Número Real

En matemáticas , los números reales se pueden describir de manera no formal como números a los que es posible atribuir un desarrollo decimal finito o infinito, como $\pi =3,141592\ldots$ ${\ Displaystyle \ pi = 3,141592 \ ldots}$ ${\ Displaystyle \ pi = 3,141592 \ ldots}$ Los números reales pueden ser positivos, negativos o nulos e incluyen, como casos especiales, números enteros (como $12$ ${\ Displaystyle 12}$ $12$ ), números racionales (como $-22/7$ ${\ displaystyle -22/7}$ ${\ displaystyle -22/7}$ ) y números irracionales algebraicos (como ${\sqrt {2}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ) y trascendente (como $\pi$ ${\ Displaystyle \ pi}$ $\ Pi$ y $Y$ ${\ Displaystyle e}$ $Y$ ). Un número real racional tiene un desarrollo decimal finito o periódico; p.ej $1/3=0,333333\ldots$ ${\ Displaystyle 1/3 = 0.333333 \ ldots}$ ${\ Displaystyle 1/3 = 0.333333 \ ldots}$ es racional. El conjunto de números reales generalmente se denota con la letra R o $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Representación de la línea real

Los números reales se pueden poner en uno-a-uno correspondencia con los puntos de una línea recta , llamados un número de línea o una recta real .

La definición formal de números reales representó uno de los desarrollos más significativos del siglo XIX. Entre las definiciones más ampliamente utilizadas en la actualidad se encuentran las clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales, las secciones de Dedekind , una redefinición del término "representación decimal" y una definición axiomática como un único campo de Arquímedes completo ordenado .

Los términos real e imaginario se introdujeron en La Géometrie ( 1637 ) de René Descartes , en relación con el estudio de las raíces de las ecuaciones. Por extensión, varios autores han comenzado a hablar de números reales e imaginarios . En 1874 aparece un artículo fundamental de Georg Cantor en el que el autor toma en consideración el conjunto de números reales demostrando que este conjunto no es contable.

Representación y uso de números reales

Los números reales pueden representar cualquier cantidad física, como el precio de un producto, la distancia de tiempo entre dos eventos, la altitud (positiva o negativa) de un sitio geográfico, la masa de un átomo o la distancia entre galaxias. La mayoría de los números reales se utilizan a diario, por ejemplo, en economía, informática, matemáticas, física o ingeniería.

De hecho, la mayoría de las veces solo se utilizan unos pocos subconjuntos:

números naturales ,
enteros
números racionales , que se pueden expresar en forma de fracción ,
números algebraicos , que incluyen todos los números que se pueden expresar con operaciones y raíces algebraicas elementales.
algunos números muy particulares, que no están contenidos en los conjuntos anteriores, como ey π .

Estos conjuntos, aunque son infinitos, todos tienen cardinalidad contable y, por lo tanto, son infinitesimales. ^{[ poco claro ]} parte del conjunto de números reales.

Representación decimal

Cada número real se puede identificar por su numeración decimal , es decir, mediante la lista de dígitos decimales de su parte entera y, separados por coma, la lista de dígitos de la parte fraccionaria. En general, el número de lugares decimales de la parte fraccionaria puede ser infinito. Por esta razón, en la práctica, el número real se expresa presentando solo los primeros dígitos decimales como, por ejemplo, por escrito. $324,823211247\ldots$ ${\ displaystyle 324,823211247 \ ldots}$ ${\ displaystyle 324,823211247 \ ldots}$ donde los tres puntos expresan el hecho de que hay otros números infinitos. Con este procedimiento de aproximación es posible presentar un número racional arbitrariamente cercano al número real en cuestión. Cuantos más dígitos decimales, más cercano está el número racional al número real a representar y, por lo tanto, mayor es la precisión de la aproximación. Por ejemplo, pi se puede aproximar como

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ...

La representación decimal, muy útil en ciencias aplicadas, tiene muchos defectos desde un punto de vista matemático, por ejemplo:

algunos números racionales tienen dos expansiones decimales diferentes, por ejemplo 0,999 ... :
$0,{\bar {9}}=0,999\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}=9\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}-1\right)=9\left({\frac {1}{1-1/10}}-1\right)=1.$ ${\ Displaystyle 0, {\ bar {9}} = 0.999 \ ldots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {9} {10 ^ {n}}} = 9 \ left (\ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}} - 1 \ right) = 9 \ left ({\ frac {1} {1-1 / 10}} -1 \ derecha) = 1.}$ ${\ Displaystyle 0, {\ bar {9}} = 0.999 \ ldots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {9} {10 ^ {n}}} = 9 \ left (\ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}} - 1 \ right) = 9 \ left ({\ frac {1} {1-1 / 10}} -1 \ derecha) = 1.}$
Se puede demostrar que la expansión decimal de un real es única a menos que el número tenga la forma $q/10^{m}$ ${\ Displaystyle q / 10 ^ {m}}$ ${\ Displaystyle q / 10 ^ {m}}$ con $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ Y $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ natural;
la suma y la multiplicación entre números reales no se hacen "dígito a dígito" de la forma habitual, porque tendríamos que "empezar por la derecha" ^{[ poco claro ]} ,
la representación está anclada a la elección de la base 10 y, por lo tanto, no es "canónica" ^{[ poco claro ]} .

Por esta razón, los matemáticos prefieren definir y tratar los números reales con otras notaciones más abstractas.

Operaciones con números reales

El mismo tema en detalle: Operaciones aritméticas con números reales .

Sobre números reales es posible realizar todas las operaciones definidas para racionales, como suma , diferencia , producto , división por un número distinto de cero y elevar a una potencia con base positiva. Estas operaciones pueden definirse mediante cálculo infinitesimal o es posible extender a números reales, por aproximación, las definiciones de las mismas operaciones dadas sobre números racionales.

Números reales en ciencia y tecnología

Desde el punto de vista físico , todo experimento está intrínsecamente sujeto a un error y por lo tanto este tipo de representación aproximada de números reales no causa más problemas.

En informática , las computadoras solo pueden aproximar números reales con números racionales: estas aproximaciones se hacen de manera eficiente, por ejemplo, escribiendo en coma flotante . Algunos programas pueden tratar con exactitud algunos números no racionales: por ejemplo, algunos números algebraicos pueden describirse usando su descripción algebraica (como por ejemplo ${\sqrt {2}}\,$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}} \,}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}} \,}$ ) en lugar de su aproximación decimal.

De manera más general, la informática solo puede tratar números calculables de una manera precisa: un número real se puede calcular si hay un algoritmo que produce sus dígitos. Dado que hay una infinidad contable de algoritmos pero una infinidad incontable de números reales, "casi todos" los números reales no son computables.

En matemáticas , los números reales juegan un papel fundamental y se manipulan continuamente, aunque la mayoría de ellos no son calculables. El constructivismo es una corriente matemática que acepta la existencia únicamente de reales calculables.

Historia

Fracciones

La necesidad de dar un nombre a algunas cantidades mensurables se remonta a la antigüedad. La primera respuesta, hecha por los sumerios y en el antiguo Egipto , fue construir las fracciones ( ^a ⁄ _b ). Este instrumento permitió inmediatamente la medición de cualquier cantidad positiva con precisión arbitraria.

Números como longitudes

{\sqrt {2}}

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}

{\ sqrt {2}}

no es racional

Supongamos absurdamente que hay dos enteros $pag$ ${\ Displaystyle p}$ $pag$ Y $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ tal que

2=\left({\frac {p}{q}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{q^{2}}}.

{\ Displaystyle 2 = \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) ^ {2} = {\ frac {p ^ {2}} {q ^ {2}}}.}

2 = \ left (\ frac p q \ right) ^ 2 = \ frac {p ^ 2} {q ^ 2}.

Podemos suponer que la fracción se reduce, es decir $pag$ ${\ Displaystyle p}$ $pag$ Y $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ son los primeros entre ellos . Por lo tanto

p^{2}=2\cdot q^{2}.

{\ Displaystyle p ^ {2} = 2 \ cdot q ^ {2}.}

p ^ 2 = 2 \ cdot q ^ 2.

De ello se deduce que 2 divide $p^{2}$ ${\ Displaystyle p ^ {2}}$ $p ^ 2$ , y luego $pag$ ${\ Displaystyle p}$ $pag$ incluso. Por lo tanto $p=2k$ ${\ Displaystyle p = 2k}$ $p = 2 k$ para algunos $k\in \mathbb {N}$ ${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ $k \ in \ mathbb {N}$ . Obtenemos:

2\cdot k^{2}=q^{2},

{\ Displaystyle 2 \ cdot k ^ {2} = q ^ {2},}

{\ Displaystyle 2 \ cdot k ^ {2} = q ^ {2},}

y luego también $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ es incluso, en contradicción con el hecho de que $pag$ ${\ Displaystyle p}$ $pag$ Y $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ me cubren. Por tanto, la hipótesis inicial debe ser falsa, es decir ${\sqrt {2}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ no puede ser racional.

La primera formalización matemática conocida es la de Euclides en el siglo III a. C. En los Elementos de Euclides , la geometría se formaliza con axiomas, teoremas y demostraciones. Aquí los números se corresponden con las longitudes de los segmentos.

El enfoque de Euclides destaca que los números de la época (las fracciones, es decir, los números racionales) no podrían desempeñar directamente el papel de representar las longitudes de los segmentos.

Un caso particular del teorema de Pitágoras muestra que la longitud $L$ ${\ Displaystyle l}$ $L$ de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ , es tal que

l^{2}=2.

{\ Displaystyle l ^ {2} = 2.}

{\ Displaystyle l ^ {2} = 2.}

Por otro lado, es fácil demostrar que tal $L$ ${\ Displaystyle l}$ $L$ no se puede expresar como una fracción: un resultado que se remonta a la escuela pitagórica y que era bien conocido por Euclides. A la derecha se muestra una prueba del resultado pitagórico, citado por Paul Erdős como uno de los más bellos de todas las matemáticas.

Para resolver la aparente contradicción Euclides, en el quinto libro de los Elementos , desarrolla una refinada teoría de las relaciones entre cantidades (incluso inconmensurables entre ellas). Para ello era necesario ante todo disponer de un criterio para juzgar la posible igualdad de dos relaciones entre inconmensurables. Euclides proporciona tal criterio en las definiciones 4-9 del Libro V, que informamos en una forma ligeramente modernizada en las notaciones:

Dar cuatro cantidades $para, B, C, D$ ${\ Displaystyle a, b, c, d}$ $a B C D$ , se dice que $a:b=c:d$ ${\ Displaystyle a: b = c: d}$ $a: b = c: d$ si y solo si para cada par de naturales, $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ , $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ , siempre ocurre una de las siguientes tres posibilidades:

$na<mb$ ${\ Displaystyle na <mb}$ $na <mb$ y al mismo tiempo, $nc<md$ ${\ Displaystyle nc <md}$ $nc <md$ ;
$na=mb$ ${\ Displaystyle na = mb}$ $na = mb$ y al mismo tiempo, $nc=md$ ${\ Displaystyle nc = md}$ $nc = md$ ;
$na>mb$ ${\ Displaystyle na> mb}$ $na> mb$ y al mismo tiempo, $nc>md$ ${\ Displaystyle nc> md}$ $nc> md$ .

Gracias a la definición anterior de igualdad entre razones, incluso las razones entre inconmensurables se convirtieron en un objeto legítimo de estudio matemático y su eventual igualdad se decidió simplemente comparando múltiplos enteros de las cantidades consideradas. En otras palabras, toda relación entre inconmensurables se caracterizaba por su comportamiento con respecto a todos los pares de naturales.

Otros desarrollos de la matemática helenística que anticiparon en parte la teoría moderna de los reales fueron los presentes en el método que más tarde se llamó de agotamiento ; recordamos que el primer cálculo de sumas en serie también se remonta a Arquímedes (quien añadió la serie geométrica de la razón $1/4$ ${\ Displaystyle 1/4}$ $1/4$ ).

Desarrollo decimal no periódico ilimitado

al-Khwarizmi , matemático persa, en un sello postal soviético conmemorativo

Con la ayuda de fracciones, los griegos podían expresar cualquier número real con precisión arbitraria. Sin embargo, la ausencia de un sistema de numeración adecuado dificultaba las operaciones elementales entre estas cantidades, como sumar o dividir.

Tuvimos que esperar hasta el siglo V para ver finalmente el cero como un número reconocido por la escuela india y para el desarrollo del sistema de numeración decimal .

Aparece un nuevo problema con el sistema de numeración decimal. Con este sistema, cada fracción tiene un desarrollo decimal periódico , es decir, la sucesión de decimales repite la misma secuencia de números indefinidamente. ¿Cuál es el significado de dar a un objeto que tiene un desarrollo no periódico? Un ejemplo es el siguiente

0.1010010001 ... donde el número de ceros entre dos "1" consecutivos aumenta con cada paso.

Secuencias y series

En la segunda mitad del siglo XVII , ha habido un enorme interés por parte del cálculo matemático de las series y secuencias . Entre estos, Nicolaus Mercator , los Bernoulli , James Gregory , Gottfried Leibniz trabajan en series que parecen converger en un límite no racional, como:

la serie Mercator : $\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1} \over k}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots$ ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {k + 1} \ over k} = 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1 } {3}} - {\ frac {1} {4}} + \ cdots}$ $\ sum_ {k = 1} ^ \ infty {(-1) ^ {k + 1} \ over k} = 1 - \ frac 12+ \ frac 13- \ frac 14 + \ cdots$ que converge a $\ln(2)$ ${\ Displaystyle \ ln (2)}$ $\ ln (2)$
la serie Grégory: $\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over {2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots$ ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {k} \ over {2k + 1}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots}$ $\ sum_ {k = 0} ^ \ infty {(-1) ^ k \ over {2k + 1}} = 1 - \ frac 13+ \ frac 15- \ frac 17 + \ cdots$ que converge a $\pi /4$ ${\ Displaystyle \ pi / 4}$ $\ pi / 4$

Además, Joseph Liouville muestra en 1844 la existencia de números trascendentes , es decir, de números que no son raíces de ningún polinomio con coeficientes enteros. Por lo tanto, no es suficiente agregar números algebraicos a los racionales para obtener "todos los números".

Cálculo infinitesimal

Gottfried Leibniz

Durante la segunda parte del siglo XVII , Isaac Newton y Gottfried Leibniz inventaron una nueva rama de las matemáticas, ahora llamada análisis matemático , y conocida en ese momento como cálculo . Éste alcanza inmediatamente la máxima notoriedad porque es la base de una nueva teoría física universal: la mecánica clásica y la teoría de la gravitación universal .

El cálculo infinitesimal requiere un conjunto de números más grandes que los racionales, que "incluye todos los huecos", para que quepan todos en una línea, llamada línea real .

En el lenguaje moderno, la propiedad necesaria para el cálculo es la integridad y se puede expresar de la siguiente manera:

cada secuencia de Cauchy es convergente.

Esta noción, introducida más tarde por el propio Cauchy , es sumamente importante en todas las áreas de las matemáticas y estará también en el origen de la topología a principios del siglo XX .

Construcción de números reales

Augustin-Louis Cauchy

El cálculo infinitesimal permite una intuición cada vez más precisa sobre la topología de los números. Hará falta otro siglo para formalizar el conjunto de números reales de forma precisa, es decir, para "tapar los huecos" que dejan los racionales.

Como suele ocurrir en matemáticas, cuando el problema está maduro, la solución proviene de dos investigadores al mismo tiempo.

El primero en abordar con éxito la construcción de números reales es Augustin-Louis Cauchy . Su enfoque sigue siendo el más fructífero, porque también se aplica a otros casos. Su idea es la siguiente: una secuencia debe converger si los elementos están (después de cierto punto) arbitrariamente cercanos entre sí: tal secuencia ahora se llama secuencia de Cauchy .

Esta idea se traduce en una definición rigurosa de los números reales solo hacia finales del siglo XIX , gracias a las obras de Cantor y Dedekind en 1872 . Este último propone en Was sind und was sollen die Zahlen (qué son los números y qué deben ser) un método que explota la relación de orden entre fracciones. Su idea consiste en introducir reales no racionales a través de pares de subconjuntos de racionales, los llamados cortes de Dedekind : por ejemplo, la raíz de 2 está representada por el par de conjuntos, el primero es el conjunto de todos los números racionales negativos o cuyo el cuadrado es menor que $2$ ${\ Displaystyle 2}$ $2$ , el segundo es el conjunto de todos los números racionales positivos cuyo cuadrado es mayor que $2$ ${\ Displaystyle 2}$ $2$ . Existe una relación evidente entre la definición de Dedekind y la definición antigua de Euclides, pero también una profunda diferencia: mientras que para Euclides y para los demás matemáticos griegos el objeto privilegiado de estudio eran las cantidades y solo considerando sus relaciones estaban en la cara. de algo parcialmente análogo a nuestros números reales, en la época de Dedekind, las cantidades numéricas habían asumido desde hacía mucho tiempo el papel de protagonistas autónomos.

Definición

Enfoque axiomático

El mismo tema en detalle: Construcción de números reales .

Es $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ el conjunto de todos los números reales. Luego:

El conjunto $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , con sumas y multiplicaciones habituales, es un campo , ya que las propiedades asociativas , conmutativas , distributivas y de existencia de los elementos neutros e inversos son válidas con respecto a ambas operaciones.
El campo $R.$ {\ Displaystyle \ mathbb {R}} $\ R$ es ordenado , es decir, hay un ordenamiento total , el $\leq$ {\ Displaystyle \ leq} $\ leq$ habitual, de modo que, para todos los números reales $X$ {\ Displaystyle x} $X$ , $y$ {\ Displaystyle y} $y$ Y $z$ {\ Displaystyle z} $z$ :
- para cada pareja $x,y\in \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$ $x, y \ en \ R$ Si tu tienes $x\leq y$ ${\ Displaystyle x \ leq y}$ $x \ leq y$ o $y\leq x$ ${\ Displaystyle y \ leq x}$ $y \ leq x$ ( dicotomía )
- $x\leq x$ ${\ Displaystyle x \ leq x}$ $x \ leq x$ para cada $x\in \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in \ R$ ( reflexivo )
- uno mismo $x\leq y$ ${\ Displaystyle x \ leq y}$ $x \ leq y$ Y $y\leq x$ ${\ Displaystyle y \ leq x}$ $y \ leq x$ asi que $x=y$ ${\ Displaystyle x = y}$ $x = y$ ( antisimétrico )
- de $x\leq y$ ${\ Displaystyle x \ leq y}$ $x \ leq y$ Y $y\leq z$ ${\ Displaystyle y \ leq z}$ $y \ leq z$ resulta que $x\leq z$ ${\ Displaystyle x \ leq z}$ $x \ leq z$ ( transitivo )
Axioma de Dedekind : el orden es completo , es decir, cualquier subconjunto no vacío $S.$ ${\ Displaystyle S}$ $S.$ de $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ que admite un maggiorante en $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ tiene un extremo superior en $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . El límite superior de un conjunto $S.$ ${\ Displaystyle S}$ $S.$ denota con $\sup S$ ${\ Displaystyle \ sup S}$ $\ sup S$ .

La última propiedad es la que diferencia lo real de lo racional .

Por ejemplo, el conjunto de números racionales cuyo cuadrado es menor que $2$ ${\ Displaystyle 2}$ $2$ tiene un majorant racional (por ejemplo $1,5$ ${\ Displaystyle 1,5}$ $1,5$ ) pero el límite superior, que es el menor de los mayores, no es racional como la raíz cuadrada de $2$ ${\ Displaystyle 2}$ $2$ no es racional.

Los números reales están definidos de forma única por las propiedades anteriores.

Más precisamente, dados dos campos ordenados completos $\mathbb {R} _{1}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$ Y $\mathbb {R} _{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {2}}$ , hay un solo isomorfismo de $\mathbb {R} _{1}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$ para $\mathbb {R} _{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {2}}$ . Esta propiedad le permite pensar en ellos como un solo objeto matemático.

Conjunto real extendido

El conjunto real extendido se obtiene expandiendo el conjunto de números reales con dos elementos adicionales, indicados con $-\infty$ ${\ Displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ Y $+\infty$ ${\ Displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ :

{\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}.

{\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}.}

\ overline {\ R}: = \ R \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}.

La relación de orden se extiende a estos nuevos puntos estableciendo:

-\infty <x<+\infty

{\ Displaystyle - \ infty <x <+ \ infty}

{\ Displaystyle - \ infty <x <+ \ infty}

para cada

X

{\ Displaystyle x}

X

verdadero.

Algunas de las operaciones normales de suma y producto pueden extenderse al conjunto real extendido, pero no a todas . En particular, este conjunto ya no es un campo ni siquiera un grupo .

Sin embargo, el conjunto real extendido tiene una topología que se extiende a la de los números reales: una vecindad de $+\infty$ ${\ Displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ (resp. $-\infty$ ${\ Displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ ) es un rayo derecho (resp. izquierdo). Este conjunto se utiliza a menudo para definir de una manera más uniforme el concepto de límite y agrupar las secuencias que convergen en un número real o infinito.

Propiedad

Lo completo

El principal motivo que llevó a la introducción de los reales es que constituyen un espacio "sin agujeros". Más precisamente, los reales son un espacio métrico completo . La integridad se puede expresar de varias formas, todas equivalentes al axioma de Dedekind descrito anteriormente.

Secuencias de Cauchy

En números reales, por definición de completitud, se cumple el siguiente hecho:

cada secuencia de Cauchy tiene un límite .

Recordamos que:

Una sucesión $x_{n}$ ${\ Displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ ) de números reales es de Cauchy si para cada $\varepsilon >0$ ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ hay un entero $METRO.$ ${\ Displaystyle M}$ $METRO.$ tal que

|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon \ \forall n,m>M.

{\ Displaystyle | x_ {n} -x_ {m} | <\ varepsilon \ \ forall n, m> M.}

| x_n-x_m | <\ varepsilon \ \ forall n, m> M.

En otras palabras, una secuencia es una secuencia de Cauchy si sus elementos

x_{n}

{\ Displaystyle x_ {n}}

x_ {n}

en algún momento se acercan arbitrariamente.

Una sucesión $x_{n}$ ${\ Displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ ) tiene un límite $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ si por cada $\varepsilon >0$ ${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ hay un entero $No.$ ${\ Displaystyle N}$ $No.$ tal que

|x_{n}-x|<\varepsilon \ \forall n>N.

{\ Displaystyle | x_ {n} -x | <\ varepsilon \ \ forall n> N.}

| x_n-x | <\ varepsilon \ \ forall n> N.

En otras palabras, una secuencia tiene un límite

X

{\ Displaystyle x}

X

si sus elementos en algún momento se acercan arbitrariamente a

X

{\ Displaystyle x}

X

.

En cualquier espacio métrico , cada secuencia convergente es una secuencia de Cauchy. Cuando lo contrario también es cierto (como en los números reales), se dice que el espacio está completo .

El conjunto de racionales no está completo. Por ejemplo, la sucesión del primero $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ dígitos de la raíz cuadrada de $2$ ${\ Displaystyle 2}$ $2$ , o

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1.41421; ...

es de Cauchy pero no converge a un número racional.

Elemento separador

El mismo tema en detalle: el axioma de Dedekind .

La integridad de los números reales se puede expresar de la siguiente manera: dados dos subconjuntos $X, Y$ ${\ Displaystyle X, Y}$ $X, Y$ no vacío de $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ tal que

x\leq y\ \forall x\in X,y\in Y

{\ Displaystyle x \ leq y \ \ forall x \ in X, y \ in Y}

x \ leq y \ \ forall x \ en X, y \ en Y

hay un numero real $z$ ${\ Displaystyle z}$ $z$ tal que

x\leq z\leq y\ \forall x\in X,y\in Y.

{\ Displaystyle x \ leq z \ leq y \ \ forall x \ in X, y \ in Y.}

x \ leq z \ leq y \ \ forall x \ in X, y \ in Y.

El axioma de Arquímedes

Para números reales, el axioma de Arquímedes sostiene: dados dos números $X, y$ ${\ Displaystyle x, y}$ $x, y$ realmente positivo, con $x<y$ ${\ Displaystyle x <y}$ $x <y$ , hay un número natural $norte$ ${\ Displaystyle n}$ $norte$ tal que

nx\geq y.

{\ Displaystyle nx \ geq y.}

nx \ geq y.

Un campo ordenado en el que se sostiene este axioma se llama Arquímedes . David Hilbert define el campo de los números reales como el " campo de Arquímedes completo ": con esta oración, Hilbert enfatiza el hecho de que los números reales forman el campo de Arquímedes más grande , en el sentido de que todos los demás campos de Arquímedes están contenidos en $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . En este sentido, $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ está "completo" según Hilbert.

Este significado de completitud se acerca más a la construcción de números reales a partir de números surrealistas , ya que la construcción comienza con una clase que contiene cada campo ordenado (el surrealista) y selecciona de él el subcampo de Arquímedes más grande.

Cardinalidad

A diferencia de los números racionales , los reales no forman un conjunto contable ; el conjunto de números reales es "estrictamente mayor" que el de los números naturales (incluso considerando que ambos son infinitos). Formalmente, esto equivale a decir que no hay correspondencia biunívoca entre números reales y números naturales.

Este hecho distingue a los números reales de otros conjuntos numéricos de uso habitual. De hecho, los conjuntos de números naturales , racionales y algebraicos tienen todos la misma cardinalidad (es decir, se pueden poner en correspondencia uno a uno), mientras que el conjunto de números reales tiene una cardinalidad más alta : hay una función inyectiva de números racionales a reales, pero no al revés.

En otras palabras, al llenar todos los huecos que dejan los números racionales, uno debe agregar una "cantidad" de números nuevos que aumente su cardinalidad. Este hecho puede demostrarse con el procedimiento diagonal de Cantor .

De hecho, todo $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ tiene cardinalidad 2 ^{ℵ ₀} , lo mismo que el conjunto de partes de un conjunto contable: es decir, la misma cardinalidad que el conjunto de todos los subconjuntos de números naturales .

Dado que los números algebraicos también tienen cardinalidad contable, "casi todos" los números reales son trascendentes .

La hipótesis del continuo apoya la inexistencia de una cardinalidad intermedia entre la de los enteros y la de los reales. En el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , que es la más utilizada, esta hipótesis no puede ser probada ni refutada, es decir, es independiente de sus axiomas.

Densidad de números racionales en el conjunto de números reales

El conjunto $\mathbb {Q}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ de números racionales es denso en el conjunto de números reales.

Demostración

Déjalos ser $a,b\in \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$ con $a<b$ ${\ Displaystyle a <b}$ $a <b$ , asi que $\exists q\in \mathbb {Q} :a<q<b$ ${\ Displaystyle \ existe q \ in \ mathbb {Q}: a <q <b}$ ${\ Displaystyle \ existe q \ in \ mathbb {Q}: a <q <b}$

Caso I

$para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ son discordantes: $a<0<b$ ${\ Displaystyle a <0 <b}$ $a <0 <b$
$0\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q=0$ ${\ Displaystyle 0 \ in \ mathbb {Q} \ Rightarrow \ existe q \ in \ mathbb {Q}, q = 0}$ ${\ Displaystyle 0 \ in \ mathbb {Q} \ Rightarrow \ existe q \ in \ mathbb {Q}, q = 0}$ .

Caso II

$para$ ${\ Displaystyle a}$ $para$ Y $B$ ${\ Displaystyle b}$ $B$ ambos son positivos : $0<a<b$ ${\ Displaystyle 0 <a <b}$ $0 <a <b$

Ya que $0<a<b$ ${\ Displaystyle 0 <a <b}$ $0 <a <b$ tenemos eso $b-a>0$ ${\ Displaystyle ba> 0}$ $b-a> 0$ y eso tambien ${\frac {1}{b-a}}>0\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {ba}}> 0 \ in \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {b-a}}> 0 \ in \ mathbb {R}}$ de ahí la propiedad de Arquímedes de los números reales $\exists n\in \mathbb {N} :n>{\frac {1}{b-a}},$ ${\ Displaystyle \ existe n \ in \ mathbb {N}: n> {\ frac {1} {ba}},}$ ${\ Displaystyle \ existe n \ in \ mathbb {N}: n> {\ frac {1} {b-a}},}$ asi que:

{\frac {1}{b-a}}<n

{\ Displaystyle {\ frac {1} {ba}} <n}

\ frac {1} {b-a} <n

n(b-a)>1

{\ Displaystyle n (ba)> 1}

n (b-a)> 1

nb-na>1

{\ Displaystyle nb-na> 1}

nb-na> 1

nb>na{}+1

{\ Displaystyle nb> na {} + 1}

nb> na {} +1

{\textbf {na+1}}<{\textbf {nb}}.

{\ Displaystyle {\ textbf {na + 1}} <{\ textbf {nb}}.}

{\ Displaystyle {\ textbf {na + 1}} <{\ textbf {nb}}.}

Es $X=\{k\in \mathbb {N} |k>na\}$ ${\ Displaystyle X = \ {k \ in \ mathbb {N} | k> na \}}$ $X = \ {k \ in \ mathbb {N} | k> na \}$ , $X\subset \mathbb {N}$ ${\ Displaystyle X \ subconjunto \ mathbb {N}}$ $X \ subconjunto \ mathbb {N}$ , por lo tanto, para la propiedad de Arquímedes de los números reales $X\neq \varnothing$ ${\ Displaystyle X \ neq \ varnothing}$ $X \ neq \ varnothing$ Por supuesto $\exists k\in \mathbb {N} :k>na$ ${\ Displaystyle \ existe k \ in \ mathbb {N}: k> na}$ $\ exist k \ in \ mathbb {N}: k> na$ . Por las buenas propiedades de ordenación de los números naturales. $X$ ${\ Displaystyle X}$ $X$ admite mínimo es decir $\exists m\in X:m\leq k\forall k\in X,$ ${\ Displaystyle \ existe m \ en X: m \ leq k \ forall k \ in X,}$ ${\ Displaystyle \ existe m \ en X: m \ leq k \ forall k \ in X,}$ asi que:

na<m

{\ Displaystyle na <m}

na <m

na>m-1

{\ Displaystyle na> m-1}

na> m - 1

(Por supuesto

m-1\notin X

{\ Displaystyle m-1 \ notin X}

m-1 \ notin X

)

na+1>m

{\ Displaystyle na + 1> m}

na + 1> m

{\textbf {na}}<{\textbf {m}}<na+1<{\textbf {nb}}

{\ Displaystyle {\ textbf {na}} <{\ textbf {m}} <na + 1 <{\ textbf {nb}}}

\ textbf {na} <\ textbf {m} <na + 1 <\ textbf {nb}

na<m<nb

{\ Displaystyle na <m <nb}

na <m <nb

a<{\frac {m}{n}}<b

a<{\frac {m}{n}}<b

a < \frac{m}{n} < b

m,n\in \mathbb {N} \Rightarrow {\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q={\frac {m}{n}}.

m,n\in \mathbb {N} \Rightarrow {\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q={\frac {m}{n}}.

m,n\in \mathbb {N} \Rightarrow {\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q={\frac {m}{n}}.

Caso III

$a$ ${\displaystyle a}$ $a$ e $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ sono ambedue negativi : $a<b<0$ ${\displaystyle a<b<0}$ $a < b < 0$

$a<b<0\Rightarrow 0<-b<-a$ $a<b<0\Rightarrow 0<-b<-a$ $a < b < 0 \Rightarrow 0 < -b < -a$
$-a,-b>0\Rightarrow$ $-a,-b>0\Rightarrow$ $-a, -b > 0 \Rightarrow$ come nel caso appena illustrato $\exists {\bar {q}}\in \mathbb {Q} :-b<{\bar {q}}<-a$ $\exists {\bar {q}}\in \mathbb {Q} :-b<{\bar {q}}<-a$ $\exists {\bar {q}}\in \mathbb {Q} :-b<{\bar {q}}<-a$ moltiplicando per −1 si invertono i segni della disuguaglianza e si ha che $a<-{\bar {q}}<b$ $a<-{\bar {q}}<b$ $a < -\bar{q} < b$ , ${\bar {q}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow -{\bar {q}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q=-{\bar {q}}$ ${\bar {q}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow -{\bar {q}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q=-{\bar {q}}$ ${\bar {q}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow -{\bar {q}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \exists q\in \mathbb {Q} ,q=-{\bar {q}}$ .

Densità dei numeri irrazionali nell'insieme dei numeri reali

Definito l'insieme $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ dei numeri irrazionali si dimostra che anch'esso è denso in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ .

Dimostrazione

Siano $a,b\in \mathbb {R}$ $a,b\in \mathbb {R}$ $a, b \in \mathbb{R}$ con $a<b$ ${\displaystyle a<b}$ $a<b$ , allora $\exists x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} :a<x<b$ $\exists x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} :a<x<b$ $\exist x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} : a < x < b$ . Per la proprietà di compatibilità della relazione d'ordine fissata su $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb{R}$ rispetto all'operazione di somma algebrica se $a<b$ ${\displaystyle a<b}$ $a<b$ allora $a-{\sqrt {2}}<b-{\sqrt {2}}$ $a-{\sqrt {2}}<b-{\sqrt {2}}$ $a - \sqrt{2} < b - \sqrt{2}$
$a-{\sqrt {2}}$ $a-{\sqrt {2}}$ $a - \sqrt{2}$ e $b-{\sqrt {2}}\in \mathbb {R}$ $b-{\sqrt {2}}\in \mathbb {R}$ $b - \sqrt{2} \in \mathbb{R}$ quindi per la proprietà di densità dei numeri razionali nell'insieme dei numeri reali $\exists q\in \mathbb {Q} :a-{\sqrt {2}}<q<b-{\sqrt {2}}$ $\exists q\in \mathbb {Q} :a-{\sqrt {2}}<q<b-{\sqrt {2}}$ $\exist q \in \mathbb{Q} : a - \sqrt{2} < q < b - \sqrt{2}$ , aggiungendo ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ a tutti i membri della disuguaglianza si ha che $a<q+{\sqrt {2}}<b$ $a<q+{\sqrt {2}}<b$ $a < q + \sqrt{2} < b$ e che quindi $\exists x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,x=q+{\sqrt {2}}$ $\exists x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,x=q+{\sqrt {2}}$ $\exists x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,x=q+{\sqrt {2}}$ .

Metrica e topologia

I numeri reali formano uno spazio metrico : la distanza tra $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ e $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ è definita come il valore assoluto $|x-y|$ ${\displaystyle |xy|}$ $|x-y|$ . Come accennato sopra, $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ risulta essere uno spazio metrico completo .

La metrica appena definita induce su $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ una struttura di spazio topologico . Un sottoinsieme $X$ ${\displaystyle X}$ $X$ di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ è aperto se e solo se è unione di intervalli aperti $(a,b)$ ${\displaystyle (a,b)}$ $(a,b)$ , dove $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ e $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ possono essere anche $-\infty$ $-\infty$ $- \infty$ o $+\infty$ $+\infty$ $+\infty$ ^[1] .

Lo spazio $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ è connesso ma non compatto . Lo spazio è comunque localmente compatto , ed è una varietà differenziale di dimensione 1. Risulta essere omeomorfo a un qualsiasi intervallo aperto $(a,b)$ ${\displaystyle (a,b)}$ $(a,b)$ .

Lo spazio $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ è contraibile , e quindi semplicemente connesso , con tutti i gruppi di omotopia banali.

Struttura lineare

I numeri reali sono il prototipo di spazio vettoriale reale di dimensione uno: la moltiplicazione per uno scalare non è altro che la moltiplicazione usuale. La struttura lineare è compatibile con la topologia sopra descritta, dunque $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ è uno spazio vettoriale topologico .

L'insieme $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ può anche essere pensato come uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali ; in questo caso risulta avere una dimensione infinita (così come il campo dei numeri algebrici ).

Inoltre, la moltiplicazione funge anche da prodotto scalare , rendendo $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ uno spazio di Hilbert e quindi uno spazio normato , in cui la norma non è altro che la funzione valore assoluto .

Misura

Lo stesso argomento in dettaglio: Misura di Lebesgue .

I numeri reali sono dotati di una misura canonica, la misura di Lebesgue . La misura dell'intervallo $(a,b)$ ${\displaystyle (a,b)}$ $(a,b)$ si definisce come $b-a$ ${\displaystyle ba}$ $b-a$ . Qualsiasi sottoinsieme numerabile (come ad esempio quello dei numeri razionali), ha misura nulla. Esistono anche sottoinsiemi di misura nulla non numerabili, come l' insieme di Cantor .

Ci sono in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ anche insiemi non misurabili, ma la loro costruzione necessita dell' assioma della scelta : un esempio è l' insieme di Vitali .

La misura di Lebesgue è la misura di Haar della struttura di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ come gruppo topologico , normalizzata in modo che l'intervallo [0,1] abbia misura 1.

Algebra

Ogni numero reale non negativo ha la sua radice quadrata in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ , i reali negativi no. Questo mostra che l'ordinamento in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ è determinato dalla sua struttura algebrica.

Ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice. Esistono comunque polinomi senza radici reali, e questo fa di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ un campo non algebricamente chiuso .

La chiusura algebrica di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ (ovvero il più piccolo campo algebricamente chiuso che lo contiene) è il campo dei numeri complessi .

Logica

L'assioma di Dedekind si riferisce a sottoinsiemi di reali e quindi è un predicato della logica del secondo ordine . In generale, non è possibile caratterizzare i reali usando solo la logica del primo ordine .

Per il teorema di Löwenheim-Skolem (debole) , esiste un insieme denso numerabile di numeri reali che soddisfa gli stessi predicati nella logica del prim'ordine dei numeri reali.

L'insieme dei numeri iperreali è più grande di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ ma soddisfa gli stessi predicati della logica del prim'ordine di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ . I campi ordinati che soddisfano gli stessi predicati della logica del prim'ordine di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ sono chiamati modelli non standard di $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ . Questo è ciò che permette all' analisi non standard di funzionare; dimostrando un predicato del prim'ordine in qualche modello non standard (che può essere più semplice che dimostrarlo in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ ), se ne deduce che lo stesso predicato è vero anche per $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ .

Generalizzazioni ed estensioni

I numeri reali possono essere generalizzati ed estesi in numerose direzioni. Forse l'estensione più naturale è quella dei numeri complessi , che formano un campo algebricamente chiuso . Tuttavia, rispetto ai reali, essi perdono la struttura di ordinamento, ciò significa che i numeri complessi non sono un campo ordinato . I numeri complessi hanno innumereveli applicazioni in fisica : per esempio, in elettrotecnica e in elettronica sono alla base del metodo simbolico che semplifica enormemente lo studio dei circuiti elettrici in regime sinusoidale , così come sono fondamentali in meccanica quantistica , poiché questa teoria è sviluppata in uno spazio di Hilbert a dimensione infinita sul campo dei complessi e, inoltre, l'unità immaginaria compare nell' equazione di Schrödinger .

Il campo dei numeri complessi è l' algebra ottenuta dal campo dei numeri reali mediante la costruzione di Cayley-Dickson . Proseguendo con tale costruzione, si ottengono algebre successive sul campo dei numeri reali, ciascuna di dimensione via via doppia rispetto all'algebra precedente, al prezzo della progressiva perdita di alcune proprietà. Dopo i numeri complessi, si ottengono, in sequenza, i quaternioni , gli ottonioni ei sedenioni . Tutte queste algebre costituiscono la famiglia delle algebre di Cayley-Dickson , che è inclusa nell'insieme dei cosiddetti numeri ipercomplessi , il quale, tuttavia, include anche la famiglia delle algebre di Clifford .

Un'altra possibile estensione per i numeri reali è rappresentata dai numeri duali che, sotto alcuni aspetti, mostrano proprietà complementari rispetto a quelle dei numeri complessi e che, a differenza di questi ultimi, sono caratterizzati da un'unità immaginaria nilpotente . Inoltre, a differenza dei numeri complessi, i numeri duali non costituiscono un campo , ma costituiscono semplicemente un' algebra associativa e commutativa dotata di unità, introducendo le operazioni di somma e di prodotto. Anche i numeri duali hanno applicazioni in fisica, come un semplice esempio di superspazio , utilizzato da alcune teorie fisiche, quali la relatività generale e le teorie supersimmetriche , per descrivere la configurazione spaziale.

Ancora un'altra possibile estensione per i numeri reali è rappresentata dai numeri complessi iperbolici , caratterizzati da un'unità immaginaria il cui quadrato è posto uguale a 1 , invece che a -1 , come accade per gli ordinari numeri complessi. I numeri complessi iperbolici presentano diverse analogie con gli ordinari numeri complessi, tuttavia, a differenza di questi ultimi e come i numeri duali, non costituiscono un campo; essi costituiscono, infatti, solamente un anello . Anche i numeri complessi iperbolici trovano applicazioni in fisica: per esempio, nell'ambito della relatività ristretta , possono essere utilizzati per rappresentare le trasformazioni di Lorentz .

Esempi di campi ordinati che estendono i reali sono i numeri iperreali ei numeri surreali : entrambi contengono numeri infinitesimali e infinitamente grandi, ma non soddisfano l'assioma di Archimede descritto sopra.

Occasionalmente, come scritto sopra, gli elementi formali $+\infty$ $+\infty$ $+\infty$ e $-\infty$ $-\infty$ $-\infty$ sono aggiunti ai reali per formare la retta numerica estesa , con una naturale topologia compatta . Questo insieme non è un campo ma mantiene molte delle proprietà dei numeri reali.

Le forme hermitiane su uno spazio di Hilbert (per esempio, le matrici quadrate complesse autoaggiunte) generalizzano i reali in molti aspetti: possono essere ordinate (non totalmente), sono complete, i loro autovalori sono reali e formano un' algebra associativa reale. Gli operatori definiti positivi corrispondono ai numeri reali positivi e gli operatori normali corrispondono ai numeri complessi.

Note

^ Dato uno spazio topologico su un insieme $X$ ${\displaystyle X}$ $X$ , sia lo stesso $X$ ${\displaystyle X}$ $X$ che l'insieme vuoto $\emptyset$ $\emptyset$ $\emptyset$ sono aperti per ogni sua topologia. Poiché si pone per definizione $(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ $(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ $(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ , $(-\infty ,+\infty )$ $(-\infty ,+\infty )$ $(-\infty ,+\infty )$ è un aperto dello spazio topologico reale indotto dalla metrica euclidea su $\mathbb {R} ^{1}$ $\mathbb {R} ^{1}$ $\mathbb {R} ^{1}$ .

Voci correlate

Altri progetti

Wikiversità contiene risorse su numero reale
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su numero reale

Collegamenti esterni

( EN ) Numero reale , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 6844 · LCCN ( EN ) sh85093221 · GND ( DE ) 4202628-3 · BNF ( FR ) cb11977586x (data) · NDL ( EN , JA ) 00574870

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Dato uno spazio topologico su un insieme $X$ ${\displaystyle X}$ $X$ , sia lo stesso $X$ ${\displaystyle X}$ $X$ che l'insieme vuoto $\emptyset$ $\emptyset$ $\emptyset$ sono aperti per ogni sua topologia. Poiché si pone per definizione $(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ $(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ $(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ , $(-\infty ,+\infty )$ $(-\infty ,+\infty )$ $(-\infty ,+\infty )$ è un aperto dello spazio topologico reale indotto dalla metrica euclidea su $\mathbb {R} ^{1}$ $\mathbb {R} ^{1}$ $\mathbb {R} ^{1}$ .

[1]

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione ( di funzioni ) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite ( di una funzione · di una successione · Forma indeterminata ) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie ( di funzioni ) · Criteri di convergenza ·Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo , di linea ( 1ª specie · 2ª specie ) e di superficie ( di volume )
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy