Péndulo

El péndulo simple (o péndulo matemático ) es un sistema físico que consta de un cable inextensible y una masa puntual ( m) fija en su extremo y sujeta a atracción gravitacional (que suponemos uniforme en el espacio y constante en el tiempo ). Este sistema aparentemente banal se hizo famoso por el compromiso experimental y teórico del erudito Galileo Galilei , quien describió correctamente su principal propiedad, a saber, el isocronismo . ^[1]

Definición de las ecuaciones de movimiento y su solución.

El péndulo simple

Si la aceleración de la gravedad $gramo$ ${\ Displaystyle g}$ $gramo$ , la velocidad inicial y la dirección inicial del alambre son coplanares, las oscilaciones del péndulo en un plano vertical, describiendo en particular una trayectoria circular , debido a la inextensibilidad del alambre. Si elige coordenadas polares (como se muestra en el dibujo), puede escribir las ecuaciones de movimiento, que toman la siguiente forma:

m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=mg\cos \theta -T_{f}

{\ Displaystyle m ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) = mg \ cos \ theta -T_ {f}}

m ({\ ddot r} -r {\ dot \ theta} ^ {2}) = mg \ cos \ theta -T_ {f}

m(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }})=-mg\sin \theta

{\ Displaystyle m (r {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}}) = - mg \ sin \ theta}

m (r {\ ddot \ theta} +2 {\ dot r} {\ dot \ theta}) = - mg \ sin \ theta

La primera ecuación corresponde a la componente radial de $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ ${\ mathbf {F}} = m {\ mathbf {a}}$ y el segundo a la componente tangencial. $T_{f}$ ${\ Displaystyle T_ {f}}$ $T_f$ es la tensión del hilo. Ahora siendo la longitud del cable $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ constante en el tiempo por hipótesis, debemos tener:

{\ddot {r}}={\dot {r}}=0

{\ Displaystyle {\ ddot {r}} = {\ dot {r}} = 0}

{\ ddot r} = {\ dot r} = 0

y además las masas, que aparecen a ambos miembros, se simplifican. Entonces se obtienen las ecuaciones más simples:

T_{f}=m\left(g\cos \theta +l{\dot {\theta }}^{2}\right)

{\ Displaystyle T_ {f} = m \ left (g \ cos \ theta + l {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ right)}

T_ {f} = m \ left (g \ cos \ theta + l {\ dot \ theta} ^ {2} \ right)

l{\ddot {\theta }}=-g\sin \theta

{\ Displaystyle l {\ ddot {\ theta}} = - g \ sin \ theta}

l {\ ddot \ theta} = - g \ sin \ theta

donde se ha indicado la longitud constante del hilo, como es habitual, con la letra $L$ ${\ Displaystyle l}$ $L$ en lugar de, como antes, con $r$ ${\ Displaystyle r}$ $r$ . Observamos ahora que la ecuación que nos interesa, ya que determina el movimiento angular del péndulo (la única no trivial, ya que el movimiento radial es cero), es solo la segunda, mientras que la primera sería útil solo para determinar, más adelante, la tensión del hilo. Elegimos aproximar la segunda ecuación para ángulos pequeños, es decir, considerando solo el término lineal en la expansión de la serie de Taylor del seno:

l{\ddot {\theta }}=-g\theta

{\ Displaystyle l {\ ddot {\ theta}} = - g \ theta}

l {\ ddot \ theta} = - g \ theta

que es la ecuación diferencial del oscilador armónico de pulsación ${\sqrt {g/l}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {g / l}}}$ ${\ sqrt {g / l}}$ . De este modo es posible determinar el período de una oscilación completa, es decir, el tiempo que tarda el péndulo en ir de un extremo al otro y volver al extremo inicial. Está situado

T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}

{\ Displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}

T = 2 \ pi {\ sqrt {{\ frac {l} {g}}}}

Por tanto, la ley de oscilación es independiente de la masa y, en la hipótesis de ángulos pequeños, se reduce a un oscilador armónico, por lo que también es independiente de la amplitud de la oscilación.

Sin embargo, si la amplitud de la oscilación $\theta _{\mathrm {max} }$ ${\ Displaystyle \ theta _ {\ mathrm {max}}}$ $\ theta _ {{\ mathrm {max}}}$ no es pequeño, se puede demostrar que el período del péndulo depende de él según la fórmula

T=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}K\left(\sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right)

{\ Displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} K \ left (\ sin ^ {2} {\ frac {\ theta _ {\ mathrm {max}}} {2}} \ Derecha)}

{\ Displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} K \ left (\ sin ^ {2} {\ frac {\ theta _ {\ mathrm {max}}} {2}} \ Derecha)}

Dónde está $K.$ ${\ Displaystyle K}$ $K.$ es la integral elíptica completa del primer tipo, evaluada en $\sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}$ ${\ Displaystyle \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta _ {\ mathrm {max}}} {2}}}$ ${\ Displaystyle \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta _ {\ mathrm {max}}} {2}}}$ . Los dos primeros términos de la expansión de la serie de potencias de la integral proporcionan la expresión

T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(1+{\frac {{\theta _{\mathrm {max} }}^{2}}{16}}\right)

{\ Displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} \ left (1 + {\ frac {{\ theta _ {\ mathrm {max}}} ^ {2}} {16 }} \ Derecha)}

T = 2 \ pi {\ sqrt {{\ frac {l} {g}}}} \ left (1 + {\ frac {{\ theta _ {{\ mathrm {max}}}} ^ {{2}} } {16}} \ derecha)

aproximado a menos de un infinitesimal del orden de ${\theta _{\mathrm {max} }}^{4}$ ${\ Displaystyle {\ theta _ {\ mathrm {max}}} ^ {4}}$ ${\ theta _ {{\ mathrm {max}}}} ^ {{4}}$ .

La aproximación de ángulo pequeño es buena para obtener una formulación simple de la integración de la ecuación diferencial.

Incluso para ángulos muy pequeños, la corrección anterior debe realizarse para el cálculo del período exacto solo que la diferencia pueda ser imperceptible.

Esta diferencia no es imperceptible si el péndulo se utiliza para relojes que tienen que contar tiempos muy largos (ver más abajo "Péndulo cicloidal").

Balance de energía

Multiplicando lado a lado la segunda ecuación de movimiento por ${\dot {\theta }}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ theta}}}$ ${\ dot \ theta}$ usted obtiene:

l{\dot {\theta }}{\ddot {\theta }}=-g{\dot {\theta }}\sin \theta

{\ Displaystyle l {\ dot {\ theta}} {\ ddot {\ theta}} = - g {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta}

l {\ dot \ theta} {\ ddot \ theta} = - g {\ dot \ theta} \ sin \ theta

que, reconociendo una derivada con respecto al tiempo y multiplicando miembro por miembro por $L$ ${\ Displaystyle l}$ $L$ , conduce de nuevo a:

{\frac {d}{dt}}\left(l^{2}{\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-gl\cos \theta \right)=0

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (l ^ {2} {\ frac {{\ dot {\ theta}} ^ {2}} {2}} - gl \ cos \ theta \ right ) = 0}

{\ frac {d} {dt}} \ left (l ^ {2} {\ frac {{\ dot \ theta} ^ {2}} {2}} - gl \ cos \ theta \ right) = 0

es decir, la cantidad entre paréntesis se conserva a lo largo del tiempo. Esa cantidad, menos que un factor $metro$ ${\ Displaystyle m}$ $metro$ y de una posible constante aditiva es la energía del péndulo: el primer sumando constituye la energía cinética y el segundo la energía potencial gravitacional .

Por tanto, se puede verificar que, en los extremos de la oscilación, en los que ${\dot {\theta }}=0$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ theta}} = 0}$ ${\ dot \ theta} = 0$ por definición, solo hay energía potencial, es decir, la partícula tiene solo energía de posición y no de movimiento; mientras que, eligiendo igual a $+mgl$ ${\ displaystyle + mgl}$ $+ mgl$ Con la constante aditiva de energía antes mencionada, se puede decir que en el punto mínimo solo hay energía cinética , es decir, solo energía de movimiento y no de posición.

Péndulo físico

El mismo tema en detalle: Péndulo físico .

El péndulo simple es solo un caso particular: cualquier objeto fijado a un punto de suspensión y sujeto a la gravedad constituye un péndulo, a veces llamado péndulo físico . En este caso la fuerza de gravedad actúa sobre el centro de masa del objeto y la componente de esta fuerza perpendicular a la unión con el punto de suspensión es:

F=-mg\sin \vartheta

{\ Displaystyle F = -mg \ sin \ vartheta}

F = -mg \ sin \ vartheta

El momento mecánico resultante en el péndulo, considerado con respecto al punto de suspensión, es por tanto:

M=-mgd\sin \vartheta

{\ Displaystyle M = -mgd \ sin \ vartheta}

M = -mgd \ sin \ vartheta

Dónde está $D$ ${\ Displaystyle d}$ $D$ representa la distancia entre el punto de suspensión y el centro de masa. Aplicando la segunda ecuación cardinal encontramos que

I{\ddot {\theta }}=-mgd\sin \vartheta

{\ Displaystyle I {\ ddot {\ theta}} = - mgd \ sin \ vartheta}

Yo {\ ddot \ theta} = - mgd \ sin \ vartheta

Dónde está $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ representa el momento de inercia del péndulo con respecto al centro de rotación , que en este caso es el punto de suspensión. La ecuación se reduce a una forma similar a la del oscilador armónico también en este caso, siempre que se consideren pequeñas oscilaciones. Por tanto, encontramos:

T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}

{\ Displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {I} {mgd}}}}

T = 2 \ pi {\ sqrt {{\ frac {I} {mgd}}}}

Comparando esta fórmula con la correspondiente del péndulo simple, se puede concluir que el péndulo físico oscila con el mismo período que un péndulo simple de longitud.

l={\frac {I}{md}}

{\ Displaystyle l = {\ frac {I} {md}}}

l = {\ frac {I} {md}}

Esta longitud se denomina longitud reducida o longitud equivalente del péndulo físico.

Péndulo de torsión

Un péndulo de torsión consiste en un cable inextensible de masa insignificante al final del cual se une un cuerpo rígido. Si el cuerpo gira alrededor del eje que pasa a través del alambre, este último se retuerce produciendo un par dado por ${\vec {\tau }}=-\chi \vartheta {\hat {k}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ tau}} = - \ quién \ vartheta {\ hat {k}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ tau}} = - \ quién \ vartheta {\ hat {k}}}$ , Dónde está $\chi ={\frac {\pi }{2}}G{\frac {R^{4}}{l}}$ ${\ Displaystyle \ chi = {\ frac {\ pi} {2}} G {\ frac {R ^ {4}} {l}}}$ ${\ Displaystyle \ chi = {\ frac {\ pi} {2}} G {\ frac {R ^ {4}} {l}}}$ (en caso de que el cuerpo rígido sea un disco) se llama constante de torsión . Tiene un signo menos porque tiende a hacer que el cuerpo gire en la dirección opuesta al movimiento. Tomando el centro de rotación como el polo y aplicando la segunda ecuación cardinal de dinámica ${\vec {M}}^{(e)}\!\!=-\chi \vartheta {\hat {k}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\frac {d(I{\dot {\vartheta }}{\hat {k}})}{dt}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {M}} ^ {(e)} \! \! = - \ chi \ vartheta {\ hat {k}} = {\ frac {d {\ vec {L}}} {dt} } = {\ frac {d (I {\ dot {\ vartheta}} {\ hat {k}})} {dt}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {M}} ^ {(e)} \! \! = - \ chi \ vartheta {\ hat {k}} = {\ frac {d {\ vec {L}}} {dt} } = {\ frac {d (I {\ dot {\ vartheta}} {\ hat {k}})} {dt}}}$ , obtenemos la siguiente ecuación diferencial:

{\ddot {\vartheta }}+{\frac {\chi }{I}}\vartheta =0

{\ Displaystyle {\ ddot {\ vartheta}} + {\ frac {\ chi} {I}} \ vartheta = 0}

{\ Displaystyle {\ ddot {\ vartheta}} + {\ frac {\ chi} {I}} \ vartheta = 0}

,

Dónde está $LOS$ ${\ Displaystyle I}$ $LOS$ es el momento de inercia del cuerpo rígido con respecto al eje de rotación, teniendo solución

\vartheta =\vartheta _{max}\cos {(\omega t+\varphi )}

{\ Displaystyle \ vartheta = \ vartheta _ {max} \ cos {(\ omega t + \ varphi)}}

{\ Displaystyle \ vartheta = \ vartheta _ {max} \ cos {(\ omega t + \ varphi)}}

.

Representa la ecuación de un movimiento armónico simple de pulsación.

\omega ={\sqrt {\frac {\chi }{I}}}

{\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {\ chi} {I}}}}

{\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {\ chi} {I}}}}

.

Aplicando el teorema de conservación de la energía mecánica (dado que no existen fuerzas disipativas), obtenemos que la energía potencial de torsión debida al momento del alambre es:

U(\vartheta )={\frac {1}{2}}\chi \vartheta ^{2}

{\ Displaystyle U (\ vartheta) = {\ frac {1} {2}} \ chi \ vartheta ^ {2}}

{\ Displaystyle U (\ vartheta) = {\ frac {1} {2}} \ chi \ vartheta ^ {2}}

.

Péndulo cicloidal

El péndulo cicloidal es un tipo de movimiento periódico inventado por Christiaan Huygens hacia 1659 con una propiedad peculiar: sus oscilaciones son isócronas independientemente de su amplitud. De hecho, se ha visto que esto es cierto en el caso del péndulo simple solo para amplitudes bastante pequeñas. Huygens demostró en cambio que un punto material que oscila siguiendo una trayectoria cicloidal bajo la acción de la gravedad tiene un período constante que depende únicamente del tamaño de la cicloide.

La ecuación cicloide en forma paramétrica es

x=a(\theta -\sin {\theta })\;;\;y=a(1+\cos {\theta })

{\ Displaystyle x = a (\ theta - \ sin {\ theta}) \ ;; \; y = a (1+ \ cos {\ theta})}

x = a (\ theta - \ sin {\ theta}) \ ;; \; y = a (1+ \ cos {\ theta})

donde a es la longitud del radio de la circunferencia que genera la cicloide. Así que X e Y las coordenadas del punto de masa m que oscila bajo la acción de la gravedad. La energía potencial del punto es

U=mgy

{\ Displaystyle U = mgy}

U = mgy

mientras que la energía cinética es

K={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})

{\ Displaystyle K = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2})}

K = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {x}} ^ {{2}} + {\ dot {y}} ^ {{2}})

.

Siempre y cuando

{\dot {x}}=a{\dot {\theta }}(1-\cos {\theta })\;;\;{\dot {y}}=-a{\dot {\theta }}\sin {\theta }

{\ Displaystyle {\ dot {x}} = a {\ dot {\ theta}} (1- \ cos {\ theta}) \ ;; \; {\ dot {y}} = - a {\ dot {\ theta}} \ sin {\ theta}}

{\ dot {x}} = a {\ dot {\ theta}} (1- \ cos {\ theta}) \ ;; \; {\ dot {y}} = - a {\ dot {\ theta}} \ sin {\ theta}

Si tu tienes

{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}=2a^{2}{\dot {\theta }}^{2}(1-\cos {\theta })

{\ Displaystyle {\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} = 2a ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} (1- \ cos { \ theta})}

{\ dot {x}} ^ {{2}} + {\ dot {y}} ^ {{2}} = 2nd ^ {{2}} {\ dot {\ theta}} ^ {{2}} ( 1- \ cos {\ theta})

y recordando las transformaciones

\cos {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos {\theta }}{2}}}

{\ Displaystyle \ cos {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos {\ theta}} {2}}}}

\ cos {{\ frac {\ theta} {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {1+ \ cos {\ theta}} {2}}}}

\sin {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos {\theta }}{2}}}

{\ Displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {1- \ cos {\ theta}} {2}}}}

\ sin {{\ frac {\ theta} {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {1- \ cos {\ theta}} {2}}}}

usted obtiene

U=2mga\left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right)^{2}\;;\;K=2ma^{2}{\dot {\theta }}^{2}\left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right)^{2}

{\ Displaystyle U = 2mga \ left (\ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ right) ^ {2} \ ;; \; K = 2ma ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ left (\ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ right) ^ {2}}

U = 2mga \ left (\ cos {{\ frac {\ theta} {2}}} \ right) ^ {{2}} \ ;; \; K = 2ma ^ {{2}} {\ dot {\ theta }} ^ {{2}} \ left (\ sin {{\ frac {\ theta} {2}}} \ right) ^ {{2}}

.

Introduciendo

q=\cos {\frac {\theta }{2}}

{\ Displaystyle q = \ cos {\ frac {\ theta} {2}}}

q = \ cos {{\ frac {\ theta} {2}}}

,

usted obtiene

{\dot {q}}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\theta }}\sin {\frac {\theta }{2}}

{\ Displaystyle {\ dot {q}} = - {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ theta}} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}

{\ dot {q}} = - {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ theta}} \ sin {{\ frac {\ theta} {2}}}

.

La cantidad q puede considerarse la coordenada generalizada del punto oscilante y su derivada ${\dot {q}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {q}}}$ ${\ dot {q}}$ como una velocidad generalizada. Luego

$U=2mgaq^{2}\;;\;K=8ma^{2}{\dot {q}}^{2}$ ${\ Displaystyle U = 2mgaq ^ {2} \ ;; \; K = 8ma ^ {2} {\ dot {q}} ^ {2}}$ $U = 2mgaq ^ {{2}} \ ;; \; K = 8ma ^ {{2}} {\ dot {q}} ^ {{2}}$ .

La energía potencial es una función cuadrática de la coordenada q , y la energía cinética es una función cuadrática de su derivada (y los coeficientes son constantes). De esto se deduce que las oscilaciones del péndulo son isócronas y armónicas de período.

$T=2\pi {\sqrt {\frac {4a}{g}}}$ ${\ Displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {4a} {g}}}}$ $T = 2 \ pi {\ sqrt {{\ frac {4a} {g}}}}$ .

Huygens utilizó su descubrimiento para hacer relojes de péndulo muy precisos. Para construir el péndulo cicloidal, es necesario suspender el péndulo de un alambre colocado entre dos arcos cicloides, de tal manera que siga su perfil haciendo que el peso adjunto recorra una trayectoria cicloidal.

Nota

↑ Siguiendo una interpretación errónea de la descripción en los tratados árabes medievales de algunos sistemas de plomada para determinar el plano horizontal en instrumentos astronómicos, en algunos textos modernos el descubrimiento del péndulo como sistema de medición del tiempo se atribuye al gran astrónomo egipcio Ibn Yunus ( 950 - 1009 ) (cf. Adolf Müller, Elementos de astronomía para uso en escuelas y para educación privada , Volumen 1, ed. Desclée Lefebure y c., P. 106). Esta atribución ha sido refutada en King, DA (1979). "Ibn Yunus y el péndulo: una historia de errores". Archives Internationales d'Histoire des Sciences 29 (104): 35–52.

Otros proyectos

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enlaces externos

( EN ) Pendulum / Pendolo (otra versión) , en Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Subprograma de mecánica .
Péndulo de Kater de Leonardo Latella , sobre matemáticamente .
Péndulo cicloidal , en php.math.unifi.it .

Control de autoridad	Tesauro BNCF 3878 · LCCN (EN) sh85099384 · GND (DE) 4173651-5 · BNF (FR) cb11966679g (fecha) · NDL (EN, JA) 00,563,762

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[1] Siguiendo una interpretación errónea de la descripción en los tratados árabes medievales de algunos sistemas de plomada para determinar el plano horizontal en instrumentos astronómicos, en algunos textos modernos el descubrimiento del péndulo como sistema de medición del tiempo se atribuye al gran astrónomo egipcio Ibn Yunus ( 950 - 1009 ) (cf. Adolf Müller, Elementos de astronomía para uso en escuelas y para educación privada , Volumen 1, ed. Desclée Lefebure y c., P. 106). Esta atribución ha sido refutada en King, DA (1979). "Ibn Yunus y el péndulo: una historia de errores". Archives Internationales d'Histoire des Sciences 29 (104): 35–52.

[1]