Movimiento armónico

En la física , movimiento armónico es el particular, varios movimiento descrito por un oscilador armónico, es decir, un sistema mecánico que reacciona a una perturbación del equilibrio con una retirada de aceleración $a_{x}=d^{2}x/dt^{2}$ ${\ Displaystyle a_ {x} = d ^ {2} x / dt ^ {2}}$ $a_ {x} = d ^ {2} x / dt ^ {2}$ proporcional al movimiento sufrido $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ . La constante de proporcionalidad es siempre negativa y, por tanto, puede entenderse, como cualquier número real negativo, como el opuesto de un cuadrado de otro número constante. $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ , llamada pulsación , así indicada porque es dimensionalmente similar a la velocidad angular . Por tanto, la ecuación de movimiento de un oscilador armónico es:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}x

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} x}

{\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} x

En un nivel dinámico , una posible causa es la fuerza de Hooke :

F_{H}=-kx\,

{\ Displaystyle F_ {H} = - kx \,}

F_ {H} = - kx \,

Dónde está $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$ es una constante positiva (denominada rigidez o constante elástica) que resulta, teniendo en cuenta el principio de proporcionalidad de Newton, de la relación:

k=m\omega ^{2}

{\ Displaystyle k = m \ omega ^ {2}}

k = m \ omega ^ {2}

Uno mismo $F_{H}$ ${\ Displaystyle F_ {H}}$ $F_ {H}$ es la única fuerza que actúa, el sistema se denomina oscilador armónico simple (o natural) con ecuación de movimiento igual a la mencionada anteriormente: el movimiento armónico simple tiene oscilaciones sinusoidales alrededor del punto de equilibrio, con amplitud y frecuencia constantes (llamadas naturales ).

Ejemplos mecánicos de osciladores armónicos simples son el péndulo simple (para pequeños ángulos de oscilación) y una masa unida a un resorte . Ejemplos de sistemas análogos, fuera de la mecánica, son los sistemas acústicos vibratorios y los osciladores armónicos eléctricos, incluidos los circuitos RLC .

Cabe recordar que existen otros tipos de osciladores anarmónicos o no lineales, entre los que destaca el de Van der Pol .

Movimiento armónico libre simple

Resorte en movimiento: oscilador armónico simple

El movimiento armónico libre simple también se denomina movimiento armónico natural : es una oscilación sinusoidal con pulsación. $\omega$ ${\ Displaystyle \ omega}$ $\omega$ . Este movimiento es periódico . La posición de un cuerpo que oscila según un movimiento armónico simple, con el origen del sistema de referencia colocado en el punto alrededor del cual se produce la oscilación, se puede describir mediante una función sinusoidal de amplitud y fase constantes: ^[1]

x(t)=A\cos \left(\omega t+\phi \right)

{\ Displaystyle x (t) = A \ cos \ left (\ omega t + \ phi \ right)}

x (t) = A \ cos \ left (\ omega t + \ phi \ right)

(ley horaria para el movimiento unidimensional a lo largo del eje

X

{\ Displaystyle x}

X

)

El período del swing es $T={\frac {2\pi }{\omega }}$ ${\ Displaystyle T = {\ frac {2 \ pi} {\ omega}}}$ $T = {\ frac {2 \ pi} {\ omega}}$ (es decir, el intervalo de tiempo entre dos oscilaciones), ^[2] mientras $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ Y $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ son respectivamente la amplitud de la oscilación y la constante de fase (que dependen de la posición $x(0)$ ${\ Displaystyle x (0)}$ $x (0)$ y velocidad inicial $v_{x}(0)$ ${\ Displaystyle v_ {x} (0)}$ $v_ {x} (0)$ movimiento).

La velocidad y la aceleración son respectivamente la primera y la segunda derivada de la ley horaria , es decir: ^[2]

v_{x}(t)=-\omega A\sin \left(\omega t+\phi \right)=\omega A\cos \left(\omega t+\phi +{\frac {\pi }{2}}\right)

{\ Displaystyle v_ {x} (t) = - \ omega A \ sin \ left (\ omega t + \ phi \ right) = \ omega A \ cos \ left (\ omega t + \ phi + {\ frac {\ pi} {2}} \ right)}

{\ Displaystyle v_ {x} (t) = - \ omega A \ sin \ left (\ omega t + \ phi \ right) = \ omega A \ cos \ left (\ omega t + \ phi + {\ frac {\ pi} {2}} \ right)}

(derivado antes de la ley horaria)

a_{x}(t)=-\omega ^{2}A\cos \left(\omega t+\phi \right)=\omega ^{2}A\cos(\omega t+\phi +\pi )

{\ Displaystyle a_ {x} (t) = - \ omega ^ {2} A \ cos \ left (\ omega t + \ phi \ right) = \ omega ^ {2} A \ cos (\ omega t + \ phi + \ pi)}

{\ Displaystyle a_ {x} (t) = - \ omega ^ {2} A \ cos \ left (\ omega t + \ phi \ right) = \ omega ^ {2} A \ cos (\ omega t + \ phi + \ pi)}

(segunda derivada de la ley horaria)

Las constantes $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ Y $\phi$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $\ phi$ se determinan imponiendo las condiciones iniciales y resolviendo el sistema de ecuaciones

x(0)=A\cos \phi \qquad v_{x}(0)=-A\omega \sin \phi

{\ Displaystyle x (0) = A \ cos \ phi \ qquad v_ {x} (0) = - A \ omega \ sin \ phi}

{\ Displaystyle x (0) = A \ cos \ phi \ qquad v_ {x} (0) = - A \ omega \ sin \ phi}

que admite soluciones

A^{2}=x(0)^{2}+{\frac {v_{x}(0)^{2}}{\omega ^{2}}}\qquad \tan \phi =-{\frac {v_{x}(0)}{x(0)\omega }}

{\ Displaystyle A ^ {2} = x (0) ^ {2} + {\ frac {v_ {x} (0) ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ qquad \ tan \ phi = - {\ frac {v_ {x} (0)} {x (0) \ omega}}}

{\ Displaystyle A ^ {2} = x (0) ^ {2} + {\ frac {v_ {x} (0) ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ qquad \ tan \ phi = - {\ frac {v_ {x} (0)} {x (0) \ omega}}}

Movimiento circular y movimiento armónico

La energía cinética $K.$ ${\ Displaystyle K}$ $K.$ del sistema al instante $t$ ${\ Displaystyle t}$ $t$ ' Y:

K(t)={\frac {1}{2}}mv_{x}(t)^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi )={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi ),

{\ Displaystyle K (t) = {\ frac {1} {2}} mv_ {x} (t) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} A ^ { 2} \ sin ^ {2} (\ omega t + \ phi) = {\ frac {1} {2}} kA ^ {2} \ sin ^ {2} (\ omega t + \ phi),}

K (t) = {\ frac {1} {2}} mv_ {x} (t) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} A ^ {2} \ sin ^ {2} (\ omega t + \ phi) = {\ frac {1} {2}} kA ^ {2} \ sin ^ {2} (\ omega t + \ phi),

mientras que la energía potencial se puede escribir como:

U(t)={\frac {1}{2}}kx(t)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\phi ).

{\ Displaystyle U (t) = {\ frac {1} {2}} kx (t) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} kA ^ {2} \ cos ^ {2} (\ omega t + \ phi).}

U (t) = {\ frac {1} {2}} kx (t) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} kA ^ {2} \ cos ^ {2} (\ omega t + \ phi).

La energía mecánica total del sistema es, por tanto, una primera integral de movimiento , es decir, su constante:

E=K+U={\frac {1}{2}}kA^{2}.

{\ Displaystyle E = K + U = {\ frac {1} {2}} kA ^ {2}.}

E = K + U = {\ frac {1} {2}} kA ^ {2}.

El movimiento armónico simple se puede generalizar componiéndolo de forma multidimensional: en particular, resulta en cualquier par de ejes cartesianos que componen el movimiento circular uniforme en el plano :

\left\{{\begin{array}{l}x=-{\frac {a_{x}}{\omega ^{2}}}\\\quad \\y=-{\frac {a_{y}}{\omega ^{2}}}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x^{2}={\frac {a_{x}^{2}}{\omega ^{4}}}\\\quad \\y^{2}={\frac {a_{y}^{2}}{\omega ^{4}}}\end{array}}\right.\Rightarrow r^{2}=x^{2}+y^{2}={\frac {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}{\omega ^{4}}}={\frac {a^{2}}{\omega ^{4}}}

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} x = - {\ frac {a_ {x}} {\ omega ^ {2}}} \\\ quad \\ y = - {\ frac { a_ {y}} {\ omega ^ {2}}} \ end {matriz}} \ right. \ Rightarrow \ left \ {{\ begin {array} {l} x ^ {2} = {\ frac {a_ { x} ^ {2}} {\ omega ^ {4}}} \\\ quad \\ y ^ {2} = {\ frac {a_ {y} ^ {2}} {\ omega ^ {4}}} \ end {matriz}} \ right. \ Rightarrow r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} = {\ frac {a_ {x} ^ {2} + a_ {y} ^ {2} } {\ omega ^ {4}}} = {\ frac {a ^ {2}} {\ omega ^ {4}}}}

\ left \ {{\ begin {array} {l} x = - {{\ frac {a _ {{x}}} {\ omega ^ {{2}}}}} \\\ quad \\ y = - {{\ frac {a _ {{y}}} {\ omega ^ {{2}}}}} \ end {array}} \ right. \ Rightarrow \ left \ {{\ begin {array} {l} x ^ {{2}} = {{\ frac {a _ {{x}} ^ {{2}}} {\ omega ^ {{4}}}}} \\\ quad \\ y ^ {{2} } = {{\ frac {a _ {{y}} ^ {{2}}} {\ omega ^ {{4}}}}} \ end {array}} \ right. \ Rightarrow r ^ {{2} } = x ^ {{2}} + y ^ {{2}} = {{\ frac {a _ {{x}} ^ {{2}} + a _ {{y}} ^ {{2}} } {\ omega ^ {{4}}}}} = {{\ frac {a ^ {{2}}} {\ omega ^ {{4}}}}}

Esta última relación es válida precisamente para un movimiento circular uniforme (y no para cualquier movimiento circular ).

Se puede hacer una demostración análoga que no presentamos aquí para generalizar este movimiento tridimensional componiéndolo con tres movimientos armónicos simples sobre los ejes cartesianos del espacio tridimensional, y haciendo que la amplitud sea diferente entre sí, con el resultado de un movimiento elíptico .

Movimiento armónico libre amortiguado

Resorte subamortiguado

El movimiento armónico libre amortiguado también se denomina movimiento armónico amortiguado . En el estudio de fenómenos físicos reales, los cuerpos en movimiento suelen estar sujetos a amortiguamiento, generalmente directamente proporcional a la velocidad. $F_{S}=-c{\frac {dx}{dt}}$ ${\ Displaystyle F_ {S} = - do {\ frac {dx} {dt}}}$ ${\ Displaystyle F_ {S} = - do {\ frac {dx} {dt}}}$ (amortiguación viscosa).

Mediante la colocación de $\omega _{S}={c \over m}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {S} = {c \ over m}}$ $\ omega _ {S} = {c \ over m}$ Y $\omega _{N}={\sqrt {k \over m}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {N} = {\ sqrt {k \ over m}}}$ $\ omega _ {N} = {\ sqrt {k \ over m}}$ , tenemos:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{S}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{N}^{2}x=0

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {S} {\ frac {dx} {dt}} + \ omega _ {N} ^ {2} x = 0}

{\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {S} {\ frac {dx} {dt}} + \ omega _ {N} ^ {2} x = 0

Para obtener la solución de una ecuación diferencial lineal es necesario en primer lugar resolver la ecuación de segundo grado con los valores propios $\lambda$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ asociado:

\lambda ^{2}+\omega _{S}\lambda +\omega _{N}^{2}=0\

{\ Displaystyle \ lambda ^ {2} + \ omega _ {S} \ lambda + \ omega _ {N} ^ {2} = 0 \}

\ lambda ^ {2} + \ omega _ {S} \ lambda + \ omega _ {N} ^ {2} = 0 \

obteniendo el $\Delta =\omega _{S}^{2}-4\omega _{N}^{2}$ ${\ Displaystyle \ Delta = \ omega _ {S} ^ {2} -4 \ omega _ {N} ^ {2}}$ $\ Delta = \ omega _ {S} ^ {2} -4 \ omega _ {N} ^ {2}$

que da las dos raíces (valores propios):

\lambda _{1}=-{\omega _{S}-{\sqrt {\Delta }} \over 2}=-{\omega _{S} \over 2}-{1 \over 2}{\sqrt {\omega _{S}^{2}-4\omega _{N}^{2}}}

{\ Displaystyle \ lambda _ {1} = - {\ omega _ {S} - {\ sqrt {\ Delta}} \ over 2} = - {\ omega _ {S} \ over 2} - {1 \ over 2 } {\ sqrt {\ omega _ {S} ^ {2} -4 \ omega _ {N} ^ {2}}}}

\ lambda _ {1} = - {\ omega _ {S} - {\ sqrt {\ Delta}} \ over 2} = - {\ omega _ {S} \ over 2} - {1 \ over 2} {\ sqrt {\ omega _ {S} ^ {2} -4 \ omega _ {N} ^ {2}}}

\lambda _{2}=-{\omega _{S}+{\sqrt {\Delta }} \over 2}=-{\omega _{S} \over 2}+{1 \over 2}{\sqrt {\omega _{S}^{2}-4\omega _{N}^{2}}}

{\ Displaystyle \ lambda _ {2} = - {\ omega _ {S} + {\ sqrt {\ Delta}} \ over 2} = - {\ omega _ {S} \ over 2} + {1 \ over 2 } {\ sqrt {\ omega _ {S} ^ {2} -4 \ omega _ {N} ^ {2}}}}

\ lambda _ {2} = - {\ omega _ {S} + {\ sqrt {\ Delta}} \ over 2} = - {\ omega _ {S} \ over 2} + {1 \ over 2} {\ sqrt {\ omega _ {S} ^ {2} -4 \ omega _ {N} ^ {2}}}

Tenga en cuenta que ambas soluciones tienen una parte real negativa.

Distinguimos tres casos:

amortiguación insuficiente $\Delta <0$ ${\ Displaystyle \ Delta <0}$ $\ Delta <0$
amortiguación crítica $\Delta =0$ ${\ Displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$
sobre-amortiguación $\Delta >0$ ${\ Displaystyle \ Delta> 0}$ $\ Delta> 0$

Amortiguación $\Delta <0$ ${\ Displaystyle \ Delta <0}$ $\ Delta <0$

Es el caso que ocurre si $\omega _{S}<2\omega _{N}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {S} <2 \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {S} <2 \ omega _ {N}$ ; el sistema logra hacer oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio $x=0$ ${\ Displaystyle x = 0}$ $x = 0$ . De hecho, en este caso las raíces $\lambda _{1}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}}$ $\ lambda _ {1}$ Y $\lambda _{2}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {2}}$ $\ lambda _ {2}$ son complejos (el argumento raíz es negativo); esto implica que la solución de la ecuación diferencial contiene un término con exponencial complejo, que haciendo uso de la identidad de Euler representa un término "oscilante". El término real de la raíz, como negativo, se refiere al amortiguamiento de la oscilación.

Colocando la pulsación real $\omega ={\frac {1}{2}}{\sqrt {4\omega _{N}^{2}-\omega _{S}^{2}}}$ ${\ Displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4 \ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {S} ^ {2}}}}$ $\ omega = {\ frac 12} {\ sqrt {4 \ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {S} ^ {2}}}$ la solución es la ley horaria:

x(t)=e^{-{\omega _{S} \over 2}t}(A_{1}\cos \omega t+A_{2}\sin \omega t)

{\ Displaystyle x (t) = e ^ {- {\ omega _ {S} \ over 2} t} (A_ {1} \ cos \ omega t + A_ {2} \ sin \ omega t)}

x (t) = e ^ {{- {\ omega _ {S} \ over 2} t}} (A_ {1} \ cos \ omega t + A_ {2} \ sin \ omega t)

Entonces es claramente una oscilación de frecuencia. $\omega \over 2\pi$ ${\ Displaystyle \ omega \ over 2 \ pi}$ ${\ omega \ over 2 \ pi}$ , cuya amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo: ver también el gráfico.

Tenga en cuenta de nuevo que la pulsación de oscilación en el caso de una pequeña amortiguación es siempre menor que la pulsación natural, es decir, en la que el sistema oscilaría sin verse afectado por la fricción viscosa. Por otro lado, esto tiene un significado físico obvio: la presencia de viscosidad ralentiza continuamente el movimiento del oscilador.

Amortiguación crítica $\Delta =0$ ${\ Displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$

Ocurre cuando $\omega _{S}=2\omega _{N}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {S} = 2 \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {S} = 2 \ omega _ {N}$ ; en este caso desde $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2}}$ $\ lambda _ {1} = \ lambda _ {2}$ (que simplemente diremos $\lambda$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ) la solución de la ecuación diferencial de movimiento da la ley horaria:

x(t)=(A_{1}+A_{2}t)e^{-{\omega _{S} \over 2}t}

{\ Displaystyle x (t) = (A_ {1} + A_ {2} t) y ^ {- {\ omega _ {S} \ over 2} t}}

x (t) = (A_ {1} + A_ {2} t) y ^ {{- {\ omega _ {S} \ over 2} t}}

y una vez mas las constantes $A_{1}$ ${\ Displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ Y $A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ deben estar determinados por las condiciones iniciales, en analogía con el caso de sobreamortiguación; la ley horaria se convierte así, al imponer las condiciones iniciales adecuadas:

x(t)=\left(x_{0}+v_{0}t+{\omega _{S}x_{0}t \over 2}\right)e^{-{\omega _{S} \over 2}t}

{\ Displaystyle x (t) = \ left (x_ {0} + v_ {0} t + {\ omega _ {S} x_ {0} t \ over 2} \ right) y ^ {- {\ omega _ { S} \ over 2} t}}

x (t) = \ left (x_ {0} + v_ {0} t + {\ omega _ {S} x_ {0} t \ over 2} \ right) y ^ {{- {\ omega _ {S} \ over 2} t}}

Como puede verse en la figura, el sistema, aunque es capaz de iniciar la primera oscilación, la ve disminuir, completándola sólo de forma indefinida.

\lim _{t\to \infty }x=0

{\ Displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} x = 0}

\ lim _ {{t \ to \ infty}} x = 0

Es un caso notable, ya que devuelve la tasa de amortiguación máxima y, como tal, se utiliza en instrumentos de medición analógicos como los galvanómetros .

Amortiguación excesiva $\Delta >0$ ${\ Displaystyle \ Delta> 0}$ $\ Delta> 0$

Ocurre cuando $\omega _{S}>2\omega _{N}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {S}> 2 \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {S}> 2 \ omega _ {N}$ ; en este caso, la solución de la ecuación diferencial de movimiento proporciona la ley horaria:

x(t)=A_{1}e^{-|\lambda _{1}|t}+A_{2}e^{-|\lambda _{2}|t}

{\ Displaystyle x (t) = A_ {1} e ^ {- | \ lambda _ {1} | t} + A_ {2} e ^ {- | \ lambda _ {2} | t}}

x (t) = A_ {1} e ^ {{- | \ lambda _ {1} | t}} + A_ {2} e ^ {{- | \ lambda _ {2} | t}}

Las constantes $A_{1}$ ${\ Displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ Y $A_{2}$ ${\ Displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ se determinan imponiendo que la solución satisfaga las condiciones iniciales

x(0)=x_{0}\

{\ Displaystyle x (0) = x_ {0} \}

x (0) = x_ {0} \

Y

{\dot {x}}(0)=v_{0}

{\ Displaystyle {\ dot {x}} (0) = v_ {0}}

{\ dot x} (0) = v_ {0}

o que en el instante inicial el punto se encuentre en posición de alargamiento y con una velocidad igual a las conocidas iniciales. Usted obtiene:

A_{1}={v_{0}+x_{0}|\lambda _{1}| \over |\lambda _{1}|-|\lambda _{2}|}

{\ Displaystyle A_ {1} = {v_ {0} + x_ {0} | \ lambda _ {1} | \ over | \ lambda _ {1} | - | \ lambda _ {2} |}}

A_ {1} = {v_ {0} + x_ {0} | \ lambda _ {1} | \ over | \ lambda _ {1} | - | \ lambda _ {2} |}

A_{2}={-x_{0}|\lambda _{2}|-v_{0} \over |\lambda _{1}|-|\lambda _{2}|}

{\ Displaystyle A_ {2} = {- x_ {0} | \ lambda _ {2} | -v_ {0} \ over | \ lambda _ {1} | - | \ lambda _ {2} |}}

A_ {2} = {- x_ {0} | \ lambda _ {2} | -v_ {0} \ over | \ lambda _ {1} | - | \ lambda _ {2} |}

Desde el punto de vista físico, esta solución indica que la amortiguación viscosa es tan alta como para evitar cualquier oscilación del punto alrededor de la posición de equilibrio. $x=0$ ${\ Displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

Movimiento armónico forzado simple

El movimiento armónico forzado simple también se denomina movimiento armónico resonante . Ahora queremos demostrar cómo una aceleración con variación temporal sinusoidal $~a_{F}=a_{F0}\cos(\omega _{F}t)$ ${\ Displaystyle ~ a_ {F} = a_ {F0} \ cos (\ omega _ {F} t)}$ $~ a_ {F} = a _ {{F0}} \ cos (\ omega _ {F} t)$ provocar un swing forzado. Por tanto, la ecuación de movimiento es:

{\ddot {x}}=a_{F}+a_{H}=a_{F0}\cos(\omega _{F}t)-\omega _{N}^{2}x\quad \rightarrow \quad {\ddot {x}}+\omega _{N}^{2}x=a_{F0}\cos(\omega _{F}t)

{\ Displaystyle {\ ddot {x}} = a_ {F} + a_ {H} = a_ {F0} \ cos (\ omega _ {F} t) - \ omega _ {N} ^ {2} x \ quad \ rightarrow \ quad {\ ddot {x}} + \ omega _ {N} ^ {2} x = a_ {F0} \ cos (\ omega _ {F} t)}

{\ ddot x} = a_ {F} + a_ {H} = a _ {{F0}} \ cos (\ omega _ {F} t) - \ omega _ {N} ^ {2} x \ quad \ rightarrow \ quad {\ ddot x} + \ omega _ {N} ^ {2} x = a _ {{F0}} \ cos (\ omega _ {F} t)

La amplitud de las oscilaciones está determinada por:

A={\frac {a_{F0}}{\omega _{N}^{2}-\omega _{F}^{2}}}

{\ Displaystyle A = {\ frac {a_ {F0}} {\ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2}}}}

A = {\ frac {a _ {{F0}}} {\ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2}}}

El forzamiento afecta a través de dos parámetros:

el llamado desplazamiento estático , la variación en la amplitud inicial que sería la única si la aceleración fuera constante en _F0 :

A_{N}={\frac {a_{F0}}{\omega _{N}^{2}}}

{\ Displaystyle A_ {N} = {\ frac {a_ {F0}} {\ omega _ {N} ^ {2}}}}

A_ {N} = {\ frac {a _ {{F0}}} {\ omega _ {N} ^ {2}}}

,

la amplificación dinámica , que representa el aumento relativo que experimenta el desplazamiento estático debido a la variación de la fuerza en el tiempo.

Al principio, el cuerpo mantiene su frecuencia natural de oscilación. $\omega _{N}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {N}$ , pero se ve obligado progresivamente a seguir la frecuencia $\omega _{F}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {F}}$ $\ omega _ {F}$ impuesta por la fuerza externa, y por tanto adquiere amplitud y ley horaria en el ciclo límite :

A_{F}={\frac {a_{F0}}{\omega _{F}^{2}}}

{\ Displaystyle A_ {F} = {\ frac {a_ {F0}} {\ omega _ {F} ^ {2}}}}

A_ {F} = {\ frac {a _ {{F0}}} {\ omega _ {F} ^ {2}}}

,

x=A\cos(\omega _{F}t)

{\ Displaystyle x = A \ cos (\ omega _ {F} t)}

x = A \ cos (\ omega _ {F} t)

sustituyendo en la ecuación de movimiento:

-A\omega _{F}^{2}\cos(\omega _{F}t)+\omega _{N}^{2}A\cos(\omega _{F}t)=a_{F0}\cos(\omega _{F}t)

{\ Displaystyle -A \ omega _ {F} ^ {2} \ cos (\ omega _ {F} t) + \ omega _ {N} ^ {2} A \ cos (\ omega _ {F} t) = a_ {F0} \ cos (\ omega _ {F} t)}

-A \ omega _ {F} ^ {2} \ cos (\ omega _ {F} t) + \ omega _ {N} ^ {2} A \ cos (\ omega _ {F} t) = a _ { {F0}} \ cos (\ omega _ {F} t)

-A\omega _{F}^{2}+A\omega _{N}^{2}=a_{F0}

{\ Displaystyle -A \ omega _ {F} ^ {2} + A \ omega _ {N} ^ {2} = a_ {F0}}

-A \ omega _ {F} ^ {2} + A \ omega _ {N} ^ {2} = a _ {{F0}}

A\left(\omega _{N}^{2}-\omega _{F}^{2}\right)=a_{F0}

{\ Displaystyle A \ left (\ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2} \ right) = a_ {F0}}

A \ izquierda (\ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2} \ right) = a _ {{F0}}

qed

De esta relación se desprende que también existen tres comportamientos para el movimiento forzado, esta vez basados en la relación entre las frecuencias.

Bajo forzamiento

$\omega _{F}\ll \omega _{N}\quad \Rightarrow \quad A\to A_{N}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {F} \ ll \ omega _ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad A \ to A_ {N}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {F} \ ll \ omega _ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad A \ to A_ {N}}$ ( resonancia armónica fuera de fase: destructiva decreciente con la relación)

Forzamiento crítico

$\omega _{F}=\omega _{N}\quad \Rightarrow \quad A\to \infty$ ${\ Displaystyle \ omega _ {F} = \ omega _ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad A \ to \ infty}$ $\ omega _ {F} = \ omega _ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad A \ to \ infty$ (resonancia de amortiguación armónica)

Sobreesfuerzo

$\omega _{F}\gg \omega _{N}\quad \Rightarrow \quad A\to 0$ ${\ Displaystyle \ omega _ {F} \ gg \ omega _ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad A \ to 0}$ $\ omega _ {F} \ gg \ omega _ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad A \ to 0$ (resonancia armónica en fase: constructiva aumentando con la relación)

Movimiento armónico forzado amortiguado

El movimiento armónico forzado amortiguado también se denomina movimiento armónico genérico , ya que es el caso más general. Este es el caso visto en el apartado anterior con además un término oscilante que depende sinusoidalmente del tiempo, y al suministrar energía al sistema, se opone a su retorno a la posición de equilibrio. $x=0$ ${\ Displaystyle x = 0}$ $x = 0$ :

{\ddot {x}}+\omega _{S}{\dot {x}}+\omega _{N}^{2}x={a_{0F}}\cos(\omega _{F}t)

{\ Displaystyle {\ ddot {x}} + \ omega _ {S} {\ dot {x}} + \ omega _ {N} ^ {2} x = {a_ {0F}} \ cos (\ omega _ { F} t)}

{\ ddot x} + \ omega _ {S} {\ dot x} + \ omega _ {N} ^ {2} x = {a _ {{0F}}} \ cos (\ omega _ {F} t)

Una vez más nos referimos a la teoría de ecuaciones diferenciales de segundo orden para la solución: la siguiente es la ley de alargamiento horario $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ :

x(t)=Ae^{-{\omega _{S} \over 2}t}\cos(\omega _{S}t+\phi )+B\cos(\omega _{F}t-\delta )

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {- {\ omega _ {S} \ over 2} t} \ cos (\ omega _ {S} t + \ phi) + B \ cos (\ omega _ {F} t - \ delta)}

x (t) = Ae ^ {{- {\ omega _ {S} \ over 2} t}} \ cos (\ omega _ {S} t + \ phi) + B \ cos (\ omega _ {F} t - \ delta)

Dónde está:

\delta =\arctan \left({\omega _{S}\omega _{F} \over \omega _{N}^{2}-\omega _{F}^{2}}\right)

{\ Displaystyle \ delta = \ arctan \ left ({\ omega _ {S} \ omega _ {F} \ over \ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2}} \ right )}

\ delta = \ arctan \ left ({\ omega _ {S} \ omega _ {F} \ over \ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2}} \ right)

B={a_{0} \over {\sqrt {(\omega _{N}^{2}-\omega _{F}^{2})^{2}+\omega _{S}^{2}\omega _{F}^{2}}}}

{\ Displaystyle B = {a_ {0} \ over {\ sqrt {(\ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2}) ^ {2} + \ omega _ {S} " ^ {2} \ omega _ {F} ^ {2}}}}}

{\ Displaystyle B = {a_ {0} \ over {\ sqrt {(\ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2}) ^ {2} + \ omega _ {S} " ^ {2} \ omega _ {F} ^ {2}}}}}

Observe que el movimiento total es la suma de los dos movimientos discutidos anteriormente: uno oscilante amortiguado con una cierta pulsación $\omega _{S}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {S}}$ $\ omega _ {S}$ y un forzado de amplitud $B.$ ${\ Displaystyle B}$ $B.$ y pulsación $\omega _{F}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {F}}$ $\ omega _ {F}$ .
Por tanto, el sistema tiene un transitorio oscilante inicial que se desvanece exponencialmente con el tiempo, dando paso a una oscilación pura con amplitud constante; esta oscilación está determinada esencialmente por la fuerza externa y presenta un cambio de fase con ella. Si la resistencia viscosa $\omega _{S}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {S}}$ $\ omega _ {S}$ se hace cada vez más pequeño, la amplitud máxima $B_{max}$ ${\ Displaystyle B_ {max}}$ $B _ {{max}}$ aumenta cada vez más (tendiendo al infinito para $\omega _{S}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {S}}$ $\ omega _ {S}$ que tiende a cero). Luego hablamos de un cambio de fase .

La curva de desplazamiento de fase hacia la derecha (la curva de la función $\delta \left(\omega _{f}\right)$ ${\ Displaystyle \ delta \ left (\ omega _ {f} \ right)}$ $\ delta \ left (\ omega _ {f} \ right)$ ) muestra que el alargamiento y la aceleración nunca están en fase excepto en el caso degenerado en el que $\omega _{F}=0$ ${\ Displaystyle \ omega _ {F} = 0}$ $\ omega _ {F} = 0$ es decir, de movimiento armónico amortiguado). Para $\omega _{F}=\omega _{N}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {F} = \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {F} = \ omega _ {N}$ (en resonancia ), se dice que el alargamiento está en cuadratura de fase con la fuerza externa.

Sistemas equivalentes

Los osciladores armónicos ocurren en una inmensidad de áreas físicas: aquí presentamos una tabla que muestra las analogías entre las cantidades de cuatro osciladores armónicos mecánicos y electrónicos . Por lo tanto, si tienen cantidades correspondientes iguales, sus comportamientos serán los mismos, es decir, frecuencia de resonancia, factor de amortiguación, etc.

Mecánico traslacional ^[3]	Mecánico rotacional ^[3]	Circuito RLC en serie	Circuito RLC en paralelo
Posición $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$	Ángulo $\theta \,\!$ ${\ Displaystyle \ theta \, \!}$ $\ theta \, \!$	Carga $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$	Voltaje electrico ${\mathcal {V}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ ${\ mathcal {V}}$
Velocidad $v={\frac {dx}{dt}}$ ${\ Displaystyle v = {\ frac {dx} {dt}}}$ ${\ Displaystyle v = {\ frac {dx} {dt}}}$	Velocidad angular $\omega ={\frac {d\theta }{dt}}$ ${\ Displaystyle \ omega = {\ frac {d \ theta} {dt}}}$ ${\ Displaystyle \ omega = {\ frac {d \ theta} {dt}}}$	Intensidad actual $i={\frac {dq}{dt}}$ ${\ Displaystyle i = {\ frac {dq} {dt}}}$ ${\ Displaystyle i = {\ frac {dq} {dt}}}$	Cambio de voltaje ${\frac {d{\mathcal {V}}}{dt}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {V}}} {dt}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {V}}} {dt}}}$
Masa $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$	Momento de inercia $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$	Inductancia $L$ ${\ Displaystyle L}$ $L$	Capacidad $C.$ ${\ Displaystyle C}$ $C.$
Constante elástica longitudinal $k$ ${\ Displaystyle k}$ $k$	Constante elástica de torsión $k_{\tau }$ ${\ Displaystyle k _ {\ tau}}$ ${\ Displaystyle k _ {\ tau}}$	Elante $\Pi =C^{-1}$ ${\ Displaystyle \ Pi = C ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle \ Pi = C ^ {- 1}}$	Disuasión $\Lambda =L^{-1}$ ${\ Displaystyle \ Lambda = L ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda = L ^ {- 1}}$
Coeficiente de amortiguamiento $\gamma ={\frac {m}{\tau }}$ ${\ Displaystyle \ gamma = {\ frac {m} {\ tau}}}$ ${\ Displaystyle \ gamma = {\ frac {m} {\ tau}}}$	Coeficiente de amortiguación rotacional $\Gamma ={\frac {I}{\tau }}$ ${\ Displaystyle \ Gamma = {\ frac {I} {\ tau}}}$ ${\ Displaystyle \ Gamma = {\ frac {I} {\ tau}}}$	Resistencia $R.$ ${\ Displaystyle R}$ $R.$	Conductancia $GRAMO.$ ${\ Displaystyle G}$ $GRAMO.$
Fuerza impulsora $F_{(t)}=F_{0}\cos \omega t$ ${\ Displaystyle F _ {(t)} = F_ {0} \ cos \ omega t}$ ${\ Displaystyle F _ {(t)} = F_ {0} \ cos \ omega t}$	Momento de conducción $M_{(t)}=M_{0}\cos \omega t$ ${\ Displaystyle M _ {(t)} = M_ {0} \ cos \ omega t}$ ${\ Displaystyle M _ {(t)} = M_ {0} \ cos \ omega t}$	Voltaje electrico ${\mathcal {V}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ ${\ mathcal {V}}$	Variación actual ${\frac {di}{dt}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {di} {dt}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {di} {dt}}}$
Frecuencia resonante no amortiguada $f_{n}$ ${\ Displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ :
${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k_{\tau }}{I}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k _ {\ tau}} {I}}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k _ {\ tau}} {I}}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {1} {LC}}}}$ $\ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {1} {LC}}$
Ecuación diferencial:
$m{\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}+kx=F_{(t)}$ ${\ Displaystyle m {\ ddot {x}} + \ gamma {\ dot {x}} + kx = F _ {(t)}}$ ${\ Displaystyle m {\ ddot {x}} + \ gamma {\ dot {x}} + kx = F _ {(t)}}$	$I{\ddot {\theta }}+\Gamma {\dot {\theta }}+k_{\tau }\theta =M_{(t)}$ ${\ Displaystyle I {\ ddot {\ theta}} + \ Gamma {\ dot {\ theta}} + k _ {\ tau} \ theta = M _ {(t)}}$ ${\ Displaystyle I {\ ddot {\ theta}} + \ Gamma {\ dot {\ theta}} + k _ {\ tau} \ theta = M _ {(t)}}$	$L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+\Pi q={\mathcal {V}}$ ${\ Displaystyle L {\ ddot {q}} + R {\ dot {q}} + \ Pi q = {\ mathcal {V}}}$ ${\ Displaystyle L {\ ddot {q}} + R {\ dot {q}} + \ Pi q = {\ mathcal {V}}}$	$C{\ddot {\mathcal {V}}}+G{\dot {\mathcal {V}}}+\Lambda {\mathcal {V}}={\dot {(i)}}$ ${\ Displaystyle C {\ ddot {\ mathcal {V}}} + G {\ dot {\ mathcal {V}}} + \ Lambda {\ mathcal {V}} = {\ dot {(i)}}}$ ${\ Displaystyle C {\ ddot {\ mathcal {V}}} + G {\ dot {\ mathcal {V}}} + \ Lambda {\ mathcal {V}} = {\ dot {(i)}}}$

Nota

^ Mazzoldi , pág. 18 .
↑ ^a ^b Mazzoldi , pág. 19 .
^ ^a ^b Estos modelos también pueden ser válidos en el caso del péndulo simple de cuerda larga $L$ ${\ Displaystyle l}$ $L$ . Para obtener la ecuación diferencial asociada en el caso de traslación se debe tener en cuenta que donde hay de ${\ddot {x}}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {x}}}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {x}}}$ está situado $l{\ddot {\vartheta }}$ ${\ Displaystyle l {\ ddot {\ vartheta}}}$ ${\ Displaystyle l {\ ddot {\ vartheta}}}$ , en lugar de ${\dot {x}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {x}}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {x}}}$ Si tu tienes $l{\dot {\vartheta }}$ ${\ Displaystyle l {\ dot {\ vartheta}}}$ ${\ Displaystyle l {\ dot {\ vartheta}}}$ y en lugar de ${\frac {k}{m}}x$ ${\ Displaystyle {\ frac {k} {m}} x}$ ${\ Displaystyle {\ frac {k} {m}} x}$ hay $g\vartheta$ ${\ Displaystyle g \ vartheta}$ ${\ Displaystyle g \ vartheta}$ , mientras que en el caso rotacional debe recordarse que el brazo de fuerza es $L$ ${\ Displaystyle l}$ $L$ .

Bibliografía

Richard Feynman ,La física de Feynman , Bolonia, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8 . :
- Vol I, cap. 21: El oscilador armónico
- Vol I, cap. 23: resonancia
- Vol I, cap. 24: Los transitorios
Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Física , vol. 1, 2ª ed., Edises, 2000, ISBN 88-7959-137-1 .

Otros proyectos

Wikimedia Commons contiene imágenes u otros archivos sobre el oscilador armónico

enlaces externos

( EN ) Movimiento armónico , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( ES ) Simulador de oscilación forzada no amortiguada , en walter-fendt.de . Obtenido el 19 de febrero de 2011 (archivado desde el original el 19 de agosto de 2010) .

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[1] Mazzoldi , pág. 18 .

[Maz19-2] Mazzoldi , pág. 19 .

[:0-3] Estos modelos también pueden ser válidos en el caso del péndulo simple de cuerda larga $L$ ${\ Displaystyle l}$ $L$ . Para obtener la ecuación diferencial asociada en el caso de traslación se debe tener en cuenta que donde hay de ${\ddot {x}}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {x}}}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {x}}}$ está situado $l{\ddot {\vartheta }}$ ${\ Displaystyle l {\ ddot {\ vartheta}}}$ ${\ Displaystyle l {\ ddot {\ vartheta}}}$ , en lugar de ${\dot {x}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {x}}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {x}}}$ Si tu tienes $l{\dot {\vartheta }}$ ${\ Displaystyle l {\ dot {\ vartheta}}}$ ${\ Displaystyle l {\ dot {\ vartheta}}}$ y en lugar de ${\frac {k}{m}}x$ ${\ Displaystyle {\ frac {k} {m}} x}$ ${\ Displaystyle {\ frac {k} {m}} x}$ hay $g\vartheta$ ${\ Displaystyle g \ vartheta}$ ${\ Displaystyle g \ vartheta}$ , mientras que en el caso rotacional debe recordarse que el brazo de fuerza es $L$ ${\ Displaystyle l}$ $L$ .

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