaystyle {\ vec {s}} = {\ vec {c}} + \ alpha {\ hat {k}} \ qquad \ alpha \ in \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle {\ vec {s}} = {\ vec {c}} + \ alpha {\ hat {k}} \ qquad \ alpha \ in \ mathbb {R}}

Dónde está ${\hat {k}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {k}}}$ ${\ hat {k}}$ es el vector unitario que identifica la dirección en la que se mueve el cuerpo. En la práctica, esta relación rara vez se utiliza porque con un simple cambio de sistema de referencia (una traslación y una rotación de los ejes) es posible hacer ${\hat {k}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {k}}}$ ${\ hat {k}}$ con uno de los nuevos ejes (por ejemplo, el eje x ): por tanto, la posición del cuerpo se identificará unívocamente por la coordenada relativa a este eje, es decir, por un número. Al hacerlo, la ley horaria es una función escalar , como sigue, haciendo que el vector unitario coincida ${\hat {k}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {k}}}$ ${\ hat {k}}$ con el versor ${\hat {\imath }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ imath}}}$ ${\ hat {\ imath}}$ del eje x :

{\vec {s}}=x{\hat {\imath }}

{\ Displaystyle {\ vec {s}} = x {\ hat {\ imath}}}

{\ vec s} = x {\ hat {\ imath}}

con:

x=x(t)

{\ Displaystyle x = x (t)}

x = x (t)

( ley horaria )

Toda la caracterización del movimiento está contenida en estas últimas fórmulas: conociendo el número x ( t ) en cada instante sé dónde está el cuerpo, cuya posición viene dada por el vector ${\vec {s}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {s}}}$ ${\ vec s}$ .

Los sub-casos más importantes de movimiento rectilíneo son el movimiento rectilíneo uniforme y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado .

Movimiento rectilíneo uniforme

Un cuerpo se mueve con un movimiento rectilíneo uniforme si su velocidad es constante en magnitud , dirección y dirección . Tradicionalmente, también se dice que el cuerpo se mueve con un movimiento rectilíneo uniforme si al recorrer una trayectoria rectilínea "cubre espacios iguales en tiempos iguales".

Están:

${\vec {s}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {s}}}$ ${\ vec s}$ posición del cuerpo,
${\vec {v}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ vec v}$ su velocidad,
$t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ el clima.

Indicando con $\Delta$ ${\ Displaystyle \ Delta}$ $\Delta$ cualquier variación, el vector de velocidad es constante e igual a: ^[1]

{\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {s}}}{\Delta t}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {\ Delta {\ vec {s}}} {\ Delta t}}}

{\ vec v} = {\ frac {\ Delta {\ vec s}} {\ Delta t}}

O equivalente:

\Delta {\vec {s}}={\vec {v}}\cdot \Delta t

{\ Displaystyle \ Delta {\ vec {s}} = {\ vec {v}} \ cdot \ Delta t}

\ Delta {\ vec s} = {\ vec v} \ cdot \ Delta t

En SI , la velocidad se mide en $[m] \over [s]$ ${\ Displaystyle [m] \ over [s]}$ ${\ Displaystyle [m] \ over [s]}$ , es decir metros por segundo .

Expresión en términos diferenciales

Considerando los intervalos infinitesimales de variación (es decir, en términos diferenciales), obtenemos:

\mathrm {d} {\vec {s}}={\vec {v}}\cdot \mathrm {d} t

{\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {s}} = {\ vec {v}} \ cdot \ mathrm {d} t}

{\ mathrm {d}} {\ vec s} = {\ vec v} \ cdot {\ mathrm {d}} t

Integrando un primer y segundo miembro:

\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} {\vec {s}}=\int _{t_{0}}^{t}{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} t

{\ Displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ mathrm {d} {\ vec {s}} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {\ vec {v}} \ cdot \ mathrm {d} t}

\ int _ {{t_ {0}}} ^ {t} {\ mathrm {d}} {\ vec s} = \ int _ {{t_ {0}}} ^ {t} {\ vec v} \ cdot {\ mathrm {d}} t

por tanto: ^[2]

{\vec {s}}(t)={\vec {s}}(t_{0})+{\vec {v}}\cdot (t-t_{0})

{\ Displaystyle {\ vec {s}} (t) = {\ vec {s}} (t_ {0}) + {\ vec {v}} \ cdot (t-t_ {0})}

{\ vec s} (t) = {\ vec s} (t_ {0}) + {\ vec v} \ cdot (t-t_ {0})

Dónde está:

$t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ es el instante inicial;
$s(t_{0})$ ${\ Displaystyle s (t_ {0})}$ $s (t_ {0})$ es la posición con respecto a un punto de referencia en el instante inicial $t_{0}$ ${\ Displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ ;
$t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ es el instante en el que se observa el fenómeno.

Esta última relación se conoce como la ley horaria del movimiento rectilíneo uniforme ; de hecho, hace explícita la posición del cuerpo en todo momento.

Representación geométrica

Si la velocidad es constante en el tiempo, entonces el diagrama de velocidad / tiempo cartesiano será una línea horizontal.
La posición , por otro lado, de la definición que desciende de la ley del tiempo, es una función lineal del tiempo. El diagrama cartesiano de posición / tiempo es entonces una línea recta que corta las ordenadas en $s_{o}$ ${\ Displaystyle s_ {o}}$ $asi que}$ y tener un coeficiente angular igual a la velocidad.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

La ley del movimiento horario en el t vs. x tiene la representación gráfica de una función de segundo grado, la velocidad tiene la representación gráfica de una línea recta que pasa por el origen mientras que la aceleración es una línea recta paralela al eje del tiempo ya que es constante.

En cinemática , el movimiento uniformemente acelerado es el movimiento de un punto sujeto a una aceleración constante en magnitud , dirección y dirección. Como resultado, la variación de velocidad del punto es directamente proporcional al tiempo en el que ocurre.

Por tanto, tenemos: ^[1]

{\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}=costante

{\ Displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {\ Delta {\ vec {v}}} {\ Delta t}} = constante}

{\ vec a} = {\ frac {\ Delta {\ vec v}} {\ Delta t}} = constante

Dónde está ${\vec {v}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {v}}}$ $\ vec v$ es la velocidad, ${\vec {a}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {a}}}$ $\ vec a$ aceleración, $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ el clima es $\Delta$ ${\ Displaystyle \ Delta}$ $\Delta$ las variaciones finitas de tiempo y velocidad.

Expresión en términos diferenciales

Si el intervalo de tiempo se considera infinitesimal, la relación se convierte en:

{\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=costante

{\ Displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} = constante}

{\ vec a} = {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec v}} {{\ mathrm {d}} t}} = constante

Integrando entre dos instantes de tiempo genéricos:

\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} {\vec {v}}=\int _{t_{0}}^{t}{\vec {a}}\,\mathrm {d} t

{\ Displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ mathrm {d} {\ vec {v}} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {\ vec {a}} \ , \ mathrm {d} t}

\ int _ {{t_ {0}}} ^ {t} {\ mathrm {d}} {\ vec v} = \ int _ {{t_ {0}}} ^ {{t}} {\ vec a} \, {\ mathrm {d}} t

donde siempre puedes elegir $t_{0}=0$ ${\ Displaystyle t_ {0} = 0}$ $t_ {0} = 0$ y donde ${\vec {v}}(t_{0}=0)={\vec {v}}_{0}$ ${\ Displaystyle {\ vec {v}} (t_ {0} = 0) = {\ vec {v}} _ {0}}$ ${\ vec v} (t_ {0} = 0) = {\ vec v} _ {0}$

Dado que la aceleración es constante, obtenemos: ^[3]

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t

{\ Displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ vec {v}} _ {0} + {\ vec {a}} t}

{\ vec v} (t) = {\ vec v} _ {0} + {\ vec a} t

Dónde está:

${\vec {v}}(0)={\vec {v}}_{0}$ ${\ Displaystyle {\ vec {v}} (0) = {\ vec {v}} _ {0}}$ ${\ vec v} (0) = {\ vec v} _ {0}$ es la velocidad inicial
${\vec {v}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {v}} (t)}$ $\ vec v (t)$ es la velocidad en el tiempo t .

Ser:

{\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {s}}(t)}{dt}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {d {\ vec {s}} (t)} {dt}}}

{\ vec v} (t) = {\ frac {d {\ vec s} (t)} {dt}}

Reemplazando la relación recién encontrada en la última relación obtenida e integrando:

\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} {\vec {s}}(t)=\int _{t_{0}}^{t}({\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}\cdot t)\mathrm {d} t

{\ Displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ mathrm {d} {\ vec {s}} (t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} ({\ vec { v}} _ {0} + {\ vec {a}} \ cdot t) \ mathrm {d} t}

\ int _ {{t_ {0}}} ^ {t} {\ mathrm {d}} {\ vec s} (t) = \ int _ {{t_ {0}}} ^ {{t}} ({ \ vec v} _ {0} + {\ vec a} \ cdot t) {\ mathrm {d}} t

Por lo tanto: ^[3]

{\vec {s}}(t)={\vec {s}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}t^{2}

{\ Displaystyle {\ vec {s}} (t) = {\ vec {s}} _ {0} + {\ vec {v}} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} { \ old {a}} t ^ {2}}

{\ vec s} (t) = {\ vec s} _ {0} + {\ vec v} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} {\ vec a} t ^ {2}

Dónde está:

${\vec {s}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {s}} (t)}$ ${\ vec s} (t)$ es la posición en el tiempo t ;
${\vec {s}}(t_{0})={\vec {s}}_{0}$ ${\ Displaystyle {\ vec {s}} (t_ {0}) = {\ vec {s}} _ {0}}$ ${\ vec s} (t_ {0}) = {\ vec s} _ {0}$ es la posición inicial ( t = 0);
${\vec {v}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {0}}$ ${\ vec v} _ {0}$ la velocidad inicial.

Observación

La notación vectorial es lo más general posible: el movimiento puede de hecho tener lugar en un plano o en el espacio y el uso de vectores no requiere en sí mismo especificar un sistema de referencia. Con una elección adecuada del sistema de referencia, siempre podemos volver al movimiento del punto en un plano y también al movimiento unidimensional cuando la velocidad y la aceleración iniciales tienen la misma dirección. En el último caso, la notación vectorial es superflua y las ecuaciones características del movimiento se pueden escribir asumiendo que el movimiento tiene lugar en el eje x (rectilíneo), por lo tanto:

a_{x}={\frac {dv_{x}}{dt}}=a=cost

{\ Displaystyle a_ {x} = {\ frac {dv_ {x}} {dt}} = a = costo}

a_ {x} = {\ frac {dv_ {x}} {dt}} = a = costo

v_{x}(t)=v_{x_{0}}+at

{\ Displaystyle v_ {x} (t) = v_ {x_ {0}} + at}

v_ {x} (t) = v _ {{x _ {{0}}}} + en

x(t)=x_{0}+v_{x_{0}}t+{\frac {1}{2}}at^{2}

{\ Displaystyle x (t) = x_ {0} + v_ {x_ {0}} t + {\ frac {1} {2}} en ^ {2}}

x (t) = x_ {0} + v _ {{x _ {{0}}}} t + {\ frac {1} {2}} en ^ {2}

también a partir de la fórmula

v=v_{0}+at

{\ Displaystyle v = v_ {0} + at}

v = v_ {0} + en

y haciendo explícito el tiempo

t={\frac {v-v_{0}}{a}}

{\ Displaystyle t = {\ frac {v-v_ {0}} {a}}}

t = {\ frac {v-v_ {0}} {a}}

recordando eso

x=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}

{\ Displaystyle x = x_ {0} + v_ {0} t + {\ frac {1} {2}} en ^ {2}}

x = x _ {{0}} + v _ {{0}} t + {\ frac {1} {2}} en ^ {{2}}

y reemplazando con el término $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ acabo de encontrar que obtenemos

x=x_{0}+v_{0}{\frac {v-v_{0}}{a}}+{\frac {1}{2}}a{\frac {\left(v-v_{0}\right)^{2}}{a^{2}}}

{\ Displaystyle x = x_ {0} + v_ {0} {\ frac {v-v_ {0}} {a}} + {\ frac {1} {2}} a {\ frac {\ left (v- v_ {0} \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}}}

x = x _ {{0}} + v _ {{0}} {\ frac {v-v_ {0}} {a}} + {\ frac {1} {2}} a {\ frac {\ left (v -v_ {0} \ right) ^ {{2}}} {a ^ {{2}}}}

multiplicar por $2a$ ${\ Displaystyle 2a}$ $2a$ y explicando el polinomio $\left(v-v_{0}\right)^{2}$ ${\ Displaystyle \ left (v-v_ {0} \ right) ^ {2}}$ $\ left (v-v_ {0} \ right) ^ {{2}}$ usted obtiene

2ax-2ax_{0}=2v_{0}v-2v_{0}^{2}+v^{2}-2v_{0}v+v_{0}^{2}

{\ displaystyle 2ax-2ax_ {0} = 2v_ {0} v-2v_ {0} ^ {2} + v ^ {2} -2v_ {0} v + v_ {0} ^ {2}}

2ax-2ax _ {{0}} = 2v _ {{0}} v-2v _ {{0}} ^ {{2}} + v ^ {{2}} - 2v _ {{0}} v + v _ {{0}} ^ {{2}}

simplificando, finalmente se obtiene la relación

v^{2}-v_{0}^{2}=2a(x-x_{0})

{\ Displaystyle v ^ {2} -v_ {0} ^ {2} = 2a (x-x_ {0})}

v ^ {{2}} - v _ {{0}} ^ {{2}} = 2a (x-x _ {{0}})

Observación

Si se conoce la ley horaria (genérica) $x(t)$ ${\ Displaystyle x (t)}$ $x (t)$ de un punto material a lo largo de una trayectoria rectilínea, la siguiente aproximación de naturaleza analítica se puede hacer en una vecindad de $t_{j}$ ${\ Displaystyle t_ {j}}$ ${\ Displaystyle t_ {j}}$ asignado: $x(t)=x(t_{j})+{dx \over dt}(t-t_{j})+{1 \over 2}{dx^{2} \over dt^{2}}(t-t_{j})^{2}+o(t-t_{j})^{2}$ ${\ Displaystyle x (t) = x (t_ {j}) + {dx \ over dt} (t-t_ {j}) + {1 \ over 2} {dx ^ {2} \ over dt ^ {2} } (t-t_ {j}) ^ {2} + o (t-t_ {j}) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle x (t) = x (t_ {j}) + {dx \ over dt} (t-t_ {j}) + {1 \ over 2} {dx ^ {2} \ over dt ^ {2} } (t-t_ {j}) ^ {2} + o (t-t_ {j}) ^ {2}}$ .

Usando la serie de Taylor , detenida en el segundo orden, se puede determinar la velocidad ${dx \over dt}$ ${\ Displaystyle {dx \ over dt}}$ ${\ Displaystyle {dx \ over dt}}$ y aceleración ${dx^{2} \over dt^{2}}$ ${\ displaystyle {dx ^ {2} \ over dt ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {dx ^ {2} \ over dt ^ {2}}}$ del punto material instantáneamente $t_{j}$ ${\ Displaystyle t_ {j}}$ ${\ Displaystyle t_ {j}}$ y por instantes de tiempo pertenecientes a un barrio circular $({\displaystyle t_{j}}-\operatorname {d} \!t,{\displaystyle t_{j}}+\operatorname {d} \!t)$ ${\ displaystyle ({\ displaystyle t_ {j}} - \ operatorname {d} \! t, {\ displaystyle t_ {j}} + \ operatorname {d} \! t)}$ ${\ displaystyle ({\ displaystyle t_ {j}} - \ operatorname {d} \! t, {\ displaystyle t_ {j}} + \ operatorname {d} \! t)}$ de $t_{j}$ ${\ Displaystyle t_ {j}}$ ${\ Displaystyle t_ {j}}$ muy pequeño, tal que $\operatorname {d} \!t\rightarrow 0$ ${\ Displaystyle \ operatorname {d} \! t \ rightarrow 0}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {d} \! t \ rightarrow 0}$ , aproximadamente.

La aproximación tiene un carácter completamente general, ya que se pueden pensar en movimientos sobre trayectorias rectilíneas con velocidad y aceleración que varían en el tiempo: en los casos más simples, en los que la aceleración es constante durante toda la duración del movimiento, el término ${dx^{2} \over dt^{2}}=a$ ${\ displaystyle {dx ^ {2} \ over dt ^ {2}} = a}$ ${\ displaystyle {dx ^ {2} \ over dt ^ {2}} = a}$ es una constante ( movimiento rectilíneo uniformemente acelerado ), mientras que ${dx \over dt}$ ${\ displaystyle {dx \ over dt}}$ ${\ displaystyle {dx \ over dt}}$ define la velocidad instantánea en $t_{j}$ ${\ Displaystyle t_ {j}}$ ${\ Displaystyle t_ {j}}$ : Dado que ${\displaystyle t_{j}}={\displaystyle t_{o}}=0$ ${\ Displaystyle {\ Displaystyle t_ {j}} = {\ Displaystyle t_ {o}} = 0}$ ${\ Displaystyle {\ Displaystyle t_ {j}} = {\ Displaystyle t_ {o}} = 0}$ , asi que $x(t)=x(t_{o})+v_{o}t+{1 \over 2}{a}(t)^{2}$ ${\ Displaystyle x (t) = x (t_ {o}) + v_ {o} t + {1 \ over 2} {a} (t) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle x (t) = x (t_ {o}) + v_ {o} t + {1 \ over 2} {a} (t) ^ {2}}$ .

Representación geométrica

El gráfico de velocidad / tiempo es una línea recta que, si la velocidad inicial es cero, pasa por el origen de los ejes cartesianos;
el gráfico de posición / tiempo es una rama de una parábola;
el gráfico de aceleración / tiempo es una línea recta paralela al eje de abscisas.

Movimiento uniformemente acelerado en relatividad especial

El mismo tema en detalle: relatividad restringida .

Incluso en la relatividad especial es posible considerar movimientos rectilíneos. El movimiento es rectilíneo uniforme si la velocidad de cuatro (y por lo tanto sus componentes espaciales) es constante.

Es muy instructivo considerar el movimiento de una partícula con aceleración constante (en un marco de referencia dado), como sucede con una buena aproximación a partículas cargadas en aceleradores lineales . Podemos orientar el eje x a lo largo de la dirección del movimiento: la ley del movimiento viene dada por ^[4] ^[5] :

{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}\left({\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)={\frac {a}{c}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mbox {d}} {{\ mbox {d}} t}} \ left ({\ frac {\ beta} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \ derecha) = {\ frac {a} {c}}}

{\ frac {{\ mbox {d}}} {{\ mbox {d}} t}} \ left ({\ frac {\ beta} {{\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}} \ right) = {\ frac {a} {c}}

Dónde está $\beta ={\frac {v}{c}}$ ${\ Displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}}$ $\ beta = {\ frac {v} {c}}$ yc es la velocidad de la luz en el vacío. Poniéndonos en el caso en el que la partícula está inicialmente estacionaria en el origen del sistema de referencia, obtenemos integrando por primera vez:

v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+a^{2}t^{2}/c^{2}}}}

{\ Displaystyle v (t) = {\ frac {at} {\ sqrt {1 + a ^ {2} t ^ {2} / c ^ {2}}}}}

v (t) = {\ frac {at} {{\ sqrt {1 + a ^ {2} t ^ {2} / c ^ {2}}}}}

Observamos que la velocidad es siempre menor que la velocidad de la luz c , como era de esperar: de hecho, una de las consecuencias fundamentales de la relatividad especial es que ningún cuerpo puede alcanzar la velocidad de la luz excepto en un tiempo infinito. Integrando una segunda vez:

x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+{\frac {a^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}-1\right)

{\ Displaystyle x (t) = {\ frac {c ^ {2}} {a}} \ left ({\ sqrt {1 + {\ frac {a ^ {2} t ^ {2}} {c ^ { 2}}}}} - 1 \ right)}

x (t) = {\ frac {c ^ {2}} {a}} \ left ({\ sqrt {1 + {\ frac {a ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}} }}} - 1 \ derecha)

La ley horaria también se puede escribir como:

\left(x+{\frac {c^{2}}{a}}\right)^{2}-c^{2}t^{2}={\frac {c^{4}}{a^{2}}}

{\ Displaystyle \ left (x + {\ frac {c ^ {2}} {a}} \ right) ^ {2} -c ^ {2} t ^ {2} = {\ frac {c ^ {4} } {a ^ {2}}}}

\ left (x + {\ frac {c ^ {2}} {a}} \ right) ^ {2} -c ^ {2} t ^ {2} = {\ frac {c ^ {4}} {a ^ {2}}}

que es una hipérbola en el plano xt : la asíntota se obtiene "brutalmente" para t grande a partir de la ley horaria y está dada por

x(t)=ct+{\text{cost}}

{\ Displaystyle x (t) = ct + {\ text {cost}}}

x (t) = ct + {\ text {costo}}

es decir, el cuerpo tiende a moverse en un movimiento rectilíneo uniforme a la velocidad de la luz. Como ya se mencionó, en realidad el cuerpo nunca alcanzará la velocidad de la luz, sino que se acercará arbitrariamente a ella con el tiempo. Otra consideración interesante se refiere al límite de baja velocidad, que viene dado por:

x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+{\frac {a^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}-1\right)\approx {\frac {c^{2}}{a}}\left({\frac {a^{2}t^{2}}{2c^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}at^{2}

{\ Displaystyle x (t) = {\ frac {c ^ {2}} {a}} \ left ({\ sqrt {1 + {\ frac {a ^ {2} t ^ {2}} {c ^ { 2}}}}} - 1 \ right) \ approx {\ frac {c ^ {2}} {a}} \ left ({\ frac {a ^ {2} t ^ {2}} {2c ^ {2 }}} \ right) = {\ frac {1} {2}} en ^ {2}}

x (t) = {\ frac {c ^ {2}} {a}} \ left ({\ sqrt {1 + {\ frac {a ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}} }}} - 1 \ right) \ approx {\ frac {c ^ {2}} {a}} \ left ({\ frac {a ^ {2} t ^ {2}} {2c ^ {2}}} \ right) = {\ frac {1} {2}} en ^ {2}

es decir, para velocidades que no son demasiado altas ( $at=v\ll c$ ${\ Displaystyle en = v \ ll c}$ $en = v \ ll c$ ) la aceleración es prácticamente igual a la newtoniana.

Notas históricas

Aunque hoy se sabe que un objeto no sometido a fuerzas se mueve en un movimiento rectilíneo uniforme, en el pasado se creía que el movimiento de un objeto que se dejaba libre para moverse se describía mediante un movimiento desacelerado ( teoría aristotélica ). De hecho, esto es lo que sugiere la experiencia cotidiana. Pero primero Galileo Galilei y luego Newton descubrieron que las cosas eran diferentes. Los principios de la dinámica fueron descubiertos por Galileo Galilei y demostrados en el tratado Dos nuevas ciencias de 1638 (días 1 y 2) y posteriormente por Newton en la Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de 1687. En la física moderna se afirmó que toda aceleración (y por tanto desaceleración) se debe a una fuerza ejercida sobre el cuerpo, estábamos convencidos de que el movimiento "natural" de un cuerpo es el movimiento rectilíneo uniforme y que la desaceleración observada en las experiencias cotidianas se debe en cambio a la fuerza de fricción a la que cada objeto es sujeto si el movimiento ocurre en contacto con otra materia.

Con la introducción de la teoría de la relatividad general , en la primera mitad del siglo XX , se entendió que las trayectorias "naturales" seguidas por un cuerpo no sometido a fuerzas externas no siempre son líneas rectas, sino en realidad geodésicas del espacio. tiempo desde este punto de vista, la fuerza de la gravedad no es más que una fuerza aparente debida a la curvatura del espacio-tiempo. Un cuerpo no sometido a fuerzas se mueve a lo largo de una línea recta solo en pequeñas distancias, de modo que el campo gravitacional puede considerarse prácticamente constante y la curvatura del espacio-tiempo cero. ^[6]

Nota

^ ^a ^b Nicola Santoro, Cinemática en breve
^ Mazzoldi , pág. 9 .
↑ ^a ^b Mazzoldi , pág. 12 .
^ Goldstein, op cit., Pág. 301-302.
^ Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar del Lagrangiano $L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}-m_{0}ax$ ${\ Displaystyle L = -m_ {0} c ^ {2} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} - m_ {0} ax}$ $L = -m_ {0} c ^ {2} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} - m_ {0} ax$ o directamente de la versión relativista de ${\frac {{\mbox{d}}p}{{\mbox{d}}t}}=F$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ mbox {d}} p} {{\ mbox {d}} t}} = F}$ ${\ frac {{\ mbox {d}} p} {{\ mbox {d}} t}} = F$ con $F=m_{0}a$ ${\ Displaystyle F = m_ {0} a}$ $F = m_ {0} a$ Y $m_{0}$ ${\ Displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ resto masa de la partícula.
^ Einstein, op.cit., P. 157.

Bibliografía

Paul A. Tipler, Invitación a la física 1 , 1ª ed., Zanichelli, 1990, ISBN 88-08-07568-0 .
C. Mencuccini y V. Silvestrini, Física I (Mecánica y termodinámica) , 3ª ed., Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-1493-0 .
Herbert Goldstein, Mecánica clásica , Zanichelli, 2005, ISBN 88-08-23400-2 .
Albert Einstein , Cómo veo el mundo. La teoría de la relatividad , 12a ed., Bolonia, Newton Compton Editore, junio de 2005, ISBN 88-7983-205-0 .
Galileo Galilei, Discursos y demostraciones matemáticas en torno a DOS CIENCIAS NUEVAS relacionadas con la mecánica y los movimientos locales (página 664, edición crítica editada por Tarek Ghrieb, anotada y comentada), Ediciones Cierre, Simeoni Arti Grafiche, Verona, 2011, ISBN 9788895351049 .
Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Física , vol. 1, 2ª ed., Edises, 2000, ISBN 88-7959-137-1 .

enlaces externos

Movimientos rectilíneos , en dida.fauser.edu .

Mecánica Portal : acceso a las entradas de Wikipedia que se ocupan de la mecánica

[NSant-1] Nicola Santoro, Cinemática en breve

[2] Mazzoldi , pág. 9 .

[Maz12-3] Mazzoldi , pág. 12 .

[4] Goldstein, op cit., Pág. 301-302.

[5] Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar del Lagrangiano $L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}-m_{0}ax$ ${\ Displaystyle L = -m_ {0} c ^ {2} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} - m_ {0} ax}$ $L = -m_ {0} c ^ {2} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} - m_ {0} ax$ o directamente de la versión relativista de ${\frac {{\mbox{d}}p}{{\mbox{d}}t}}=F$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ mbox {d}} p} {{\ mbox {d}} t}} = F}$ ${\ frac {{\ mbox {d}} p} {{\ mbox {d}} t}} = F$ con $F=m_{0}a$ ${\ Displaystyle F = m_ {0} a}$ $F = m_ {0} a$ Y $m_{0}$ ${\ Displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ resto masa de la partícula.

[6] Einstein, op.cit., P. 157.

[1]

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[3]

[4]

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[6]