Movimiento armónico paramétrico

El movimiento armónico paramétrico es el movimiento descrito por un oscilador paramétrico, unmovimiento armónico amortiguado que está excitado paramétricamente: es decir, cuyos parámetros, es decir, frecuencias, oscilan sucesivamente en el tiempo con el mismo período. $T.$ ${\ Displaystyle T}$ $T.$ (siempre no depende del estado del oscilador).

Debe quedar claro desde el principio que la amplificación de excitación paramétrica difiere del forzamiento , incluso en los efectos de resonancia .

Su ecuación de movimiento seguirá siendo lineal en $X$ ${\ Displaystyle x}$ $X$ :

{\ddot {x}}+\omega _{S}(t){\dot {x}}+\omega _{N}(t)^{2}x=0.

{\ Displaystyle {\ ddot {x}} + \ omega _ {S} (t) {\ dot {x}} + \ omega _ {N} (t) ^ {2} x = 0.}

{\ ddot x} + \ omega _ {S} (t) {\ dot x} + \ omega _ {N} (t) ^ {2} x = 0.

También podemos decir desde el principio que el análisis de Floquet muestra que si los parámetros de una ecuación diferencial de segundo orden varían periódicamente, las soluciones deben variar sinusoidal o exponencialmente.

Un oscilador paramétrico mecánico simple proviene de un péndulo excitado simple, como, por ejemplo, intuitivamente lo hace un niño en un columpio : el cambio periódico del centro de masa (pero la oscilación en el columpio no se mantiene y / o amplifica al cambiar el centro de masa : es en cambio una consecuencia de la conservación del momento angular ) finalmente provoca la expansión de una oscilación previa del sistema (obtenible por ejemplo, con un empuje) a través del cambio de su momento de inercia, por lo tanto de la frecuencia de resonancia. Sin embargo, al hacer esto partiendo del estado de quietud, no llegan a ninguna parte. ^[1] ^[2]

Se utilizan en la ingeniería eléctrica como amplificadores, llamados paramps, posiblemente también explotan el forzamiento, como en mezcladores , constructivamente interferir con una fuerte señal local de otro oscilador de conducción. Un oscilador paramétrico simple aquí es un circuito LC, por ejemplo, con un capacitor sinusoidalmente variable, mientras que uno real siempre está amortiguado por una cierta resistencia eléctrica ( circuito RLC ), razón práctica por la que no trataremos con un movimiento paramétrico simple. El mecanismo es el siguiente: primero se carga un capacitor hasta que su voltaje es igual al de una señal entrante débil, luego se reduce su capacitancia C , ya sea en placas paralelas simplemente separándolas o para un diodo varicap más común aplicando una CC variable voltaje con el tiempo con otro oscilador de "bomba". De acuerdo con la definición de capacitancia , el voltaje a través del capacitor aumentará y la señal de salida resultante contendrá frecuencias que son sumas o diferencias de las señales de entrada (f1) y la señal de bombeo (f2): (f1 + f2) y ( f1 - f2). Por lo tanto, un parámetro necesita las siguientes conexiones: una para el "común" o " tierra ", una para alimentar la bomba, una para extraer la salida y quizás una cuarta para su polarización . Un amplificador paramétrico necesita entonces un quinto puerto para amplificar la entrada de la señal. Dado que un varicap tiene solo dos conexiones, solo puede ser parte de un circuito LC con cuatro vectores propios con los nodos en las conexiones. Esto se puede implementar como un convertidor de corriente a voltaje , un tubo de onda viajera o por medio de un circulador . Finalmente, en la electrónica de microondas existe un oscilador basado en guía de ondas / YAG .

También se han desarrollado como amplificadores ópticos de bajo ruido , especialmente en el rango de frecuencia de microondas y ondas de radio . El ruido térmico se minimiza, ya que varía la reactancia no resistiva. Otro uso común es la conversión de frecuencia, por ejemplo, de audio a radiofrecuencias o para convertir una onda óptica láser en ondas de frecuencia más baja.

Historia

Faraday en 1831 fue el primero en observar el fenómeno, en el campo mecánico viendo oscilaciones de una frecuencia excitada por el efecto de fuerzas de doble frecuencia, en las ondulaciones de una copa de vino excitada por "jugar". ^[3] Melde en 1859 generó oscilaciones paramétricas acústicas en una cuerda empleando un diapasón para variar periódicamente la tensión al doble de la frecuencia de resonancia de la cuerda. ^[4] finalmente fueron tratados por primera vez como un fenómeno general por John William Strutt Rayleigh en los años 1883 - 1887 , cuyas hojas se han conservado casi legibles hoy. ^[5] ^[6] ^[7]

Amplificadores paramétricos electrónicos (paramps) comenzaron a ser utilizados en los años 1913 - 1915 para la radio de telefonía desde Berlín a Viena y Moscú , y se creía en 1916 por Ernst Alexanderson a tener un futuro cierto. ^{[8] Los} primeros parámetros variaban inductancias , pero desde entonces se han desarrollado otros métodos, por ejemplo, diodos varicap , tubos klystron , uniones Josephson y los métodos ópticos antes mencionados. Los parámetros se usaban comúnmente debido a su bajo nivel de ruido ^[9] : de hecho, un capacitor variable agrega muy poco ruido a la señal. Durante mucho tiempo nadie pudo alcanzar su curva de ruido o bajas corrientes de entrada. Sin embargo, los amplificadores paramétricos se han vuelto obsoletos con la llegada de los HEMT y MESFET , las configuraciones elegidas en los amplificadores modernos de bajo ruido .

Bob Pease escribió en EDN que el primer amplificador operacional paramétrico exitoso del mundo (el amplificador de puente varicap Philbrick P2) usó 4 varicaps en su entrada. ^[10] ^[11]

Movimiento armónico paramétrico amortiguado

El movimiento armónico paramétrico amortiguado es el movimiento de un oscilador paramétrico no forzado por fuerzas externas. Comencemos resumiendo las dos frecuencias con un cambio de variables:

q(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{D(t)}x(t)

{\ Displaystyle q (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ e ^ {D (t)} x (t)}

q (t) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ e ^ {{D (t)}} x (t)

Dónde está $D(t)$ ${\ Displaystyle D (t)}$ $D (t)$ es una integral de tiempo de la amortiguación :

D(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\int ^{t}d\tau \ \omega _{S}(\tau ).

{\ Displaystyle D (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {1} {2}} \ int ^ {t} d \ tau \ \ omega _ {S} ( \ tau).}

D (t) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ {\ frac {1} {2}} \ int ^ {{t}} d \ tau \ \ omega _ {S} (\ tau).

Por tanto, la ecuación se puede reescribir:

{\ddot {q}}+\Omega ^{2}(t)q=0

{\ Displaystyle {\ ddot {q}} + \ Omega ^ {2} (t) q = 0}

{\ ddot q} + \ Omega ^ {{2}} (t) q = 0

Donde está la pulsación transformada

\Omega ^{2}(t)=\omega _{N}^{2}(t)-{\frac {{\dot {\omega }}_{S}}{2}}-{\frac {1}{4}}\omega _{S}^{2}.

{\ Displaystyle \ Omega ^ {2} (t) = \ omega _ {N} ^ {2} (t) - {\ frac {{\ dot {\ omega}} _ {S}} {2}} - { \ frac {1} {4}} \ omega _ {S} ^ {2}.}

\ Omega ^ {{2}} (t) = \ omega _ {N} ^ {{2}} (t) - {\ frac {{\ dot \ omega} _ {S}} {2}} - {\ frac {1} {4}} \ omega _ {S} ^ {{2}}.

En general, las perturbaciones de frecuencia y amortiguación son relativamente pequeñas.

\omega _{S}(t)=\omega _{0}\left[b+g(t)\right]

{\ Displaystyle \ omega _ {S} (t) = \ omega _ {0} \ left [b + g (t) \ right]}

\ omega _ {S} (t) = \ omega _ {{0}} \ left [b + g (t) \ right]

\omega _{N}^{2}(t)=\omega _{0}^{2}\left[1+h(t)\right]

{\ Displaystyle \ omega _ {N} ^ {2} (t) = \ omega _ {0} ^ {2} \ left [1 + h (t) \ right]}

\ omega _ {N} ^ {2} (t) = \ omega _ {{0}} ^ {{2}} \ left [1 + h (t) \ right]

Dónde está $\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {{0}}$ Y $b\omega _{0}$ ${\ Displaystyle b \ omega _ {0}}$ $b \ omega _ {{0}}$ son constantes: respectivamente, frecuencia de bombeo y amortiguación promediados a lo largo del tiempo. La pulsación transformada se puede reescribir de la siguiente manera:

\Omega ^{2}(t)=\omega _{NS}^{2}\left[1+f(t)\right],

{\ Displaystyle \ Omega ^ {2} (t) = \ omega _ {NS} ^ {2} \ left [1 + f (t) \ right],}

\ Omega ^ {{2}} (t) = \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} \ left [1 + f (t) \ right],

Dónde está $\omega _{NS}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {NS}}$ $\ omega _ {{NS}}$ es la frecuencia natural del oscilador armónico amortiguado

\omega _{NS}^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega _{0}^{2}\left(1-{\frac {b^{2}}{4}}\right)

{\ Displaystyle \ omega _ {NS} ^ {2} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ omega _ {0} ^ {2} \ left (1 - {\ frac {b ^ {2}} {4}} \ right)}

\ omega _ {{NS}} ^ {{2}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ omega _ {0} ^ {{2}} \ left (1- { \ frac {b ^ {{2}}} {4}} \ derecha)

Y

\omega _{NS}^{2}f(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega _{0}^{2}\left\{h(t)-{\frac {1}{2\omega _{0}}}\left({\frac {dg}{dt}}\right)-{\frac {b}{2}}g(t)-{\frac {1}{4}}g^{2}(t)\right\}.

{\ Displaystyle \ omega _ {NS} ^ {2} f (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ omega _ {0} ^ {2} \ left \ {h (t ) - {\ frac {1} {2 \ omega _ {0}}} \ left ({\ frac {dg} {dt}} \ right) - {\ frac {b} {2}} g (t) - {\ frac {1} {4}} g ^ {2} (t) \ right \}.}

\ omega _ {{NS}} ^ {{2}} f (t) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ omega _ {0} ^ {{2}} \ left \ {h (t) - {\ frac {1} {2 \ omega _ {0}}} \ left ({\ frac {dg} {dt}} \ right) - {\ frac {b} {2}} g (t) - {\ frac {1} {4}} g ^ {{2}} (t) \ right \}.

Entonces, nuestra ecuación transformada se puede reescribir nuevamente:

{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{NS}^{2}q=-\omega _{NS}^{2}f(t)q

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} q} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {NS} ^ {2} q = - \ omega _ {NS} ^ {2} f (t) q}

{\ frac {d ^ {{2}} q} {dt ^ {{2}}}} + \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} q = - \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} f (t) q

Este es un ejemplo de una ecuación de Hill . Uno mismo $f(t)$ ${\ Displaystyle f (t)}$ $f (t)$ es una onda sinusoidal simple, la ecuación se llama ecuación de Mathieu . Representa un oscilador armónico amortiguado (como un filtro de paso de banda ) impulsado por una excitación (paramétrica) $-\omega _{NS}^{2}f(t)q$ ${\ Displaystyle - \ omega _ {NS} ^ {2} f (t) q}$ $- \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} f (t) q$ proporcional a tu respuesta $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ . Tenga en cuenta que las variaciones independientes $g(t)$ ${\ Displaystyle g (t)}$ $g (t)$ Y $h(t)$ ${\ Displaystyle h (t)}$ $h (t)$ en frecuencia de amortiguación y resonante, respectivamente, se pueden combinar en una sola función de forzado $f(t)$ ${\ Displaystyle f (t)}$ $f (t)$ . La conclusión es que cualquier forma de excitación paramétrica se puede lograr variando tanto la frecuencia de resonancia como la amortiguación, o ambas.

Solución de la ecuación transformada

Asumir que $f(t)$ ${\ Displaystyle f (t)}$ $f (t)$ es sinusoidal, y específicamente:

f(t)=f_{0}\sin 2\omega _{P}t

{\ Displaystyle f (t) = f_ {0} \ sin 2 \ omega _ {P} t}

f (t) = f _ {{0}} \ sin 2 \ omega _ {P} t

Donde la frecuencia de bombeo $2\pi \omega _{P}\approx 2\pi \omega _{NS}$ ${\ Displaystyle 2 \ pi \ omega _ {P} \ approx 2 \ pi \ omega _ {NS}}$ $2 \ pi \ omega _ {P} \ aproximadamente 2 \ pi \ omega _ {{NS}}$ pero no tiene por qué coincidir exactamente con él. La solución $q(t)$ ${\ Displaystyle q (t)}$ $q (t)$ de nuestra ecuación transformada se puede escribir:

q(t)=A(t)\cos \omega _{P}t+B(t)\sin \omega _{P}t

{\ Displaystyle q (t) = A (t) \ cos \ omega _ {P} t + B (t) \ sin \ omega _ {P} t}

q (t) = A (t) \ cos \ omega _ {P} t + B (t) \ sin \ omega _ {P} t

donde factorizamos componentes que varían rápidamente ( $\cos \omega _{P}t$ ${\ Displaystyle \ cos \ omega _ {P} t}$ $\ cos \ omega _ {P} t$ Y $\sin \omega _{P}t$ ${\ Displaystyle \ sin \ omega _ {P} t}$ $\ sin \ omega _ {P} t$ ) para aislar amplitudes que varían lentamente $A(t)$ ${\ Displaystyle A (t)}$ $A)$ Y $B(t)$ ${\ Displaystyle B (t)}$ $B (t)$ . Esto corresponde al método de variación del parámetro de Laplace .

Sustituyendo esta solución en la ecuación transformada y manteniendo solo los términos de primer orden en $f_{0}\ll 1$ ${\ Displaystyle f_ {0} \ ll 1}$ $f _ {{0}} \ ll 1$ llegamos a dos ecuaciones acopladas

2\omega _{P}{\frac {dA}{dt}}=\left({\frac {f_{0}}{2}}\right)\omega _{NS}^{2}A-\left(\omega _{P}^{2}-\omega _{NS}^{2}\right)B

{\ Displaystyle 2 \ omega _ {P} {\ frac {dA} {dt}} = \ left ({\ frac {f_ {0}} {2}} \ right) \ omega _ {NS} ^ {2} A- \ left (\ omega _ {P} ^ {2} - \ omega _ {NS} ^ {2} \ right) B}

2 \ omega _ {P} {\ frac {dA} {dt}} = \ left ({\ frac {f _ {{0}}} {2}} \ right) \ omega _ {{NS}} ^ { {2}} A- \ izquierda (\ omega _ {P} ^ {{2}} - \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} \ right) B

2\omega _{P}{\frac {dB}{dt}}=-\left({\frac {f_{0}}{2}}\right)\omega _{NS}^{2}B+\left(\omega _{P}^{2}-\omega _{NS}^{2}\right)A

{\ displaystyle 2 \ omega _ {P} {\ frac {dB} {dt}} = - \ left ({\ frac {f_ {0}} {2}} \ right) \ omega _ {NS} ^ {2 } B + \ left (\ omega _ {P} ^ {2} - \ omega _ {NS} ^ {2} \ right) A}

2 \ omega _ {P} {\ frac {dB} {dt}} = - \ left ({\ frac {f _ {{0}}} {2}} \ right) \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} B + \ left (\ omega _ {P} ^ {{2}} - \ omega _ {{NS}} ^ {{2}} \ right) A

Podemos desacoplarlos y resolverlos con un cambio de variable

A(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ r(t)\cos \theta (t)

{\ Displaystyle A (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ r (t) \ cos \ theta (t)}

A (t) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ r (t) \ cos \ theta (t)

B(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ r(t)\sin \theta (t)

{\ Displaystyle B (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ r (t) \ sin \ theta (t)}

B (t) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ r (t) \ sin \ theta (t)

lo que lleva a la ecuación

{\frac {dr}{dt}}=\left(\alpha _{\mathrm {max} }\cos 2\theta \right)r

{\ Displaystyle {\ frac {dr} {dt}} = \ left (\ alpha _ {\ mathrm {max}} \ cos 2 \ theta \ right) r}

{\ frac {dr} {dt}} = \ left (\ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}} \ cos 2 \ theta \ right) r

{\frac {d\theta }{dt}}=-\alpha _{\mathrm {max} }\left[\sin 2\theta -\sin 2\theta _{\mathrm {eq} }\right]

{\ Displaystyle {\ frac {d \ theta} {dt}} = - \ alpha _ {\ mathrm {max}} \ left [\ sin 2 \ theta - \ sin 2 \ theta _ {\ mathrm {eq}} \ Derecha]}

{\ frac {d \ theta} {dt}} = - \ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}} \ left [\ sin 2 \ theta - \ sin 2 \ theta _ {{{\ mathrm {eq }}}} \ Derecha]

donde hemos definido por brevedad

\alpha _{\mathrm {max} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {f_{0}\omega _{NS}^{2}}{4\omega _{P}}}

{\ Displaystyle \ alpha _ {\ mathrm {max}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {f_ {0} \ omega _ {NS} ^ {2}} {4 \ omega _ {P}}}}

\ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ {\ frac {f _ {{0}} \ omega _ {{NS} } ^ {{2}}} {4 \ omega _ {P}}}

\sin 2\theta _{\mathrm {eq} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {2}{f_{0}}}\right)\varepsilon

{\ Displaystyle \ sin 2 \ theta _ {\ mathrm {eq}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ left ({\ frac {2} {f_ {0}}} \ right ) \ varepsilon}

\ sin 2 \ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ left ({\ frac {2} {f _ {{0 }}}} \ derecha) \ varepsilon

y el cambio de fase

\varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\omega _{P}^{2}-\omega _{NS}^{2}}{\omega _{NS}^{2}}}

{\ Displaystyle \ varepsilon \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ omega _ {P} ^ {2} - \ omega _ {NS} ^ {2}} {\ omega _ {NS} ^ {2}}}}

\ varepsilon \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ {\ frac {\ omega _ {P} ^ {{2}} - \ omega _ {{NS}} ^ {{2} }} {\ omega _ {{NS}} ^ {{2}}}}

La ecuación en $\theta$ ${\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ no depende de $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ , y la linealización cerca de su posición de equilibrio $\theta _{\mathrm {eq} }$ ${\ Displaystyle \ theta _ {\ mathrm {eq}}}$ $\ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}}$ muestra que $\theta$ ${\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ decae exponencialmente a su equilibrio

\theta (t)=\theta _{\mathrm {eq} }+\left(\theta _{0}-\theta _{\mathrm {eq} }\right)e^{-2\alpha t}

{\ Displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {\ mathrm {eq}} + \ left (\ theta _ {0} - \ theta _ {\ mathrm {eq}} \ right) e ^ {- 2 \ alpha t}}

\ theta (t) = \ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}} + \ left (\ theta _ {{0}} - \ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}} \ right) e ^ {{- 2 \ alpha t}}

donde la decadencia constante

$\alpha \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha _{\mathrm {max} }\cos 2\theta _{\mathrm {eq} }$ ${\ Displaystyle \ alpha \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ alpha _ {\ mathrm {max}} \ cos 2 \ theta _ {\ mathrm {eq}}}$ $\ alpha \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}} \ cos 2 \ theta _ {{{\ mathrm {eq}}} }$ .

En otras palabras, la fase del oscilador paramétrico se congela en la señal forzada $f(t)$ ${\ Displaystyle f (t)}$ $f (t)$ .

Mediante la colocación de $\theta (t)=\theta _{\mathrm {eq} }$ ${\ Displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {\ mathrm {eq}}}$ $\ theta (t) = \ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}}$ (por ejemplo, asumiendo que la fase ha sido bloqueada), la ecuación en $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ se convierte en:

{\frac {dr}{dt}}=\alpha r

{\ Displaystyle {\ frac {dr} {dt}} = \ alpha r}

{\ frac {dr} {dt}} = \ alpha r

cuya solución es $r(t)=r_{0}e^{\alpha t}$ ${\ Displaystyle r (t) = r_ {0} e ^ {\ alpha t}}$ $r (t) = r _ {{0}} e ^ {{\ alpha t}}$ ; la amplitud de la oscilación $q(t)$ ${\ Displaystyle q (t)}$ $q (t)$ diverge exponencialmente. De todos modos, la amplitud $R(t)$ ${\ Displaystyle R (t)}$ $R (t)$ correspondiente a la variable $x\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ qe^{-D(t)}$ ${\ Displaystyle x \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ qe ^ {- D (t)}}$ $x \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ qe ^ {{- D (t)}}$ no transformado no diverge

R(t)=r(t)e^{-D(t)}=r_{0}e^{\alpha t-D(t)}

{\ Displaystyle R (t) = r (t) mi ^ {- D (t)} = r_ {0} e ^ {\ alpha tD (t)}}

R (t) = r (t) e ^ {{- D (t)}} = r _ {{0}} e ^ {{\ alpha t-D (t)}}

La amplitud $R(t)$ ${\ Displaystyle R (t)}$ $R (t)$ diverge, decae o permanece constante, dependiendo de cuál respectivamente $\alpha t$ ${\ Displaystyle \ alpha t}$ $\ alpha t$ es mayor, menor o igual que $D(t)$ ${\ Displaystyle D (t)}$ $D (t)$ .

La tasa máxima de amplificación ocurre cuando $\omega _{P}=\omega _{NS}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {P} = \ omega _ {NS}}$ $\ omega _ {P} = \ omega _ {{NS}}$ . A esta frecuencia, la fase de equilibrio $\theta _{\mathrm {eq} }$ ${\ Displaystyle \ theta _ {\ mathrm {eq}}}$ $\ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}}$ es nulo, lo que implica que $\cos 2\theta _{\mathrm {eq} }=1$ ${\ Displaystyle \ cos 2 \ theta _ {\ mathrm {eq}} = 1}$ $\ cos 2 \ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}} = 1$ y $\alpha =\alpha _{\mathrm {max} }$ ${\ Displaystyle \ alpha = \ alpha _ {\ mathrm {max}}}$ $\ alpha = \ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}}$ . Variar $\omega _{P}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {P}}$ $\ omega _ {P}$ de $\omega _{NS}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {NS}}$ $\ omega _ {{NS}}$ , $\theta _{\mathrm {eq} }$ ${\ Displaystyle \ theta _ {\ mathrm {eq}}}$ $\ theta _ {{{\ mathrm {eq}}}}$ te aleja de cero y de $\alpha <\alpha _{\mathrm {max} }$ ${\ Displaystyle \ alpha <\ alpha _ {\ mathrm {max}}}$ $\ alpha <\ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}}$ , por lo que la amplitud crece más lentamente. Para desviaciones suficientemente grandes de $\omega _{P}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {P}}$ $\ omega _ {P}$ , la constante de decaimiento $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ puede volverse puramente imaginario ya que:

\alpha =\alpha _{\mathrm {max} }{\sqrt {1-\left({\frac {2}{f_{0}}}\right)^{2}\varepsilon ^{2}}}

{\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {\ mathrm {max}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {2} {f_ {0}}} \ right) ^ {2} \ varepsilon ^ {2 }}}}

\ alpha = \ alpha _ {{{\ mathrm {max}}}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {2} {f _ {{0}}}} \ right) ^ {{2} } \ varepsilon ^ {{2}}}}

Si el cambio de fase $\varepsilon$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ sobrepasos $f_{0}/2$ ${\ displaystyle f_ {0} / 2}$ $f _ {{0}} / 2$ , $\alpha$ ${\ Displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ se vuelve puramente imaginario e $q(t)$ ${\ Displaystyle q (t)}$ $q (t)$ varía sinusoidalmente. Usando la definición del cambio de fase $\varepsilon$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , la frecuencia de forzamiento $2\omega _{P}$ ${\ Displaystyle 2 \ omega _ {P}}$ $2 \ omega _ {P}$ debe estar entre $2\omega _{NS}{\sqrt {1-{\frac {f_{0}}{2}}}}$ ${\ Displaystyle 2 \ omega _ {NS} {\ sqrt {1 - {\ frac {f_ {0}} {2}}}}}$ $2 \ omega _ {{NS}} {\ sqrt {1 - {\ frac {f _ {{0}}} {2}}}}$ Y $2\omega _{NS}{\sqrt {1+{\frac {f_{0}}{2}}}}$ ${\ Displaystyle 2 \ omega _ {NS} {\ sqrt {1 + {\ frac {f_ {0}} {2}}}}}$ $2 \ omega _ {{NS}} {\ sqrt {1 + {\ frac {f _ {{0}}} {2}}}}$ para lograr el crecimiento exponencial de $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ . El desarrollo de las raíces en series binomiales muestra que la distribución de las frecuencias de forzamiento que resulta en un crecimiento exponencial $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ es aproximadamente $\omega _{NS}f_{0}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {NS} f_ {0}}$ $\ omega _ {{NS}} f _ {{0}}$ .

Resonancia paramétrica

Se dará una derivación intuitiva con la siguiente subsección. Considere eso $q(t)=A\cos \omega _{P}t$ ${\ Displaystyle q (t) = A \ cos \ omega _ {P} t}$ $q (t) = A \ cos \ omega _ {P} t$ ya tiene un cambio de frecuencia $\omega _{P}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {P}}$ $\ omega _ {P}$ y ese forzando $f(t)=f_{0}\sin 2\omega _{P}t$ ${\ Displaystyle f (t) = f_ {0} \ sin 2 \ omega _ {P} t}$ $f (t) = f _ {{0}} \ sin 2 \ omega _ {P} t$ tienen doble frecuencia y una pequeña amplitud $f_{0}\ll 1$ ${\ Displaystyle f_ {0} \ ll 1}$ $f _ {{0}} \ ll 1$ . Aplicando una identidad trigonométrica para productos de sinusoides, su producto $q(t)f(t)$ ${\ Displaystyle q (t) f (t)}$ $q (t) f (t)$ produce dos señales de guía, una en la frecuencia $\omega _{P}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {P}}$ $\ omega _ {P}$ y el otro a frecuencia $3\omega _{P}$ ${\ Displaystyle 3 \ omega _ {P}}$ $3 \ omega _ {P}$ :

f(t)q(t)={\frac {f_{0}}{2}}A\left(\sin \omega _{P}t+\sin 3\omega _{P}t\right)

{\ Displaystyle f (t) q (t) = {\ frac {f_ {0}} {2}} A \ left (\ sin \ omega _ {P} t + \ sin 3 \ omega _ {P} t \ derecha)}

f (t) q (t) = {\ frac {f _ {{0}}} {2}} A \ left (\ sin \ omega _ {P} t + \ sin 3 \ omega _ {P} t \ Derecha)

Estar fuera de resonancia, la señal $3\omega _{P}$ ${\ Displaystyle 3 \ omega _ {P}}$ $3 \ omega _ {P}$ es tenue y puede pasarse por alto inicialmente. Al contrario, la señal $\omega _{P}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {P}}$ $\ omega _ {P}$ está en resonancia, sirve para la amplificación de $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ y es proporcional al ancho $PARA$ ${\ Displaystyle A}$ $PARA$ . Por lo tanto, la amplitud de $q$ ${\ Displaystyle q}$ $q$ crece exponencialmente a menos que inicialmente no sea nada.

Expresado en espacio de Fourier, multiplicación $f(t)q(t)$ ${\ Displaystyle f (t) q (t)}$ $f (t) q (t)$ es una convolución de sus transformadas de Fourier ${\tilde {F}}(\omega )$ ${\ Displaystyle {\ tilde {F}} (\ omega)}$ ${\ tilde {F}} (\ omega)$ Y ${\tilde {Q}}(\omega )$ ${\ Displaystyle {\ tilde {Q}} (\ omega)}$ ${\ tilde {Q}} (\ omega)$ . La retroalimentación positiva se activa como componente $+2\omega _{P}$ ${\ Displaystyle +2 \ omega _ {P}}$ $+2 \ omega _ {P}$ de $f(t)$ ${\ Displaystyle f (t)}$ $f (t)$ convierte el componente $-\omega _{P}$ ${\ Displaystyle - \ omega _ {P}}$ $- \ omega _ {P}$ de $q(t)$ ${\ Displaystyle q (t)}$ $q (t)$ en una señal de guía un $+\omega _{P}$ ${\ Displaystyle + \ omega _ {P}}$ $+ \ omega _ {P}$ y viceversa (intercambiar los signos). Esto explica por qué la frecuencia de forzamiento debe estar cerca del valor $2\omega _{NS}$ ${\ Displaystyle 2 \ omega _ {NS}}$ $2 \ omega _ {{NS}}$ , dos veces la frecuencia del oscilador armónico forzado. Forzar a una frecuencia significativamente diferente no se acoplaría (es decir, causaría retroalimentación mutuamente positiva) entre los componentes $-\omega _{P}$ ${\ Displaystyle - \ omega _ {P}}$ $- \ omega _ {P}$ Y $+\omega _{P}$ ${\ Displaystyle + \ omega _ {P}}$ $+ \ omega _ {P}$ de $q(t)$ ${\ Displaystyle q (t)}$ $q (t)$ .

Considerablemente, por tanto, si los parámetros varían con el doble de frecuencia en comparación con la natural $-\omega _{N}S$ ${\ Displaystyle - \ omega _ {N} S}$ $- \ omega _ {N} S$ del oscilador, la fase del oscilador se une a la variación paramétrica y absorbe energía a una tasa proporcional a la energía que ya tiene. Idealmente, es decir, sin un mecanismo de amortiguación para compensarlo ligado a $\omega _{S}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {S}}$ $\ omega _ {S}$ , la amplitud de oscilación aumentaría exponencialmente exactamente como en el movimiento armónico forzado . En cualquier caso, si la amplitud inicial es cero, sigue siéndolo; esto lo distingue de la resonancia armónica en la que la amplitud crece linealmente en el tiempo sin vínculos con el estado inicial.

Para pequeñas amplitudes y mediante linealización, la estabilidad de la solución periódica viene dada por:

${\ddot {u}}+(a+B\cos t)u=0\$ ${\ Displaystyle {\ ddot {u}} + (a + B \ cos t) u = 0 \}$ ${\ ddot {u}} + (a + B \ cos t) u = 0 \$

Dónde está $tu$ ${\ Displaystyle u}$ $tu$ es alguna perturbación de la solución periódica. Aquí el término $B\ \cos(t)$ ${\ Displaystyle B \ \ cos (t)}$ $B \ \ cos (t)$ actúa como una " fuente de energía " y se considera que excita paramétricamente el sistema. La ecuación de Mathieu describe muchos otros sistemas físicos en términos de excitación paramétrica.

Movimiento armónico paramétrico amortiguado forzado en la frecuencia resonante principal

La ecuación del oscilador paramétrico se puede ampliar agregando una aceleración forzada externa $a_{F}(t)$ ${\ Displaystyle a_ {F} (t)}$ $a_ {F} (t)$ :

{\ddot {x}}+\omega _{S}(t){\dot {x}}+\omega _{N}^{2}(t)x=a_{F}(t).

{\ Displaystyle {\ ddot {x}} + \ omega _ {S} (t) {\ dot {x}} + \ omega _ {N} ^ {2} (t) x = a_ {F} (t) .}

{\ ddot x} + \ omega _ {S} (t) {\ dot x} + \ omega _ {N} ^ {{2}} (t) x = a_ {F} (t).

Supongamos que la amortiguación $D.$ ${\ Displaystyle D}$ $D.$ es lo suficientemente fuerte que, en ausencia de la fuerza $a_{F}$ ${\ Displaystyle a_ {F}}$ $a_ {F}$ , la amplitud de las oscilaciones paramétricas no diverge, es decir, que $\alpha t<D$ ${\ Displaystyle \ alpha t <D}$ $\ alpha t <D$ . En esta situación, el bombeo paramétrico actúa para reducir la amortiguación efectiva del sistema. Para ilustrar esto, considere la constante de amortiguamiento $\omega _{S}(t)=\omega _{0}b$ ${\ Displaystyle \ omega _ {S} (t) = \ omega _ {0} b}$ $\ omega _ {S} (t) = \ omega _ {0} b$ y suponga que el forzamiento externo está en la frecuencia resonante principal $\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ , asi que $a_{F}(t)=a_{F0}\sin \omega _{0}t$ ${\ Displaystyle a_ {F} (t) = a_ {F0} \ sin \ omega _ {0} t}$ $a_ {F} (t) = a _ {{F0}} \ sin \ omega _ {0} t$ . La ecuación se convierte en

{\ddot {x}}+b\omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}\left[1+h_{0}\sin 2\omega _{0}t\right]x=a_{F0}\sin \omega _{0}t

{\ displaystyle {\ ddot {x}} + b \ omega _ {0} {\ dot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ left [1 + h_ {0} \ sin 2 \ omega _ {0} t \ right] x = a_ {F0} \ sin \ omega _ {0} t}

{\ ddot x} + b \ omega _ {0} {\ dot x} + \ omega _ {0} ^ {{2}} \ left [1 + h _ {{0}} \ sin 2 \ omega _ { 0} t \ right] x = a _ {{F0}} \ sin \ omega _ {0} t

cuya solución es aproximadamente

x(t)={\frac {2a_{F0}}{\omega _{0}^{2}\left(2b-h_{0}\right)}}\cos \omega _{0}t.

{\ displaystyle x (t) = {\ frac {2a_ {F0}} {\ omega _ {0} ^ {2} \ left (2b-h_ {0} \ right)}} \ cos \ omega _ {0} t.}

x (t) = {\ frac {2a _ {{F0}}} {\ omega _ {0} ^ {{2}} \ left (2b-h _ {{0}} \ right)}} \ cos \ omega _ {0} t.

Cuando $h_{0}$ ${\ Displaystyle h_ {0}}$ $h _ {{0}}$ acercarse al umbral $2b$ ${\ Displaystyle 2b}$ $2b$ , la amplitud diverge. Cuando $h\geq 2b$ ${\ Displaystyle h \ geq 2b}$ $h \ geq 2b$ , el sistema entra en resonancia paramétrica y la amplitud comienza a crecer exponencialmente, incluso en ausencia de una aceleración de conducción $a_{F}(t)$ ${\ Displaystyle a_ {F} (t)}$ $a_ {F} (t)$ .

Nota

^ Dos formas de conducir el columpio de un niño: copia archivada , en grinnell.edu . Consultado el 27 de noviembre de 2011 (archivado desde el original el 9 de diciembre de 2011) . .
^ WB Case (1996) "El bombeo de un columpio desde la posición de pie", American Journal of Physics , vol. 64, páginas 215-220.
^ Faraday, M. (1831) "Sobre una clase peculiar de figuras acústicas; y sobre ciertas formas asumidas por un grupo de partículas sobre superficies elásticas vibrantes", Transacciones filosóficas de la Royal Society (Londres) , vol. 121, páginas 299-318.
↑ Melde, F. (1859) "Über Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers" [Sobre la excitación de ondas estacionarias en una cuerda], Annalen der Physik und Chemie (Ser. 2), vol. 109, páginas 193-215.
^ Strutt, JW (Lord Rayleigh) (1883) "Sobre vibraciones mantenidas", Revista filosófica , vol. 15, páginas 229-235.
↑ Strutt, JW (Lord Rayleigh) (1887) "Sobre el mantenimiento de vibraciones por fuerzas de doble frecuencia y sobre la propagación de ondas a través de un medio dotado de estructura periódica", Philosophical Magazine , vol. 24, páginas 145-159.
^ Strutt, JW (Lord Rayleigh) La teoría del sonido , 2ª ed. (Nueva York, Nueva York: Dover, 1945), vol. 1, páginas 81-85.
^ Alexanderson, Ernst FW (abril de 1916) "Un amplificador magnético para telefonía de audio" Actas del Instituto de ingenieros de radio , vol. 4, páginas 101-149.
^ Octubre, Henry W. (1988). "Técnicas de Reducción de Ruido en Sistemas Electrónicos", 2do. ed., Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., página 229.
^ Bob Pease (7 de noviembre de 1991) "Pease Porridge: ¿Qué es todo esto de ganancias, de todos modos?" Diseño electrónico , página 115.
^ Bob Pease, "Capítulo 9: La historia del P2 (El primer amplificador operacional de estado sólido exitoso con corrientes de entrada de picoamperios)" en Diseño de circuitos analógicos: arte, ciencia y personalidades , Jim Williams, ed. (Londres: Butterworth-Heinemann, 1991), páginas 67-78; ver en particular la página 69.

Bibliografía

Kühn L. (1914) Elektrotech. Z. , 35 , 816-819.
Mumford WW. (1960) "Algunas notas sobre la historia de los transductores paramétricos", Actas del Instituto de ingenieros de radio , 48 , 848-853.
Pungs L. DRGM Nr. 588 822 (24 de octubre de 1913); DRP Nº 281440 (1913); Elektrotech. Z. , 44 , 78 - 81 (¿1923?); Proc. IRE , 49 , 378 (1961).

Otros proyectos

enlaces externos

( ES ) Elmer, Franz-Josef, " Resonancia paramétrica ". unibas.ch, 20 de julio de 1998.
( EN ) Cooper, Jeffery, " Resonancia paramétrica en ecuaciones de onda con potencial periódico. Archivado el 21 de febrero de 2005 en Internet Archive ". SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volumen 31, Número 4, págs. 821–835. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 2000.
( ES ) " Péndulo guiado: Resonancia paramétrica ". phys.cmu.edu (Demostración de la mecánica clásica . Las oscilaciones de resonancia ocurren en un péndulo simple a través de la variación periódica de su longitud).

Portal de electromagnetismo

Portal mecánico

[1] Dos formas de conducir el columpio de un niño: copia archivada , en grinnell.edu . Consultado el 27 de noviembre de 2011 (archivado desde el original el 9 de diciembre de 2011) . .

[2] WB Case (1996) "El bombeo de un columpio desde la posición de pie", American Journal of Physics , vol. 64, páginas 215-220.

[3] Faraday, M. (1831) "Sobre una clase peculiar de figuras acústicas; y sobre ciertas formas asumidas por un grupo de partículas sobre superficies elásticas vibrantes", Transacciones filosóficas de la Royal Society (Londres) , vol. 121, páginas 299-318.

[4] Melde, F. (1859) "Über Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers" [Sobre la excitación de ondas estacionarias en una cuerda], Annalen der Physik und Chemie (Ser. 2), vol. 109, páginas 193-215.

[5] Strutt, JW (Lord Rayleigh) (1883) "Sobre vibraciones mantenidas", Revista filosófica , vol. 15, páginas 229-235.

[6] Strutt, JW (Lord Rayleigh) (1887) "Sobre el mantenimiento de vibraciones por fuerzas de doble frecuencia y sobre la propagación de ondas a través de un medio dotado de estructura periódica", Philosophical Magazine , vol. 24, páginas 145-159.

[7] Strutt, JW (Lord Rayleigh) La teoría del sonido , 2ª ed. (Nueva York, Nueva York: Dover, 1945), vol. 1, páginas 81-85.

[8] Alexanderson, Ernst FW (abril de 1916) "Un amplificador magnético para telefonía de audio" Actas del Instituto de ingenieros de radio , vol. 4, páginas 101-149.

[9] Octubre, Henry W. (1988). "Técnicas de Reducción de Ruido en Sistemas Electrónicos", 2do. ed., Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., página 229.

[10] Bob Pease (7 de noviembre de 1991) "Pease Porridge: ¿Qué es todo esto de ganancias, de todos modos?" Diseño electrónico , página 115.

[11] Bob Pease, "Capítulo 9: La historia del P2 (El primer amplificador operacional de estado sólido exitoso con corrientes de entrada de picoamperios)" en Diseño de circuitos analógicos: arte, ciencia y personalidades , Jim Williams, ed. (Londres: Butterworth-Heinemann, 1991), páginas 67-78; ver en particular la página 69.

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