Número complejo

Un número complejo se define como un número de la forma $x+iy$ ${\ Displaystyle x + iy}$ ${\ Displaystyle x + iy}$ , con $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ Y $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ números reales e $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ una solución de la ecuación $x^{2}=-1$ ${\ Displaystyle x ^ {2} = - 1}$ $x ^ 2 = -1$ llamada unidad imaginaria . Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas , en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica ), así como en la ingeniería (especialmente en electrónica , telecomunicaciones e ingeniería eléctrica ) por su utilidad en la representación de ondas electromagnéticas y corrientes eléctricas en el tiempo. . sinusoidal .

En matemáticas, los números complejos forman un campo (así como un álgebra bidimensional real ) y generalmente se visualizan como puntos en un plano , llamado plano complejo . La propiedad más importante de los números complejos se basa en el teorema fundamental del álgebra , según el cual cualquier ecuación polinomial de grado $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ tiene $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ soluciones complejas, no necesariamente distintas.

Introducción informal

La unidad imaginaria

A lo largo de los siglos, los conjuntos de números se han expandido gradualmente, presumiblemente para responder a la necesidad de resolver ecuaciones y problemas siempre nuevos. ^[1]

Los números complejos son una extensión de los números reales , inicialmente creados para permitirle encontrar todas las soluciones de ecuaciones polinómicas . Por ejemplo, la ecuación

x^{2}=-1

{\ Displaystyle x ^ {2} = - 1}

x ^ 2 = -1

no tiene soluciones en el conjunto de números reales, porque en este conjunto no hay números cuyo cuadrado sea negativo.

Entonces se define el valor $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ , llamada unidad imaginaria , que tiene la siguiente propiedad:

i^{2}=-1.

{\ Displaystyle i ^ {2} = - 1.}

{\ Displaystyle i ^ {2} = - 1.}

Los números complejos constan de dos partes, una parte real y una parte imaginaria , y están representados por la siguiente expresión:

a+ib,

{\ Displaystyle a + ib,}

{\ Displaystyle a + ib,}

Dónde está $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ son números reales, $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ es la unidad imaginaria.

Las leyes de la suma algebraica y del producto en números complejos se aplican haciendo los cálculos matemáticos de la manera habitual y sabiendo que $i^{2}=-1$ ${\ Displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $yo ^ 2 = -1$ .

Como los números reales corresponden a los puntos de una línea recta , los números complejos corresponden a los puntos del plano , llamado plano complejo (o de Argand-Gauss ): al número complejo $a+ib$ ${\ Displaystyle a + ib}$ $a + ib$ el punto de coordenadas cartesianas está asociado $(a,b)$ ${\ Displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ .

Ecuaciones con coeficientes reales con soluciones no reales

Usando la relación $i^{2}=-1$ ${\ Displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $yo ^ 2 = -1$ todas las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver

ax^{2}+bx+c=0,

{\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0,}

{\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0,}

con $a,b,c\in \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {R}}$ $a, b, c \ en \ R$ , incluidos aquellos que no tienen soluciones reales porque tienen un discriminante negativo:

\Delta =b^{2}-4ac<0.

{\ Displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac <0.}

\ Delta = b ^ 2-4ac <0.

Las soluciones están determinadas por la fórmula de solución de la ecuación

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}

{\ Displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} { 2a}}}

x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {\ Delta}} {2a}

que en el caso de que el discriminante sea negativo, se produce de la siguiente manera:

{\sqrt {-\Delta }}={\sqrt {(-1)(\Delta )}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {\Delta }}=i{\sqrt {\Delta }}.

{\ Displaystyle {\ sqrt {- \ Delta}} = {\ sqrt {(-1) (\ Delta)}} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {\ Delta}} = i {\ sqrt { \ Delta}}.}

\ sqrt {- \ Delta} = \ sqrt {(- 1) (\ Delta)} = \ sqrt {-1} \ sqrt {\ Delta} = i \ sqrt {\ Delta}.

P.ej:

x^{2}+4x+8=0\Rightarrow x={\frac {-4\pm {\sqrt {16-32}}}{2}}={\frac {-4\pm {\sqrt {-16}}}{2}}={\frac {-4\pm i{\sqrt {16}}}{2}}=-2\pm 2i.

{\ displaystyle x ^ {2} + 4x + 8 = 0 \ Rightarrow x = {\ frac {-4 \ pm {\ sqrt {16-32}}} {2}} = {\ frac {-4 \ pm { \ sqrt {-16}}} {2}} = {\ frac {-4 \ pm i {\ sqrt {16}}} {2}} = - 2 \ pm 2i.}

{\ displaystyle x ^ {2} + 4x + 8 = 0 \ Rightarrow x = {\ frac {-4 \ pm {\ sqrt {16-32}}} {2}} = {\ frac {-4 \ pm { \ sqrt {-16}}} {2}} = {\ frac {-4 \ pm i {\ sqrt {16}}} {2}} = - 2 \ pm 2i.}

De manera más general, es cierto que si un número complejo es la solución de una ecuación con coeficientes reales, entonces su conjugado complejo también es la solución de la misma ecuación. Entonces, en el caso de una ecuación de grado impar, siempre habrá al menos un número real entre las soluciones.

Fondo

El mismo tema en detalle: Historia de los números complejos .

Los números complejos han tenido una génesis duradera. Comenzaron a usarse formalmente en el siglo XVI en las fórmulas para resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado de Tartaglia . Los primeros que consiguieron atribuir soluciones a las ecuaciones cúbicas fueron Scipione del Ferro , Bombelli y también Niccolò Tartaglia , este último, tras mucha insistencia, pasó los resultados a Girolamo Cardano con la promesa de no revelarlos. Cardano, luego de verificar la veracidad de las soluciones de Tartaglia, no respetó su promesa y publicó los resultados, citando al autor, sin embargo, en su nota Ars Magna de 1545. Tartaglia tuvo muchos amigos entre los inquisidores y luego Cardano tuvo problemas relacionados con la justicia. de la época, muchos de ellos provenientes de acusaciones de herejía. Actualmente la aparición de raíces de números negativos se atribuye principalmente a Tartaglia mientras que en las pocas páginas dedicadas a Cardano no hay rastro de su probable contribución importante a esta representación numérica.

Inicialmente, los números complejos no se consideraban "números", sino solo como dispositivos algebraicos útiles para resolver ecuaciones. De hecho, eran números "que no deberían existir": Descartes en el siglo XVII los llamó "números imaginarios". Abraham de Moivre y Euler en el siglo XVIII comenzaron a proporcionar números complejos con una base teórica, hasta que adquirieron plena ciudadanía en el mundo matemático con las obras de Gauss . Al mismo tiempo, se estableció la interpretación de números complejos como puntos del plano.

Terminología

En matemáticas, muchos objetos y teoremas dependen de la elección de un conjunto numérico básico: a menudo, la elección es entre números reales y complejos. El adjetivo "complejo" se utiliza aquí para especificar este conjunto básico. Por ejemplo, se definen matrices complejas, polinomios complejos , espacios vectoriales complejos y álgebra de Lie compleja . También están el teorema complejo de Sylvester y el teorema espectral complejo .

Definición moderna

Formalmente, un número complejo se puede definir como un par ordenado de números reales. $(a,b)$ ${\ Displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . Por lo tanto, definimos la suma y el producto de dos números complejos de la siguiente manera:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),

{\ Displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),}

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad).

{\ Displaystyle (a, b) (c, d) = (ac-bd, bc + ad).}

(a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Con estas dos operaciones, el conjunto de números complejos resulta ser un campo , que se indica con $\mathbb {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ .

El numero complejo $(a,0)$ ${\ Displaystyle (a, 0)}$ ${\ Displaystyle (a, 0)}$ se identifica con el número real $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ , mientras que el numero $(0,1)$ ${\ Displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ se llama unidad imaginaria y se describe con la letra $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ . El elemento 1 es el elemento neutro para la multiplicación, mientras que se verifica que:

i^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1.

{\ Displaystyle i ^ {2} = (0,1) (0,1) = (- 1,0) = - 1.}

i ^ 2 = (0,1) (0,1) = (-1,0) = -1.

Cualquier número complejo $z=(a,b)$ ${\ Displaystyle z = (a, b)}$ $z = (a, b)$ se escribe fácilmente como una combinación lineal de la siguiente manera:

z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+(b,0)(0,1)=a+b(0,1)=a+bi.

{\ Displaystyle z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (b, 0) (0,1) = a + b (0,1) = a + bi.}

z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (b, 0) (0,1) = a + b (0,1) = a + bi.

Los números $para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ son la parte real y la parte imaginaria de, respectivamente $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ . Estarepresentación de números complejos facilita la realización de las operaciones de suma y producto. P.ej:

(2+4i)(1-i)=2(1-i)+4i(1-i)=2-2i+4i-4i^{2}=2+2i-4(-1)=6+2i.

{\ Displaystyle (2 + 4i) (1-i) = 2 (1-i) + 4i (1-i) = 2-2i + 4i-4i ^ {2} = 2 + 2i-4 (-1) = 6 + 2i.}

{\ Displaystyle (2 + 4i) (1-i) = 2 (1-i) + 4i (1-i) = 2-2i + 4i-4i ^ {2} = 2 + 2i-4 (-1) = 6 + 2i.}

Definiciones alternativas

Utilizando las herramientas de la teoría de campos , el campo de los números complejos se puede definir como el cierre algebraico del campo de los números reales.

Utilizando las herramientas de la teoría de anillos , también se puede introducir como el anillo cociente del anillo de polinomios reales con una variable a través del ideal generado por el polinomio. $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ $x ^ 2 + 1$ :

\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1).

{\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1).}

{\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1).}

Este es en realidad un campo de por qué $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ $x ^ 2 + 1$ es irreductible . La raíz del polinomio $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ $x ^ 2 + 1$ es la unidad imaginaria $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ , por lo que el anillo del cociente es isomorfo a $\mathbb {R} [i]=\mathbb {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [i] = \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {R} [i] = \ mathbb {C}$ .

Geometría

El mismo tema en detalle: Representación de números complejos y plano complejo .

Un número complejo puede verse como un punto en el plano cartesiano , llamado en este caso el plano gaussiano . Esta representación se llama diagrama de Argand-Gauss . En la figura vemos que

z=x+iy=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ),

{\ Displaystyle z = x + iy = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi),}

{\ Displaystyle z = x + iy = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi),}

ser $\cos \varphi$ ${\ Displaystyle \ cos \ varphi}$ $\ cos \ varphi$ Y $\sin \varphi$ ${\ Displaystyle \ sin \ varphi}$ $\ sin \ varphi$ funciones trigonométricas .

Las fórmulas inversas son:

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

{\ Displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

{\ Displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

\varphi =\arctan {\frac {y}{x}},

{\ Displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {y} {x}},}

{\ Displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {y} {x}},}

por

x>0,

{\ Displaystyle x> 0,}

{\ Displaystyle x> 0,}

\varphi =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi ,

{\ Displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {y} {x}} + \ pi,}

{\ Displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {y} {x}} + \ pi,}

por

x<0.

{\ Displaystyle x <0.}

{\ Displaystyle x <0.}

Usando la fórmula de Euler , podemos expresar $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ igual que

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },

{\ Displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) = re ^ {i \ varphi},}

{\ Displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) = re ^ {i \ varphi},}

a través de la función exponencial . Aquí $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ es el módulo (o valor absoluto o norma ) e $\varphi$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ (llamada anomalía ) es el argumento de $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ . El argumento está determinado por $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ si está previsto en el intervalo $[0,2\pi )$ ${\ Displaystyle [0,2 \ pi)}$ $[0.2 \ pi)$ , de lo contrario se define solo hasta sumas con $2k\pi$ ${\ Displaystyle 2k \ pi}$ $2k \ pi$ por un poco $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ .

Operaciones con números complejos

Módulo y distancia

|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

{\ Displaystyle | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

{\ Displaystyle | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

El valor absoluto (módulo) tiene las siguientes propiedades:

|z+w|\leq |z|+|w|,

{\ Displaystyle | z + w | \ leq | z | + | w |,}

{\ Displaystyle | z + w | \ leq | z | + | w |,}

|zw|=|z||w|,

{\ Displaystyle | zw | = | z || w |,}

{\ Displaystyle | zw | = | z || w |,}

\left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}},

{\ Displaystyle \ left | {\ frac {z} {w}} \ right | = {\ frac {| z |} {| w |}},}

{\ Displaystyle \ left | {\ frac {z} {w}} \ right | = {\ frac {| z |} {| w |}},}

uno mismo

w\neq 0,

{\ Displaystyle w \ neq 0,}

{\ Displaystyle w \ neq 0,}

válido para todos los números complejos $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ Y $w$ ${\ Displaystyle w}$ $w$ .

La primera propiedad es una versión de la desigualdad triangular .

La distancia entre dos puntos del plano complejo viene dada simplemente por

d(z,w)=|z-w|.

{\ Displaystyle d (z, w) = | zw |.}

{\ Displaystyle d (z, w) = | z-w |.}

Casado

El mismo tema en detalle: Complejo conjugado .

El complejo conjugado del número complejo. $z=a+ib$ ${\ Displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ Se define como

{\bar {z}}=a-ib.

{\ Displaystyle {\ bar {z}} = a-ib.}

\ bar z = a-ib.

A veces también se le conoce como $z^{*}$ ${\ Displaystyle z ^ {*}}$ $z ^ *$ . Plan General ${\bar {z}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {z}}}$ $\ bar {z}$ se obtiene de $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ por simetría con respecto al eje real. Se aplican las siguientes propiedades:

{\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}};

{\ Displaystyle {\ overline {z + w}} = {\ bar {z}} + {\ bar {w}};}

{\ Displaystyle {\ overline {z + w}} = {\ bar {z}} + {\ bar {w}};}

{\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}};

{\ Displaystyle {\ overline {zw}} = {\ bar {z}} {\ bar {w}};}

{\ Displaystyle {\ overline {zw}} = {\ bar {z}} {\ bar {w}};}

{\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}};

{\ Displaystyle {\ overline {(z / w)}} = {\ bar {z}} / {\ bar {w}};}

{\ Displaystyle {\ overline {(z / w)}} = {\ bar {z}} / {\ bar {w}};}

{\bar {\bar {z}}}=z;

{\ Displaystyle {\ bar {\ bar {z}}} = z;}

{\ Displaystyle {\ bar {\ bar {z}}} = z;}

{\bar {z}}=z\Longleftrightarrow z\in \mathbb {R} ;

{\ Displaystyle {\ bar {z}} = z \ Longleftrightarrow z \ in \ mathbb {R};}

{\ Displaystyle {\ bar {z}} = z \ Longleftrightarrow z \ in \ mathbb {R};}

|z|=|{\bar {z}}|;

{\ Displaystyle | z | = | {\ bar {z}} |;}

{\ Displaystyle | z | = | {\ bar {z}} |;}

|z|^{2}=z{\bar {z}}.

{\ Displaystyle | z | ^ {2} = z {\ bar {z}}.}

{\ Displaystyle | z | ^ {2} = z {\ bar {z}}.}

Recíproco

El mismo tema en detalle: inverso de un número complejo .

Conocer el valor absoluto y el conjugado de un número complejo. $z\neq 0$ ${\ Displaystyle z \ neq 0}$ $z \ neq 0$ es posible calcular su recíproco $z^{-1}$ ${\ Displaystyle z ^ {- 1}}$ $z ^ {- 1}$ a través de la fórmula:

z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.

{\ Displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {\ bar {z}} {| z | ^ {2}}}.}

{\ Displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {\ bar {z}} {| z | ^ {2}}}.}

Es decir, si $z=a+ib$ ${\ Displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ obtenemos

z^{-1}={\frac {a-ib}{a^{2}+b^{2}}}.

{\ Displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {a-ib} {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

{\ Displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {a-ib} {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

Suma algebraica

Las relaciones valen la pena

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d),

{\ Displaystyle (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d),}

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d),

(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d).

{\ Displaystyle (a + ib) - (do + id) = (ac) + i (bd).}

(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i (b - re).

La suma de dos números complejos es equivalente a la suma habitual entre vectores en el plano complejo.

Producto

Vale la pena

(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(bc+ad).

{\ Displaystyle (a + ib) (c + id) = (ac-bd) + i (bc + ad).}

{\ Displaystyle (a + ib) (c + id) = (ac-bd) + i (bc + ad).}

En realidad, el producto es solo el resultado de un producto muy normal de binomios. Usando representación

z=re^{i\theta }

{\ Displaystyle z = re ^ {i \ theta}}

z = re ^ {{i \ theta}}

y las propiedades de la función exponencial , el producto de dos números complejos

z_{1}=r_{1}e^{i\theta _{1}},\quad z_{2}=r_{2}e^{i\theta _{2}}

{\ Displaystyle z_ {1} = r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}, \ quad z_ {2} = r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}

{\ Displaystyle z_ {1} = r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}, \ quad z_ {2} = r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}

toma la forma más suave

z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\theta _{1}}\cdot r_{2}e^{i\theta _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}.

{\ Displaystyle z_ {1} \ cdot z_ {2} = r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} \ cdot r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} = r_ {1 } r_ {2} e ^ {i (\ theta _ {1} + \ theta _ {2})}.}

{\ Displaystyle z_ {1} \ cdot z_ {2} = r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} \ cdot r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} = r_ {1 } r_ {2} e ^ {i (\ theta _ {1} + \ theta _ {2})}.}

En otras palabras, en el producto de dos números complejos, se suman los argumentos y se multiplican los módulos.

Esta declaración le permite demostrar la regla de los signos de productos : $-\cdot -=+$ ${\ Displaystyle - \ cdot - = +}$ $- \ cdot - = +$ . De hecho, si consideramos que el argumento de un número real negativo es 180º, al multiplicar dos de estos números juntos obtenemos un número con el argumento 360 ° y por lo tanto 0 ° que es el argumento de un número real positivo.

Una multiplicación por un número complejo puede verse como una rotación y una homotecia simultáneas. Multiplica un vector o equivalentemente un número complejo por el elemento $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ produce una rotación de 90 °, en sentido antihorario, del número complejo inicial. Obviamente la multiplicación por $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ y luego otra vez para $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ produce una rotación de 180º; esto es lógico ya que $i^{2}=-1$ ${\ Displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $yo ^ 2 = -1$ .

Relación

La relación entre dos números complejos $z_{1}=a+ib$ ${\ Displaystyle z_ {1} = a + ib}$ $z_1 = a + ib$ Y $z_{2}=c+id$ ${\ Displaystyle z_ {2} = c + id}$ $z_2 = c + id$ está dado por:

{z_{1} \over z_{2}}={a+ib \over c+id}={(a+ib) \over (c+id)}{(c-id) \over (c-id)}={\frac {ac+bd+i(cb-ad)}{c^{2}+d^{2}}}.

{\ Displaystyle {z_ {1} \ over z_ {2}} = {a + ib \ over c + id} = {(a + ib) \ over (c + id)} {(c-id) \ over ( c-id)} = {\ frac {ac + bd + i (cb-ad)} {c ^ {2} + d ^ {2}}}.}

{z_1 \ over z_2} = {a + ib \ over c + id} = {(a + ib) \ over (c + id)} {(c-id) \ over (c-id)} = \ frac { ac + bd + i (cb-ad)} {c ^ 2 + d ^ 2}.

Usando representación

z=re^{i\theta },

{\ Displaystyle z = re ^ {i \ theta},}

{\ Displaystyle z = re ^ {i \ theta},}

la razón de dos números complejos es

{\frac {r_{1}e^{i\theta _{1}}}{r_{2}e^{i\theta _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}.

{\ Displaystyle {\ frac {r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}} {r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}} = {\ frac {r_ {1} } {r_ {2}}} y ^ {i (\ theta _ {1} - \ theta _ {2})}.}

{\ Displaystyle {\ frac {r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}} {r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}} = {\ frac {r_ {1} } {r_ {2}}} y ^ {i (\ theta _ {1} - \ theta _ {2})}.}

Potestades

Representar cada número complejo como

z=re^{i\theta }

{\ Displaystyle z = re ^ {i \ theta}}

z = re ^ {i \ theta}

el poder es fácil de describir $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ -th

z^{n}=r^{n}e^{ni\theta },

{\ Displaystyle z ^ {n} = r ^ {n} e ^ {ni \ theta},}

{\ Displaystyle z ^ {n} = r ^ {n} e ^ {ni \ theta},}

para cada $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ entero . Con una notación ligeramente diferente:

z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )

{\ Displaystyle z = | z | (\ cos \ theta + i \ sin \ theta)}

z = | z | (\ cos \ theta + i \ sin \ theta)

La fórmula de De Moivre se obtiene:

z^{n}=|z|^{n}(\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )).

{\ Displaystyle z ^ {n} = | z | ^ {n} (\ cos (n \ theta) + i \ sin (n \ theta)).}

{\ Displaystyle z ^ {n} = | z | ^ {n} (\ cos (n \ theta) + i \ sin (n \ theta)).}

Además, cada número complejo tiene exactamente $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ raíces $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ -th: en particular, no existe una forma única de definir la raíz cuadrada de un número complejo.

El mismo tema en detalle: raíz de Unity .

Exponencial

El mismo tema en detalle: Exponencial complejo .

La función exponencial compleja $e^{z}$ ${\ Displaystyle e ^ {z}}$ $y ^ z$ se define utilizando las series y herramientas de cálculo infinitesimal , de la siguiente manera:

e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.

{\ Displaystyle e ^ {z} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.}

y ^ z = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {z ^ n} {n!}.

En particular, si $z=a+ib$ ${\ Displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ usted obtiene

e^{a+ib}=e^{a}e^{ib}=e^{a}(\cos b+i\sin b)

{\ Displaystyle e ^ {a + ib} = e ^ {a} e ^ {ib} = e ^ {a} (\ cos b + i \ sin b)}

e ^ {a + ib} = e ^ ae ^ {ib} = e ^ a (\ cos b + i \ sin b)

haciendo uso de la fórmula de Euler .

Logaritmo

El mismo tema en detalle: Logaritmo complejo .

El logaritmo natural $\ln z$ ${\ Displaystyle \ ln z}$ $\ ln z$ de un número complejo $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ es por definición un número complejo $w$ ${\ Displaystyle w}$ $w$ tal que

e^{w}=z.

{\ Displaystyle e ^ {w} = z.}

e ^ w = z.

Uno mismo

z=a+ib=re^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta ),

{\ Displaystyle z = a + ib = re ^ {i \ theta} = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta),}

{\ Displaystyle z = a + ib = re ^ {i \ theta} = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta),}

el logaritmo de $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ es cualquier número complejo $w$ ${\ Displaystyle w}$ $w$ del tipo

w=\ln z=\ln(re^{i\theta })=\ln r+i(\theta +2k\pi ),

{\ Displaystyle w = \ ln z = \ ln (re ^ {i \ theta}) = \ ln r + i (\ theta + 2k \ pi),}

{\ Displaystyle w = \ ln z = \ ln (re ^ {i \ theta}) = \ ln r + i (\ theta + 2k \ pi),}

Dónde está $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ es cualquier número entero . Dado que el valor $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ es arbitrario, un número complejo tiene una infinidad de logaritmos distintos, que se diferencian por múltiplos enteros de $2\pi i$ ${\ Displaystyle 2 \ pi i}$ $2 \ pi i$ .

Uno mismo $a>0$ ${\ Displaystyle a> 0}$ $a> 0$ puedes escribir

\ln(a+ib)=\ln {\sqrt[{2}]{a^{2}+b^{2}}}+i\arctan {\frac {b}{a}}.

{\ Displaystyle \ ln (a + ib) = \ ln {\ sqrt [{2}] {a ^ {2} + b ^ {2}}} + i \ arctan {\ frac {b} {a}}. }

\ ln (a + ib) = \ ln \ sqrt [2] {a ^ 2 + b ^ 2} + i \ arctan \ frac {b} {a}.

En este caso, si $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ es real (es decir, si $b=0$ ${\ Displaystyle b = 0}$ $b = 0$ ) entre los valores infinitos hay uno real, que corresponde al logaritmo habitual de un número real positivo.

Ejemplos de

Suponga que queremos encontrar números complejos z tales que

4z^{2}={\bar {z}}^{4}.

{\ displaystyle 4z ^ {2} = {\ bar {z}} ^ {4}.}

4z ^ 2 = \ bar z ^ 4.

La primera posibilidad es preguntar $z=a+ib$ ${\ Displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ y para igualar la parte real de $4z^{2}$ ${\ displaystyle 4z ^ {2}}$ $4z ^ 2$ a la parte real del conjugado de $z^{4}$ ${\ Displaystyle z ^ {4}}$ $z ^ 4$ e igualmente para las respectivas partes imaginarias. Siguiendo este camino obtenemos dos ecuaciones:

ab(a^{2}-b^{2}+2)=0,

{\ Displaystyle ab (a ^ {2} -b ^ {2} +2) = 0,}

{\ Displaystyle ab (a ^ {2} -b ^ {2} +2) = 0,}

a^{4}+b^{4}-6(ab)^{2}=4(a^{2}-b^{2}).

{\ Displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} -6 (ab) ^ {2} = 4 (a ^ {2} -b ^ {2}).}

{\ Displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} -6 (ab) ^ {2} = 4 (a ^ {2} -b ^ {2}).}

de las cuales se obtienen 7 soluciones:

z=0,-2,2,i{\sqrt {3}}+1,-i{\sqrt {3}}+1,i{\sqrt {3}}-1,-i{\sqrt {3}}-1.

{\ Displaystyle z = 0, -2,2, i {\ sqrt {3}} + 1, -i {\ sqrt {3}} + 1, i {\ sqrt {3}} - 1, -i {\ sqrt { 3}} - 1.}

{\ Displaystyle z = 0, -2,2, i {\ sqrt {3}} + 1, -i {\ sqrt {3}} + 1, i {\ sqrt {3}} - 1, -i {\ sqrt { 3}} - 1.}

Alternativamente, se puede utilizar la representación polar

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )

{\ Displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}

{\ Displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}

y coincidir con las normas y argumentos de $4z^{2}$ ${\ displaystyle 4z ^ {2}}$ $4z ^ 2$ y el conjugado de $z^{4}$ ${\ Displaystyle z ^ {4}}$ $z ^ 4$ , obteniendo aquí también dos ecuaciones:

4r^{2}=r^{4},

{\ Displaystyle 4r ^ {2} = r ^ {4},}

{\ Displaystyle 4r ^ {2} = r ^ {4},}

6\varphi =2k\pi ,

{\ Displaystyle 6 \ varphi = 2k \ pi,}

{\ Displaystyle 6 \ varphi = 2k \ pi,}

con $k=0,1,\ldots ,5$ ${\ Displaystyle k = 0,1, \ ldots, 5}$ ${\ Displaystyle k = 0,1, \ ldots, 5}$ . Obviamente obtienes las mismas soluciones, por ejemplo

z=i{\sqrt {3}}+1=2e^{i{\pi }/3}.

{\ Displaystyle z = i {\ sqrt {3}} + 1 = 2e ^ {i {\ pi} / 3}.}

z = i \ sqrt {3} + 1 = 2e ^ {i {\ pi} / 3}.

Algunas propiedades

Pérdida de clasificación

A diferencia de los números reales, los números complejos no se pueden clasificar de forma compatible con las operaciones aritméticas. Es decir, no es posible definir un orden tal que

a\leq b,\Rightarrow a+c\leq b+c,

{\ Displaystyle a \ leq b, \ Rightarrow a + c \ leq b + c,}

a \ leq b, \ Rightarrow a + c \ leq b + c,

a\geq 0,b\geq 0\Rightarrow ab\geq 0,

{\ Displaystyle a \ geq 0, b \ geq 0 \ Rightarrow ab \ geq 0,}

a \ geq 0, b \ geq 0 \ Rightarrow ab \ geq 0,

como ocurre con los números reales. Por tanto, no tiene sentido preguntar, por ejemplo, si $los$ ${\ Displaystyle i}$ $los$ es mayor o menor que, ni estudiar las desigualdades en el campo complejo. De hecho, en todo campo ordenado todos los cuadrados deben ser mayores o iguales a cero: por construcción de la unidad imaginaria, en cambio $i^{2}=-1$ ${\ Displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $yo ^ 2 = -1$ .

Esto no debe confundirse con decir que el conjunto de números complejos no puede estar totalmente ordenado. De hecho, los números complejos tienen, por ejemplo, un orden en términos de orden lexicográfico y, por lo tanto, constituyen un conjunto ordenable (como cualquier conjunto en ZFC dado el axioma de elección ), pero no forman un campo ordenado (por la razón anterior ) ni una estructura algebraica que se pueda ordenar con respecto a la métrica inducida por una norma .

plano cartesiano

Función logarítmica: todos los pares ( x ; y ) con x negativo son números complejos y no se pueden representar en el plano, independientemente de la base elegida: rojo para la base e , verde para la base 10 y violeta para la base 1,7.

Al dibujar una función en el plano cartesiano cuyo rango contiene números del conjunto imaginario, esos números no se pueden representar mediante un par de coordenadas $(x;y)$ ${\ Displaystyle (x; y)}$ $(x; y)$ , desde ser $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ El complejo no se puede ordenar con respecto a la línea recta. $y$ ${\ Displaystyle y}$ $y$ .

Espacio de vectores reales

El conjunto $\mathbb {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ es simultáneamente un espacio vectorial complejo unidimensional (como todos los campos) y un espacio vectorial real bidimensional. Como espacio vectorial de dimensión finita real, también es un espacio normado completo , es decir, un espacio de Banach , y más particularmente un espacio de Hilbert .

Soluciones de las ecuaciones polinomiales

El mismo tema en detalle: Teorema fundamental del álgebra .

Raíz compleja de un polinomio $pag$ ${\ Displaystyle p}$ $pag$ un coeficiente real es un número complejo $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ tal que $p(z)=0$ ${\ Displaystyle p (z) = 0}$ $p (z) = 0$ . El teorema fundamental del álgebra establece que cualquier polinomio de grado $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ tiene exactamente $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ soluciones complejas, contadas con multiplicidad. Este resultado indica que los números complejos son (a diferencia de los reales) un campo algebraicamente cerrado .

Análisis complejo

Mismo tema en detalle: Análisis complejo .

El estudio de funciones con variables complejas se denomina análisis complejo y se utiliza mucho en matemáticas aplicadas y teoría de números , así como en otras ramas de las matemáticas, la física y la ingeniería. A menudo, las demostraciones más simples para el análisis real o incluso los enunciados de la teoría de números emplean técnicas de análisis complejas (consulte el teorema de los números primos para ver un ejemplo). A diferencia de las funciones reales, que comúnmente se representan como gráficos bidimensionales, las funciones complejas tienen gráficos de cuatro dimensiones y, a menudo, se representan como gráficos de colores donde el color compensa la dimensión faltante (consulte, por ejemplo, el elemento Imágenes compatibles ). Las animaciones también se pueden utilizar para mostrar la transformación dinámica de la función compleja del plano complejo.

Aplicaciones

En matemáticas

Los números complejos están presentes en todas las matemáticas, y son los protagonistas de sectores enteros, como el análisis complejo o la geometría algebraica . Aquí enumeramos solo algunas aplicaciones de números complejos a áreas de las matemáticas en las que no juegan un papel dominante.

Teoría de números : la teoría analítica de números utiliza un análisis complejo para abordar problemas de números enteros . Algunos ejemplos son el teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann relacionada.

Integrales impropias : algunas integrales impropias se pueden resolver fácilmente con el teorema residual del análisis complejo.

Ecuaciones diferenciales : las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes se resuelven encontrando las raíces complejas de un polinomio asociado con la ecuación.

Fractales : algunos fractales se definen mediante números complejos, por ejemplo, el conjunto de Mandelbrot y el conjunto de Julia .

En física

Dinámica de fluidos : en dinámica de fluidos, los números complejos se utilizan para describir el flujo potencial en 2 dimensiones.

Mecánica cuántica : el campo de los números complejos es un componente esencial de la mecánica cuántica ya que la teoría se desarrolla en un espacio de Hilbert de dimensión infinita derivado de C. La unidad imaginaria también aparece en la ecuación de Schrödinger .

Relatividad : En la relatividad general y la relatividad especial, algunas fórmulas del espacio métrico se vuelven más simples si se supone que la variable de tiempo es una variable imaginaria.

Ingenieria

Los números complejos se utilizan para resolver las ecuaciones diferenciales asociadas con el movimiento vibratorio de los sistemas mecánicos. También se utilizan ampliamente en ingeniería eléctrica, especialmente para representar el cambio de fase entre la reactancia y la resistencia.

Análisis de señales

Los números complejos se utilizan en el análisis de señales y en todos los campos donde se tratan señales que varían sinusoidalmente en el tiempo, o incluso simplemente periódicas. El valor absoluto de | z | se interpreta como la amplitud de la señal, mientras que el argumento de z se interpreta como la fase . Los números complejos también hacen posible el análisis de Fourier , lo que hace posible descomponer una señal genérica invariante en el tiempo en una suma de sinusoides infinitas: cada sinusoide se escribe como un solo número complejo

f(t)=ze^{i\omega t},

{\ Displaystyle f (t) = ze ^ {i \ omega t},}

{\ Displaystyle f (t) = ze ^ {i \ omega t},}

Dónde está $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ es la pulsación de la sinusoide yz su amplitud.

Elettrotecnica ed elettronica

Nell' ingegneria elettrica ed elettronica vengono utilizzati per indicare la tensione e la corrente . L'analisi dei componenti resistivi , capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza , semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera j per indicare l'unità immaginaria, dato che la i è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo , stabilivano j = -i , cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. Anche se, la stragrande maggioranza delle volte, nella letteratura tecnica con j oramai si intende l'unità immaginaria stessa, per cui j = i .

Generalizzazioni ed estensioni

Lo stesso argomento in dettaglio: Costruzione di Cayley-Dickson e Algebra di Clifford .

Il processo di estensione del campo R dei numeri reali al campo C dei numeri complessi è noto come costruzione di Cayley-Dickson . Esso può essere portato oltre a dimensioni più elevate, ottenendo i quaternioni H , gli ottetti (o ottonioni ) O ei sedenioni , i quali costituiscono, rispettivamente, delle algebre a 4 , 8 , 16 dimensioni sul campo dei numeri reali . In questo contesto, i numeri complessi sono stati chiamati binarioni . ^[2]

Le algebre prodotte da questo processo sono note come algebre di Cayley-Dickson e, poiché estendono i numeri complessi, vanno a costituire una famiglia dell'insieme dei cosiddetti numeri ipercomplessi , il quale, tuttavia, include anche la famiglia delle algebre di Clifford .

Note

^ ( EN ) WS Anglin e J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 2012, p. 3.
^ ( EN ) Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras , Universitext, Springer, 2004, ISBN 0-387-95447-3 . MR 2014924 p. 64

Bibliografia

( EN ) Lars Ahlfors , Complex Analysis , 3rd, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7 .
( EN ) E. Freitag, R. Busam, Complex Analysis ; Springer-Verlag (2005).
( EN ) P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors , Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-59916-4 .
( EN ) Paul J. Nahin, An Imaginary Tale ; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). Una semplice introduzione ai numeri complessi e all'analisi complessa.
( EN ) Tristan Needham, Visual Complex Analysis ; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). Storia dei numeri complessi e dell'analisi complessa con un'utile interpretazione geometrica.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

( EN ) Numero complesso , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( AR , EN , ES , FR ) Dimensions: a math film. Film introduttivo sui numeri complessi (capitoli 5 e 6).
Numeri Complessi . Una lezione interattiva
I numeri complessi . Note da lezioni alle superiori. Con GeoGebra.

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[1] ( EN ) WS Anglin e J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 2012, p. 3.

[2] ( EN ) Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras , Universitext, Springer, 2004, ISBN 0-387-95447-3 . MR 2014924 p. 64

[1]

[2]