Onda de choque (dinámica de fluidos)

Ondas de choque producidas por un Northrop T-38 Talon durante el vuelo, 13 de diciembre de 1993 Wallops Island , Virginia . Strioscopy por Leonard Weinstein de la NASA 's Centro de Investigación Langley . ^[1]

Compresión a Mach 1,2 observada por estrioscopia . (Imagen: NASA )

En dinámica de fluidos y aerodinámica, el término onda de choque indica una capa delgada de fuerte variación en los campos de presión , temperatura , densidad y velocidad del fluido . Este delgado espesor, del orden de 10 nm, se modela matemáticamente como una discontinuidad.

Tipos

Una onda de choque puede ser normal u oblicua a la dirección de la velocidad relativa entre la onda y la corriente, y también puede ser estacionaria o moverse con respecto a un cuerpo que la genera. Las ondas sonoras, identificables como pequeñas perturbaciones de presión y velocidad, ya que estas últimas cantidades están vinculadas en las ecuaciones que rigen el fenómeno, representan ondas de choque que, por su baja intensidad, pueden considerarse isentrópicas , es decir, que no modifican significativamente. la entropía del flujo que los atraviesa o atraviesan (también se les llama ondas de Mach ). El mecanismo de onda de choque oblicua es capaz de desviar un flujo supersónico.

También son de particular interés las ondas de choque adiabáticas, es decir, las que pueden producirse en una corriente de fluido animada por un movimiento homoenergético .

Onda de choque normal

Considere la figura de la derecha. Imagine un tanque aguas arriba del conducto de la figura que por alguna razón se vacía, generando un flujo de fluido (que consideraremos un gas ideal ) dentro del conducto. Dichos 1 y 2 las dos secciones de control, llamadas T 0 la temperatura total en el tanque, y p 0 la presión total, llamada τ el volumen de control, y las variaciones de la sección entre 1 y 2 son insignificantes, identificándose con ${\vec {n}}_{1}$ ${\ Displaystyle {\ vec {n}} _ {1}}$ $\ vec n_1$ lo normal a la sección 1 y con ${\vec {n}}_{2}$ ${\ Displaystyle {\ vec {n}} _ {2}}$ $\ vec n_2$ En la sección 2, imagine que, debido a las condiciones de presión aguas abajo del conducto, o las condiciones de conexión del propio conducto, el fluido se ve obligado a cambiar repentinamente sus propiedades de presión, velocidad y temperatura dentro de un pequeño volumen (indicado precisamente con τ ).

A esta zona de discontinuidad la llamaremos onda de choque normal .

Suponiendo el flujo constante, es decir, las derivadas de las cantidades con respecto al tiempo, hacemos el balance de la masa y el momento . Suponiendo un flujo en la entrada del volumen de control supersónico unidimensional, indicaremos con ρ la densidad del fluido, con u la velocidad y con A la sección.

Balance de masa:

\rho _{1}u_{1}A_{1}=\rho _{2}u_{2}A_{2}

{\ Displaystyle \ rho _ {1} u_ {1} A_ {1} = \ rho _ {2} u_ {2} A_ {2}}

\ rho _1 u_1 A_1 = \ rho _2 u_2 A_2

.

Coincidiendo $A_{1}$ ${\ Displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ con $A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ el equilibrio se vuelve

\rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}=G

{\ Displaystyle \ rho _ {1} u_ {1} = \ rho _ {2} u_ {2} = G}

\ rho_1 u_1 = \ rho _2 u_2 = G

donde G es una constante invariante aguas arriba y aguas abajo del volumen de control.

Balance de momento:

A_{2}(p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2}){\vec {n}}_{2}-A_{1}(p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}){\vec {n}}_{1}={\vec {R}}+M{\vec {g}}

{\ Displaystyle A_ {2} (p_ {2} + \ rho _ {2} u_ {2} ^ {2}) {\ vec {n}} _ {2} -A_ {1} (p_ {1} + \ rho _ {1} u_ {1} ^ {2}) {\ vec {n}} _ {1} = {\ vec {R}} + M {\ vec {g}}}

A_2 (p_2 + \ rho _2 u_2 ^ 2) \ vec n_2 - A_1 (p_1 + \ rho _1 u_1 ^ 2) \ vec n_1 = \ vec R + M \ vec g

Lo hemos indicado con ${\vec {R}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {R}}}$ $\ vec R$ la resultante de las acciones del conducto sobre el fluido, con M la masa de fluido, y con ${\vec {g}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {g}}}$ $\ vec g$ aceleración de la gravedad.

Descuidemos ahora el peso del fluido y la acción del conducto sobre el propio fluido, actuando sobre la zona lateral del volumen, de orden inferior a las zonas frontales. Por lo tanto, ya que $A_{1}=A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {1} = A_ {2}}$ $A_1 = A_2$ Y ${\vec {n}}_{1}={\vec {n}}_{2}$ ${\ Displaystyle {\ vec {n}} _ {1} = {\ vec {n}} _ {2}}$ $\ vec n_1 = \ vec n_2$ entonces el equilibrio del impulso simplemente se convierte en $p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2}=p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}=I$ ${\ Displaystyle p_ {2} + \ rho _ {2} u_ {2} ^ {2} = p_ {1} + \ rho _ {1} u_ {1} ^ {2} = I}$ $p_2 + \ rho _2 u_2 ^ 2 = p_1 + \ rho _1 u_1 ^ 2 = I$ invariante aguas arriba y aguas abajo del volumen de control.

Hagamos ahora un balance de la energía:

\rho _{2}A_{2}u_{2}h_{02}-\rho _{1}A_{1}u_{1}h_{01}=M{\dot {q}}

{\ Displaystyle \ rho _ {2} A_ {2} u_ {2} h_ {02} - \ rho _ {1} A_ {1} u_ {1} h_ {01} = M {\ dot {q}}}

\ rho _2 A_2 u_2 h_ {02} - \ rho _1 A_1 u_1 h_ {01} = M \ dot q

Dónde está

h_{0}

{\ Displaystyle h_ {0}}

h_0

es la entalpía total e

{\dot {q}}

{\ Displaystyle {\ dot {q}}}

\ dot q

la derivada del tiempo del calor introducido. Ser

{\dot {q}}=0

{\ Displaystyle {\ dot {q}} = 0}

\ dot q = 0

(conducto adiabático) simplemente

h_{02}=h_{01}=h_{0}

{\ Displaystyle h_ {02} = h_ {01} = h_ {0}}

h_ {02} = h_ {01} = h_0

.

Por tanto, tenemos tres invariantes: G, I, e $h_{0}$ ${\ Displaystyle h_ {0}}$ $h_0$ . Recuerde la definición de velocidad crítica del sonido. $a_{c}$ ${\ Displaystyle a_ {c}}$ $ANTES DE CRISTO$ :

((\gamma -1)/2)u^{2}=a_{0}^{2}=((\gamma +1)/2)a_{c}^{2}.

{\ displaystyle ((\ gamma -1) / 2) u ^ {2} = a_ {0} ^ {2} = ((\ gamma +1) / 2) a_ {c} ^ {2}.}

((\ gamma - 1) / 2) u ^ 2 = a_0 ^ 2 = ((\ gamma + 1) / 2) a_c ^ 2.

Se indica con $a_{0}$ ${\ Displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ la velocidad del sonido a la entalpía total e $\gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}$ ${\ Displaystyle \ gamma = {\ frac {c_ {p}} {c_ {v}}}}$ $\ gamma = \ frac {c_p} {c_v}$ .

es más $a^{2}=\gamma rT=\gamma {\frac {u}{G}}(I-Gu)$ ${\ Displaystyle a ^ {2} = \ gamma rT = \ gamma {\ frac {u} {G}} (I-Gu)}$ $a ^ 2 = \ gamma r T = \ gamma \ frac {u} {G} (I - Gu)$ y por tanto llegamos a la ecuación que regula las ondas de choque normales:

u^{2}-{\frac {2\gamma }{\gamma +1}}{\frac {I}{G}}u+a_{c}^{2}=0.

{\ Displaystyle u ^ {2} - {\ frac {2 \ gamma} {\ gamma +1}} {\ frac {I} {G}} u + a_ {c} ^ {2} = 0.}

u ^ 2 - \ frac {2 \ gamma} {\ gamma +1} \ frac {I} {G} u + a_c ^ 2 = 0.

Llamamos $u_{1}$ ${\ Displaystyle u_ {1}}$ $u_1$ Y $u_{2}$ ${\ Displaystyle u_ {2}}$ $u_2$ las dos soluciones de la ecuación (real y distinta o real y coincidente), ya que debido a la propiedad conocida de las ecuaciones de segundo grado $u_{1}u_{2}=a_{c}^{2}$ ${\ Displaystyle u_ {1} u_ {2} = a_ {c} ^ {2}}$ $u_1 u_2 = a_c ^ 2$ , entonces en un golpe normal es $M_{1}cM_{2}c=1$ ${\ Displaystyle M_ {1} cM_ {2} c = 1}$ $M_1c M_2c = 1$ , donde con $M_{c}$ ${\ Displaystyle M_ {c}}$ $M_c$ hemos indicado el número de Mach crítico , definido como $M_{c}={\frac {u}{a_{c}}}$ ${\ Displaystyle M_ {c} = {\ frac {u} {a_ {c}}}}$ $M_c = \ frac {u} {a_c}$ . A partir de esta relación, notamos inmediatamente que un flujo a través de una onda de choque normal pasa de supersónico a subsónico o viceversa (pero la última alternativa es imposible porque viola la segunda ley de la termodinámica ).

Golpe normal

El mismo tema en detalle: golpe normal .

La relación que une los números de Mach "verdaderos" es la siguiente:

M_{2}^{2}={\dfrac {1+{\dfrac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{\gamma M_{1}^{2}-{\dfrac {\gamma -1}{2}}}}.

{\ Displaystyle M_ {2} ^ {2} = {\ dfrac {1 + {\ dfrac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {\ gamma M_ {1} ^ {2 } - {\ dfrac {\ gamma -1} {2}}}}.}

M_2 ^ 2 = \ dfrac {1+ \ dfrac {\ gamma -1} {2} M_1 ^ 2} {\ gamma M_1 ^ 2 - \ dfrac {\ gamma -1} {2}}.

Observando esta relación se puede ver que para $M_{1}\to \ 1$ ${\ Displaystyle M_ {1} \ to \ 1}$ $M_1 \ a \ 1$ Después también $M_{2}\to \ 1$ ${\ Displaystyle M_ {2} \ to \ 1}$ $M_2 \ a \ 1$ (en este caso tendremos una zona de discontinuidad débil, un fenómeno casi isentrópico llamado "onda de Mach"). Si en cambio $M_{1}\to \ \infty$ ${\ Displaystyle M_ {1} \ to \ \ infty}$ $M_1 \ a \ \ infty$ asi que $M_{2}\to \ \left({\dfrac {\gamma -1}{2\gamma }}\right)^{\frac {1}{2}}$ ${\ Displaystyle M_ {2} \ to \ \ left ({\ dfrac {\ gamma -1} {2 \ gamma}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$ $M_2 \ to \ \ left (\ dfrac {\ gamma - 1} {2 \ gamma} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}$ .

En cuanto a velocidades:

{\dfrac {u_{1}}{u_{2}}}={\dfrac {\gamma +1}{2}}{\dfrac {M_{1}^{2}}{1+{\dfrac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}}

{\ displaystyle {\ dfrac {u_ {1}} {u_ {2}}} = {\ dfrac {\ gamma +1} {2}} {\ dfrac {M_ {1} ^ {2}} {1+ { \ dfrac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}}}}

\ dfrac {u_1} {u_2} = \ dfrac {\ gamma + 1} {2} \ dfrac {M_1 ^ 2} {1 + \ dfrac {\ gamma -1} {2} M_1 ^ 2}

Por tanto, la velocidad disminuye con un impacto normal.

Para presiones:

{\frac {p_{2}-p_{1}}{p_{1}}}={\frac {2\gamma }{\gamma +1}}(M_{1}^{2}-1).

{\ Displaystyle {\ frac {p_ {2} -p_ {1}} {p_ {1}}} = {\ frac {2 \ gamma} {\ gamma +1}} (M_ {1} ^ {2} - 1).}

\ frac {p_2-p_1} {p_1} = \ frac {2 \ gamma} {\ gamma + 1} (M_1 ^ 2-1).

Por tanto, la presión aumenta a través de la onda.

De las leyes de Poisson obtenemos:

{\frac {p_{01}}{p_{02}}}=\left[1+{\frac {2\gamma }{\gamma +1}}(M_{1}^{2}-1)\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}\left[{\frac {(\gamma -1)M_{1}^{2}+2}{(\gamma +1)M_{1}^{2}}}\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}

{\ displaystyle {\ frac {p_ {01}} {p_ {02}}} = \ left [1 + {\ frac {2 \ gamma} {\ gamma +1}} (M_ {1} ^ {2} - 1) \ right] ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}} \ left [{\ frac {(\ gamma -1) M_ {1} ^ {2} +2} {(\ gamma +1) M_ {1} ^ {2}}} \ right] ^ {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}}}

\ frac {p_ {01}} {p_ {02}} = \ left [1 + \ frac {2 \ gamma} {\ gamma + 1} (M_1 ^ 2 - 1) \ right] ^ {\ frac {1} {\ gamma - 1}} \ left [\ frac {(\ gamma - 1) M_1 ^ 2 + 2} {(\ gamma + 1) M_1 ^ 2} \ right] ^ {\ frac {\ gamma} {\ gamma - 1}}

Uno mismo $M_{1}>1$ ${\ Displaystyle M_ {1}> 1}$ $M_1> 1$ Después también $p_{01}>p_{02}$ ${\ Displaystyle p_ {01}> p_ {02}}$ $p_ {01}> p_ {02}$ y viceversa si $M_{1}<1$ ${\ Displaystyle M_ {1} <1}$ $M_1 <1$ . Indicando con $\sigma$ ${\ Displaystyle \ sigma}$ $\sigma$ entropía, ya que $\Delta \sigma =\sigma _{2}-\sigma _{1}=r\ln \left({\frac {p_{01}}{p_{02}}}\right)$ ${\ Displaystyle \ Delta \ sigma = \ sigma _ {2} - \ sigma _ {1} = r \ ln \ left ({\ frac {p_ {01}} {p_ {02}}} \ right)}$ $\ Delta \ sigma = \ sigma _2 - \ sigma _1 = r \ ln \ left (\ frac {p_ {01}} {p_ {02}} \ right)$ es eso $\Delta \sigma >0$ ${\ Displaystyle \ Delta \ sigma> 0}$ $\ Delta \ sigma> 0$ para la segunda ley de la termodinámica, entonces es que $p_{02}<p_{01}$ ${\ Displaystyle p_ {02} <p_ {01}}$ $p_ {02} <p_ {01}$ y entonces $M_{1}>1$ ${\ Displaystyle M_ {1}> 1}$ $M_1> 1$ . Por lo tanto, las ondas de choque normales solo son posibles con un flujo de entrada supersónico.

Respecto a la temperatura:

p_{1}u_{1}-p_{2}u_{2}=Gr(T_{1}-T_{2})

{\ Displaystyle p_ {1} u_ {1} -p_ {2} u_ {2} = Gr (T_ {1} -T_ {2})}

p_1 u_1 - p_2 u_2 = G r (T_1-T_2)

A partir del cual $T_{1}<T_{2}$ ${\ Displaystyle T_ {1} <T_ {2}}$ $T_1 <T_2$ porque el primer miembro de dicha ecuación es negativo. Entonces la temperatura sube a través de la ola.

Ondas de choque oblicuas

Las ondas de choque oblicuas son áreas de discontinuidad del campo fluidodinámico colocadas en un ángulo distinto de 90 ° con respecto al flujo. Considerando la figura de la derecha, llame v la velocidad de un sistema de referencia que se traduce sin acelerar con respecto a una onda de choque normal. Yo lo llamo $u_{1}$ ${\ Displaystyle u_ {1}}$ $u_1$ la velocidad del fluido de entrada con respecto a una referencia estacionaria, mientras $w_{1}$ ${\ Displaystyle w_ {1}}$ $w_1$ la velocidad vista según el sistema de referencia de traducción. El observador que forma parte del sistema de referencia de traslación ve un flujo en ángulo que entra $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ con respecto a la ola, y la ve salir desviada en un ángulo $\theta$ ${\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . En comparación con la discusión realizada en el párrafo anterior, las cantidades relacionadas con las velocidades cambiarán, pero no las relacionadas con la entalpía o la entropía . Yo lo llamo $h_{0}=h+{\frac {w_{1}^{2}}{2}}$ ${\ Displaystyle h_ {0} = h + {\ frac {w_ {1} ^ {2}} {2}}}$ $h_0 = h + \ frac {w_1 ^ 2} {2}$ la nueva entalpía total, siempre invariante, mientras que individual en $h_{0n}=h+{\frac {u_{1}^{2}}{2}}$ ${\ Displaystyle h_ {0n} = h + {\ frac {u_ {1} ^ {2}} {2}}}$ $h_ {0n} = h + \ frac {u_1 ^ 2} {2}$ la entalpía total relativa a la parte normal de la velocidad del fluido. Dado que nada ha cambiado energéticamente con respecto a la situación anterior, el salto en la entropía será el mismo.

Relaciones para las ondas de choque oblicuas

Por tanto la relación que vincula el número de Mach de entrada y salida en el sistema de referencia móvil será:

M_{2}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta -\theta )={\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta )}{\gamma M_{1}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta )-{\frac {\gamma -1}{2}}}}

{\ Displaystyle M_ {2} ^ {2} \ mathrm {sen} ^ {2} (\ beta - \ theta) = {\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1 } ^ {2} \ mathrm {sen} ^ {2} (\ beta)} {\ gamma M_ {1} ^ {2} \ mathrm {sen} ^ {2} (\ beta) - {\ frac {\ gamma -1} {2}}}}}

M_2 ^ 2 \ mathrm {sen} ^ 2 (\ beta - \ theta) = \ frac {1 + \ frac {\ gamma-1} {2} M_1 ^ 2 \ mathrm {sen} ^ 2 (\ beta)} { \ gamma M_1 ^ 2 \ mathrm {sen} ^ 2 (\ beta) - \ frac {\ gamma-1} {2}}

M_{1n}>1

{\ Displaystyle M_ {1n}> 1}

M_ {1n}> 1

implica que

M_{1}\mathrm {sen} (\beta )>1\Rightarrow \ \mathrm {sen} (\beta )\geq \ {\frac {1}{M_{1}}}=\mathrm {sen} (\mu _{1})\Rightarrow \ \beta \geq \ \mu _{1}

{\ Displaystyle M_ {1} \ mathrm {sen} (\ beta)> 1 \ Flecha derecha \ \ mathrm {sen} (\ beta) \ geq \ {\ frac {1} {M_ {1}}} = \ mathrm { sen} (\ mu _ {1}) \ Flecha derecha \ \ beta \ geq \ \ mu _ {1}}

M_1 \ mathrm {sen} (\ beta)> 1 \ Rightarrow \ \ mathrm {sen} (\ beta) \ ge \ \ frac {1} {M_1} = \ mathrm {sen} (\ mu_1) \ Rightarrow \ \ beta \ ge \ \ mu_1

Dónde está

\mu _{1}

{\ Displaystyle \ mu _ {1}}

\ mu_1

es el ángulo del cono de Mach aguas arriba de la onda.

El salto de densidad viene dado por:

{\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}={\frac {{\frac {\gamma +1}{2}}M_{1}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta )}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta )}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}} = {\ frac {{\ frac {\ gamma +1} {2}} M_ {1} ^ {2} \ mathrm {sen} ^ {2} (\ beta)} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2} \ mathrm {sen} ^ {2} (\ beta) }}}

\ frac {\ rho_2} {\ rho_1} = \ frac {\ frac {\ gamma + 1} {2} M_1 ^ 2 \ mathrm {sen} ^ 2 (\ beta)} {1+ \ frac {\ gamma-1 } {2} M_1 ^ 2 \ mathrm {sen} ^ 2 (\ beta)}

La presión varía según la relación:

{\frac {p_{2}-p_{1}}{p_{1}}}={\frac {2\gamma }{\gamma +1}}(M_{1}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta )-1)

{\ Displaystyle {\ frac {p_ {2} -p_ {1}} {p_ {1}}} = {\ frac {2 \ gamma} {\ gamma +1}} (M_ {1} ^ {2} \ mathrm {sen} ^ {2} (\ beta) -1)}

\ frac {p_2-p_1} {p_1} = \ frac {2 \ gamma} {\ gamma +1} (M_1 ^ 2 \ mathrm {sen} ^ 2 (\ beta) -1)

Relación entre el ángulo de deflexión del flujo y el ángulo de inclinación de la onda oblicua

La relación entre $\theta$ ${\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Y $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ , cuya gráfica encontramos a la izquierda, es la siguiente:

\tan(\theta )=2\cot(\beta ){\frac {M_{1}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\beta )-1}{M_{1}^{2}(\gamma +\cos 2(\beta ))+2}}

{\ Displaystyle \ tan (\ theta) = 2 \ cot (\ beta) {\ frac {M_ {1} ^ {2} \ mathrm {sen} ^ {2} (\ beta) -1} {M_ {1} ^ {2} (\ gamma + \ cos 2 (\ beta)) + 2}}}

\ tan (\ theta) = 2 \ cot (\ beta) \ frac {M_1 ^ 2 \ mathrm {sen} ^ 2 (\ beta) - 1} {M_1 ^ 2 (\ gamma + \ cos2 (\ beta)) + 2}

Se corrigió un cierto Mach en la entrada, como se puede ver en el gráfico dado el punto de inflexión $\theta$ ${\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Hay dos posibles soluciones: una con salida supersónica y otra con salida subsónica (una con $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ mayor, y uno con $\beta$ ${\ Displaystyle \ beta}$ $\beta$ menor). Además, se identifica un ángulo de giro máximo, indicado en el gráfico como $\theta _{max}$ ${\ Displaystyle \ theta _ {max}}$ $\ theta_ {max}$ . El significado físico de este ángulo máximo es muy importante y se comprende de inmediato que un flujo supersónico desviado por una onda oblicua no podrá realizar giros mayores a $\theta _{max}$ ${\ Displaystyle \ theta _ {max}}$ $\ theta_ {max}$ se muestra en la figura.

Nota

^ Más información en el sitio web de la NASA Copia archivada en www1.dfrc.nasa.gov . Obtenido el 8 de enero de 2009 (archivado desde el original el 20 de enero de 2009) . .

Bibliografía

Richard Feynman ,La física de Feynman , Bolonia, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8 . :
- Vol I, par. 51-2: Ondas de choque

Otros proyectos

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enlaces externos

( EN ) Shockwave , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

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[1] Más información en el sitio web de la NASA Copia archivada en www1.dfrc.nasa.gov . Obtenido el 8 de enero de 2009 (archivado desde el original el 20 de enero de 2009) . .

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